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2012届高三数学第二轮复习《数形结合思想》专题三


2012 届高三数学第二轮复习【数形结合】专题三
数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。 题型一数形结合思想在解决方程的根的个数、不等式解集的问题中的应用 【例题 1】① 已知:函数 f(x)满足下面关系:①f(x+1)=f(x-1);②当 x∈[-1,1]时, f(x)=x2,则方程 f(x)=lg x 解的个数是 ; A.5 B.7 C.9 D

.10 f(x)-f(-x) ② 设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则 <0 的解集为 ; x A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1) 题型二 数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用 【例题 2】已知 a 是实数,函数 f(x)=2a|x|+2x-a,若函数 y=f(x)有且仅有两个零点, 则实数 a 的取值范围是__________________.

题型三

数形结合思想在几何中的应用 焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为________.

【例题 3】已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线

题型三

数形结合思想在向量中的应用
? ?

【例题 4】 已知 a , b 为不共线的向量, 设条件 M : b ? ( a ? b ) ; 条件 N : 对一切 x ? R ,

?

?

?

不等式 a ? x b ? a ? b 恒成立.则 M 是 N 的________条件.

?

?

?

?

π 1 1.方程 sin?x-4?= x 的实数解的个数是 ? ? 4 A.2 B.3
?2?x ? 1, x ? 0 ? x ,x ? 0

( D.以上均不对 (

)

C.4

2.设函数 f ( x ) ? ?

,若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是

)

A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-2)∪(0,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 3.在 R 上的偶函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x),当 x∈[3,4]时,f(x)=x-2,则 ( 1 1 π π 3 3 A.f(sin )<f(cos ) B.f(sin )>f(cos ) C.f(sin 1)<f(cos 1) D.f(sin )>f(cos ) 2 2 3 3 2 2 4.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到 直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 ( 11 37 A.2 B.3 C. D. 5 16 1 2 5.不等式 x -logax<0,在 x∈(0, )时恒成立,则 a 的取值范围是 ( 2 1 1 A.0<a<1 B. ≤a<1 C.a>1 D.0<a≤ 16 16 0<x≤10, ?|lg x|, ? 6.已知函数 f(x)=? 1 若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c), ?-2x+6, x>10, ? 则 abc 的取值范围是 A.(1,10) B.(5,6) ( C.(10,12) D.(20,24) .

)

)

)

)

? x ? y≥ 0 ? 2 7.不等式组 ? x ? y≥ 0 表示的平面区域的面积是 4,则 x ? y 的最小值为 ? x≤a ? ???? ??? ? 8.在 ? ABC 中, A B ? 4, A C ? 3 ,G 为外心,则 A G ? B C 的值为________.

9.若不等式 4 ? x ? k ( x ? 1) 的解集为区间 [ a , b ] ,且 b ? a ? 1 ,则 k ?
2

.

10.已知实系数一元二次方程 x2+ax+2b=0 有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根 在区间(1,2)内,求: b-2 (1)点(a,b)对应的区域的面积;(2) 的取值范围;(3)(a-1)2+(b-2)2 的值域. a-1

2012 届高三数学第二轮复习【数形结合】解答
【例题 1】解答:(1)由题意可知,f(x)是以 2 为周期,值域为[0,1]的函数.又 f(x)=lg x,则 x∈(0,10], 画出两函数图象, 则交点个数即为解的个数. 又∵lg 10=1, 故当 x>10 时,无交点.∴由图象可知共 9 个交点. (2) ∵f(x)为奇函数, ∴f(x)-f(-x)=2f(x)画出 y=2f(x)的大致图象. f(x)与 x 异号的区间 ∴ 则 解集为(-1,0)∪(0,1),故选 D. 【例题 2】解析 易知 a≠0,f(x)=0,即 2a|x|+2x-a=0, 1 1 1 1 变形得|x|- =- x,分别画出函数 y1=|x|- ,y2=- x 的图象,由图易知: 2 a 2 a 1 1 当 0<- <1 或-1<- <0 时,y1 和 y2 的图象有两个不同的交点, a a ∴当 a<-1 或 a>1 时,函数 y=f(x)有且仅有两个零点, 即实数 a 的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞). 1 【例题 3】( ,-1) 4 → → → 【例题 4】 【解析】 方法一:构造直角三角形 OAB,其中 a=OA,b=OB,xb=OD,则 → a-b=BA,由 b⊥(a-b)得∠ABO=90° ,当点 D 与点 B 不重合时,由斜边大于直角边得 |a-xb|>|a-b|,当点 D 与点 B 重合时|a-xb|=|a-b|,反之也成立,M 是 N 的充要条件. b 方法二:将不等式|a-xb|≥|a-b|两边平方后转化为 b2x2-2(a·)x+2a· 2≥0 对于任意 b-b 2 2 2 2 2 b b-b )=4(b -a·) ≤0,即 b2-a· b 实数 x 恒成立,Δ=4(a·) -4b (2a· b=0,b(b-a)=0, 所以有 b⊥(a-b). π 1 1.解析:分别作出 y=sin?x-4?和 y= x 的图象如图: ? ? 4 由图象知方程的实数解有 3 个. 2. 解析 方法二 首先画出函数 y=f(x)与 y=1 的图象(如图), 解方程 f(x)=1, x=-1, 得 或 x=1.由图中易得 f(x0)>1 时,所对应 x0 的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞). 3.解析 由 f(x)=f(x+2)知 T=2 为 f(x)的一个周期,设 x∈[-1,0],知 x+4∈[3,4], f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2,画出函数 f(x)的图象, 如图所示: 1 1 1 1 sin <cos ?f(sin )>f(cos ); 2 2 2 2 π π π π sin >cos ?f(sin )<f(cos ); 3 3 3 3 sin 1>cos 1?f(sin 1)<f(cos 1); 3 3 3 3 sin >cos ?f(sin )<f(cos ).故选 C. 2 2 2 2 4.解析 记抛物线 y2=4x 的焦点为 F,则 F(1,0),注意到直线 l2:x=-1 是抛物线 y2=4x 的准线,于是抛物线 y2=4x 上的动点 P 到 直线 l2 的距离等于|PF|,问题即转化为求抛物线 y2=4x 上的动点 P 到直线 l1:4x-3y+6 =0 的距离与它到焦点 F(1,0)的距离之和的最小值,结合图形,可知,该最小值等于焦点 |4×1-3×0+6| F(1,0)到直线 l1:4x-3y+6=0 的距离,即等于 =2, 5

5.解析 B. 6.解析 作出 f(x)的大致图象.由图象知,要使 f(a)=f(b)=f(c),不妨设 a<b<c,则 1 - lg a = lg b = - c + 6.∴lg a + lg b = 0 , ∴ab = 1 , ∴abc = c. 由 图 知 10<c<12 , 2 ∴abc∈(10,12). 7.解析 当抛物线 y ? ? x ? z 与直线 x ? y ? 0 相切时, z 最小
2

? y ? ? x2 ? z 1 2 联立 ? ,得 x ? x ? z ? 0 , ? ? 1 ? 4 z ? 0 ? z m in ? ? . 4 ? x? y ? 0

8.? A G ? B C ?

???? ????

? 1 ??? ( AB ? 2 ? 1 ??? ? ( AB ? 2
2

???? ???? ???? 1 ??? ???? ???? ? A C ? 2G O ) ? B C ? ( A B ? A C ) ? B C 2 ???? ???? ??? ? ? 1 ???? 2 ??? 2 7 AC ) ? ( AC ? AB ) ? ( AC ? AB ) ? ? . 2 2

9.解 令 y1 ?

4 ? x , y 2 ? k ( x ? 1) .其示意图如图 8-3:

若 k ? 0 ,要满足 y 1 ? y 2 ,则 b ? 2 ,此时 a ? 1 .从而 k ?

3 1?1

?

3 2

.

若 k ? 0 ,要满足 y 1 ? y 2 ,则 a ? ? 2 .则 b ? a ? 1 ? ? 1 ,从而 k 不存在. 10.解 方程 x2+ax+2b=0 的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是: 函数 y=f(x)=x2+ax+2b 与 x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内,

?f(0)>0, ? 由此可得不等式组?f(1)<0, ?f(2)>0, ?

?b>0, ? ??a+2b+1<0, ?a+b+2>0. ?

? ? ?a+2b+1=0, ?a+b+2=0, 由? 解得 A(-3,1).由? 解得 B(-2,0), ?a+b+2=0. ?b=0. ? ? ?a+2b+1=0 ? 由? 解得 C(-1,0).∴在如图所示的 aOb 坐标平面内,满足约束条件的点 ? ?b=0. (a,b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界). 1 1 (1) △ABC 的面积为 S△ABC= ×|BC|×h= (h 为 A 到 Oa 轴的距离). 2 2 b-2 2-1 1 2-0 (2) 几何意义是点(a,b)和点 D(1,2)连线的斜率.∵kAD= = ,kCD= =1, a-1 1+3 4 1+1 b-2 b-2 1 1 b-2 由图可知 kAD< <k ,∴ < <1,即 ∈( ,1). 4 a-1 a-1 CD a-1 4 (3) ∵(a-1)2+(b-2)2 表示区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方, ∴(a-1)2+(b-2)2∈(8,17).


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