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高一数学第二讲方程与方程组(学案)


教学过程
一、知识讲解
1.一元二次方程解法 一元二次方程主要有三种解法:配方法、公式法、因式分解法.因式分解的内容在第二 讲中已经详细解说,我们主要来看一下前两种方法的来源和与之有关的结论. 一元二次方程根的判别式与求根公式: 我们知道,对于一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ,用配方法可以将其变形为

b 2

b 2 ? 4ac .① (x ? ) ? 2a 4a 2
2 因为 a ? 0 ,所以, 4a ? 0 .于是

2 (1)当 b ? 4ac >0 时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实

数根 x1 , x2 =

?b ? b2 ? 4ac ; 2a

(2)当 b 2 ? 4ac =0 时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个相等的实数根

x1 = x2 =-

b ; 2a

2 (3)当 b ? 4ac <0 时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边 ( x ?

b 2 ) 一定大 2a

于或等于零,因此,原方程没有实数根.
2 2 由此可知,一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根的情况可以由 b ? 4ac 来判定, 2 2 我们把 b ? 4ac 叫做一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根的判别式,通常用符号“Δ”

来表示. 综上所述,对于一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ,有 (1)当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根

x1 , x2 =

?b ? b2 ? 4ac ; 2a
b ; 2a

(2)当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根

x1 = x2 =-

(3)当 Δ<0 时,方程没有实数根.
1

2.韦达定理 若一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两个实数根

x1 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? ,则有 2a 2a ?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ?2b b x1 ? x2 ? ? ? ?? ; 2a 2a 2a a

x1 x2 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac b2 ? (b2 ? 4ac) 4ac c ? ? ? 2? . 2a 2a 4a 2 4a a
b , x1 ·x2 = a

所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两根分别是 x1 , x2 ,那么 x1 + x2 = ?
2

c .这一关系也被称为韦达定理. a
特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x 2 + px + q = 0 ,若 x1 , x2 是其两根, 由韦达定理可知 x1 + x2 = -p , x1 x2 = q . 3. 一元二次方程的两根之差的绝对值 一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量, 今后我们经常会遇到求这一个量的 问题,为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律: 设 x1 , x2 分别是一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) ,则
2

x1 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a
?b ? b2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac 2 b 2 ? 4ac ? ? 2a 2a 2a

∴ x1-x2 =

b2 ? 4ac ? . ? ? |a| |a|
于是有下面的结论: 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两根, 则| x1 - x2 |=
2
2 中 Δ= b ? 4ac ).

? (其 |a|

4. 简单的高次方程的解法

2

在整式方程中,如果未知数的最高次数超过 2,那么这种方程称为高次方程.本讲主要 讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答. 5.分式方程和无理方程的解法 初中我们已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法. 本讲主要学习可化为一元 二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法.并且只要求掌握: (1)不超过三个分式构成的分式方程的解法,会用“去分母”或“换元法”求方程的根,并会 验根; (2)了解无理方程概念,掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法,会用“平方”或“换 元法”求根,并会验根. 6.二元二次方程组 含有两个未知数且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程, 叫做二元二次方程. 由 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组, 或由两个二元二次方程组组成的方程 组,叫做二元二次方程组. (1)由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解. 其蕴含 着转化思想:将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解. (2)由两个二元二次方程组成的方程组 ①可因式分解型的方程组 方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程, 则原方程组可转化为两个方 程组,其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成. ②可消二次项型的方程组 两个方程都有二次项,所以可用加减法消之,得到一个二元一次方程,即转化为由一个 二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组. 易错点 1.解分式方程和无理方程时一定要验根. 易错点 2.二元二次方程组消元要彻底,不可随意加减进行无谓的变换.

考点 1.韦达定理是高中数学经常用到的知识点之一,需要理解并记忆,还要了解两根之差 绝对值的推导过程.
3

考点 2.熟练各类方程的解法,因式分解在解各种方程中都很重要. 考点 3.解分式方程、无理方程、二元二次方程组时运算量都比较大,要加强训练以保证准 确率.

二、例题精析
【例题 1】 【题干】判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数),如果方程有实数根,写出方 程的实数根. (1) x 2-3 x +3=0; (2) x 2- a x -1=0; (3) x 2- a

x +( a -1)=0;(4) x 2-2 x + a =0.

【例题 2】 【题干】已知方程 5 x
2

? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值.

【例题 3】 【题干】若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2 x 2+5 x -3=0 的两根. (1)求| x1 - x2 |的值; (2)求

1 1 ? 2 的值; 2 x1 x2

(3) x1 3+ x2 3.

4

【例题 4】
2 【题干】解方程(1) x ? 3 x ? 2

?

?? x

2

? 4 x ? 12 ?=0 ; (2) x 2 ? 3 x ?

2 =1 . x ? 3x ? 2
2

【例题 5】 【题干】解方程

1 4x 2 ? ? ?1. x ? 2 x2 ? 4 x ? 2

【例题 6】 【题干】解方程

8( x 2 ? 2 x) 3( x 2 ? 1) ? 2 ? 11 . x2 ? 1 x ? 2x

5

【例题 7】 【题干】解方程 3x ? 2 ?

x?3 ?3

【例题 8】 【题干】解方程 3x 2 ? 15 x ? 2 x 2 ? 5 x ? 1 ? 2

【例题 9】 【题干】解方程组

?x ? y ? 7 ? ? xy ? 12

6

【例题 10】 【题干】已知关于 x 的一元二次方程 5x 2 ? 2 6 px ? 5q ? 0( p ? 0) 有两个相等的实数根, 求证: (1)方程 x 2 ? px ? q ? 0 有两个不相等的实数根. (2)设方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两个实数根是 x1 , x 2 ,若 x1 ? x2 ,则

x1 2 ? . x2 3

三、课堂运用
【基础】 1.下列四个说法

7 = 0 的两根之和为-2,两根之积为―7; ①方程 x + 2 x- 2 x + 7 = 0 的两根之和为-2,两根之积为 7; ②方程 x -
7 = 0 的两根之和为 0,两根之积为 ? ③方程 3x -
2

2

2

7 ; 3

④方程 3x + 2 x = 0 的两根之和为-2,两根之积为 0. 其中正确说法的个数是( )

2

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.填空

1 = 0 的两根之和为-2,则 k = (1)方程 kx + 4 x-

2

. .

4= 0 的两根为 ? , ? ,则 ? 2 + ?2 = (2)方程 2 x -x-
2

7

3.解方程组

? x2 ? ? y 2 ? 1, ?4 ? x=y +2 ? 0; ?
2 2

(2m + 1) x + 1 = 0 有两个不相等的实 4.试判定当 m 取何值时, 关于 x 的一元二次方程 m x -
数根?有两个相等的实数根?没有实数根? 【巩固】 1.填空

x- 1 = 0 的两个实数根,则 m2 n ? n2 m-mn 的值等 ( 1 )若 m, n 是方程 x + 2014
2





1 = 0 的两个实数根,那么代数式 a 3 + a 2 b + ab2 + b 3 (2)如果 a , b 是方程 x + x-
的值是 .
2

2

2 = 0. 2.已知关于 x 的方程 x -kx-
(1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两根为 x1 和 x2 ,如果 2( x1 + x2 )> x1 x2 ,求实数 k 的取值范围. 3. m 取什么值时,方程组

? y 2 ? 4 x, 有一组实数解?并求出这时方程组的解. ? ? y ? 2x ? m
4.若 x ? 1 是方程 【拔高】

x 1 ? ? 4 的解,试求 a 的值. x?a x?a

2(1-m) x + m = 0 有两实数根 ? , ? ,则 ? + ? 的取值范围为() 1.如果关于 x 的方程 x -
2 2

A. ? + ? ≥

1 2

B. ? + ? ≤

1 2

C. ? + ? ≥1

D. ? + ? ≤1 .

2.若方程 x 2-8 x + m =0 的两根为 x1 , x2 ,且 3 x1 +2 x2 =18,则 m = 3.已知关于 x 的方程 x 2 ? (m ? 2) x ?

m2 ?0. 4

(1)求证:无论 m 取什么实数时,这个方程总有两个相异实数根; (2)若这个方程的两个实数根 x1 , x2 满足| x2 |=| x1 |+2,求 m 的值及相应的 x1 , x2 . 4.解方程组 ?
2 2 ? ? x ? y ? 5( x ? y ) 2 2 ? ? x ? xy ? y ? 43

(1) (2)

3 5.解高次方程: x ?

7 ?9 x ?1
3

8

课程小结
1.熟练掌握一元二次方程求解方法、韦达定理和两根差的绝对值的应用; 2.简单的高次方程主要是用换元法和因式分解法求解; 3.分式方程和无理方程要会转化成一般方程; 4.学会二元二次方程组的消元.

课后作业
【基础】 1.选择题: (1)已知关于 x 的方程 x 2+k x -2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( (A)-3 (B)3
2



(C)-2
2

(D)2 )

(2)关于 x 的一元二次方程 a x -5 x +a +a=0 的一个根是 0,则 a 的值是( (A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1

2.方程 2 x 2+2 x -1=0 的两根为 x1 和 x2 ,则| x1 - x2 |=.

3. (1) ?

?( x ? 3)2 ? y 2 ? 9, ? x ? 2 y ? 0;

(2) ?

? x 2 ? y 2 ? 4, ? 2 2 ? ? x ? y ? 2.

4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x 2-7 x -1=0 各根的相反数. 【巩固】 1.若关于 x 的方程 x 2+(k2-1) x +k+1=0 的两根互为相反数,则 k 的值为( (A)1,或-1 (B)1 (C)-1 (D)0 )

2.一元二次方程 a x 2+b x +c=0(a≠0)的两根为 x1 和 x2 .求: (1)| x1 - x2 |和 (2) x1 3+ x2 3. 3.关于 x 的方程 x 2+4 x +m=0 的两根为 x1 , x2 满足| x1 - x2 |=2,求实数 m 的值. 4.解方程 x ? 7 ? x ? 1

x1 ? x2 ; 2

9

【拔高】 1.选择题: (1)关于 x 的一元二次方程 a x 2-5 x +a2+a=0 的一个根是 0,则 a 的值是( (A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1 )

(2) 已知 a, b, c 是 ΔABC 的三边长, 那么方程 cx2+(a+b)x+ (A)没有实数根(B)有两个不相等的实数根 (C)有两个相等的实数根(D)有两个异号实数根

c =0 的根的情况是 ( 4



2.已知 x1 , x2 是关于 x 的一元二次方程 4k x 2-4k x +k+1=0 的两个实数根. (1)是否存在实数 k,使(2 x1 - x2 )( x1 -2 x2 )=- 存在,说明理由; (2)求使

3 成立?若存在,求出 k 的值;若不 2

x1 x2 ? -2 的值为整数的实数 k 的整数值; x2 x1
x1 ,试求 ? 的值. x2

(3)若 k=-2, ? ?

3. 若关于 x 的方程 x2+x+a=0 的一个大于 1、零一根小于 1,求实数 a 的取值范围. 4. 解关于 x 的三次方程: x3 ? 3x2 ? 4 ? 0 .

课后作业题解析与参考答案 【基础】 1. (1)【答案】C 【解析】 韦达定理的直接应用. (2)【答案】C 【解析】当 a=0 时,方程不是一元二次方程,不合题意. 2.【答案】 3 . 【解析】| x1 - x2 |=

? 带入可得. |a|

10

24 ? x ? , 2 ? ? x1 ? 0, ? 5 3.【答案】 (1) ? ? ? y1 ? 0, ? y ? ? 12 . 2 ? 5 ?
(2) ?

? x3 ? ? 3, ? ? ? x4 ? ? 3, ? x1 ? 3, ? ? x2 ? 3, ? ? ? ? ? y1 ? 1, ? ? y2 ? ?1, ? ? y4 ? ?1. ? y3 ? 1, ? ?

4. 【答案】y2+7y-1=0. 【解析】设已知方程的两根分别是 x1 和 x2,则所求的方程的两根分别是-x1 和-x2, ∵x1+x2=7,x1x2=-1,∴(-x1)+(-x2)=-7,(-x1)× (-x2)=x1x2=-1, ∴所求的方程为 y2+7y-1=0. 【巩固】 1.【答案】C 【解析】由于 k=1 时,方程为 x2+2=0,没有实数根,所以 k=-1. 2.【答案】(1)| x1-x2|=

b b2 ? 4ac x1 ? x2 3abc ? b3 , =? ;(2)x13+x23= . 2 2a a3 |a|

3.【答案】m=3. 【解析】∵| x1-x2|= 16 ? 4m ? 2 4 ? m ? 2 ,∴m=3.把 m=3 代入方程,Δ>0,满 足题意,∴m=3. 4. 【答案】 x ? 2 【解析】移项得: x ? 7 ? x ? 1 两边平方得: x ? 7 ? x 2 ? 2 x ? 1 移项,合并同类项得: x 2 ? x ? 6 ? 0 解得: x ? ?3 或 x ? 2 检验:把 x ? ?3 代入原方程,左边 ? 右边,所以 x ? ?3 是增根. 把 x ? 2 代入原方程,左边=右边,所以 x ? 2 是原方程的根. 所以,原方程的解是 x ? 2 .

11

【拔高】 1.【答案】(1)A (2)B 提示:∵a,b,c 是 ΔABC 的三边长,∴a+b>c,∴Δ=(a+b)2-c2>0. 2.【答案】(1)假设存在实数 k,使(2x1-x2)( x1-2 x2)=- ∵一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0 有两个实数根, ∴k≠0,且 Δ=16k2-16k(k+1)=-16k≥0,∴k<0. ∵x1+x2=1,x1x2=

3 成立. 2

k ?1 , 4k

∴ (2x1-x2)( x1-2 x2)=2 x12-51x2+2 x22 =2(x1+x2)2-9 x1x2=2- 即

3 9(k ? 1) =- , 2 4k

9 9(k ? 1) 7 = ,解得 k= ,与 k<0 相矛盾,所以,不存在实数 k,使(2x1 2 5 4k 3 成立. 2

-x2)( x1-2 x2)=-

(2)∵

x 2 ? x22 ( x ? x )2 ? 2 x1 x2 ( x ? x )2 x1 x2 ? -2= 1 ?2 ? 1 2 ?2 ? 1 2 ?4 x2 x1 x1 x2 x1 x2 x1 x2



4k 4k ? 4(k ? 1) 4 ?4 ? ?? , k ?1 k ?1 k ?1
∴要使

x1 x2 ? -2 的值为整数,只须 k+1 能整除 4.而 k 为整数, x2 x1
∴k+1 只能取± 1,± 2,± 4.又∵k<0,∴k+1<1,∴k+1 只能取-1,-2,

-4,∴k=-2,-3,-5. ∴能使

x1 x2 ? -2 的值为整数的实数 k 的整数值为-2,-3 和-5. x2 x1
1 ,② 8

(3)当 k=-2 时,x1+x2=1,①x1x2= ①2÷ ②,得

1 x1 x2 ? +2=8,即 ? ? ? 6 ,∴ ? 2 ? 6? ? 1 ? 0 , ? x2 x1

∴ ? ? 3? 2 2 .

12

3. 【答案】a<-2 【解析】设方程的两根为 x1,x2,则 x1+x2=-1,x1x2=a, 由一根大于 1、另一根小于 1,得 (x1-1)( x2-1)<0,即 x1x2-(x1+x2)+1<0, ∴a-(-1)+1<0,∴a<-2. 此时,Δ=12-4× (-2) >0, ∴实数 a 的取值范围是 a<-2. 4. 【答案】x=-1 或 x=2
3 2 2 【解析】 x0 ? x0 ? 4x0 ? 4 ? 0,? x2 ( x ? 1 ) ? 4( x ? 1 )( x ?1 ) ? 0,

(x+1)(x-2)2=0,解得 x=-1 或 x=2.

13


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