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2015年南通内部高考模拟试卷1


2015 年高考模拟试卷(1)
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . a ? bi 1.设 a, b ? R , ? 2 ? 3i ,其中 i 是虚数单位,则 a ? b ? 1? i . .

2.已知集合 P ? ?x x ? a? ,Q ? ? y y ? sin ? ,? ? R

? .若 P ? Q ,则实数 a 的取值范围是 3.为了了解一片经济林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木 的底部周长(单位: cm ),所得数据如图.则在这 100 株树木 中,底部周长不小于 100cm 的有 株.

r r r r r r r 4.设向量 a ? (1, m) , b ? (m ? 1,2) ,且 a ? b ,若 (a ? b) ? a ,
第 3 题图

则实数 m ?

. .
开始
a ? 5, S ? 1

5.如图所示的流程图的运行结果是

6.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使 BD ? a , 则三棱锥 D ? ABC 的体积为 .

a?4 S ? S ?a a ? a ?1

N
输出S 结束

7.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 9 , a4 ? a6 ? 2 . 当 Sn 取最大值时, n ? . .

Y

1 8.已知 ? ? ? ? ,且 cos 4? ? ,则 cos 4 ? ? sin 4 ? ? 4 4 5

?

?

第 5 题图

9.若在区间 ( ?1,1) 内任取实数 a ,在区间 (0,1) 内任取实数 b ,则直线 ax ? by ? 0 与圆
( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 相交的概率为

. .

? ? 1 10.设函数 f ( x) ? sin(2x ? ), x ?[? , a] 的值域是 [? ,1] ,则实数 a 的取值范围为 6 6 2

1 1 11.已知函数 f ( x) 满足:当 x ? ?1,3? 时, f ( x) ? ln x ,当 x ?[ ,1) 时, f (x) ?2 f ( ) .若在区间 3 x 1 [ ,3] 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? ax(a ? 0) 恰有一个零点,则实数 a 的取值范围是 3
12.设椭圆 C : .

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 和圆 O : x 2 ? y 2 ? b2 ,若椭圆 C 上存在点错误!未找到引 a 2 b2 用源。,使得过点 P 引圆 O 的两条切线,切点分别为 A 、 B ,满足 ?APB ? 60 ,则椭圆错误! 未找到引用源。的离心率的取值范围是 .
n n 3 3 13 .设数列 {an } 的通项公式为 an ? ( )n?1 ,则满足不等式 ? ? ? ai 的正整数 n 的集合 2 i ?1 ai i ?1

为 . 14.设函数 f ( x) ? 3x ? 3? x ? 2 x ,则满足 ( x ? 2) f (log 1 x) ? 0 的 x 的取值范围是
2



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 b tan A ? (2c ? b) tan B . (1)求角 A 的大小; uuu r uuu r (2)设 AD ? BC , D 为垂足,若 b ? 2 , c ? 3 ,求 AD ? AC 的值.

16. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? BC , G 为 PA 上一点. (1)求证:平面 PCD ? 平面 ABCD ; (2)若 PC ∥平面 BDG ,求证: G 为 PA 的中点. P
G

D

A

C

B

17. (本小题满分 14 分)如图,某城市有一条公路从正西方 AO 通过市中心 O 后转向东偏北 位于该市的某大学 M 与市中心 O 的距离 OM ? 3 ? 角方向的 OB .
13km , 且 ?AOM ? ? . 现

要修筑一条铁路 L,L 在 OA 上设一站 A ,在 OB 上设一站 B,铁路在 AB 部分为直线段,且 经过大学 M .其中 3 B tan ? ? 2 , cos ? ? , AO ? 15km . L 13 (1)求大学 M 与站 A 的距离 AM ; L (2)求铁路 AB 段的长 AB .
L M
?

?
O

A

3 x2 y 2 , 直线 y ? x ? 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? 2 2 a b 与以原点为圆心、椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 O 相切. (1)求椭圆 C 的方程; 1 (2) 设直线 x ? 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N , 以线段 MN 为直径作圆 D . 若圆 D 与 y 2 轴相交于不同的两点 A, B ,求 ?ABD 的面积; (3) 如图, A1 、 A2 、B1 、B2 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点, 直线 B2 P 交 x 轴于点 F , 直线 A1 B2 交 A2 P 于点 E . 设 A2 P 的斜率为 k ,EF 的斜率为 m , 求证: 2m ? k 为定值.

18. (本小题满分 16 分) 设椭圆 C :

y
B2

E

P
A1

O

A2

F x

B1
第 18 题图

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? ax 2 ? bx ,其中函数 y ? g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的 切线平行于 x 轴. (1)确定 a 与 b 的关系; (2)若 a ? 0 ,试讨论函数 g ( x) 的单调性; (3) 设斜率为 k 的直线与函数 y ? f ( x) 的图象交于两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) , 求证: 1 1 ?k? . x2 x1

20. (本小题满分 16 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 an ? Sn ? An 2 ? Bn ? C ( A ? 0, n ? N * ) . (1)当 C ? 1 时, ①设 bn ? an ? n ,若 a1 ? 数列; ②若数列 ?an ? 是等差数列,求
B ?1 的值; A
n 3 1 1 ? ? 1? 2 ? 2 , n ? 1 i ?1 ai ai ?1

3 9 , a2 ? .求实数 A, B 的值,并判定数列 ?bn ? 是否为等比 2 4

?? (2) 当 C ? 0 时, 若数列 ?an ? 是等差数列, 且 ?n ? N * , a1 ? 1 ,
求实数 ? 的取值范围.

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题 ............... 区域 .. 内作答 . ... A. (选修4-1:几何证明选讲) 如图,设 AB 、 CD 是圆 O 的两条弦,直线 AB 是线段 CD 的垂直平分线.已知 AB ? 6, CD ? 2 5 ,求线段 AC 的长度.
D A C B

B. (选修4-2:矩阵与变换) ?1 a ? 若点 A(2,1) 在矩阵 M ? ? ? 对应变换的作用下得到点 B(4,5) ,求矩阵 M 的逆矩阵. ?b ?1?

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)

? 3 ? 在极坐标系中,设圆 C 经过点 P ,圆心是直线 ? sin( ? ?) ? 与极轴的交点,求圆 ( 3, ) 3 2 6 C的 极坐标方程.

D. (选修4-5:不等式选讲) 设 a , b, c 均为正数, abc ? 1 .求证:

1 1 1 ? ? ? a? b? c. a b c

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 , an?1 ?

(3n ? 3)an ? 4n ? 6 , n ? N* . n

?a ? 2? (1)求证:数列 ? n ? 是等比数列; ? n ? 3n ?1 , n ? N * ,求证:当 n ? 2 , n ? N * 时, bn?1 ? bn? 2 ? (2)设 bn ? an ? 2

? b2n ?

4 1 . ? 5 2n ? 1

23. (本小题满分 10 分) 如图,已知点 F (0, p) ,直线 l : y ? ? p(其中p为常数且p ? 0) ,M 为平面内的动点,过 M uuu u r uuu r uuur uuu r 作 l 的垂线,垂足为 N ,且 NM ? NF ? FM ? FN . (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)设 Q 是 l 上的任意一点,过 Q 作轨迹 C 的切线,切点为 A 、 B . ①求证: A 、 Q 、 B 三点的横坐标成等差数列; y ②若 Q (?4, ? p ) , AB ? 20 ,求 p 的值. M

F
O

x
N

l

2015 年高考模拟试卷(1) 参考答案
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共 160 分)
一、填空题
2 3 15 a ; 7. 5 ; 8. ; 12 5 5 ? ? 1 1 1 9. ; 10. [ , ] ; 11. ( ,6ln 3] ; 【 解 析 】 当 x ?[ ,1) 时, ? (1, 3] ,由条件得, 16 6 2 e 3 x

1. 6 ; 2. [1, ??) ; 3. 70 ; 4. 1 ; 5. 20 ; 6.

1 1 f ( x) ? 2 f ( ) ? 2ln ? ?2ln x , 函 数 g ( x)? x x

f ( x? )

ax ( ?a 恰 0 )有 一 个 零 点

? 方程

f ( x) ? ax (a ? 0 有唯一解,在直角坐标系内分别作出 ) y ? f ( x) 与 y ? ax (a ? 0) 的图象,当

1 直线 y ? ax 经过点 ( , 2ln 3) 时, a ? 6 ln 3 6 ln 3 ,当直线 y ? ax 和曲线 f ( x) ? ln x 相切时,切 3 1 1 点为 (e,1) ,此时 a ? ,由图象可知,当 ? a ? 6ln 3 时,函数 y ? f ( x) 与 y ? ax (a ? 0) 的图 e e
象由唯一的交点. 12. [
3 ,1) ; 【解析】 在四边形 OAPB 中,?APB ? 60 ,?OAP ? ?OBP ? 90 ,OA ? OB ? b , 2 c 3 ? OP ? 2b ,由题意得, 2b ? a ,即 2 a 2 ? c2 ? a ,化解得 ? ,又在椭圆中 e ? 1 , a 2 3 3 ? ? e ? 1 . 13. {1,2,3}; 【解析】由于数列 {an } 的通项公式为 an ? ( )n?1 ,所以 2 2 1 3 3 2 数列 {an } 为等比数列, 首项为 a1 ? , 公比 q1 ? ; 数列 { } 也是等比数列, 首项为 , an 3 2 2

2 3 1 ?( ) n 1 ?( ) n n n n n 3 1 2 3 ? 2 ,解之得 公比 q2 ? .不等式 ? ? ? ai 等价于 3? ? ? ai ,即 3 ? 2 3 3 i ?1 ai i ?1 i ?1 ai i ?1 1? 1? 3 2 2 2 n ? ( ) ? 1 , n ? N ? , ?n 只 能 取 1, 2,3 . 14. (0,1) (2, ??) ;【 解 析 】 9 3 f ?( x) ? 3x ln 3 ? 3? x ln 3 ? 2 ? (3x ? 3? x )ln 3 ? 2 ? 2ln 3 ? 2 ? 0 ,? 函数 f ( x) 在 (??, ??) 上 x?2?0 x?2?0 ? ? ? ? 单调递增,且 f (0) ? 0 ,? ( x ? 2) f (log 1 x) ? 0 ? ?log x ? 0 或 ?log x ? 0 ,解得 x ? 2 或 1 1 2 ? ? ? 2 ? 2 0 ? x ? 1.
二、解答题 15. (1) b tan A ? (2c ? b) tan B , ? 由正弦定理,得 sin B ?

sin A sin B , ? (2sin C ? sin B) ? cos A cos B 又 在 ?ABC 中, sin B ? 0 , ? sin A cos B ? 2sin C cos A ? cos A sin B , 1 即 sin( A ? B) ? 2sin C cos A , 又 sin( A ? B) ? sin C ? 0 , ? cos A ? , 2

0 ? A ? ? ,? A ?

?

3



(2) 由余弦定理, a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,
?a ? 7 ,
? AD ?

, 3 3 1 1 , BC ? AD ? AB ? AC ? sin A ,即 7 ? AD ? 3 ? 2 ? 2 2 2

b ? 2 ,c ? 3 , A?

?

2 3 21 , ? AD ? AC ? AD ? AC cos ?CAD ? AD ? 27 . 7 7

16.(1) 底面 ABCD 为矩形,? BC ? CD ,又 PD ? BC , CD, PD ? 平面PCD , PD CD ? D , ? BC ? 平面 PCD , 又 BC ? 平面ABCD , ? 平面 ABCD ? 平面 PCD ; PC / / 平面 BDG , (2)连接 AC ,交 BD 于 O ,连接 GO , 平面 PCA 平面 BDG ? GO , ? PC / / GO , PG CO , 底面 ABCD 为矩形, ? O 是 AC 的中点,即 CO ? OA , ? ? GA OA ? PG ? GA , ? G 为 PA 的中点. 3 17. (1)在 ?AOM 中, AO ? 15 , ?AOM ? ? 且 cos ? ? , OM ? 3 13 , 13 由余弦定理得, AM 2 ? OA2 ? OM 2 ? 2OA ? OM ? cos ?AOM 3 ? (3 13) 2 ? 152 ? 2 ? 3 13 ? 15 ? 13 ? 13 ? 9 ? 15 ?15 ? 2 ? 3 ?15 ? 3

? 72. ? AM ? 6 2 ,即大学 M 与站 A 的距离 AM 为 6 2km ; 3 2 (2) cos ? ? ,且 ? 为锐角,? sin ? ? , 13 13 AM OM ? 在 ?AOM 中,由正弦定理得, , sin ? sin ?MAO
2 6 2 3 13 ? ,? sin ?MAO ? ,??MAO ? , ? 2 2 sin ?MAO 4 13 2 1 ? tan ? ? 2 ,? sin ? ? , cos ? ? , ??ABO ? ? ? , 4 5 5 ? 1 ?A ? ?O ?? ? sin ?ABO ? sin(? ? ) ? , 又 4 10 2 ? sin ?AOB ? sin(? ? ? ) ? , 5 AB AO 在 ?AOB 中, AO ? 15 , 由正弦定理得, , ? sin ?AOB sin ?ABO AB 15 即 ,? AB ? 30 2 ,即铁路 AB 段的长 AB 为 30 2km . ? 2 1 5 10



B ,

18. (1)圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ? b2 ,
? 2

直线 y ? x ? 2 与圆 O 相切,

3 b2 3 , ? 1? 2 ? , 2 a 2 2 x2 ? a ? 2 , ? 椭圆 C 的方程为 ? y2 ? 1 ; 4

? b ,即 b ? 1 ,又 e ?

1 15 1 ), N ( , ? (2)由题意,可得 M ( , 2 4 2 15 ,? AB ? 2 ? 圆 D 的半径 r ? 4

15 ), 4 15 1 11 ? ? , 16 4 2

1 11 1 11 ? ? ? ; 2 2 2 8 (3)由题意可知 A1 (?2,0), A2 (2,0), B1 (0, ?1), B2 (0,1) ,

? ?ABD 的面积为 S ?

A2 P 的斜率为 k ,? 直线 A2 P 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,
? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 ,得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 , 2 ? y ? 1 ? ?4 8k 2 ? 2 8k 2 ? 2 ?4k 其中 xA ? 2 ,? xP ? ,? P( , ), 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 2k ? 1 x ?1, 则直线 B2 P 的方程为 y ? ? ( 2 2k ? 1)

令 y ? 0 ,则 x ?

2(2k ? 1) 2(2k ? 1) , 即 F( ,0) , 2k ? 1 2k ? 1 直线 A1 B2 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,

4k ? 2 ? x? ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 4k ? 2 4k ? 2k ? 1 由? ,解得 ? ,? E ( , ), 2k ? 1 2k ? 1 ? y ? k ( x ? 2) ? y ? 4k ? 2k ? 1 ? 4k ? 2k ? 1 2 k ?1 , ? ? EF 的斜率 m ? 2(2k ? 1) 4k ? 2 4 ? 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 1 . ? 2m ? k ? 2 ? ? k ? (定值) 4 2 1 19. (1) g ( x) ? f ( x) ? ax 2 ? bx ? ln x ? ax 2 ? bx , ? g ?( x) ? ? 2ax ? b , x 由题意得 g ?(1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 , ? b ? ?2a ? 1 ; 1 1 (2ax ? 1)( x ? 1) (2) g ?( x) ? ? 2ax ? b ? ? 2ax ? 2a ? 1 ? ( x ? 0) , x x x ?( x ? 1) ①当 a ? 0 时, g ?( x) ? ( x ? 0) , x 当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,? 函数 g ( x) 在 (1, ??) 单调减; 当 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,? 函数 g ( x) 在 (0,1) 单调增; 1 2a( x ? )( x ? 1) 1 1 2a ②当 0 ? a ? 时,即 ? 1 , g ?( x) ? ( x ? 0) , x 2 2a 1 ? 函数 g ( x) 在 (1, ) 上单调减; 2a 1 函数 g ( x) 在 ( , ??) 和 (0,1) 单调增; 2a 1 ( x ? 1) 2 ③当 a ? 时,即 2 a ? 1 , g ?( x) ? ? 0( x ? 0) , x 2 ? 函数 g ( x) 在 (0, ??) 单调增;

1 2a( x ? )( x ? 1) 1 1 2a ④当 a ? 时.即 ? 1 , g ?( x) ? ( x ? 0) , x 2 2a 1 ? 函数 g ( x) 在 ( ,1) 单调减区间; 2a 1 函数 g ( x) 在 (1, ??) 和 (0, ) 单调增; 2a (3)由题设 x2 ? x1 ? 0 , 1 1 1 ln x2 ? ln x1 1 ? ?k? ? ? ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 ? x 1 x ?x 1 ? ? ln x2 ? ln x1 ? 2 x2 x1 x x 1 ?1? ? ln 2 ? 2 ? 1 ① x2 x1 x1 x1 1 1? x 令 h( x) ? ln x ? x ? 1( x ? 1) ,则 h?( x) ? ? 1 ? ( x ? 1) , x x ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 , ? 函数 g ( x) 在 (1, ??) 是减函数, 而 h(1) ? 0 ,? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 x x x x x x x2 ? x1 ? 0 ,? 2 ? 1 , ? h( 2 ) ? ln 2 ? 2 ? 1 ? 0 ,即 ln 2 ? 2 ? 1 , ② x1 x1 x1 x1 x1 x1 1 1 1 x ?1 令 H ( x) ? ln x ? ? 1( x ? 1) ,则 H ?( x) ? ? 2 ? 2 ( x ? 1) , x x x x ? x ? 1 时, H ?( x) ? 0 , ? H ( x) 在 (1, ??) 是增函数, x x 1 ? x ? 1 时, H ( x) ? H (1) ? 0 , ? H ( 2 ) ? ln 2 ? ?1 ? 0, x x1 x1 2 x1 x 1 1 1 即1 ? ? ln 2 ③由①②③得 ? k ? . x2 x2 x1 x1 x1

20.(1) C ? 1 ,? an ? Sn ? An 2 ? Bn ? 1 , ① 令 n ? 1 ,可得 2a1 ? A ? B ? 1 ,即 A ? B ? 2 , 令 n ? 2 ,可得 a1 ? 2a2 ? 4 A ? 2 B ? 1 ,即 4 A ? 2 B ? 5 , 1 3 1 3 ① ? A ? , B ? ,? an ? Sn ? n2 ? n ? 1 , 2 2 2 2 1 3 当 n ? 2 时,? an?1 ? Sn?1 ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? 1 , ② 2 2 ①-②,得 2an ? an?1 ? n ? 1 (n ? 2) , 1 1 ? an ? n ? [an?1 ? (n ? 1)] ,即 bn ? bn ?1 , 2 2 1 又 b1 ? a1 ? 1 ? ? 0 , bn ? 0 , 2 bn 1 ? ? , ? 数列 ?bn ? 是等比数列; bn ?1 2 ② 数列 ?an ? 是等差数列,

? 设 an ? a1 ? (n ? 1)d , Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d, 2

an ? Sn ? An 2 ? Bn ? 1 , d d ? n2 ? (a1 ? )n ? a1 ? d ? An2 ? Bn ? 1 , n ? N * 2 2 d ? ?A ? 2 ? d ? ? ? B ? a1 ? , 2 ? ? a1 ? d ? 1 ? ? d d d a ? ? 1 a1 ? 1 ? d? B ?1 1 2 2 ? 2 ? 3; ? ? ? d d d A 2 2 2 2 (2)当 C ? 0 时, an ? Sn ? An ? Bn

数列 ?an ? 是等差数列, a1 ? 1 ,

? an ? 1 ? (n ? 1)d , Sn ? n ?

n(n ? 1) d, 2

d d ? n2 ? (1 ? )n ? 1 ? d ? An2 ? Bn , 2 2 ? d ? 1 ,? an ? n ,
1?
n

1 1 1 1 n(n ? 1) ? 1 1 1 ? 2 ? 1? 2 ? ? ?1? ? , 2 2 an an ?1 n (n ? 1) n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 ? 2 ? n ?1? , 2 ai ai ?1 n ?1

?? 1 ?
i ?1

?? ?

n 3 1 1 3 1 ? ? 1? 2 ? 2 ? ? ? ? n ?1? , n ? 1 i ?1 ai ai ?1 n ?1 n ?1

2 2 , ??n ? N * , ? ? n ? 1 ? , n ?1 n ?1 2 2 x2 ? 2 令 f ( x) ? x ? , f ?( x) ? 1 ? 2 ? 2 , x x x 当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , ? f ( x) 在 [2, ??) 上是增函数,而 n ? 1 ? 2 , 2 ? (n ? 1 ? )min ? 3 , ? ? ? 3 . n ?1
即 ? ? n ?1?

第Ⅱ卷(附加题,共40分)
21. A.连接BC, AB , CD 相交于点 E .因为AB是线段CD的垂直平分线, 所以 AB 是圆的直径,∠ACB=90° .设 AE ? x ,则 EB ? 6 ? x ,由射影定理得 CE2=AE·EB,又 CE ? 5 ,即有 x(6 ? x) ? 5 ,解得 x ? 1 (舍)或 x ? 5 所以,AC2=AE·AB=5×6=30, AC ? 30 . B. M ? ? ? ? ? ,即 ? ? ? ? ? , ? ?2b ? 1 ? 5. ?1 ? ? 5 ? ? 2b ? 1? ? 5 ? ?
? ?1 ? 1 2 ?1 ? ?7 , M ? ? ?7 解法一:? det( M ) ? 3 ?1 ? ?3 ? ? ?7
?2? ?4? ?2?a? ? 4? ?2 ? a ? 4,

解得 ?

? a ? 2, ?1 2 ? ,? M ? ? ?, ?b ? 3. ?3 ?1?

?2 ? ? 1 ?7 ? ? 7 ??? 1 ? ?3 ?7 ? ? ? ?7

2 ? 7 ?. ? 1 ? ? 7? ?

?c d ? ? c ? 3d ?1 0 ? 解法二:设 M ?1 ? ? ,由 M ?1M ? ? ,得 ? ? ? ?0 1 ? ?e f ? ?e ? 3 f
1 ? ?c ? 7 , ? ?1 ?d ? 2 , ?7 ? 7 解得 ? ? M ?1 ? ? ?3 ?e ? 3 , ? ? 7 ?7 ? 1 ?f ?? . 7 ?

2c ? d ? ?1 0? ?? ? 2e ? f ? ? ?0 1 ?

?c ? 3d ?e ? 3 f ? ?? ? 2c ? d ? ? 2e ? f

? 1, ? 0, ? 0, ? 1.

2 ? 7 ? ?. 1? ? 7? ?

? 2? C.因为圆心为直线 ? sin( ? ? ) ? sin 与极轴的交点,所以令 ? ? 0 ,得 ? ? 1 ,即圆心是 3 3 (1,0) ,
又圆 C 经过点 P , ? 圆的半径 r ? 3 ? 1 ? 2 3 cos ( 3, )

?

?
6

? 圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos? .
(说明:化为普通方程去完成给相应的分数) 1 1 2 1 1 2 1 1 2 D.由 a , b, c 为正数,根据平均值不等式,得 ? ? , ? ? , ? ? . a b b c a c ab bc ac 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 将此三式相加, 得 2( ? ? ) ? , 即 ? ? ? . a b c a b c ab bc ac ab bc ac 由 abc ? 1 ,则有 abc ? 1 .所以, 22.(1)令 cn ?
1 1 1 abc abc abc ? ? ? ? ? ? a? b? c. a b c ab bc ac

6

? 1 ,? 圆过原点,

an ? 2 , n (3n ? 3)an ? 4n ? 6 ?2 an ?1 ? 2 (3n ? 3)(an ? 2) a ?2 n 则 cn ?1 ? ? ? ?3 n ? 3cn , n ?1 n ?1 n(n ? 1) n c c1 ? a1 ? 2 ? 1 ? 0 ,? cn ? 0 ,? n ?1 ? 3 , cn

?a ? 2? ? 数列 ?cn ? ,即 ? n ? 是等比数列; ? n ? a ?2 3n ?1 1 ? , (2)由(1)得 n ? 3n ?1 ,? an ? n ? 3n?1 ? 2 ,? bn ? an ? 2 n n

4 1 . ? 5 2n ? 1 1 1 7 4 1 3 7 3 ①当 n ? 2 时,不等式的左边 ? b3 ? b4 ? ? ? ,右边 ? ? ? ,而 ? , 3 4 12 5 5 5 12 5 ? n ? 2 时,不等式成立; 4 1 ②假设当 n ? k (k ? 2) 时,不等式成立,即 bk ?1 ? bk ? 2 ? ? b2k ? ? ; 5 2k ? 1 当 n ? k ? 1 时,bk ?1?1 ? bk ?1?2 ? ? b2( k ?1) ? (bk ?1 ? bk ?2 ? ? b2 k ) ? (b2 k ?1 ? b2 k ?2 ? bk ?1 )
下面用数学归纳法证明当 n ? 2 , n ? N * 时, bn?1 ? bn? 2 ?

? b2n ?

?

4 1 1 1 1 ? ? ? ? 5 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1

4 1 1 ? ? 5 2k ? 2 k ? 1 4 1 ? ? 5 2( k ? 1) 4 1 ? ? 5 2( k ? 1) ? 1 ?

? 当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①②可得,
当 n ? 2 , n ? N * 时, bn?1 ? bn? 2 ?

? b2n ?

4 1 . ? 5 2n ? 1

23. (1)设 M ( x, y ) ,则 N ( x, ? p) ,? NM ? (0, y ? p) ,

NF ? (? x,2 p) , FM ? ( x, y ? p) , FN ? ( x, ?2 p) ,
NM ? NF ? FM ? FN ,? 2 p( y ? p) ? x2 ? 2 p( y ? p) ,

? x2 ? 4 py ,即动点 M 的轨迹 C 的方程为 x2 ? 4 py ;

另解:设 M ( x, y ) ,则 N ( x, ? p) , NM ? NF ? FM ? FN ,? NF ? (MN ? MF ) ? 0 , ? 以 MN , MF 为邻边的平行四边形是菱形,? MF ? MN ,

? x2 ? ( y ? p)2 ? y ? p ,? x2 ? 4 py ,
即动点 M 的轨迹 C 的方程为 x2 ? 4 py ; (2)① 设 Q( x0 , ? p) , A( x1 , 切线 QA 的方程 y ?
?? p ? x12 x2 ) , B ( x2 , 2 ) ,则 4p 4p

x12 x ? 1 ( x ? x1 ,) , 4p 2p

x12 x ? 1 ( x0 ? x1 ) ,? x12 ? 2x0 x1 ? 4 p2 ? 0 , ① 4p 2p

同理? x22 ? 2 x0 x2 ? 4 p2 ? 0 , ② 方法 1:①②得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? 2 x0 ) ? 0 ,
x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 2 x0 ? 0 ,? x1 ? x2 ? 2x0 , 即 A 、 Q 、 B 三点的横坐标成等差数列.

方法 2:由①②得 x1 , x2 是方程 x2 ? 2 x0 x ? 4 p2 ? 0 的两根, ? x1 ? x2 ? 2x0 ,即 A 、 Q 、 B 三点的横坐标成等差数列.
? x ? x ? 2 x0 ② 由①②得 x1 , x2 是方程 x2 ? 2 x0 x ? 4 p2 ? 0 的两根,? ? 1 2 , 2 ? x1 ? x2 ? ?4 p ? x ? x2 ? ?8 Q(? 4 ? ,p , ) ?? 1 , 2 ? x1 ? x2 ? ?4 p
AB ? 20 ,? ( x1 ? x2 )2 ? (

x12 x2 2 2 ? ) ? 20 , 4p 4p

? ( x1 ? x2 )2 [1 ?

( x1 ? x2 )2 4 ] ? 20 ,? (64 ? 16 p 2 )(1 ? 2 ) ? 20 , 2 p 16 p

? p4 ? 17 p2 ? 16 ? 0 ,? p ? 1 或 p ? 4 .


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