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简单线性规划问题的实际应用


3.3.4 简单线性规划问题的实际应用

1.从实际情境中抽象出简单的线性规划问题,建立数学模型. 2.掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的 实际问题. 线性规划的理论和方法主要用于解决以下两类问题:一是在 人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最 多的任务;二是给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少 的人力、财力、物力、资金

等资源来完成该项任务.

线性规划解应用题的一般步骤. x,y,z (1)设出____________; 约束条件 目标函数 (2)列出________,确定________; 可行域 (3)画出________; (4)作目标函数表示的一族平行直线,使其中某条直线与

可行域 ________有交点,且使其截距最大或最小;
最优解 最值 (5)判断________,求出目标函数的______,并回到原问题 中作答.

练习1:有5 辆 6 吨的汽车,4 辆 4 吨的汽车,要运送最多

z=6x+4y 的货物,完成这项运输任务的线性目标函数为___________.

? x≥1, 练习2:已知变量 x,y 满足? y≤2, ? x-y≤0,
值是( C ) A.4 B.3 D.1

则 x+y 的最小

C.2

1.简单线性规划在实际生产生活中主要解决哪些问题? 答案:简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛, 主要解决的问题是:在资源的限制下,如何使用资源来完成最 多的生产任务;或是给定一项任务,如何合理安排和规划,能 以最少的资源来完成如常见的任务安排问题、配料问题、下料

问题、布局问题、库存问题,通常解法是将实际问题转化为数
学模型,归结为线性规划,使用图解法解决.

2.应用线性规划的图解方法,应具备哪些条件? 答案:线性规划问题一般用图解法,其步骤如下:

(1)根据题意,设出变量 x,y;
(2)找出线性约束条件; (3)确定线性目标函数 z=f(x,y); (4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域); (5)利用线性目标函数作平行直线系 f(x,y)=t(t 为参数); (6)观察图形,找到直线 f(x,y)=t 在可行域上使 t 取得欲求 最值的位置,以确定最优解,给出答案.

题型1

资源配置问题

例1:某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志 ——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该厂 所用的主要原料为 A,B 两种贵重金属,已知生产一套奥运会标志 需用原料 A 和原料 B 的量分别为 4 盒和 3 盒,生产一套奥运会吉 祥物需用原料 A 和原料 B 的量分别为 5 盒和 10 盒.若奥运会标志 每套可获利 700 元,奥运会吉祥物每套可获利 1 200 元,该厂月初 一次性购进原料 A,B 的量分别为 200 盒和 300 盒.问该厂生产奥 运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大,最大 利润为多少?

思维突破:将文字语言转化为数学式子建立线性规划模型. 自主解答:设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分 别为 x,y 套,月利润为 z 元,由题意,得
?4x+5y≤200, ? ?3x+10y≤300, ? ?x≥0, ?y≥0. ?

(x,y∈N)

目标函数为 z=700x+1 200y. 作出可行域如图 D24 所示 7 z 目标函数可变形为 y=-12x+1 200,

图 D24

4 7 3 ∵-5<-12<-10, 7 z z ∴当直线 y=-12x+1 200通过图中的点 A 时,1 200最大, 这时 z 最大.
?4x+5y=200, ? 解? ?3x+10y=300, ?

得点 A 的坐标为(20,24).

将点 A(20,24)代入 z=700x+1 200y, 得 zmax=700×20+1 200×24=42 800 元 答:当该厂生产奥运会标志和吉祥物分别为 20,24 套时,

月利润最大,最大利润为 42 800 元.

解线性规划应用题时,先转化为简单的线性规

划问题,再按如下步骤完成:①作图:画出约束条件所确定的
平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线 l;②平

移:将直线 l 平行移动,以确定最优解的对应点 A 的位置;③
求值:解有关方程组求出点 A 坐标(即最优解),代入目标函数,

即可求出最值.

【变式与拓展】 1.某糖果厂生产 A,B 两种糖果,A 种糖果每箱获利润 40 元,B 种糖果每箱获利润 50 元,其生产过程分为混合、烹调、 包装三道工序,下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单 位:分钟).

混合

烹调

包装

A 1 5 3 B 2 4 1 每种糖果的生产过程中,混合的设备至多能用 12 小时,烹
调的设备至多只能用机 30 小时,包装的设备只能用 15 小时,

试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润.

解:设生产 A 种糖果 x 箱,B 种糖果 y 箱,可获得利润 z ?x+2y≤720, ? ?5x+4y≤1 800, ? 元,则此问题的数学模式在约束条件?3x+y≤900, ? ?x≥0, ?y≥0 ?
求目标函数 z=40x+50y 的最大值, 作出可行域(如图 D28),其边界 OA:y=0,

下,

AB:3x+y-900=0,BC:5x+4y-1 800=0,

图 D28

CD:x+2y-720=0,DO:x=0.

4 z 4 由 z=40x+50y,得 y=- 5x+50 ,它表示斜率为- 5,截 z z 距为50的平行直线系,50越大,z 越大,从而可知:过点 C 时 截距最大,z 取得了最大值.
?x+2y=720, ? 解方程组? ?5x+4y=1 800 ?

得 C(120,300).

∴zmax=40×120+50×300=19 800. 即生产 A 种糖果 120 箱,生产 B 种糖果 300 箱,可得最大利润 19 800 元.

题型2

降低资源消耗问题

例2:某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品 A,B,C, 每消耗一吨燃料与产品 A,B,C 有下列关系: 产品 原料 燃料甲/吨 燃料乙/吨 产品 A 10 5 产品 B 7 9 产品 C 5 13

现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为 2∶3,现需要三种
产品 A,B,C 各 50 吨,63 吨,65 吨.问如何使用两种燃料,

才能使该厂成本最低?

思维突破:由于该厂成本与两种燃料使用量有关,而产品

A,B,C 又与这两种燃料有关,且这三种产品的产量也有限制,
因此这是一道求线性目标函数在线性约束条件下的最小值问 题,这类简单的线性规划问题一般都可以利用二元一次不等式 组求在可行域上的最优解. 自主解答:设该厂使用燃料甲 x 吨,燃料乙 y 吨,甲每吨 2t 元,则乙每吨为 3t 元. 则成本为 z=2tx+3ty=t(2x+3y).因此只需求 2x+3y 的最 小值即可.

? 10x+5y≥50, 又由题意,可得 x,y 满足条件 ? 7x+9y≥63, ? 5x+13y≥65.
作出不等式组所表示的平面区域(如图 D25).

图 D25

?10x+5y=50, ? 由? ?7x+9y=6, ? ?7x+9y=63, ? 由? ?5x+13y=65, ?

得 得

?27 56? A?11,11?, ? ? ?117 B? 23 ?

70? , 23?. ?

作直线 l:2x+3y=0,把直线 l 向右上方平移至可行域中 的点 B 时, 117 70 444 z=2x+3y=2× 23 +3×23= 23 . 444 ∴最小成本为 23 t. 117 70 答:应用燃料甲 23 吨,燃料乙23吨,才能使成本最低.

【变式与拓展】 2.医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐,甲种 原料每 10 g 含 5 个单位蛋白质和 10 个单位铁质,售价 3 元; 乙种原料每 10 g 含 7 个单位蛋白质和 4 个单位铁质,售价 2 元.

若病人每餐至少需要 35 个单位蛋白质和 40 个单位铁质.试问:
应如何使用甲、乙原料,才能既满足营养,又使费用最省?

解:设甲、乙两种原料分别用 10x g 和 10y g, ?5x+7y≥35, ? ?10x+4y≥40, 总费用为 z,则? ?x≥0, ?y≥0, ?

目标函数为 z=3x+2y,作出可行域如图 D29. 3 z 3 把 z=3x+2y 变形为 y=-2x+2,得到斜率为-2,在 y 轴 z 上的截距为2,随 z 的变化而运动的一组平行直线.

图 D29

3 z z 由图可知:当直线 y=-2x+2经过点 A 时,截距2最小, 即 z 最小.
?5x+7y=35, ? 由? ?10x+4y=40, ?



?14 ? A? 5 ,3?, ? ?

14 72 ∴zmin=3× 5 +2×3= 5 . 14 ∴当甲种原料 5 ×10=28(g),乙种原料 3×10=30(g)时, 费用最省.

题型3

整数解处理

例3:某公司每天至少要运送 180 t 货物.公司有 8 辆载重
为 6 t 的 A 型卡车和 4 辆载重为 10 t 的 B 型卡车,A 型卡车每天 可往返 4 次,B 型卡车可往返 3 次,A 型卡车每天花费 320 元,

B 型卡车每天花费 504 元,问如何调配车辆才能使公司每天花
费最少. 思维突破:设A型卡车x 辆,B 型卡车y 辆.问题转化为 线性规划问题.同时应注意到题中的x,y只能取整数.

自主解答:设 A 型卡车 x 辆,B 型卡车 y 辆,则 0≤x≤8, ? ? 0≤y≤4, ? 24x+30y≥180, 0≤x≤8, ? 即? 0≤y≤4, ? 4x+5y≥30,

目标函数 z=320x+504y.作如图 D26 所示的可行域,

图 D26

做直线 l′:320x+504y=0.在可行域中打上网格,找出(8 , 0),(8 , 1),(8 , 2),(7 , 1),(7 , 2),(7 , 3),?等整数点.作直 线 l:320x+504y=t 与直线 l′平行,可见当直线 l 过点(8, 0) 时,t 最小,即 zmin=8×320=2 560(元). 根据已知条件写出不等式组是做题的第一步;

第二步画出可行域;第三步找出最优解.其中最困难的是第二
步. 整数解的线性规划问题.如果取最小值时不是整数点,则 考虑此点附近的整数点.

例4:某沙漠地带,考察车每天行驶 200 千米,每辆考察

车可以装载供行驶 14 天的汽油.现有 5 辆考察车,同时从驻地

A 出发,计划完成任务后,再沿原路返回驻地,为了让其中 3
辆车尽可能向更远的地方进行考察(然后再一起返回),甲、乙 两车行至 B 处后,仅留足自己返回驻所必需的汽油,将多余的 汽油供给另外 3 辆使用,问:其他 3 辆可以行进的最远路是多 少千米?

试解:设考察行至B 处用了x天,从B处到最远处用了y 天,则有 2[3(x+y)+2x]≤14×5, 即 5x+3y≤35,且 x>0,y>0. 同时从其余 3 辆车的载油量考虑, 14×5-(5+2)x≤14×3,即 x≥4. 5x+3y≤35, ? 于是问题转化为在约束条件 x≥4, ? 下求 z=x+y ?y>0 的最大值.

作可行域(如图 D27),则 M(4,5),

图 D27
作直线 l:x+y=0,向右平移过点 M 时,zmax=9. ∴最远路程为 200×(4+5)=1 800(千米). 易错点评:对线性的约束条件考虑不清不全,没考虑甲、 乙两车供油后,自己还须返回这一条件,导致约束条件出错.

1.线性规划的两类重要实际问题的解题思路: (1)应准确建立数学模型,即根据题意找出约束条件,确定 线性目标函数.

(2)用图解法求得数学模型的解,即画出可行域,在可行域
内求得使目标函数取最值的解. (3)还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的

解,即结合实际情况求得最优解.

2.应用线性规划处理实际问题时应注意的问题: (1)在求解实际问题时,除严格遵循线性规划求目标函数最 值的方法外,还应考虑实际意义的约束,要认真解读题意,仔

细推敲并挖掘相关条件,同时还应具备批判性检验思维,以保
证解决问题的准确和完美. (2)在处理实际问题时,x≥0,y≥0 常被忽略,在解题中应 注意. (3)在求解最优解时,一般采用图解法求解.


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