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2011届高三数学解析几何初步


第八章 解析几何初步(必修2)

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考纲解读
1.直线与方程 (1)在平面直角坐标系中,结合具体 图形,掌握确定直线位置的几何要素. (2)理解直线的倾斜角和斜率的概 念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. (3)能根据两条直线的斜率判定这两 条直线平行或垂直.

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考纲解读<

br />(4)掌握确定直线位置的几何要素,掌 握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及 一般式),了解斜截式与一次函数的关系. (5)能用解方程组的方法求两条相交直 线的交点坐标. (6)掌握两点间的距离公式、点到直线 的距离公式,会求两条平行直线间的距 离.

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考纲解读
2.圆与方程 (1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的 标准方程与一般方程. (2)能根据所给定直线、圆的方程,判 断直线与圆的位置关系;能根据所给定两 个圆的方程,判断两圆的位置关系. (3)能用直线和圆的方程解决一些简单 的问题. (4)初步了解用代数方法处理几何问题 的思想.

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命题探究
1.对于直线的考查,主要考查直线的方 程,直线的斜率、倾斜角,两点间距离公 式、点到直线的距离公式、两直线的垂直、 平行关系等知识,都属于基本要求,多以选 择题、填空题形式出现,一般涉及两个以上 的知识点,这些仍是今后高考考查的热点.

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命题探究
2.对于圆的考查,主要考查圆的方程 求法,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置 关系,题型既有选择题、填空题,也有解答 题,既考查基础知识的应用能力,又考查综 合运用知识分析问题、解决问题的能力.

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命题探究
3.预计2011年高考对本章考查形式有 两种:一是直接考查,以选择题、填空题的 形式出现,主要考查直线的倾斜角、斜率、 直线方程、两条直线的位置关系、点到直线 的距离等;二是间接考查,也就是和圆、圆 锥曲线的内容综合起来,主要考查直线与 圆、圆锥曲线的位置关系,一般为中档题.

第1课时 直线及其方程

基础知识梳理
1.直线的倾斜角与斜率 (1)x轴的正方向与直线向上的方 向之间所成的角叫做直线的倾斜 角.我们规定直线与x轴平行或重合 时的倾斜角为零度角,倾斜角的范围 是 0°≤α<180° .

演 稿

示 1



2 3 后 等

, http://www.aiyousheng.com/10078/ 麻衣神算子最新章节 华疴夻

基础知识梳理
(2)斜率与倾斜角的关系:当一 条直线的倾斜角为α时,斜率可以 表示为 k=tanα,其中倾斜角α应满 足的条件是 α≠90° .

基础知识梳理
2.直线的斜率公式 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2) y2-y1 的直线的斜率公式是k= x2-x1 .

基础知识梳理
3.直线方程的几种形式
已知条件 (x1,y1)为直 点斜式 y-y1=k(x-x1) 线上一定 点,k为斜率 k为斜率,b y=kx+b 是直线在y轴 斜截式 上的截距 名称 方程的形式 局限性
不包括垂直 于x轴的直线

不包括垂直 于x轴的直线

基础知识梳理
名称 方程的形式 已知条件 局限性
y-y1 x-x1 = 两点式 y2-y1 x2-x1 (x1≠x2 且 y1≠y2)
x y + =1 a b

(x1,y1),(x2, 不包括垂直于x y2)是直线上两定 轴和y轴的直线 点

截距式

一般式

Ax+By+C= 0(A2+B2≠0)

a是直线在x轴上 不包括垂直于x 的非零截距,b 轴和y轴或过原 是直线在y轴上 点的直线 的非零截距 无限制,可表示 A,B,C为系数 任何位置的直线

基础知识梳理
过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直 线是否一定可用两点式方程表示? 【思考·提示】 不一定.(1)若 x1=x2且y1≠y2,直线垂直于x轴,方 程为x=x1. (2)若x1≠x2且y1=y2,直线垂直于 y轴,方程为y=y1. (3)若x1≠x2且y1≠y2,直线方程可 用两点式表示.

三基能力强化
1.已知m≠0,则过点(1,-1)的 直线ax+3my+2a=0的斜率为( )
1 A. 3 C. 3 答案:B 1 B.- 3 D.-3

三基能力强化
2.已知点A(1,2)、B(3,1),则线 段AB的垂直平分线方程是( ) A.4x+2y=5 B.4x-2y=5 C.x+2y=5 D.x-2y=5 答案:B

三基能力强化
3.下列四个命题中,假命题是( ) A.经过定点P(x0,y0)的直线不一定 都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示 B.经过两个不同的点P1(x1,y1)、 P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2- x1)=(x-x1)(y2-y1)来表示

三基能力强化
C .与两条坐标轴都相交的直 x y 线不一定可以用方程 + =1 表示 a b D.经过点 Q(0, b)的直线都可 以表示为 y=kx+b

答案:D

三基能力强化
4.(2009年高考安徽卷改编)直线l 过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0平 行,则l的方程是________. 答案:2x-3y+8=0

三基能力强化
5.(教材习题改编)一条直线经过点 A(2, 1 -3), 并且它的倾斜角等于直线 y= x 的倾 3 斜角的 2 倍, 则这条直线的方程是________.

答案: 3x-y-2 3-3=0

课堂互动讲练
考点一 直线的倾斜角和斜率

1.直线的倾斜角与斜率的关系
π 倾斜角 0 ( ,π) 2 (-∞, 取值 0 (0, +∞) 不存在 0) 斜率 增减性 递增 递增 π (0, ) 2 π 2

课堂互动讲练
2.求斜率的一般方法 (1)已知直线上两点,根据斜率公式 y2-y1 k= (x1≠x2)求斜率. x2-x1

(2)已知直线的倾斜角α或α的某种三 角函数值根据k=tanα来求斜率.

课堂互动讲练
3.利用斜率证明三点共线的方法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3, y3),若x1=x2=x3或kAB=kAC,则有A、 B、C三点共线. 提醒:斜率变化分两段,90°是分 界线,遇到斜率要谨记,存在与否需讨 论.

课堂互动讲练
例1 已知两点A(-1,-5)、B(3,-2), 直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半, 求l的斜率.

【思路点拨】 先用斜率公式求 出直线AB的斜率,然后利用三角函数 公式求直线l的斜率.

课堂互动讲练
【解】 法一:设直线l的倾斜角为α, 则直线AB的倾斜角为2α,由题意知
-2- (-5) 3 tan2α=kAB= = . 3- (- 1) 4 2tanα 3 2 ∴ = ,整理得 3tan α+ 2 1- tan α 4 8tanα-3= 0,

课堂互动讲练
1 解得 tanα= ,或 tanα=-3. 3 3 又∵tan2α= >0, 4 ∴0° <2α<90° ,0° <α<45° . 1 ∴tanα>0,∴tanα= . 3 1 故直线 l 的斜率为 . 3

课堂互动讲练
法二:设直线 AB 的倾斜角为 θ,则直线 θ l 的倾斜角为 . 2 -2- (-5) 3 由题意知 tanθ= kAB= = . 4 3- (- 1) 3 ∵tanθ= >0,∴0° <θ<90° . 4 3 4 ∴sinθ= , cosθ= . 5 5 θ sinθ 1 ∴tan = = . 2 1+ cosθ 3 1 所以,直线 l 的斜率为 . 3

课堂互动讲练

【名师点评】 在利用斜率公式 时,要注意x1≠x2,若x1=x2时,斜率 不存在,不能再利用斜率公式.

课堂互动讲练
考点二

求直线的方程

求直线方程时,首先分析具备什 么样的条件;然后恰当地选用直线方 程的形式准确写出直线方程.要注意 若不能断定直线具有斜率时,应对斜 率存在与不存在加以讨论.在用截距 式时,应先判断截距是否为0.若不确 定,则需分类讨论.

课堂互动讲练
例2 求适合下列条件的直线的方程: (1)在 y 轴上的截距为-5,倾斜角 3 的正弦值是 ; 5 (2)经过点P(3,2),且在两坐标轴 上的截距相等;

课堂互动讲练
【思路点拨】 寻找确定直线的 两个独立条件,根据不同的形式建立 直线方程.
3 【解】 (1)设直线的倾斜角为 α, 则 sinα= , 5 4 3 ∴cosα= ± ,直线的斜率 k= tanα= ± . 5 4 又直线在 y 轴上的截距是-5, 3 由斜截式得直线方程为 y= ± x- 5. 4

课堂互动讲练
(2)法一:设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a, 若 a=0,即 l 过点(0,0)和 (3,2), 2 ∴l 的方程为 y= x,即 2x-3y= 0. 3 x y 若 a≠0,则设 l 的方程为 + =1, a a 3 2 ∵l 过点 (3,2), ∴ + =1, a a ∴a=5,∴l 的方程为 x+ y-5= 0, 综上可知, 直线 l 的方程为 2x- 3y= 0 或 x+ y -5=0.

课堂互动讲练
法二:由题意,所求直线的斜率 存在且 k≠0, 设直线方程为 y-2=k(x- 3), 2 令 y= 0,得 x=3- ,令 x= 0, k 得 y= 2-3k, 2 由已知 3- =2-3k, 解得 k=- k 2 1 或 k= , 3

课堂互动讲练
∴直线l的方程为: y-2=-(x-3)或y-2=(x-3), 即x+y-5=0或2x-3y=0.

【规律总结】 用待定系数法求直线方 程的步骤: (1)设所求直线方程的某种形式. (2)由条件建立所求参数的方程(组). (3)解这个方程(组)求参数. (4)把所求的参数值代入所设直线方程.

课堂互动讲练
考点三

直线方程几种形式的灵活运用

利用直线方程解决问题,可灵活 选用直线的形式,以便简化运算.一 般地,已知一点通常选择点斜式;已 知斜率选择斜截式或点斜式;已知截 距或两点选择截距式或两点式.

课堂互动讲练
另外,从所求的结论来看,若求 直线与坐标轴围成的三角形面积或周 长,常选用截距式或点斜式. 提醒:(1)点斜式与斜截式是两种 常见的直线方程形式,要注意在这两 种形式中要求直线的斜率存在. (2)“截距”并非“距离”,可以是正 的,也可以是负的,还可以是0.

课堂互动讲练
例3
如图,过点P(2,1)作直线l,分 别交x、y轴正半轴于A、B两点. (1)当△AOB的面积最小时,求 直线l的方程; (2)当|PA|· |PB|取最小值时,求 直线l的方程.

课堂互动讲练
【思路点拨】 求直线方程时, 要善于根据已知条件,选取适当的形 式.由于本题中给出了一点,且直线 与x、y轴在正方向上分别相交,故有 如下常见思路: (1)点斜式:设l的方程为y-1= k(x-2),分别求出A、B的坐标,根据 题目要求建立目标函数,求出最小值 并确立最值成立的条件;

课堂互动讲练
x y (2)截距式:设 l 的方程为 + =1,将点 a b (2,1)代入得出a与b的关系,建立目标函数, 求最小值及最值成立的条件. (3)根据题意,设出一个角,建立目标函 数,利用三角函数的有关知识解决.

课堂互动讲练
【解】 (1)法一:设 l 的方程 为 y- 1=k(x-2)(k< 0), 1 则 A(2- , 0),B(0,1- 2k), k 1 1 ∴S△AOB= (2- )(1-2k) 2 k 1 1 =2+ (-4k- ) 2 k 1 1 ≥2+ · 2 (- 4k)(- )=4, 2 k

课堂互动讲练
1 1 当且仅当-4k=- , 即 k=± 2 k 时取等号. 1 ∵k<0,∴k=- , 2 1 故所求直线方程为 y- 1=- 2 (x-2), 即 x+2y-4= 0.

课堂互动讲练
x y 法二: 设所求的直线方程为 + = a b 2 1 1(a> 0,b>0),由已知得 + =1,于 a b 2 1 + 21 a b2 1 是 ·≤ ( )= . 2 4 ab 2 1 1 当且仅当 = = ,即 a=4,b=2 a b 2 21 1 1 时, · 取最大值 ,此时 S△AOB= ab 4 2 ab 取最小值 4.

课堂互动讲练
x y 故所求的直线 l 的方程为 + =1,即 x 4 2 +2y- 4=0. (2)设直线 l: y-1=k(x- 2)(k<0), 1 分别令 y= 0,x= 0 得 A(2- ,0),B(0,1 k -2k). 1 2 由 |PA|· |PB|= (4+4k )(1+ 2) k 1 2 = 8+ 4(k + 2)≥4. k

课堂互动讲练
1 当且仅当 k = 2, 即 k= ± 1 时, k |PA|· |PB|取最小值. 又 k<0,∴k=-1,这时 l 的 方程是 x+ y-3=0.
2

课堂互动讲练
【名师点评】 在研究最值问题 时,可以从几何图形入手,找到最值 时的情形,也可以从代数角度考虑, 构建目标函数,进而转化为研究函数 的最值问题,这种方法常常随变量的 选择不同而运算的繁简程度不同,解 题时要注意选择.

课堂互动讲练
互动探究
例3条件不变,求|OA|+|OB|最 小时,直线l的方程. 解:设所求的直线方程为 x y + = 1(a>0,b>0), a b 2 1 由已知得 + = 1, a b 2 1 ∴|OA|+ |OB|= a+b= (a+b)( + ) a b 2b a =3+ + ≥3+ 2 2. a b

课堂互动讲练
2b a 当且仅当 = 时取等号, a b 此时可得 a=2+ 2,b= 2+ 1, x ∴所求直线 l 的方程为 2+ 2 y + = 1, 2+1 即 x+ 2y- 2- 2=0.

课堂互动讲练
考点四 直线方程的实际应用

用解析法解决实际应用题,就是 通过建立直角坐标系,用坐标表示 点,用方程表示曲线,实现了从实际 问题到代数问题的转化,利用代数的 方法使问题得到解决.

课堂互动讲练
例4 (解题示范)(本题满分12分) 某小区内有一块荒地 ABCDE,今欲在该荒地上划出 一块长方形地面(不改变方位) 进行开发(如图所示).问如何 设计才能使开发的面积最大? 最大开发面积是多少?(已知 BC=210 m,CD=240 m,DE =300 m,EA=180 m,∠C= ∠D=∠E=90°)

课堂互动讲练
【思路点拨】 先建立直角坐标 系,求出AB的方程,然后求解. 【解】 以BC所在 直线为x轴,AE所在直线 为y轴,建立平面直角坐 标系(如图), 由已知可得 A(0,60),B(90,0), 2分

课堂互动讲练

x 所以 AB 所在直线的方程为 90 y x + = 1,即 y=60(1- ). 60 90 2 所以 y=60- x. 4分 3

课堂互动讲练
(1)当点在BC上时,S最大= 210×240=50400(m2).5分 (2)当点在AE上时,S最大= 180×300=54000(m2).6分 2 (3)设 P 点坐标为(x,60- x), 3 其中 0≤x≤90, 所以所开发部分的面积为 S= (300- x)(240- y).

课堂互动讲练
2 故 S=(300-x)(240-60+ x) 3 2 2 =- x +20x+54000(0≤x≤90). 3 20 所以当 x=- =15 且 2 2×(- ) 3 2 y=60- ×15=50 时, 3 2 2 S 最大=- ×15 +20×15+54000 3 =54150(m2). 10 分

9分

课堂互动讲练
比较可知点P距AE 15 m,距BC 50 m时所开发的面积最大,最大面积 为54150 m2. 12分 【名师点评】 (1)确定线段方程 时,易忽视x的取值范围; (2)漏掉一顶点在BC上或AE上的 情况.

课堂互动讲练
高考检阅 (本题满分12分) 如图,l1,l2分别表 示一种白炽灯和一种节 能灯的费用y(费用=灯 的售价+电费(元))与照 明时间x(小时)的函数图 象,假设两种灯的使用 寿命都是2000小时,照 明效果一样.

课堂互动讲练
(1)根据图象,分别求出l1,l2的函 数关系式; (2)当照明时间为多少时,两种灯 的费用相等? (3)小明的房间计划照明2500小 时,他买了一个白炽灯和一个节能 灯,请帮他设计最省钱的用灯方法, 并求出最低费用.

课堂互动讲练
解:(1)设l1:y=k1x+b1,l2:y= k2x+b2. ∵点(0,2),(500,17)在l1上, (0,20),(500,25)在l2上, ∴l1:y=0.03x+2(0≤x≤2000), l2:y=0.01x+20(0≤x≤2000). 4分

课堂互动讲练
?y= 0.03x+2, (2) 联 立 ? ?y= 0.01x+20, ?x= 900, ? ?y= 29.

得 :

6分

∴当照明时间为900小时时, 两种灯费用相等,都是29元. 8分

课堂互动讲练
(3)由题图知,前2000小时使用节 能灯的费用较白炽灯低,后500小时 使用白炽灯费用较节能灯低.10分 ∴总费用为2000×0.01+20+ 500×0.03+2 =57(元). 12分

规律方法总结
1.直线的斜率与倾斜角的关系 设直线l的倾斜角为α,斜率为k. (1)0°≤α<180°,k∈(-∞,+ ∞). (2)当α=0°时,k=0;当0°<α <90°时,k>0; 当α=90°时,k不存在;当90° <α<180°时,k<0.

规律方法总结
(3)当0°≤α<90° 时,k随着α的增大而增大 且k≥0; 当90°<α<180° 时,k随着α的增大而增大 且k<0. 但不能说直线的倾斜 角α越大,斜率k也越大. (4)直线的斜率与倾 斜角的关系如图所示.

规律方法总结
2.直线与二元一次方程 (1)二元一次方程的几何内涵 “平面上任意一条直线都可以用 一个关于x、y的二元一次方程表示”, 反之“关于x、y的一个二元一次方程都 表示一条直线”.这就体现了直线与 二元一次方程间的一一对应关系,确 定了二元一次方程的几何内涵——直 线.

规律方法总结
(2)二元一次方程Ax+By+C=0(A、B 不全为零)的几种情况:
C 若 A=0,则 y=- ,它表示一条与 y B 轴垂直的直线; C 若 B=0,则 x=- , 它表示一条与 x A 轴垂直的直线;

规律方法总结
若 A≠0,B≠0,则直线 Ax+ A By+C=0 的斜率为 k=- ,在 y B C 轴上的截距为- ; B 若 C=0,则直线 Ax+By+C =0 过坐标原点.

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