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珠海市2012年高中数学竞赛(高二卷)参考答案


珠海市 2012 年高中数学竞赛(高二卷)参考答案
时间:2012 年 12 月 23 日 9:00——11:00 注意:可以使用计算器,但不得相互借用。监考老师不回答任何与内容有关的问题. 考室号_________座位号_____________ 一、填空题(每题 6 分共 60 分) 1 . 函 数 y ? g (x) 的 定 义 域 是 [?3,2) , 则 y

? g ( x 2 ) 的 定 义 域 是 _______________. (? 2 , 2 ) 2.观察右式,找出规律,并给出结果: 2 ?

1 2? 2? 1 1 2 ??

?

. 1? 2

3.函数 f ( x) ? log2 x , g ( x) ? 2 x ? m ,对于任意 x1 , x2 ? [1,8] , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立, 则 m 的范围是 .(区间形式) (??,?16]

姓名________________

3 sin( x ? ) 3 的值域是_____________. [?1,1] 4.函数 y ? ? 2 ? cos(x ? ) 3
5 . 设 数 列

?

?an ?
?
3





a1 ? 1



an?1 ? 3an ? 2n ?1





学校______________班级____________

a2

0

? _________________. 2 ? 32012 ? 2012 1 2
) 的图象上的每个点的横坐标扩大为原来的 2 倍,然后将所得图

6.将函数 y ? 3 cos( 2 x ? 象向右平移

? 个单位,再将所得图象上每个点的纵坐标缩小为原来的二分之一,得到函数 6 3 ? ___________________的图象. y ? cos( x ? ) 2 6
7.若向量 e1 与 e2 满足:|e1|=2|e2|=2,e1 与 e2 所夹的角为 60°,则|e1+e2|=____________. 7 8. 已知: a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1 ,则的

4 3 ? 的最小值为_____________. 7 ? 4 3 a b

9.在棱长为 1 的正方体内一点动点 P,它到正方体某共顶点三个面的距离之和为 2,则它的 运动轨迹构成的图形面积为____________.

3 2

10.已知定义在 R 上的函数 y ? f (x) 满足: f (1 ? x) ? f (1 ? x), f (2 ? x) ? f (2 ? x) ? 0 , 且在[9,10)上 f ( x) ? x log2 ( x ? 9) 。则 f ( 2012

3 37 ) ? ___________. ? 4 2

2012 年珠海市高中数学竞赛(高二卷)答案第- 1 –页(共 4 页)

二、解答题(共 60 分)
11.(20 分) 已知直角梯形 ABCD,A(0,0) ,B(3,0) ,C(2,2) ,D(0,2) ,请在四边形 ABCD 内找一 点 P,使它到四边形四个顶点的距离之和最短,求出 P 的坐标,并说明理由。 解 : 设 AB 直 线 与 BD 直 线 的 交 点 为 P , 则 C D PA ? PC ? PB ? PD ? AC ? BD , P 设四边形之内另一点 Q,连接 AQ,BQ,CQ,DQ, 则有: QA ? QC ? AC , QB ? QD ? DB , ∴ QA ? QB ? QC ? QD ? AC ? BD 。
A Q B

AC ? (2 ? 0,2 ? 0) ? (2,2), BD ? (0 ? 3,2 ? 0) ? (?3,2)
设 P ( x, y ) ,则有 AP ? ( x, y) ? ? AC ? ?(2,2) ,∴ x ? y ,

BP ? ( x ? 3, y) ? ? BD ? k (?3,2) ,∴ 2( x ? 3) ? ?3 y ,
解得: y ? x ?

6 6 6 ,∴ P ( , ) 。 5 5 5

2012 年珠海市高中数学竞赛(高二卷)答案第- 2 –页(共 4 页)

12.(20 分)正三角形 ABC 的边长为 1,D 和 E 分别为边 AB 和 AC 上的点,将三角形沿 DE 对 折,顶点 A 恰好落在边 BC 上的点 F 处,设 BD ? x, BF ? y ,求(1)满足 x, y 的关系式; (2) x 的取值范围。 解:连接 DF,在三角形 BDF 中,由余弦定理,即 DF ? BD ? BF ? 2BD ? BF cos60? ,
2 2 2

所以 y 2 ? xy ? 2 x ?1 ? 0,0 ? y ? 1, 令 t ? 2 ? y ,则 x ?

1 ? y 2 1 ? (2 ? t ) 2 3 ? ? ?(t ? ) 2 ? 4,1 ? t ? 2 , 2? y t t

所以, x 的取值范围为 [0,4 ? 2 3]

2012 年珠海市高中数学竞赛(高二卷)答案第- 3 –页(共 4 页)

13. (20 分)在数列 {an } 中, a1 ? 1,3an an?1 ? an ? an?1 ? 0(n ? 2) . (1)求数列 {an } 的通项; (2)若 ? an ?

1 ? ? 对任意 n ? 2 的整数恒成立,求实数 ? 的取值范围; an ?1
2 an , {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? ( 3n ? 1 ? 1) 3

(3)设数列 bn ?

解(1)将 3an an?1 ? an ? an?1 ? 0(n ? 2) 整理得:

1 1 ? ? 3(n ? 2) an an ?1

所以

1 1 ? 1 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 ,即 an ? 3n ? 2 an 1 3n ? 2

n ? 1 时,上式也成立,所以, an ?
(2)若 ? an ?

? 1 ? 3n ? 1 ? ? 恒成立 ? ? 恒成立,即 3n ? 2 an ?1
(3n ? 1)(3n ? 2) 3(n ? 1)

整理得: ? ?

令 cn ?

(3n ? 1)(3n ? 2) 3(n ? 1)

cn?1 ? cn ?

(3n ? 4)(3n ? 1) (3n ? 1)(3n ? 2) (3n ? 1)(3n ? 4) ? ? 3n 3(n ? 1) 3n(n ? 1)
28 , 3

因为 n ? 2 ,所以上式 ? 0 ,即 {cn } 为单调递增数列,所以 c 2 最小, c2 ? 所以 ? 的取值范围为 ( ??, (3)由 bn ?

28 ] 3

an ,得
1 2 2 2 ? ? ? ( 3n ? 1 ? 3n ? 2) 3n ? 2 2 3n ? 2 3n ? 2 ? 3n ? 1 3

bn ? an ?

所以, Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn

2 ( 3 ?1 ? 1 ? 3 ?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? 2 ? ??? ? 3n ? 1 ? 3n ? 2) 3 2 ? ( 3n ? 1 ? 1) 3 ?
2012 年珠海市高中数学竞赛(高二卷)答案第- 4 –页(共 4 页)


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