tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2008中国国家集训队平面几何培训资料


2008 年国家集训队平面几何讲义
1. 一圆 O 切于两条平行线 l1 , l 2 , 第二个圆 ? O 1 切 l1 于 A , 外切 ? O 于 C , 第三个圆 ? O 2 切 l 2 于 B ,外切 ? O 于 D ,外切 ? O 1 于 E , A D 交 B C 于 Q ,求证 Q 是 ? C D E 的外心。 (35 届 IMO 预选题)

r />证明 由 A O 1 ∥ B O 2 ,知 ? A O 1 E ? ? B O 2 E ,从而有 ? A E O1 ? ? B E O 2 ,即 A , E , B 三 点 共 线 。 同 理 由 OF ∥ BO2 , 可 得 B, D, F
? ED B ? 180? ? 1 2 ? EO2 B ? 180? ? 1 2

三 点 共 线 。 又 因 为

? A O1 E ? ? E A F , 所 以 A , E , D , F 四 点 共 圆 ,

B E ?B A ? B D ?B F ,即点 B 在 ? O 1 与 ? O 的根轴上。又因为 C 在 ? O 1 与 ? O 的根轴上,

所以 B C 是 ? O 1 与 ? O 的根轴。同理 A D 是 ? O 2 与 ? O 的根轴,因此 Q 为根心,且有
Q C ? Q D ? Q E ,即 Q 是 ? C D E 的外心。

2.非等腰 ? A B C 的内切圆圆心为 I ,其与 B C , C A , A B 分别相切于点 A1 , B1 , C 1 ,
A A1 , B B1 分别交圆于 A 2 , B 2 , ? A1 B1 C 1 中 ? C 1 A1 B1 , ? C 1 B1 A1 的角平分线分别交 B1C 1 , A1C 1

于点 A3 , B 3 , 证明 (1)A2 A3 是 ? B1 A 2 C 1 的角平分线; 如果 P , Q 是 ? A1 A2 A3 和 ? B1 B 2 B 3 (2) 的两个外接圆的交点,则点 I 在直线 P Q 上。 (01 年保加利亚) 证 明
C 1 A2 C 1 A1

( 1 ) 因 为 ? A C 1 A 2 ∽ ? A A1C 1 , ? A B1 A2 ∽ ? A A1 B1 , 所 以 有
A A 2 ? A C 1 A 2A ? A 1B
1 2 ,从而有 1

?

B A

C 1 A2 B1 A 2

?

C 1 A1 B1 A1

?

C 1 A3 B1 A3

B 1A

,即 A2 A3 是 ? B1 A 2 C 1 的角平分

1

线。

(2)设 ? A1 A2 A3 的外心为 O ,连 O I , IA 2 , O A 2 , O A 1 ,则 O I ? A1 A 2 。由于 ? A1 A3 A2 ?
? A1 C 1 A 2 ? ? C 1 A 2 A3 ? ? C 1 A1 A3 ? ? A1C 1 A 2 ? 1 2

? ? C 1 A 2 B1 ? ? C 1 A1 B1 ? ? 9 0 ? ? ? A1C 1 A 2 ,
? ? ?A 1C 2 A 0 9 ? 1 ? ? 2? I是 有 ,A O 于

所 以 ? A2 O I ?

1 2

? 2 O 1 A? 8 0 ? ? ? A 3 A 2 A9?0 A 1 1

? IA 2 O ? 9 0 ? ,即 IA2 与 ? O 相切于 A 2 。同理 IB 2 与 ? B1 B 2 B 3 的外接圆相切于 B 2 ,从而 I

在 ? O 与 ? B1 B 2 B 3 的外接圆的根轴上,即 I , P , Q 三点共线。 3.已知圆 O 外一点 X ,由 X 向圆 O 引两条切线,切点分别为 A , B ,过点 X 作直线, 与圆 O 交于两点 C , D , 且满足 C A ? B D , CA ,BD 交于点 F ,C D , A B 交于点 G ,B D 若 与 G X 的中垂线交于点 H ,证明 X , F , G , H 四点共圆。 (05 年日本)

证明

因为 X , D , G , C 是调和点列,且 ? C F D ? 90 ? ,所以 F 在关于点 X , G 的阿波
2

罗尼斯圆上。连 F G , F X ,有 ? GFD ? ?DFX

。设 ? GFX 的外接圆与 B F 交于点 H ? ,则

有 G H ? ? X H ? ,即 H ? 在 G X 的中垂线上,从而有 H ? ? H ,因此 X , F , G , H 四点共圆。 4. P , Q 到 ? A B C 的三个顶点 A , B , C 的距离的比都是 l : m : n , l , m , n 互不相等, 若 且 则直线 P Q 过 ? A B C 的外接圆的一条直径 D E 。若设 ? A B C 的外接圆圆心为 O ,则
O P?O Q ? O D 。
2

证明 法一:由于 P , Q 到 A , C 的距离之比为 l : n ,则 P Q 在阿波罗尼斯圆 ? G 上, 其中 A G 与 ? G 的交点为 K , L ,且 A , K , C , L 为调和点列。设 ? O 与 ? G 交于点 F ,则
G A ?G C ? G K
2

? G F ,因此 G F 与 ? O 相切于点 F ,于是 O F 也与 ? G 相切于点 F 。同
2

理, 由于 P , Q 到 B , C 的距离之比为 m : n , P Q 在阿波罗尼斯圆 ? M 上, ? O 与 ? M 则 设 交于点 H ,于是 O H 与 ? M 相切于点 H 。因为 O H ? O F ,所以 O 在 ? G 与 ? M 的根轴
2 2 上,从而有 O , P , Q 三点共线。设 P Q 与 ? O 交于点 D , E ,则 O D ? O F ? O P ?O Q ,即

D , P , E , Q 为调和点列。

法二 由于

AP AQ

?

BP BQ

?

CP CQ

,则 ? A B C 的外接圆就是关于点 P , Q 的阿波罗尼斯圆,

从而 O 在直线 P Q 上,且有 O P ?O Q ? O D 。
2

5.已知圆心分别为 O 1 , O 2 的圆 ? 1 , ? 2 外切于点 D ,并内切于圆 ? ,切点分别为 E , F ,

3

过点 D 作 ? 1 , ? 2 的公切线 l 。设圆 ? 的直径 A B 垂直于 l ,使得 A , E , O1 在 l 的同侧,证明
A O 1 , B O 2 , E F 三线交于一点。 (第 47 届 IMO 预选题)

证明 设 A B 的中点为 O ,E 为圆 ? 与圆 ? 1 的位似中心,由于半径 O B , O 1 D 分别垂直 于 l ,所以 O B ∥ O 1 D ,且有 E , D , B 三点共线。同理 F , D , A 三点共线。 设 A E , B F 交于点 C ,由于 A F ? B C , B E ? A C ,所以 D 是 ? A B C 的垂心,于是
C D ? A B ,这表明 C 在直线 l 上。

设 E F 与直线 l 交于点 P ,下面证明点 P 在直线 A O 1 上。设 A C 与圆 ? 1 的第二个交点 为 N ,则 N D 是圆 ? 1 的直径,由梅涅劳斯定理的逆定理,要证 A , O 1 , P 三点共线,只要证
C A N O1 D P CA CP ? ? ? 1 。因为 N O 1 ? O 1 D ,所以只要证 ? 。设 l 与 A B 交于点 K ,则 A N O1 D P C AN PD

CA AN

?

CK KD

,从而只要证

CP PD

?

CK KD

,即证 C , P , D , K 是调和点列。连 A P 交 B C 于点 X ,

则 C , X , F , B 是调和点列,因此有 C , P , D , K 是调和点列。 6.设 A B C D 是梯形, A B ∥ C D ,在其两腰 A D , B C 上分别存在点 P , Q ,使得
?APB ? ?CPD , ?AQB ? ?CQD , 证明点 P , Q 到梯形两对角线的交点的距离相等。 (20

届全俄) 证 明 设
?APB



?CPD

的 外 接 圆 交 于 点

Q1

, 则 有

? C Q1 P ? ? B Q 1 P ? ? 180 ? ? ? C D P ? ? ? 180 ? ? ? B A P ? ? 180 ? ,所以点 Q1 在 B C 上。又

4

因为 ? C Q1 D ? ? C P D ? ? A P B ? ? A Q 1 B ,所以 Q 1 ? Q 。设 ? A P B 与 ? C P D 的外接圆 半径分别为 R1 , R 2 , ? A P B ? ? ,则
AB CD ? 2 R1 sin ? 2 R 2 sin ? ? R1 R2

,因此 A C 与 B D 的交点 O 是

? A P B 的外接圆与 ? C P D 的外接圆的位似中心, ? A P B 与 ? C P D 的外接圆的圆心分 设

别为 O 1 , O 2 ,则 O 在 O1O 2 上,且 O1O 2 是 P Q 的中垂线,于是有 O P ? O Q 。 7.圆 S 1 , S 2 , S 3 均与圆 S 外切,切点分别为 A1 , B1 , C 1 ,并且它们还分别与 ? A B C 的两 条边相切,证明 A A1 , B B1 , C C 1 三线共点。 (20 届全俄)

证明

设 ? A B C 的内切圆的圆心为 I ,半径为 R , ? S , ? S 1 , ? S 2 , ? S 3 的半径分别为
r ? ? H ? A, 1 ? R? ? ? r ? H ? A1 , ? ? r1 ? ?

? ? r , r1 , r2 , r3 , ? I ? ? ?? ? S 1 ? ? ? ? ? S 。 P 为 S I 上的一点, 则 设 且满足
r ? ? H ? P ,? ? R? ?

PS PI

?

r R



? 则 ? I ? ? ? ? ? S ,从而有 A , A1 , P 在一条直线上。同理 B , B1 , P 与 C , C 1 , P 均三点共

线,即 A A1 , B B1 , C C 1 三线共点。 8.给定一个半圆周,其直径为 A B ,圆心为 O ,一直线与半圆周相交于点 C , D ,且
5

与 A B 的延长线交于点 M ,其中 M B ? M A, M D? M C。设 ? A O C , ? B O D 的外接圆
O 1 , O 2 的第二个交点为 K ,证明 ? M K O 是直角。 (21 届全俄)

证明

法一

连 O O 1 交 ? O 1 于点 P , O O 2 交 ? O 2 于点 Q ,因为 O1O 2 ? O K , P Q ∥

O1O 2 , K 在 P Q 上, 且 所以只要证 P , Q , M 三点共线。 由于 O P 是 ? O 1 的直径, 因此 P A 与
? O 相切。同理 P C , Q B , Q D 也均与 ? O 相切。过 P 作 Q D 的平行线,与 D C 的延长线交

于点 E ,则 ? C E P ? ? M D Q ? ? E C P ,所以 P E ? P C ? P A ,即 ? P A E 与 ? Q B D 均是 等腰三角形,且对应边平行,因此对应顶点的连线交于一点,即 P , Q , M 三点共线。 法二 设 A C , B D 交于点 N , A D , B C 交于点 H ,则 H 为 ? N A B 的垂心。连 M H , 分别交 A C , B D 于点 X , Y ,则 N , C , X , A 及 N , D , Y , B 为调和点列,所以 M H 是 N 关于
? O 的极线, 于是 O N ? M H 。 同理 O M ? N H , O 是 ? H M N 的垂心。 且 由蒙日定理得 O K
NT 过点 N ,于是有 M H ? O K 。设 N H 与 A B 交于点 T ,则 NH ? ? NA NC ? NK NO ? ?



所以 K , O , T , H 四点共圆, ? H K O ? ? H T O ? 90 ? ,于是有 M , K , H 三点共线。 法三 延长 O K 至 S ,则 ? M K O ? 90 ? ? ? SK D ? ? D K M ? 90 ? ?
? D B O ? ? D K M ? 90 ? ? ? D K M ? ? D A M ? K , A , M , D

四 对 称

点 , 所
?
C ?

共 以
?

圆 有
?K O B ?
C

? ?KAB ? ?CDK







C, A




?

PO

?C
?

D
K C ?

? K

?
A?

C
?C

D? B? ?1
A ? B

8 K ?D 0
? O

? B?

? 1 ? 8 C0 A ? B ?
O ?C ? K

?
?

K

。 ? O ?A 9.设点 O 是凸四边形 A B C D 的对角线的交点,过 ? A O B 的重心与 ? C O D 的重心引 一条直线,过 ? B O C 的垂心与 ? A O D 的垂心引一条直线,证明这两条直线互相垂直。 (6 届全苏)

C? A?

A B ?

? K

6

证明

设 ?AOB, ?BOC , ?COD , ?AOD 的 重 心 分 别 为 K , L, M , N , 则 四 边 形
AC 3 , KN ? BD 3

K L M N 是平行四边形,并满足 K L , K N 分别平行于 A C , B D , K L =



从而有

KL KN

?

AC BD

。设 ? A O B , ? B O C , ? C O D , ? A O D 的垂心分别为 K ?, L ?, M ?, N ? ,则

? A , K ? , N ? ; C , M ? , L? ; B , K ? , L? ; D , M ? , N均三点共线,且四边形 K ?L ?M ?N ? 是平行四边形,

并 满 足 K ?L ?, K ?N ? 分 别 垂 直 于 A C , B D 。 设 ? A O B? ? , 不 妨 假 设 ? ? 90 ? , 则
? ? O B L ? 9 0 ? ? ,所以有 K ?L ? co s ? 9 0 ? ? ? ? ? A C co s ? ,即 K ?L ? ? A C co t ? 。同理 ? K ?N ? ? B D co t ? ,于是有

K ?L ? K ?N ?

?

AC BD

?

KL KN

。因此平行四边形 K L M N 与 K ?L ?M ?N ? 相

似,若把其中的一个平行四边形旋转 9 0 ? ,那么不仅它们的对应边而且它们对应的对角线都 互相平行,因此有 K ?M ? ? L N , L ?N ? ? K M 。 10.已知四边形 A B C D 是等腰梯形,AD∥BC,把 ? A B C 绕点 C 旋转某一角度得到
? A ? B ?C ,证明线段 A ? D , B C , B ?C 的中点在同一条直线上。 (23 届全苏)

证明 将 ? B C B ? 平移 D C 得 ? E F G , A ? D , B C , B ?C 的中点经位似变换 H ? D , 2 ? 变 则 为 A ?, E , G 。连 E B 交 A D 于 K ,由于 BE ? BK ? BA ,因此有 E A ? A D , E A ? E F ,从 而 ? AEG ? 90? ? ? FEG ? 90? ?
1 2

????

?1 8 0 ? ? ? E F G ? ?

1 2

? EFG ?

1 2

? BCB? ?

1 2

? AC A? 。

因为直角梯形 A D F E 的腰 D F 的中点到两个直角顶点的距离相等,所以 E C ? A C ? A ? C , 即 E , A , A ? 在以 C 为圆心,以 C A 为半径的圆上,从而有
A ?, E , G 三点共线。

1 2

? A C A ? ? ? A E A ? ,于是可得

7

11. 已知 M 为 ? A B C 内一点, M 分别向 B C , C A , A B 作垂线, 由 垂足分别为 A ?, B ?, C ? 。 由 A , B , C 分别向 B ?C ?, C ?A ?, A ? B ? 作垂线,证明这三条垂线交于一点 M ? 。若 ? A ? B ?C ? 的外 心为 O ,则 M ?, O , M 三点共线,且 O 是线段 M M ? 的中点。

证明

法一

连 M O ,并延长至 M ? ,使得 O 是线段 M M ? 的中点。设 A M 的中点为

O ? ,则 O ? 为由 A , C ?, M , B ? 所确定的四边形的外接圆的圆心,因此 O O ? ? B ?C ? 。又因为
A M ? ∥ O O ? ,所以有 A M ? ? B ?C ? 。同理可得 B M ? ? C ?A ?, C M ? ? A ? B ? 。

法二 分别延长 M A ?, M B ?, M C ? 至 D , E , F , 使得 B C , C A , A B 分别是 M D , M E , M F 的 中垂线, 所以 A E ? A M ? A F , A 是 ? M E F 的外心。 即 同理,B , C 分别是 ? M D F , ? M D E 的 外 心 。 由 于 由 A , B , C 分 别 向 B ?C ?, C ?A ?, A ? B ? 作 的 垂 线 就 是 由 A , B , C 分 别 向
8

E F , F D , D E 作的垂线,因此也就是 E F , F D , D E 的中垂线,而 E F , F D , D E 的中垂线交于

一点,且就是 ? D E F 的外心,即点 M ? 。又因为 M 是 ? A ? B ?C ? 与 ? D E F 的位似中心,且 位似比为 2 ,所以 M ?, O , M 三点共线,且 O 是线段 M M ? 的中点。 12.已知 P , Q 分别是 ? A B C 的边 A C , A B 上的点, B P , C Q 相交于点 D ,证明 ? A B D 和 ? A C D 的内切圆外切的充分必要条件是四边形 A P D Q 有内切圆。 (99 年保加利亚)

证明

充分性:由 ? A B D 和 ? A C D 的内切圆外切,可得 D B ? D C ? A B ? A C 。作

? A C Q 的内切圆,过 B 作该圆的切线 B M ,交 C Q 于 D 1 。由于 A B ? A C ? D 1 B ? D 1C ,

因此有 D B ? D C ? D1 B ? D 1C ,即 D ? D 1 。 必 要 性 : 设 ?ABD 和 ?ACD 的 内 切 圆 与 AD 分 别 切 于 点 N 1 , N , 因 为
D B? D C ? A ? B A C ,所以有 D N ? D N 1 。

13.已知单位面积的凸四边形 A B C D 及其内一点 P ,证明这 5 个点构成的三角形中必 有一个的面积不超过 证明
2 ?1 2

,并证明这个上界是最小的。

假 设 两 条 对 角 线 交 于 点 O , 不 妨 假 设 P 点 在 ?O B C中 。 假 设

? P A C , ? P B D , ? P B C , ? P A D 的 面 积 分 别 为 S1 , S 2 , S 3 , S 4 , P A, P B , P C , P D 分 别 为 a , b , c , d , ? A P B ? ? , ? B P C ? ? , ? C P D ? ? , ? A P D ? ? ,因为

sin ? sin ? ? sin ? sin ? ?

1 2

? co s ? ?

? ? ? ? co s ? ? ? ? ? ? co s ? ? ? ? ? ? co s ? ? ? ?

??

9

?

1 2

? co s ? ?

? ? ? ? co s ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ,
2 ?1 2

所以有 S ? P A B ?S ? P C D ? S 1 S 2 ? S 3 S 4 。若 S 1 , S 2 , S 3 , S 4 均大于

,则

1 ? S A B C D ? S ? P A B ? S ? P C D ? S 3 ? S 4 ? 2 S ? P A B ?S ? P C D ? S 3 ? S 4 ? 1 ,

矛盾。

当等腰梯形 A B C D 满足 A D 平行于 B C , A D ?

2 ? 1, B C ? 1 ,高为

2 , P 在对称
2 ?1 2

轴 上 , 且 到 A D 的 距 离 为 1 。 此 时 S ?PAD ? S ?PBC ? S ?PAC ? S ?PBD ?
2? 2



S ?PAB ? S ?PCD ?

2

,所以

2 ?1 2

是最小的。

14.已知 ? A B C 的重心为 G , ? 1 ? 证明 A G , B G , C G 分别关于 ? A , ? B , ? C 的角平分 线对称的三条直线交于一点 P ; ? 2 ? 若 P 在三条边 B C , C A , A B 上的投影分别为 D , E , F , 证明 P 为 ? D E F 的重心。 证明

? 1 ? 设 ? A B C 的三条中线分别为 A L , B M , C N ,A G , B G , C G 关于 ? A , ? B , ? C

的角平分线对称的三条直线分别与 B C , C A , A B 交于点 L1 , M 1 , N 1 ,设 B C ? a , C A ? b ,
AB ? c ,则
2 S ? ABL S B L1 B L BL1 BL A B ?A L 1 A B ?A L c 1 ? ? ? ? ? ? ABL ? ? ? 2 。同理可得 L1 C L C L C L 1C S ? ACL S ? ACL A C ?A L A C ?A L 1 b
1

CM 1 CM AN1 AN a b BL CM AN ? ? 2 ; ? ? 2 。由塞瓦定理,可得 ? ? ?1 ,于是有 M 1A MA c N 1B N B a LC M A NB
10

2

2

B L1 C M 1 A N 1 ? ? ? 1 ,由塞瓦定理的逆定理可得 A L1 , B M 1 , C N 1 交于一点。 L1 C M 1 A N 1 B



用塞瓦定理的三角表示(角元塞瓦定理)更容易得到。
DP

?2? 设
sin ? sin ? C ? LC AL

与 EF
BL AL

交 于 点 K

, ?CAL ? ?

, 由 正 弦 定 理 可 得

?

?

sin ? ? A ? ? sin ? B

?

,由于 A , E , P , F ; B , D , P , F ; C , D , P , E 均四点共圆,
F P? ? K ,? B EPK ?? C ,由正

? ? A 所以 ? F E P ? ? P A F? ? , ? E F P ? P A E ? ? ? , ?

弦定理得 F K ?

sin ? F P K sin ? E F P

PK ?

sin ? B sin ? ? A ? ?

?

PK ?

sin ? ? K E ? K E ,于 sin ? ? A ? ? ? sin ? C sin ? B

是 K 是 E F 的中点,进而可得 P 是 ? D E F 的重心。 15.已知 ? A B C 的边 A B 上有两个点 P , Q ,证明 ? A P C 与 ? B Q C 的内切圆半径相等 的充分必要条件是 ? A Q C 与 ? B P C 的内切圆半径相等。 证明
h ? 2r h

先 证 明 一 个 引 理 : 设 ? A B C 的 边 B C 上 的 高 为 h , 内 切 圆 半 径 为 r, 则
?B 2 tan ?C 2

? tan



设 ? A B C 的内心为 I ,作 B C 的平行线 D E 与圆 I 相切,且分别与 A B , A C 交于点
D , E ,则

11

h ? 2r h

?

DE BC

r co t ?

?BDE 2 ?B 2

? r co t ? r co t

?CED 2 ?C 2 ?

tan co t

?B 2 ?B 2

? tan ? co t

?C 2 ? tan ? B tan ? C 。 ?C 2 2 2

r co t

设 ? A P C , ? B Q C , ? A Q C , ? B P C 的 内 切 圆 半 径 分 别 为 r1 , r2 , r3 , r4 , 则
r1 ? r2 ? ? tan h ? 2 r1 h tan ?AQC 2 ? h ? 2 r2 h ? tan ?B 2 ? tan ?A 2 tan ?BPC 2 tan ?APC 2 ? h ? 2 r3 h ? ? tan ?B tan ?BQC 2 ? r3 ? r4 。

?A 2

2 h ? 2 r4 h

16.已知圆内接五边形 A B C D E 满足 ? A B C 的内切圆半径等于 ? A E D 的内切圆半径, ? A B D 的内切圆半径等于 ? A E C 的内切圆半径,证明 ? A B C ≌ ? A E D 。 (98 年保加利亚)

证明 设 ? A B C , ? A E D , ? A B D , ? A E C 的内切圆半径分别为 r1 , r2 , r3 , r4 , 外接圆半径为
? ? ? ? A 为 R , 不 含 其 它 顶 点 的 弧 ? B , B C , C D , D E , E A 分 别 为 2 a , 2b, 2c, 2 d , 2e , 则 有
co s a ? co s b ? co s ? a ? b ? ? 1 ? r1 R ?1? r2 R ? co s e ? co s d ? co s ? e ? d

?



12

co s a ? co s ? b ? c ? ? co s ? e ? d ? ? 1 ?

r3 R

?1?

r4 R

? co s e ? co s ? d ? c ? ? co s ? a ? b ? 。 b?c?d 2 ? co s d ?c?b 2

两式相减得 co s b ? co s ? d ? c ? ? co s d ? co s ? b ? c ? ,从而有 co s



舍去一种情况后可得 b ? d 。 代入第一个式子得 co s a ? co s ? b ? e ? ? co s e ? co s ? a ? b ? , 类 似地可得 a ? e 。因此有 ? A B C ≌ ? A E D 。 17.已知凸四边形 A B C D , A B , D C 交于点 P , A D , B C 交于点 Q , O 为四边形
A B C D 内一点,且有 ? B O P ? ? D O Q ,证明 ? A O B ? ? C O D ? 180 ? 。 (05 年保加利亚

BMO 选拔)

证明 设 ? B O P ? ? D O Q ? ? , 则
s i n? ? ? ? A O D? s i n?

si ? n sin ? O Q D

?

n Q D si ? ? ? ? A O D ? AQ , ? OD sin ? O Q D OA

, 从

而有

?

s i n? ? ? ? A O B? AP OB AQ OD ? ? ? 。类似地,有 ,因此有 s i n? OA BP OA QD

s i n? ? ? ? A O D? s i n? ? ? ? A O B?

?

AQ OD BP sin ? B O Q B Q sin ? ? C O D ? ? ? ? ? , 。 同理, 由 AP OB QD sin ? O Q B OB sin ? O Q B

?

?

QC OC







s

n ?i ? C s

O? ? D ?

?B n O i

? Q

Q

C ?

, O

O

?? B
C

O ? ?B sQi n

s

i? ? n B?

C ? D

P


O

C



O



D


O C P D

P

sin ? ? C O D ? ? sin ? ? B O C

? ?? ?

?

QC OB PD ? ? 。 设 AC 与 PQ 交 于 点 L , 由 梅 涅 劳 斯 定 理 , PC OD QB

sin ? ? ? ? A O D ? sin ? ? C O D ? ? ? AQ DP CL CQ BP AL ? 1 。积化 ? ? ? 1, ? ? ? 1 ,于是有 sin ? ? ? ? A O B ? sin ? ? B O C ? ? ? QD PC LA QB PA LC

和 差 并 化 简 后 得 co s ? ? A O D ? ? C O D ? 2? ? = co s ? ? A O B ? ? B O C ? 2? ? , 于 是 可 得
? A O D ? ? C O D ? ? A O B ? ? B O C ( 其 中 另 一 种 情 况 不 存 在 ), 从 而 有

13

? A O B ? ? C O D ? 180 ? 。

18. D 为 A G 的中点,在 A G 的同侧作全等的四边形 A B C D , D E F G ,使它们都有内 切圆,圆心分别为 O , I ,证明 A O , C E , G I 三线共点。 (30 届加拿大训练题)

证明 作位似变化 A B C D ? ? ?? A M N G , 则有 G F E D ? ? ?? G N M A , 于是 C 是 A N 的中点, E 是 M G 的中点。设 A O , G I 交于点 K ,由 O D ?
1 2 G K ,且 O D ∥ G K ,

H ? A ,2 ?

H ?G ,2 ?

可得 K 是四边形 A M N G 的内切圆的圆心。由牛顿定理,可得 C , K , E 三点共线。 19.已知圆 O 1 , O 2 , O 3 , O 4 按顺时针的顺序内切于圆 O ,设圆 O i , O j ? 1 ? i ? j ? 4 ? 的外 公切线长为 l ij ,证明依次以 l12 , l 23 , l 34 , l14 为边长,以 l1 3 , l 2 4 为对角线构成的凸四边形是圆内 接四边形。 证明 设圆 O , O1 , O 2 , O 3 , O 4 的半径分别为 R , r1 , r2 , r3 , r4 , O 1 , O 2 , O 3 , O 4 与圆 O 的切点 圆 分别为 A , B , C , D , O O1 ? a , O O 2 ? b , O O 3 ? c , O O 4 ? d , ? O1O O 2 ? ? , ? O 2 O O 3 ? ? ,
? O 3 O O 4 ? ? , ? O1O O 4 ? ? ,因为 R ? a ? r1 ? b ? r2 ,所以有

l1 2 ? O 1O 2 ? ? r1 ? r2 ? ? a ? b ? 2 a b co s ? ? ? a ? b ? ? 2 a b ? 1 ? co s ?
2 2 2 2 2 2

??

4 a b sin

2

?
2

,即

l1 2 ? 2 a b sin

?
2

。同理可得 l 2 3 , l 3 4 , l1 4 , l1 3 , l 2 4 的表达式。由托勒密定理的逆定理知,只要证

l12 l 34 ? l 23 l14 ? l13 l 24 。代入 l ij 的表达式,只要证

14

sin

?
2

sin

?
2

? sin

?
2

sin

?
2

? sin

? ??
2

sin

? ??
2

,即 A B ?C D ? B C ?A D ? A C ?B D 。

20.设 M 是 ? A B C 内一点, D , E , F 分别是 ? B C M , ? C A M , ? A B M 的外心,证明
S ? D E F ? S ? A B C ,并确定等号成立的条件。

证明 设 M A , M B , M C 与 E F , F D , D E 分别交于点 A1 , B1 , C 1 ,? D E F 的外心为 O , 外 接圆半径为 R , O M ? d 。因为 M 在圆 O 的内部,由欧拉关于垂足三角形的面积公式,有
S ?ABC ? 4 S ?A B C ? 4 ?
1 1 1

R ?d
2

2

4R

2

S ?DEF ?

R ?d
2

2

R

2

S ? D E F ? S ? D E F 。等号成立当且仅当 d ? 0 ,

15

即 M 为 ? D E F 的外心。此时有 M 为 ? A B C 的垂心,且 ? A B C 是锐角三角形。 21. ? 1 ? 直角 ? A B C 中, O 是斜边 A B 的中点, P B ? A B , P O 交 A C 于点 M , P C 的延长线交 A B 于点 E ,证明 ? O B M ? ? B C E 。 (07 年第四届东南地区数学奥林匹克) 证明 作 ? A B C 的外接圆 O ,延长 P E ,与圆 O 交于点 D ,连 A D ,并与 P O 的延长线 交于点 N 。因为 ? B C E ? ? B A D ,所以只要证 ? O B M ? ? B A D 。又因为 O 是 A B 的中 点,因此只要证 O M ? O N 。

? 2 ? 设 C , D 是以 O 为圆心, A B 为直径的半圆上的任意两点,过点 B 作圆 O 的切线,
交直线 D C 于点 P ,直线 P O 与直线 A C , D A 分别交于点 M , N ,证明 O M ? O N 。 (07 年 第四届东南地区数学奥林匹克)

统一证明

过 A 作 A B 的垂线,与直线 P O 交于点 Q ,则 O 是 P Q 的中点。于是这两

个问题都等价于: 已知过圆 O 的圆心 O 的直线上的两个点 P , Q 满足 O P ? O Q ,过 P 作圆 O 的割线
P C D , 过 Q 作 圆 O 的 切 线 P A , 若 A C , A D与 直 线 P Q 分 别 交 于 点 M , N , 证 明
OM ? ON 。

实际上这个问题还可以更一般化:设一条直线 l 与一条二次曲线交于点 S , T , ST 的中 点为 O , P , Q 为 l 上的两个点,且满足 O P ? O Q ,过 P 作圆 O 的割线 P C D ,过 Q 作圆 O 的割线 P E F ,若 C E , D F 与直线 l 分别交于点 M , N ,证明 O M ? O N 。 证明 以 O 为坐标原点, l 为 x 轴建立平面直角坐标系,二次曲线的方程设为
a x ? b xy ? cy ? d x ? ey ? f ? 0 。 y ? 0 时得 ax ? dx ? f ? 0 , 当 该二次方程的两个解就
2 2 2

16

是 点 S , T 的 横 坐 标 。 因 为 ST 的 中 点 为 O , 所 以 d ? 0 , 即 二 次 曲 线 的 方 程 化 为
, ax ? bxy ? cy ? ey ? f ? 0 。 设 P ? p 0? , Q ? ?
2 2

p, 0 则 PCD , PEF 的 方 程 为 ? ,

? y ? k ? x ? p ?? ? y ? k ? x ? p ?? ? 0
1 2 2 2

, 因 此 过 C, D, E, F

的 二 次 曲 线 系 为

ax ? bxy ? cy ? ey ? f ? ? ? y ? k 1 ? x ? p ? ? ? y ? k 2 ? x ? p ? ? ? 0 。特别地,当 ? 取某个特

殊值时, 该方程就是两条直线 C E , D F 的方程。 y ? 0 时得 a x ? f ? ? k 1 k 2 ? x ? p 当
2 2

2

? ? 0,

该二次方程的两个解就是点 M , N 的横坐标。由于二次方程没有一次项,所以 M , N 的横坐 标的和为 0 ,从而有 O M ? O N 。

17


推荐相关:

2006年国家集训队平面几何一题多证

求证:CE=EF (2006 国家集训队培训题) A E P C B F O D 【证法一】 :作 OM⊥CD 垂足为 M,连接 BC,BM,EM,OA,OB ∵∠OAP=∠OMP=∠OBP, ∴P,A...


学大伟业2016年寒假(北京-济南-南京)数学联赛腾飞班课表

届全国中学生数学奥林匹克金牌, 成功入选国家集训队...李伟源: 学大伟业先锋讲师, 任教于北京大学中国经济...和冬令营的学生提供几何培训讲座, 熟悉近10年来的...


奥赛

中国科技大学教授,物理奥林匹克竞赛国家集训队教练。...叶中豪教授:上海教育出版社高级编审,著名平面几何专家...(5 天) 培训内容 7/11—7/20(10 天,开设专题...


高中数学竞赛几何专题(1)从调和点列到Apollonius圆到极线

年全国高中数学联赛平面几何题目为:如图 1,锐角三 ...求证:CE=EF(2006 国家集训队培训题) 证明:由定理...求证:GF=FC(2008国家队选拔) 证明:设另两切点...


高中数学竞赛几何专题(1)从调和点列到Apollonius圆到极线

年全国高中数学联赛平面几何题目为:如图 1,锐角三 ...求证:CE=EF(2006 国家集训队培训题) 证明:由定理...求证:GF=FC(2008国家队选拔) 证明:设另两切点...


学而思初一全国联赛班

国家冬令营与中国女子数学奥林匹克的竞赛培训及命题...中国国家集训队教练,中国几何第一人,在几何方面具有独到...(二) 相交线与平行线 三角形中的边与角 平面直角...


平面几何-角度相等

平面几何-角度相等_数学_自然科学_专业资料。例2 如图 2,设凸四边形 ABCD 的...(2010 年中国国家集训队测试题) 先给出如下引理: 引理 若 ? , ? ,? ? ...


招 生 简 章 (2)

张鹏飞教授:中国科技大学教授,物理奥林匹克国家集训队...叶中豪教授:上海教育出版社高级编审,著名平面几何专家...培训内容 收费 培训费:1500 元/人;资料、 针对...


2013年江苏省数学竞赛夏令营例题讲义(唐一良)

2013 江苏省数学奥林匹克夏令营讲义——平面几何 ...AO (2009 年国家集训队 选拔考试题) 例 4.5.已知...文档贡献者 ycyz2012101 贡献于2013-08-02 ...


数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义(完整版)

数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义(完整版)_高三理化生_理化生_高中...2000 年国家集训队) ((10082201-1.gsp) A D C T P E B 17.已知△ABC...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com