tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

第五讲-不定方程


初等代数选讲-----第五讲

第五讲

不定方程

所谓不定方程, 是指未知数的个数多于方程个数, 且未知数受到某些 (如要求是有理数、 整数或正整数等等) 的方程或方程组。 不定方程也称为丢番图方程, 是数论的重要分支学科, 也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富,与代数数论、几何数论、集 合数论等等

都有较为密切的联系。 1.不定方程问题的常见类型: (1)求不定方程的解; (2)判定不定方程是否有解; (3)判定不定方程的解的个数(有限个还是无限个) 。 2.解不定方程问题常用的解法: (1)代数恒等变形:如因式分解、配方、换元等; (2)不等式估算法:利用不等式等方法,确定出方程中某些变量的范围,进而求解; (3)同余法:对等式两边取特殊的模(如奇偶分析) ,缩小变量的范围或性质,得出不定方 程的整数解或判定其无解; (4)构造法:构造出符合要求的特解,或构造一个求解的递推式,证明方程有无穷多解; (5)无穷递推法。 以下给出几个关于特殊方程的求解定理: (一)二元一次不定方程(组) 定义 1.形如 ax ? by ? c ( a, b, c,? Z , a , b 不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。 定理 1.方程 ax ? by ? c 有解的充要是 (a, b) | c ; 定理 2.若 (a, b) ? 1 ,且 x0 , y0 为 ax ? by ? c 的一个解,则方程的一切解都可以表示成

b ? x ? x0 ? t ? ? ( a, b) ( t 为任意整数)。 ? a ? y ? y0 ? t ? ( a, b) ?
定理 3. n 元一次不定方程 a1 x1 ? a2 x2 ? ? ? an xn ? c ,( a1 , a2 ,?, an , c ? N )有解的充要 条件是 (a1 , a2 ,?, an ) | c . 方法与技巧:

1

初等代数选讲-----第五讲

1.解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解,可先求 ax ? by ? c 一个特解,从 而写出通解。当不定方程系数不大时,有时可以通过观察法求得其解,即引入变量,逐渐减 小系数,直到容易得其特解为止; 2. 解 n 元一次不定方程 a1 x1 ? a2 x2 ? ? ? an xn ? c 时, 可先顺次求出 (a1 , a2 ) ? d 2 , (d 2 , a3 ) ? d3 , ……, (d n?1 , an ) ? d n .若 d n c ,则方程无解;若 d n | c ,则方程有解,作方程组:

a1 x1 ? a2 x2 ? d 2 t 2 ? ? d 2 t 2 ? a 3 x3 ? d 3 t 3 ? ? ???? 求出最后一个方程的一切解,然后把 t n ?1 的每一个值代入倒数 ? ?d t ? a x ? d t n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 ? n?2 n?2 ? d n?1t n?1 ? an xn ? c ?
第二个方程,求出它的一切解,这样下去即可得方程的一切解。 3. m 个 n 元一次不定方程组成的方程组,其中 m ? n ,可以消去 m ? 1 个未知数,从而消 去了 m ? 1 个不定方程,将方程组转化为一个 n ? m ? 1 元的一次不定方程。 (二)高次不定方程(组)及其解法 1.因式分解法:对方程的一边进行因式分解,另一边作质因式分解,然后对比两边,转而 求解若干个方程组; 2. 同余法:如果不定方程 F ( x1 ,?, xn ) ? 0 有整数解,则对于任意 m ? N , 其整数解 ( x1 ,?, xn ) 满 足 F ( x1 ,?, xn ) ? 0(modm) , 利用这一条件, 同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石; 3.不等式估计法:利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围,再分别求解; 4.无限递降法:若关于正整数 n 的命题 P (n) 对某些正整数成立,设 n0 是使 P (n) 成立的最 小正整数,可以推出:存在 n1 ? N ,使得 n1 ? n0 成立,适合证明不定方程无正整数解。
*

方法与技巧: 1.因式分解法是不定方程中最基本的方法,其理论基础是整数的唯一分解定理,分解法作 为解题的一种手段,没有因定的程序可循,应具体的例子中才能有深刻地体会; 2.同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件,为进一步求解或求证作准备。同 余的关键是选择适当的模,它需要经过多次尝试; 3.不等式估计法主要针对方程有整数解,则必然有实数解,当方程的实数解为一个有界集, 则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个,逐一检验,求出全部解;若方程的实数解

2

初等代数选讲-----第五讲

是无界的,则着眼于整数,利用整数的各种性质产生适用的不等式; 4.无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解,使得它比已选择的解“严格地小” ,由 此产生矛盾。 (三)特殊的不定方程 1.利用分解法求不定方程 ax ? by ? cxy(abc ? 0) 整数解的基本思路: 将 ax ? by ? cxy(abc ? 0) 转化为 ( x ? a)(cy ? b) ? ab 后,若 ab 可分解为 ab ? a1b1 ? ? ? ai bi ? Z ,

ai ? a ? ?x ? c 则解的一般形式为 ? ,再取舍得其整数解; bi ? b ?y ? c ?
2.定义 2:形如 x 2 ? y 2 ? z 2 的方程叫做勾股数方程,这里 x, y , z 为正整数。 对于方程 x 2 ? y 2 ? z 2 ,如果 ( x, y) ? d ,则 d 2 | z 2 ,从而只需讨论 ( x, y ) ? 1 的情形, 此时易知 x, y , z 两两互素,这种两两互素的正整数组叫方程的本原解。 定理 3.勾股数方程 x 2 ? y 2 ? z 2 满足条件 2 | y 的一切解可表示为:

x ? a 2 ? b 2 , y ? 2ab, z ? a 2 ? b 2 ,其中 a ? b ? 0, (a, b) ? 1 且 a , b 为一奇一偶。
推论:勾股数方程 x ? y ? z 的全部正整数解( x, y 的顺序不加区别)可表示为:
2 2 2

x ? (a 2 ? b 2 )d , y ? 2abd, z ? (a 2 ? b 2 )d 其中 a ? b ? 0 是互质的奇偶性不同的一对正整
数, d 是一个整数。 勾股数不定方程 x ? y ? z 的整数解的问题主要依据定理来解决。
2 2 2

3.定义 3.方程 x ? dy ? ?1,?4( x, y ? Z , d ? N 且不是平方数)是 x ? dy ? c 的一种特
2 2 * 2 2

殊情况,称为沛尔(Pell)方程。 这种二元二次方程比较复杂,它们本质上归结为双曲线方程 x ? dy ? c 的研究,其中 c, d
2 2

都是整数, d ? 0 且非平方数,而 c ? 0 。它主要用于证明问题有无数多个整数解。对于具 体的 d 可用尝试法求出一组成正整数解。如果上述 pell 方程有正整数解 ( x, y ) ,则称使

x ? d y 的最小的正整数解 ( x1 , y1 ) 为它的最小解。
定理 4.Pell 方程 x ? dy ? 1( x, y ? Z , d ? N 且不是平方数)必有正整数解 ( x, y ) ,且若设
2 2 *

3

初等代数选讲-----第五讲

它的最小解为 ( x1 , y1 ) ,则它的全部解可以表示成:

1 ? n n ? xn ? 2 ( x1 ? d y1 ) ? ( x1 ? d y1 ) ? (n ? N * ) . ? 1 ( x1 ? d y1 ) n ? ( x1 ? d y1 ) n ? yn ? ? 2 d ?

?

?

?

?

上面的公式也可以写成以下几种形式: (1) xn ? yn d ? ( x1 ? y1 d ) n ; (2) ?

? xn ?1 ? x1 xn ? dy1 y n ? xn?1 ? 2 x1 xn ? yn?1 ; (3) ? . y ? 2 x y ? y ? y n ?1 ? x1 y n ? y1 xn n ? 1 1 n n ? 1 ?

定理 5.Pell 方程 x 2 ? dy2 ? ?1( x, y ? Z , d ? N * 且不是平方数)要么无正整数解,要么有无 穷多组正整数解 ( x, y ) ,且在后一种情况下,设它的最小解为 ( x1 , y1 ) ,则它的全部解可以

1 ? xn ? ( x1 ? d y1 ) 2 n?1 ? ( x1 ? d y1 ) 2 n ?1 ? 2 表示为 ? (n ? N * ) ? 1 2 n ?1 2 n ?1 ( x1 ? d y1 ) ? ( x1 ? d y1 ) ? yn ? ? 2 d ?

?

?

?

?

定理 6. (费尔马(Fermat)大定理)方程 x n ? y n ? z n (n ? 3 为整数)无正整数解。 费尔马(Fermat)大定理的证明一直以来是数学界的难题,但是在 1994 年 6 月,美国 普林斯顿大学的数学教授 A.Wiles 完全解决了这一难题。至此,这一困扰了人们四百多年的 数学难题终于露出了庐山真面目,脱去了其神秘面纱。

典例分析
1.求不定方程 37x ? 107y ? 25的整数解。 解:先求 37x ? 107y ? 1 的一组特解,为此对 37,107 运用辗转相除法:
107 ? 2 ? 37 ? 33 , 37 ? 1 ? 33 ? 4 , 33 ? 4 ? 8 ? 1 将上述过程回填,得:

1 ? 33? 8 ? 4 ? 37 ? 4 ? 8 ? 4 ? 37 ? 9 ? 4 ? 37 ? 9 ? (37 ? 33) ? 9 ? 33? 8 ? 37 ? 9 ? (107? 2 ? 37) ? 8 ? 37 ? 9 ?107? 26? 37 ? 37? (?26) ? 107? 9
由此可知, x1 ? ?26, y1 ? 9 是方程 37x ? 107y ? 1 的一组特解,于是 x0 ? 25? (?26) ? ?650,

y0 ? 25? 9 ? 225 是 方 程 37x ? 107y ? 25 的 一 组 特 解 , 因 此 原 方 程 的 一 切 整 数 解 为 :
? x ? ?650? 107t 。 ? ? y ? 225? 37t 2.求不定方程 7 x ? 19y ? 213的所有正整数解。

x? 解: 用原方程中的最小系数 7 去除方程的各项, 并移项得:
因为 x, y 是整数,故

3 ? 5y ? u 也一定是整数,于是有 5 y ? 7u ? 3 ,再用 5 去除比式的两 7
4

213 ? 19 y 3 ? 5y ? 30 ? 2 y ? 7 7

初等代数选讲-----第五讲

边,得 y ?

3 ? 7u 3 ? 2u 3 ? 2u ? ?u ? ,令 v ? 为整数,由此得 2u ? 5v ? 3 。 5 5 5

经观察得 u ? ?1, v ? 1 是最后一个方程的一组解,依次回代,可求得原方程的一组特解:

? x ? 25 ? 19t 。 x0 ? 25, y0 ? 2 ,所以原方程的一切整数解为: ? ? y ? 2 ? 7t
3.求不定方程 3x ? 2 y ? 8 z ? 40的正整数解。 解:显然此方程有整数解。先确定系数最大的未知数 z 的取值范围,因为 x, y , z 的最小值为 1,所以 1 ? z ? ?

? 40 ? 3 ? 2 ? ? ? 4。 8 ? ?
32 ? 3 x , 由上式知 x 是偶数且 2 ? x ? 10 2

当 z ? 1 时, 原方程变形为 3x ? 2 y ? 32 , 即y? 故方程组有 5 组正整数解,分别为 ?

? x ? 2 ? x ? 4 ? x ? 6 ? x ? 8 ? x ? 10 ,? ,? ,? ,? ; ? y ? 13 ? y ? 10 ? y ? 7 ? y ? 4 ? y ? 1
24 ? 3 x ,故方程有 3 组正整数解,分别 2

当 z ? 2 时,原方程变形为 3x ? 2 y ? 24 ,即 y ? 为: ?

?x ? 2 ?x ? 4 ?x ? 6 ,? ,? ; ?y ? 9 ?y ? 6 ?y ? 3
16 ? 3 x ,故方程有 2 组正整数解,分别 2

当 z ? 3 时,原方程变形为 3x ? 2 y ? 16,即 y ? 为: ?

?x ? 2 ? x ? 4 ,? ; ?y ? 5 ?y ? 2 ?x ? 2 8 ? 3x , 故方程只有一组正整数解, 为? 。 2 ?y ?1
2 9 2 4 6 2 6 3 2 2 5 3 4 2 3 2 1 4

当 z ? 4 时, 原方程变形为 3x ? 2 y ? 8 , 即y? 故原方程有 11 组正整数解(如下表) :

x
y

2 13 1

4 10 1

6 7 1

8 4 1

10 1 1

z
2 2

4.求出方程 x ? 7 y ? 1的所有正整数解。 解:先求最小解 ( x1 , y1 ) 。令 y ? 1,2,3,?
2 2 2 2 当 y ? 1 时, 1 ? 7 y ? 8 ;当 y ? 2 时, 1 ? 7 y ? 29 ;当 y ? 3 时, 1 ? 7 y ? 64 ? 8 。

所以 x ? 7 y ? 1的最小解为 (8,3) ,于是:
2 2

5

初等代数选讲-----第五讲

1 1 ? n n n n ? x n ? 2 ( x1 ? d y1 ) ? ( x1 ? d y1 ) ? 2 [(8 ? 3 7 ) ? (8 ? 3 7 ) ] ? (n ? N * ) ? 1 1 n n n n ( x1 ? d y1 ) ? ( x1 ? d y1 ) ? [(8 ? 3 7 ) ? (8 ? 3 7 ) ] ? yn ? ? 2 d 2 7 ?
5.在直角坐标平面上,以(199,0)为圆心,以 199 为半径的圆周上的整点的个数为多少 个? 解:设 A( x, y) 为圆 O 上任一整点,则其方程为: y 2 ? ( x ? 199) 2 ? 1992 ; 显然 (0,0), (199,199), (199,?199), (389,0) 为方程的 4 组解。 但当 y ? 0,?199时, ( y,199) ? 1 (因为 199 是质数) ,此时,199, y, | 199 ? x | 是一组勾股 数,故 199 可表示为两个正整数的平方和,即 199 ? m ? n 。
2 2

? ?

? ?

因为 199 ? 4 ? 49 ? 3 ,可设 m ? 2k , n ? 2l ? 1,则199 ? 4k 2 ? 4l 2 ? 4l ? 1 ? 4(k 2 ? l 2 ? l ) ? 1 这与 199 为 4d ? 3 型的质数矛盾! 因而圆 O 上只有四个整点 (0,0), (199,199), (199,?199), (389,0) 。 6.求所有满足 8 ? 15 ? 17 的正整数三元组 ( x, y, z ) 。
x y z

解:两边取 mod 8 ,得 (?1) y ? 1(mod 8) ,所以 y 是偶数,再 mod 7 得 2 ? 3 z (mod7) ,所 以 z 也是偶数。此时令 y ? 2m, z ? 2t (m, t ? N )
3x t m t m 于是,由 8 ? 15 ? 17 可知: 2 ? (17 ? 15 ) (17 ? 15 ) ;
x y z

由唯一分解定理:(17 ? 15 ) ? 2 ,(17 ? 15 ) ? 2
t m s t m
t 注意到 17 是奇数,所以要使 17 ?

3 x?s

t ,从而17 ?

1 s (2 ? 2 3 x ? s ) ? 2 s ?1 ? 2 3 x ? s ?1 2

1 s (2 ? 2 3 x ? s ) ? 2 s ?1 ? 2 3 x ? s ?1 成立,一定有 s ? 1 。 2

于是 17 ? 15 ? 2 。
t m

t 当 m ? 2 时,在 17 ? 15 ? 2 的两边取 mod 9 ,得 (?1) ? 2(mod 9) ,这显然是不成立的,
t m

所以 m ? 1 ,从而 t ? 1, x ? 2 。 故方程 8 ? 15 ? 17 只有唯一的一组解(2,2,2) 。
x y z

7. a 是一个给定的整数,当 a 为何值时, x, y 的方程 y ? 1 ? a( xy ? 1) 有正整数解?在有
3

正整数解时,求解该不定方程。
3 3 解;若有质数 p | x , p | xy ? 1 ,则 p | x ,从而 p | 1 ,矛盾!所以 ( x , xy ? 1) ? 1。

因此 xy ? 1 | y ? 1 当且仅当 xy ? 1 | x ( y ? 1) 。因为 x ( y ? 1) ? ( x y ? 1) ? ( x ? 1) ,
3 3 3 3 3 3 3 3

6

初等代数选讲-----第五讲

显然 xy ? 1 | x 3 ( y 3 ? 1) ,所以 xy ? 1 | y 3 ? 1 当且仅当 xy ? 1 | x 3 ? 1 。 (*) (1)若 y ? 1 时, a ?

2 ? Z ,所以 x ? 2 或 x ? 3 , a ? 2 或 a ? 1 ; x ?1

(2)类似地,若 x ? 1 ,则

2 ? Z ,所以 y ? 2 或 y ? 3 , a ? 9 或 a ? 14 ; y ?1

(3)由于条件(*) ,不妨设 x ? y ? 1 ; 若 x ? y ,则 a ?

y3 ?1 1 ? y? ? Z ,所以 x ? y ? 2, a ? 3 ; 2 y ?1 y ?1

若 x ? y ,则因为 y 3 ? 1 ? 1(mody), xy ? 1 ? ?1(mody) ,所以存在 b ? N ,使得:

1 y3 ?1 y3 ?1 1 ?1。 , by ? 1 ? y ? 1 ? ( xy ? 1)(by ? 1) ,所以 by ? 1 ? ? 2 ? y? y ?1 xy ? 1 y ? 1 y ?1
3

因 为 y ? 2, b ? N , 所 以 必 有 b ? 1 。 所 以 y 3 ? 1 ? ( xy ? 1)( y ? 1) , 故

y 3 ? xy 2 ? xy ? y, y 2 ? xy ? y ? 1
所以 x ?

y2 ?1 2 ? y ?1? ? N ,所以 y ? 2 或 y ? 3 y ?1 y ?1

当 y ? 2 时, x ? 5 ; 当 y ? 3 时, x ? 5 ,对应的 a 为 1 或 2。 由条件(*)知 x ? 2, y ? 5 以及 x ? 3, y ? 5 也是原方程的解,对应的整数 a 为 14 或 9。 综上,当 a ? 1,2,3,9,14 时原方程有整数解,它们分别是: (3,1) , (5,2) ; (2,1) , (5,3) , (2,2) ; (1,2) , (3,5) ; (1,3) , (2,5) 。 8.求证:边长为整数的直角三角形的面积不可能是完全平方数。 证明:假设结论不成立,在所有的面积为平方数勾股三角形中选取一个面积最小的,设其边 长为 x ? y ? z ,则
2 2 2

1 xy 是平方数,则必有 ( x, y ) ? 1 。 2

因为 x ? y ? z ,故存在整数 a ? b ? 0, a, b 中一奇一偶, (a, b) ? 1 ,使得(不妨设 y 是 偶数) x ? a ? b , y ? 2ab, z ? a ? b 。
2 2 2 2

由于

1 xy ? (a ? b)( a ? b)ab 是完全平方数,而知 a ? b, a ? b, ab 两两互素,故它们是平方 2
2 2 2 2 2 2 2 2

数,即 a ? p , b ? q , a ? b ? u , a ? b ? v ,所以 u ? v ? 2q 即 (u ? v)(u ? v) ? 2q
7

初等代数选讲-----第五讲

因为 u , v 是奇数,易知 (u ? v, u ? v) ? 2 ,于是 u ? v 与 u ? v 中有一个是 2 r ,另一个是
2

(2s) 2 ,而 q 2 ? 4r 2 s 2 ;
2 另一方面, a ? p 2 , b ? q 2 , a ? b ? u 2 , a ? b ? v 2 得 p ? a ?

1 2 2 1 (u ? v ) ? [( u ? v) 2 ? (u ? v) 2 ] 2 4

1 ? [( 2r 2 ) 2 ? (2s ) 4 ] ? r 4 ? 4s 4 4
所以, 以 r 2 ,2s 2 , p 为边的三角形都是直角三角形, 其面积等于 但是 (rs ) ?
2

1 2 r ? 2 s 2 ? ( rs ) 2 是平方数, 2

q2 b 1 ? ? (a 2 ? b 2 )ab ? xy ,于是构造出了一个面积更小的勾股三角形,矛 4 4 2

盾!

8


推荐相关:

奥数同余不定方程

奥数同余不定方程_数学_自然科学_专业资料。五年级奥数下册:第五讲 同余数的概念和性质 五年级奥数下册:第六讲 不定方程解应用题 五年级奥数下册:第五讲 同余数...


奥数与普数的区别

第四讲植树与方阵问题 第五讲找几何图形的规律 第六讲找简单数列的规律 第七...第六讲不定方程解应用题 第七讲不定方程整数解 第八讲时钟问题 第九讲数学...


小学六年级 数学

第五讲 知识要点: 不定方程(二) 1、 如果遇到三个未知数,一定要想办法转化为两个未知数,为了方便一般设两个单位量 大的未知数,代出最小的未知数,再列方程...


三年级寒假班第五讲 楼梯问题

三年级寒假班第五讲 楼梯问题_学科竞赛_小学教育_教育专区。三年级寒假班第五...文档贡献者 爱解不定方程 贡献于2015-07-28 1/2 相关文档推荐 ...


6华数奥赛教材六年级

(二) 第三讲 估算 第四讲 计数问题(一) 第五讲 计数问题(二) 第六讲 ...(二) 第七讲 不定方程 第八讲 逻辑推理问题 第九讲 行程问题 第十讲 时钟...


3年级4年级5年级年级奥数模块划分11

(假设法的妙用) 秋季第五讲 鸡兔同笼问题一(分组与画画) 秋季第十三讲 盈亏...不定方程 春季第十二讲 数论与凸轮方法综合运用 春季第十三讲 余数问题(二) ...


新人教A版高中数学教材目录(必修+选修)

第五讲 微积分的诞生 一 微积分产生的历史背景 二 科学巨人牛顿的工作 实习...一次不定方程 一 二元一次不定方程 二 二元一次不定方程的特解 三 多元一次...


高中数学新课标人教版教材选修目录

三角形 三 球面三角形的周长 四 球面三角形的内角和 思考题 第五讲 球面三角...一次不定方程 一 二元一次不定方程 二 二元一次不定方程的特解 三 多元一次...


学而思奥数网2007年五升六暑假班教学大纲

学而思奥数网2007年五升六暑假班教学大纲_五年级数学_数学_小学教育_教育专区。...第九讲 不定方程 不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中, 有着...


人教版高中数学目录

第三章 数系的扩充与复数的引入 第五讲 微积分的诞生 3.1 数系的扩充和复数...一次不定方程 第四讲 数伦在密码中的应用 选修 4-7 选修 4-2 第一讲 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com