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探讨高考三角函数问题的解析


吉林师范大学 毕业论文(设计)

论文分类号 密 级:无

探讨高考三角函数问题的解析

学院、专业: 学 生 姓 名: 年 级 班:

数学学院

数学与应用数学

指 导 教 师:

2013 年 4 月 18 日

摘要 .................................................................................................... 2 Abstract ........................................................................................ 2 1.三角函数高考考情分析 .......................................................... 3 2.高考三角函数典型例题解析 .................................................. 3
2.1 三角函数概念和同角三角函数关系式 ................................ 3 2.2 三角函数的化简求值 ............................................................ 4 2.3 三角函数的图像 .................................................................... 4 2.4 三角函数的性质 .................................................................... 6 2.5 三角函数的最值问题 ............................................................ 8 2.6 三角函数与二次函数的综合应用 ...................................... 10 2.7 三角形中的三角函数 .......................................................... 11 2.8 三角函数与向量 .................................................................. 12 2.9 三角函数的综合应用 .......................................................... 14

3.2013 年高考三角函数命题趋势 ........................................... 15 参考文献 .................................................................................... 16

1

探讨高考三角函数问题的解析
摘要: 三角函数是高中数学的主要内容, 并且是高考的重点也是难点,
在高考中主要包括以下内容:诱导公式、同角三角函数关系式、三角 函数图像及其性质、三角形中关于三角函数的正余弦定理、三角函数 的化简求值、三角函数的最值问题以及实际应用. 关键词:三角函数 高考题型 解题应用

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Abstract: Trigonometric high school mathematics main content, and is
the focus of the college entrance examination is difficult mainly include the following: induction formula in the entrance, the same angle trigonometric relationship triangle, the trigonometric images and its nature, about trigonometric functions law of cosines are the simplification evaluated trigonometric functions, trigonometric functions most value, and i related to the practical application. Keywords: Trigonometric Problem solving applications College entrance examination questions

2

1.三角函数高考考情分析
三角函数是高中教学课程中的重要内容,不仅在数学方面有广泛的应用,是 解析几何、 立体几何、 复数中的常用工具和媒介, 在其他学科中也有相应的应用. 在对近几年全国各地高考试题的研究分析来看, 高考中三角函数所考查的内容继 续保持着稳定(内容、题量、分值).主要考查的内容大致包括以下三个方面:1、 三角函数的恒等变换.2、 三角函数的图像及其性质.3.三角函数的应用.同时三角函 数这一章所考查的内容在高考中所占的分值比例较高,约占试卷总分的 15%左 右,可见其地位的重要性.在新课标普及以及高考改革的过程中,三角函数相关 知识还增加了现实生活以及科技发展相关的许多新颖的内容, 并且注重考查学生 如何应用数学知识解决实际问题的能力.并且针对本章内容,不仅考查三角函数 的图像和性质,并且加入了平面向量、二次函数,同时进行综合考查.这自然而 然会吸引高考命题者的眼光.因此三角函数类例题依旧是高中复习中的重要内容 和高考的必考点 ? ? .
1

2.高考三角函数典型例题解析
2.1 三角函数概念和同角三角函数关系式
这种类型主要考查的内容是三角函数的诱导公式和其符号规律,要注意一些 相关的分类讨论和三角函数符号的正确判定. 例 1.记 cos(?80?) ? k , 那么tan100? ? ( A. )

1? K 2 K

B. ?

1? K 2 K

C.

K 1? K
2

D. ?

K 1? K 2

解: (B)? sin 80? ? 1 ? cos 2 80? ? 1 ? cos 2 (?80?) ? 1 ? k 2

sin 80? 1? k 2 ? tan100? ? ? tan80? ? ? ?? cos80? k
评析: 此题主要考查诱导公式和同一个角的三角函数关系式,应用了弦与切 之间互相转化的思想,同时要知道三角函数的符号各个象限是如何确定的. sin 2? ?( ) 例 2.若 tan ? ? 3 ,则 cos 2 ? A.2 B.3 C.4 D.6 sin 2? 2sin ? cos ? 2sin ? ? ? ? 2 tan ? ? 6 解:(D)由题得 cos 2 ? cos 2 ? cos ? 评析:此题主要考查同一个角的三角函数关系式和二倍角公式,要熟练掌握 这些基本公式.
3

2.2 三角函数的化简求值
这种题型主要考查三角函数的恒等变换,合理选择三角函数公式,如何应用 三角函数,准确的计算能力,在解题过程中考生要考虑角之间的关系,式子的结 构特征,灵活的运用诱导公式,两角和、差、倍角公式,同时还要知道应该选择 正用还是逆用这些公式 ? 2 ? .
3 ? 例 3.已知 ? 为第三象限的角, cos 2? ? ? ,则 tan( ? 2? ) ? ( 5 4



解:

? 为第三象限的角

3 ? 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) ? 4k? ? 2? ? 2? ? 4k? ? 3? (k ? Z ) 2 3 4 又 cos 2? ? ? ? 0 ? sin 2? ? 1 ? cos 2 2? ? 5 5 4 sin 2? 4 ? tan 2? ? ? 5 ?? cos 2? ? 3 3 5 4 ? tan ? tan 2? 1 ? ?? ? 3 ??1 4 ? tan ? ? 2? ? ? ? 7 ?4 ? 1 ? tan ? tan 2? 1 ? 4 4 3

评析: 此题主要考查同一个角的三角函数关系式以及二倍角正弦、 正切公式, 综合性较强. 例 4.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? ?
5 3 5 9 3 3 5 9 3 ,则 cos 2? ? ( 3



A. ?

B. ?

C.

D.

5 3

解:(A) sin ? ? cos ? ?

等式两端同时平方得

1 2 1+2sin? cos? = ? 2sin ? cos ? ? ? 3 3

? 为第二象限角
?sin ? ? cos ? ?

?s i n ? ? 0, c ?o? s
2

0

? sin ? ? cos ? ?

? 1 ? 2sin ? cos ? ?

15 3

4

? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ?

? 15 ? 3 5 ? ? cos ? ? sin ? ?? cos ? ? sin ? ? ? ? ?? 3 ? ?? 3 ? ? 3 ? ?

评析: 此题主要考查同角三角函数关系式和二倍角余弦公式,同时还要注意 角的范围,综合性很强.

2.3 三角函数的图像
此种类型主要考查三角函数的图像变换,解决此种类型的关键就是要熟练掌 握 A, ? , ? 的含义, 尤其是知道 ? 如何判定, 同时还要知道伸缩变换对 ? 的影响 ?3? .

?? ?? ? ? 例 5.为了得到函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图像,只需把函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图 3? 6? ? ?
像( )

? 个长度单位 4 ? C.向左平移 个长度单位 2
A.向左平移 解:(B)

? 个长度单位 4 ? D.向右平移 个长度单位 2
B.向右平移

?? ? ? ? ? y ? sin ? 2 x ? ? ? sin 2 ? x ? ? 6? 12 ? ? ?
?? ?? ? ? y ? sin ? 2 x ? ? ? sin 2 ? x ? ? 3? 6? ? ?
?? ? ? ?? ? ? 所以将 y ? sin ? 2 x ? ? 的图像向右平移 ? ? ? ? ? 个长度单位得 6? 12 ? 6 ? 4 ?

?? ? 到 y ? sin ? 2 x ? ? 的图像. 3? ?
评析:本题主要考查三角函数图像的平移变换,内容较基础.

?? ? 例 6.已知函数 f ? x ? ? A tan ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? ? , y ? f ? x ? 的部分图像如下 2? ?
?? ? 图,则 f ? ? ? ___________. ? 24 ?

解:由图可知 T 3? ? ? ? ? ? 即 = ?? ? 2 2 8 8 2? 4

5

同时由图像还可以得到 2 ?

?
8

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z即 ? ? k? ?

?
4

3 1 ? ?? ? k ? 只有k ? 0 ?? ? 4 4 4

又图像过点(0,1) ,代入得 A tan

?
4

? 1? A ? 1

?? ? ?函数的解析式为f ? x ? ? tan ? 2 x ? ? 4? ? ? ?? ? ? f ? ? ? tan ? 3 3 ? 24 ?

图1 评析:本题主要考查三角函数图像变换,重点确定 A, ? , ? ,要精确地分析所 给图像的关键点.

2.4 三角函数的性质
此种类型主要考查三角函数的单调性、周期性、图像的对称性,要求对三角 函数的恒等变换能够熟练地进行应用 ? ? , 因为三角函数的性质不仅是学生将来学
4

习高等数学和应用技术学科的基础,更是解决实际生产问题的工具 ? ? ,因此三角
5

函数的性质是高考题中的重点也是难点,要注意题型的灵活性和综合性.

?? ?? ? ? 例 7.设函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? cos ? 2 x ? ? 则( 4? 4? ? ?



? ? ?? A. y ? f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递增,其图像关于直线 x ? 对称 4 ? 2? ? ? ?? B. y ? f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递增,其图像关于直线 x ? 对称 2 ? 2? ? ? ?? C. y ? f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递减,其图像关于直线 x ? 对称 4 ? 2?
6

? ? ?? D. y ? f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递减,其图像关于直线 x ? 对称 2 ? 2?

?? ?? ? ? 解:(D)化简得 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? cos ? 2 x ? ? 4? 4? ? ?
? ?? ?? ? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 2 cos 2 x 4 4? 2? ? ?
?? ? 因为 y ? cos 2 x在 ? k? , k? ? ? k ? Z 是单调递减函数 2? ?
? ?? 所以 y ? cos 2 x 在 ? 0, ? 单调递减, ? 2?

因为 y ? cos 2 x 的对称轴为 2 x ? k? 即x ? 所以 y ? cos 2 x 图像关于直线 x ?

?
2

k? ?k ? Z ? 2

对称

评析:此题主要考查三角函数的单调性以及对称性,要熟练地进行三角函数 的恒等变换,应用辅助角公式化成一角一函数,最终来求单调区间以及对称轴, 是高考考查的重点. 例 8.已知函数 f ? x ? ? Asin ?3x ? ? ? ? A ? 0, x ? ? ??, ??? ,0 ? ? ? ? ? 在 x ? 取得最大值 4. (1)求 f ? x ? 的最小正周期; (2)求 f ? x ? 的解析式;

?
12



? ? 12 ?2 (3)若 f ? ? ? ? ? , 求 sin ? . 12 ? 5 ?3
解: (1)由题易得 T ?
2? 3

(2)由 f ? x ? 的最大值是 4 知道 A ? 4 ,

7

f

? x?m a x?

?? ? ? ? ? f? ? ? 4 s i ? n ?3 ? ? ? ? 12 ? ? 1 2? ?

4

?? ? ?s i n ? ?? ? ? 1 ?4 ? 0 ?? ?? ? ?f

?

?

4 4 ?? ? x? ? 4 s i ? n 3 x ? ? 4? ?

?

?

?? ?

5? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? 4 4 2 4

(3)由题意得

? ? ? ?2 ? ? ? ? 12 ?2 f ? ? ? ? ? 4sin ?3 ? ? ? ? ? ? ? 12 ? 12 ? 4 ? 5 ?3 ? ?3
? ?2 ? ? ?? 3 ?? 3 3 ? ? sin ?3 ? ? ? ? ? ? ? ? sin ? 2? ? ? ? ? cos 2? ? 12 ? 4 ? 5 2? 5 5 ? ? ?3 3 1 5 ?1 ? 2sin 2 ? ? ? sin 2 ? ? ? sin ? ? ? 5 5 5

评析:此题主要是求三角函数的周期以及代入求值问题,内容比较基础,但 依然是重点.

2.5 三角函数的最值问题
此种类型主要考查的是三角函数基础知识的综合应用,是三角函数中很重要 的问题之一, 不仅考查三角函数基础知识而且还要有必要的求最值的方法,因此 这是高考中必考的内容 ? ? .
6

1 1 ?? ? 例 9.已知函数 f ? x ? ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ? sin ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ,其 2 2 ?2 ? ?? 1? 图像过点 ? , ? . ? 6 2?
(1) 求 ? 的值; (2) 将函数 y ? f ? x? 的图像上各点的横坐标缩短到原来的
1 ,纵坐标不 2

? ?? 变,得到函数 y ? g ? x ? 的图像,求函数 g ? x ? 在 ?0, ? 的最大值和最小 ? 4?
值. 解: (1)

1 1 ?? ? f ? x ? ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ? sin ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? 2 2 ?2 ?

8

1 1 ? cos 2 x 1 ? f ? x ? ? sin 2 x sin ? ? cos ? ? cos ? 2 2 2

1 1 ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? 2 2 1 ? ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ? 2 1 ? cos ? 2 x ? ? ? 2
?? 1? 又 f ? x ? 函数图象过点 ? , ? ? 6 2?
1 1 ? ? ? ?? ? ? ? cos ? 2 ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? 1 2 2 6 ? ? ?3 ? 0 ? ? ? ? ?? ?

?
3

1 ?? ? (2)由(1)知 f ? x ? ? cos ? 2x ? ? ,将函数 y ? f ? x ? 的图像上各点 2 3? ?

的横坐标缩短到原来的

1 ,纵坐标不变,得到函数 y ? g ? x ? 的图像可知, 2

1 ?? ? g ? x ? ? f ? 2 x ? ? cos ? 4 x ? ? 2 3? ?

? ? ? 2? ? 1 ?? ? ?? ? x ? ?0, ? ? 4 x ? ?0, ? ?? 4 x ? ? ?? , ? ?? ? cos ? 4 x ? ? ? 1 3 ? 3 3 ? 2 3? ? 4? ?
1 1 ? ?? ? y ? g ? x ? 在 ?0, ? 上的最大值和最小值分别为 和 ? 2 4 ? 4?

评析:此题主要考查了考生综合运用三角函数的能力,熟练、灵活的应用三 角函数图像变换来求三角函数最值问题的能力,同时还有分析、解决问题能力.

?? ?? ? ? 例 10.已知函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 2cos 2 x ? 1, x ? R. 3? 3? ? ?
(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期;

? ? ?? (2)求函数 f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. ? 4 4?

?? ?? ? ? 解: (1) f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 2cos 2 x ? 1 3? 3? ? ?
9

1 3 1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x 2 2 2 2 ? sin 2 x ? cos 2 x

?? ? = 2 sin ? 2 x ? ? 4? ?
因此函数 f ? x ? 的最小正周期是 (2)
? ? ?? x ? ?? , ? ? 4 4?
2? ?? 2

? 2x ?

?

? ? 3? ? ? ?? , ? 4 ? 4 4?

??

2 ?? ? ?si n 2? ? ? ?? 1 ?1 ? x 2 4? ?

?? ? 2?s i xn ? 2? ? 4 ? ?

2

? ? ?? 所以函数 f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值分别为 2 和-1. ? 4 4?

评析:此题主要考查三角函数周期性的求法以及在求最值过程中所用到的三 角函数的化简运算,这要求对三角函数两角和差运算以及二倍角公式的熟练应 用,并且能够根据所给角的范围确定所求角的范围,从而求得最值.

2.6 三角函数与二次函数的综合应用
此种类型主要考查三角函数问题中掺杂二次函数的相关运算,要求对韦达定 理有灵活的应用并且还要熟练地应用两角正弦、余弦、正切和差相关公式 ? ? .
7

例 11. 设 tan ? , tan ? 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两个根,则 tan ?? ? ? ? 的值为 ( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3

解: (D) tan ? , tan ? 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两个根 由韦达定理得 tan ? ? tan ? ? 3, tan ? tan ? ? 2
? tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? 3 ? ? ?3 1 ? tan ? tan ? 1 ? 2

评析:此题主要考查三角函数与二次函数的综合应用,要知道韦达定理,并 且掌握两角正切公式.

10

2.7 三角形中的三角函数
此类型在高考中主要考查在三角形中三角函数是如何应用的,解三角形最关 键的就是熟练的应用三角形的内角、正余弦定理三角形的面积公式等 ?8 ? . 例 12.在 ?ABC 中, AC ? 7, BC ? 2, B ? 60?, 则 BC 边上的高为( A. )

3 2

B.

3 3 2

C.

3? 6 2

D.

3 ? 39 4

解: (B)在 ?ABC 中,由余弦定理得 AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos B ,

AC ? 7, BC ? 2, B ? 60?
1 代入得 7 ? AB 2 ? 4 ? 4 ? AB ? 求得 AB ? 3 2 作 AD ? BC 垂足为 D,则在 Rt ?ABD 中,

AD ? AB ? sin 60? ?

3 3 2

即 BC 边上的高为
B

3 3 2

A

D

C

图2 评析:本题主要考查了余弦定理在三角形中的应用,内容比较基础,只要 找到 AB 即可. 例 13. 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c . 已 知
c oA s? 2 c Co s ? c 2 a ? . c oB s b sin C (1)求 的值. sin A 1 (2)若 cos B ? , ?ABC 的周长是 5,求 b 的长. 4 a b c ? ? ?k , 解: (1)由正弦定理得 sin A sin B sin C

11

2c ? a cos A ? 2 cos C 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A ? ? ? b cos B k sin B sin B cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A 有 ? cos B sin B 则 ? cos A ? 2 cos C ? sin B ? ? 2sin C ? sin A ? cos B

化简可得 sin ? A ? B? ? 2sin ? B ? C ? 又 A ? B ? C ? ? 有 sin C ? 2sin A 因此 (2)由
sin C ? 2得c ? 2a sin A 1 得 4 1 ? 4a 2 4 sin C ?2 sin A

由余弦定理以及 cosB ?

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? 4a 2 ? 4a 2 ?

所以 b ? 2a 又 a ? b ? c ? 5 得 a ? 1, b ? 2 评析:此题主要考查了三角形内角和,正余弦定理,两角和差公式,要 求熟练掌握两个定理, 注重边角互化思想, 并能灵活的运用, 同时计算准确.

2.8 三角函数与向量
此种题型主要考查在三角函数问题中掺杂向量的基本运算,主要是向量 的数量积、向量共线、向量的模这些内容.综合性比较强 ? ? .
9

例 14.已知向量 a ? ? sin ? ,cos ? ? 2sin ? ? , b ? ?1, 2 ? (1)若 a ‖ b ,求 tan ? 的值. (2)若 a ? b , 0 ? ? ? ? ,求 ? 的值. 解: (1)

a ‖b
1 4

? 2sin ? ? cos ? ? 2sin ? ? 4sin ? ? cos ? ? tan ? ?

(2)由 a ? b 知

sin 2 ? ? ? cos ? ? 2sin ? ? ? 5 ?1 ? 4sin ? cos ? ? 4sin 2 ? ? 5
2

?1 ? 2sin 2? ? 2 ?1 ? cos 2? ? ? 5 ? sin 2? ? cos 2? ? ?1

?? 2 ? ? sin ? 2? ? ? ? ? 4? 2 ?

12

9? 4 4 4 ? 5? ? 7? ? 2? ? ? 或2? ? ? 4 4 4 4 ? 3? ?? ? 或? ? 2 4 0 ?? ?? ? ? 2? ? ?
评析:此题主要考查的是在三角函数中应用向量的基本运算,主要有向量的 共线以及向量的模,要有熟练地应用,同时还要应用辅助角公式来进行化简,最 终化为同一个角从而进行求值,内容比较综合. 例 15. 设 ?ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长,并且
?? ? ?? ? sin 2 A ? sin ? ? B ? sin ? ? B ? ? sin 2 B ?3 ? ?3 ?

?

?

(1)求角 A 的值. (2)若 AB ? AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c (其中 b ? c ).
?? ? ?? ? 解: (1) sin 2 A ? sin ? ? B ? sin ? ? B ? ? sin 2 B ?3 ? ?3 ?
? 3 ? 1 ?? c o s B ? s i B n ? ? 2 ? 2 ? ?
? 3 1 c o2 s B ? s i2 n B ? 4 4

? 3 ? ? 2 ?

cB o? s
3 4

1 2

? B s? i? n ? ?

2

B sin

s2 iB n?

? sin A ? ?
?A?

3 3 ,又 A 为锐角,? sin A ? 2 2

?
3

(2)

AB ? AC ? 12 ?cb cos A ? 12

由(1)知 A ?
? cb ? 24

?
3



由余弦定理得 a2 ? c2 ? b2 ? 2cb cos A ,将 a ? 2 7 代入得
c 2 ? b2 ? 52



②+①×2 得 (c ? b)2 ? 100
? c ? b ? 10
13

因此 b, c 是一元二次方程 t 2 ? 10t ? 24 ? 0 的两个根. 解此方程并由 c ? b知c ? 6, b ? 4 评析:此种类型在三角形中求某个角以及边,主要用到的工具是向量的数量 积, 同时还要熟练地应用两角和差公式,还要根据在三角形中锐角的特点来确定 角的大小, 最终可以把三角函数边的问题转化为一元二次方程求根问题,内容非 常综合,很灵活.

2.9 三角函数的综合应用
此种类型是历年高考考查的重点、热点,新课标高考更加注重对知识点综合 应用意识的考查,三角函数与集合、函数、向量、不等式、先行规划等知识命题 联系在一起,题目更加新颖 ? ? .
10

例 16.某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m) ,如示意图,标杆 BC 是与地面互相垂直放置的,并且其高度 h=4m,仰角 ?ABE ? ? , ?ADE ? ? . (1)这个小组测得其中一组 ? , ? 的值, tan ? ? 1.24, tan ? ? 1.20 ,请根据这 个小组所测得的值求 H 的值; (2)这个小组通过分析多个已经测得的数据后,认为如果恰当的调整标杆 和电视塔之间的距离 d(单位:m) ,使 ? 与 ? 相差的比较大,这样就能够提高相 应的测量的精确度.若电视塔的实际中的高度是 125m.那么当 d 是多少时, ? ? ? 最大? 解: (1)由题得
H H ? tan ? ? AD ? AD tan ? H h , BD ? tan ? tan ?

同理可得 AB ?

AD ? AB ? DB H H h ? ? ? tan ? tan ? tan ? h tan ? 4 ?1.24 ?H ? ? ? 124 tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20
所以算出的电视塔的高度即 H 为 124m. (2)由题设可知

14

H H h H ?h , tan ? ? ? ? d AD DB d H H ?h ? tan ? ? tan ? d d ? tan ?? ? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? H ? H ? h d d d ? AB, 得 tan ? ?
? hd ? d ? H ? H ? h?
2

h H ? H ? h? d? d

d?

?当且仅当d ?
?

H ? H ? h? ? 2 H ? H ? h?, d H ? H ? h ? ? 125 ?121 ? 55 5时,取等号

?

故当 d ? 55 5 时, tan ?? ? ? ? 最大.

0? ? ?? ? ? 0?? ? ? ? 2 2 ?当d ? 55 5时,? -? 最大
故所求的 d 是 55 5 m.

?

图3 评析:本题基本是考查三角形的知识、两角差的正切以及不等式的应用.

3.2013 年高考三角函数命题趋势
从近几年的高考题的整体分析来看,三角函数的命题还是比较趋于稳定,但 是随着新课标的改革 ? ? ,近年来三角函数相关考题相对来说考查的比较简单,
11

因此 2013 年高考可能会一如既往的走简单路线,但是在备考的过程中,有关三 角函数的解答题方面还应着重准备和三角的整合以及解三角形与三角公式整合 的题型 ? ? .不管怎样变化或者以何种形式出现,总体来说三角函数部分仍然属于
12

15

基础题、中档题和常规题. 1.三角函数的图像和性质依然是高考命题的重点更是难点.因为三角函数的 图像和性质不仅是学生将来学习高等数学和应用技术学科的基础, 更是解决实际 生产问题的工具, 同时近年来高考对于三角变换的要求在降低,因此肯定会加大 对三角函数图像和性质相关内容的考查力度, 这必然导致三角函数的图像和性质 成为高考的热点之一,三角函数解答题的主要考查题型,具有灵活性和综合性. 三角函数的单调性、周期性、图像的伸缩变换、对称问题依旧是高考所要考查的 重点 ?13? . 2.三角函数的化简求值也是经常考的题型.它经常以小题的形式出现,或者 是解答题其中的一个问, 在这样考查的过程中一定会渗透着一些相对来说简单的 三角函数性质以及恒等变换, 重点考查三角函数的基础知识、基本方法还有基本 技能 ? ? .
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3.综合问题的考查.在综合问题之中突出考查三角函数的性质也是近年来高 考习惯命题的一个方面. 随着新课标的改革,在近年来的高考题中会出现这样的现象,高考命题主要 以能力立意, 加强对知识的综合性以及应用性的考查, 所以常常在知识的交汇点 处涉及一道三角问题 ?15? .综合考察学生对三角恒等变换,三角函数的图像和性质 问题的应用能力, 从近三年的全国各地高考题中可以非常明显的看到这一点,因 此考生在备考的过程中要高度重视.
参考文献 [1]刘长柏.2012 年高考三角函数核心考点揭秘[J].数学教学通讯,2012. [2]陈令.三角函数式求值的几种题型[J].科学咨询(教育科研),2010. [3]徐转贵.三角函数图像与性质的解题策略[M].福建中学数学,2012. [4]周德生.三角函数的图像与性质[J].中学教研(数学),2010 [5]洪其强.从 2012 年高考命题谈三角函数专题复习[J].广东教育(高中版),2010. [6]章俊成.三角函数最值问题的解题技巧[J].新课程研究(职业教育),2008. [7]王海霞,覃岳.突出数学思想方法的复习——从一道三角题说起[J].中国考试,2006. [8]孙虎.三角形中三角函数解题策略例析[J].数学教学通讯,2004. [9]徐圣红.2011 高考三角函数考些啥[J].数学教学通讯,2011. [10]马运强.三角函数题归类分析及命题预测[J].第二课堂(高中),2011. [11]毛仕理.高考三角函数题型解析及命题展望[J].中学数学杂志,2010. [12] 孙道 .2011 年高考三角函数考点透析及 2012 年高考命题趋势预测 [J]. 中学数学杂 志,2011. [13]尹祖荣.谈高考三角题型及解题策略[M].中学数学教学参考,2005. [14]高波.三角函数求值特殊方法[J].常州教育学院学报,2000. [15]党葆龄.高考三角函数内容回顾与展望[J].延安教育学院学报,2000.

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