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2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准


2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准

说明:
1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设 6 分和 0 分两档. 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分

档次, 3 分为一个档次, 不要再增加其他中间档次.

一.选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) 1. 函数
y ? s in ( x ?
? ? y ? f ( x ) 的图像按向量 a ? ( , 2 ) 平移后, 得到的图像的解析式为 4

?
4

) ? 2 . 那么 y ? f ( x ) 的解析式为

A.

y ? s in x

B.
?
4

y ? co s x

C.

y ? s in x ? 2

D.

y ? cos x ? 4

答: [ B ] 解: y ? s in [( x ?
)?
2

?
4

], 即

y ? c o s . 故选 B. x

2. 如果二次方程


x ? p x ? q ? 0 ( p , q ? N*) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程

A. 5 个

B. 6 个

C. 7 个

D. 8 个
答: [ C ]

2 解:由 ? ? p ? 4 q ? 0 , ? q ? 0 , 知方程的根为一正一负.

设 f ( x ) ? x ? p x ? q ,则 f ( 3 ) ? 3 ? 3 p ? q ? 0 , 即 3 p ? q ? 9 .
2 2

由于 p , q ? N*, 所以 p ? 1, q ? 5 或 p ? 2 , q ? 2 . 于是共有 7 组 ( p , q ) 符合 题意. 故选 C.

3. 设 A. 2

a ? b ? 0 , 那么 a ?
2

1 b (a ? b )

的最小值是

B. 3

C. 4

D. 5
答: [ C ]

解:由 a ? b ? 0 , 可知
0 ? b(a ? b) ? a
2

? (b ?

a 2

) ?
2

1 4

a ,
2

4 1 b(a ? b) 4 a
2

所以, a ?
2

? a ?
2

? 4

. 故选 C.

4. 设四棱锥

P ? ABCD

的底面不是平行四边形, 用平面 ?
1

去截此四棱锥, 使得

截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 ?

A. 不存在

B. 只有 1 个

C. 恰有 4 个

D. 有无数多个
答: [ D ]
P

解:设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线 为 m 、 n , 直线 m 、 n 确定了一个平面 ? . 作与 ? 平行的平面 ? , 与四棱锥的各个侧面
A B A1 D D1

B1

C1

相截,则截得的四边形必为平行四边形.而这样 的平面 ? 有无数多个.故选 D.

C

5. 设数列
64 除的余数为

{ a n } : a 0 ? 2 , a 1 ? 1 6 , a n ? 2 ? 1 6 a n ? 1 ? 6 3 a n , n ? N*, 则 a 2 0 0 5 被

A. 0

B. 2

C. 16

D. 48
答: [ C ]

解:数列 { a n } 模 64 周期地为 2,16,-2,-16,……. 又 2005 被 4 除余 1, 故 选 C.

6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 ? 1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖
都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有

A.

30

8



B.

30 ? 25

7



C.

30 ? 20

7



D.

30 ? 21

7



答: [ D ] 解:铺第一列(两块地砖)有 3 0 种方法;其次铺第二列.设第一列的两格铺了 A 、 B 两色(如图),那么,第二列的上格不能铺 A 色.若铺 B 色,则有 ( 6 ? 1) 种铺法;若不 铺 B 色, 则有 ( 6 ? 2 )
2

种方法. 于是第二列上共有 2 1 种铺法. 同理, 若
7

A B

前一列铺好,则其后一列都有 2 1 种铺法.因此,共有 3 0 ? 2 1 选 D.

种铺法. 故

二.填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) 7. 设向量
??? ? 向量 O B ?

??? ? O A 绕点 O

逆时针旋转

?
2

得向量 O B , 且 2 O A ? O B ? ( 7 , 9 ) , 则

??? ?

??? ?

??? ?

11 23 (- 5 , 5 ) .
??? ?
??? ?

解:设 O A ? ( m , n ) , 则 O B ? ( ? n , m ) , 所以

2

??? ? ??? ? 2O A ? O B ? (2 m ? n , 2 n ? m ) ? (7 , 9 ) .



?2m ? n ? 7 , 解得 ? ?m ? 2n ? 9 .

23 ? m ? , ? ? 5 ? ? n ? 11 . ? 5 ?

因此, O A ? (

??? ?

??? ? 23 11 11 23 , ), O B ? ( ? , ). 5 5 5 5

故填

(?

1 1 5

,

2 3 . ) 5
{ a n } 的各项都是正数, S n 是它的前 n

8. 设无穷数列
n

项之和, 对于任意正整数

, a n 与 2 的等差中项等于 S n 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为 an= 4n-2

(n∈N*) .
解:由题意知 由 a1 ? S 1 得 又由 ① 式得
an ? 2 2 ? 2Sn , 即 Sn ?
(an ? 2) 8
2

.

……… ①

a1 ? 2 2

?

2 a 1 , 从而 a 1 ? 2
( a n ?1 ? 2 ) 8
(an ? 2) 8
2

.
……… ②

2

S n ?1 ?

(n ? 2) ,

于是有

a n ? S n ? S n ?1 ?

?

( a n ?1 ? 2 ) 8

2

(n ? 2) ,

整理得 ( a n ? a n ? 1 ) ( a n ? a n ? 1 ? 4 ) ? 0 . 因 a n ? 0 , a n ? 1 ? 0 , 故
a n ? a n ? 1 ? 4 ( n ? 2 ), a 1 ? 2 .

所以数列 { a n } 是以 2 为首项、4 为公差的等差数列, 其通项公式为 a n ? 2 ? 4 ( n ? 1) , 即 a n ? 4 n ? 2 . 故填
a n ? 4 n ? 2 ( n ?N*).

9. 函数

y ? | cos x | ? | cos 2 x | ( x ? R) 的最小值是
2

2 . 2

解:令 t ? | c o s x |? [ 0 ,1] ,则 y ? t ? | 2 t ? 1 | .
2 2 2 2



? t ? 1 时, y ? 2 t ? t ? 1 ? 2 ( t ?
2

1 4

) ?
2

9 8

,得

2 2

? y ? 2;

当 0?t?

时, y ? ? 2 t ? t ? 1 ? ? 2 ( t ?
2

1 4

) ?
2

9 8

,得

2 2

? y ?

9 8



3

又 y 可取到

2 2

, 故填

2 2



10. 在长方体

A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中, A B ? 2 , A A1 ? A D ? 1 , 点 E 、 F 、 G

分别是棱 A A 1 、 C 1 D 1 与 B C 的中点, 那么四面体 B 1 ? E F G 的体积是 VB1-EFG

3 = 8

.
解:在 D 1 A1 的延长线上取一点 H ,使 A1 H ?
1 4

. 易证, H E || B 1 G , H E || 平面
9 8

B1 F G . 故 V B

1

? EFG

? VE?B

1F G

? VH

? B1 F G

? VG ?B

1F H

.而 S ? B F H ?
1

,G 到平面 B 1 F H 的

距离为 1 . 故填

VB

1

? E F G

?

3 8



11. 由三个数字 1 、 2 、 3 组成的 的 5 位数共有 150 个.

5 位数中, 1 、 2 、 3 都至少出现 1 次, 这样

1 1 2 3 解:在 5 位数中, 若 1 只出现 1 次,有 C 5 ( C 4 ? C 4 ? C 4 ) ? 7 0 个;

2 1 2 若 1 只出现 2 次,有 C 5 ( C 3 ? C 3 ) ? 6 0 个;

3 1 若 1 只出现 3 次,有 C 5 C 2 ? 2 0 个. 则这样的五位数共有 1 5 0 个. 故填 1 5 0

个.

12. 已知平面上两个点集

M ? {( x, y ) | | x ? y ? 1 | ?

2 ( x ? y ) , x , y ? R},
2 2

N ? { ( x , y ) | | x ? a | ? | y ? 1 | ? 1, x , y ? R}. 若 M ? N ? ? , 则 a

的取值范围是

[1- 6,3+ 10] .
解:由题意知 M 内侧的点集, N 是以原点为焦点、直线 x ? y ? 1 ? 0 为准线的抛物线上及其凹口

是以 ( a ,1) 为中心的正方形及其

内部的点集(如图). 考察 M ? N ? ? 时, a 的取值范围: 令 y ? 1 , 代入方程
| x ? y ? 1 |? 2( x ? y )
2 2

y
3 2 1

,
6 . 所以,

-3

-2

-1

O
-1

2 1 3 4 5 6 7

x

2 得 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,解出得 x ? 2 ?

当 a ? 2?

6 ?1 ? 1?

6

时,

M ? N ? ? .
4

………… ③

令 y ? 2 ,代入方程
x ? 3? 1 0 .所以,

| x ? y ? 1 |?

2 ( x ? y ) , 得 x ? 6 x ? 1 ? 0 . 解出得
2 2
2

当 a ? 3?

10

时,

M ? N ? ? .
6 ? a ? 3?

………… ④
6, 3 ? 1 0 ] 时,

因此, 综合 ③ 与 ④ 可知,当 1 ?
M ? N ? ? .故填 [1 ?
6,3 ? 10 ]

1 0 ,即 a ? [1 ?

.

三.解答题 (第一题、第二题各 15 分;第三题、第四题各 24 分) 13. 已知点
N , 且 AB

M

是 ? A B C 的中线 A D 上的一点, 直线 B M
BC BN ? ? , 试求 BM MN

交边 A C 于点 (用 ? 表示).

是 ? N B C 的外接圆的切线, 设

证明:在 ? B C N 中,由 Menelaus 定理得
BM MN BM MN ? NA AC ? CD DB AC AN ?1.

A

因为 B D ? D C ,所以
?



……………… 6 分
B

N M D C

由 ? A B N ? ? A C B ,知
AB AN ? AC AB
2

?ABN
? CB BN

∽ ? A C B ,则


? BC ? ? ? ? . AN ? BN ? AC
2

? CB ? 所以, ? ? ? ? , 即 AN AB ? BN ? AB AC BM MN
2

…………………… 12 分

因此,

BC ? BC ? ? ? , 故 ? ? ? . 又 BN ? BN ?

BM MN

? ? .
2

…………………… 15 分

14. 求所有使得下列命题成立的正整数
n n

n (n ? 2)

: 对于任意实数

x1 , x 2 , ? , x n ,



?
i ?1

x i ? 0 时, 总有

?
i ?1

x i x i ? 1 ? 0 ( 其中 x n ? 1 ? x 1 ).

2 解: 当 n ? 2 时,由 x 1 ? x 2 ? 0 ,得 x 1 x 2 ? x 2 x 1 ? ? 2 x 1 ? 0 .

所以 n ? 2 时命题成立.

…………………… 3 分

5

当 n ? 3 时,由 x 1 ? x 2 ? x 3 ? 0 ,得
( x1 ? x 2 ? x 3 ) ? ( x1 ? x 2 ? x 3 )
2 2 2 2

x1 x 2 ? x 2 x 3 ? x 3 x1 ?

?

? ( x1 ? x 2 ? x 3 )
2 2 2

? 0.

2

2

所以 n ? 3 时命题成立. 当 n ? 4 时,由 x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 0 ,得

………………… 6 分

x1 x 2 ? x 2 x 3 ? x 3 x 4 ? x 4 x1 ? ( x1 ? x 3 ) ( x 2 ? x 4 ) ? ? ( x 2 ? x 4 ) ? 0 .
2

所以 n ? 4 时命题成立.

………………
n

9分
xi ? 0 .

当 n ? 5 时,令 x 1 ? x 2 ? 1 , x 4 ? ? 2 , x 3 ? x 5 ? ? ? x n ? 0

,



?
i ?1

n

但是,

?
n ?1

x i x i ? 1 ? 1 ? 0 ,故对于 n ? 5 命题不成立.

综上可知,使命题成立的自然数是 n ? 2 , 3 , 4 .
x a
x
2 2

…………… 15 分
是过左焦点 F 且不与

15. 设椭圆的方程为

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) , 线段 P Q

轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R ,

使 ? P Q R 为正三角形, 求椭圆的离心率 e
R

y
Q'

Q

的取值范围, 并用 e 表示直线 P Q 的斜率. 解: 如图, 设线段 P Q 的中点为 M . 过点 P 、 M 、 Q 分别作准线的垂线, 垂足 分别为 P ' 、 M ' 、 Q ' , 则
| M M ' |? 1 2 (| P P ' | ? | Q Q ' |) ?

M‘ P’ F P

M O

x

1 | PF | | QF | | PQ | . …………… ( ? ) ? 2 e e 2e
3 2 | PQ |, 且 | M M '| ? | RM | , 即

6分

假设存在点 R ,则 | R M | ?

| PQ | 2e 3 3

?

3 2

| PQ |,

所以, e ?



………………………… 12 分

6

于是, cos ? RMM ' ?

| MM ' | | RM |

?

| PQ | 2e

?

2 3 | PQ |

?

1 3e

, 故

cot ? R M M ' ?

1 3e ? 1
2



若 | P F | ? | Q F | (如图),则
k PQ ? tan ? QFx ? tan ? FMM ' ? cot ? RMM '? 1 3e
2

.
?1

…………… 18 分

当 e?

3 3

时, 过点 F 作斜率为

1 3e ? 1
2

的焦点弦 P Q , 它的中垂线交左准线

于 R , 由上述运算知, | R M | ?

3 2

| PQ |. 故 ?PQR

为正三角形.

………… 21 分

若 | P F | ? | Q F | ,则由对称性得
1 3e ? 1
2

k PQ ? ?



……………… 24 分

又 e ? 1 , 所以,椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的离心率 e

的取值范围是

e?(

3 3

, 1) , 直线 P Q

的斜率为 ?

1 3e ? 1
2



16. (1) 若

n ( n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n



最小值, 并说明理由;
2005 (2) 若 n ( n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 , 求 n 的

最小值, 并说明理由.
3 3 3 3 3 3 解: (1) 因为 1 0 ? 1 0 0 0 , 1 1 ? 1 3 3 1, 1 2 ? 1 7 2 8 , 1 3 ? 2 1 9 7 , 1 2 ? 2 0 0 5 ? 1 3 ,

故 n ?1. 因为 2 0 0 5 ? 1 7 2 8 ? 1 2 5 ? 1 2 5 ? 2 7 ? 1 2 ? 5 ? 5 ? 3 ,所以存在 n ? 4 , 使
3 3 3 3

n m in ? 4 .
3 3

……………… 6 分

若 n ? 2 ,因 1 0 ? 1 0 ? 2 0 0 5 , 则最大的正方体边长只能为 1 1 或 1 2 ,计算

7

2005 ? 11 ? 674, 2005 ? 12
3

3

? 2 7 7 ,而 6 7 4

与 2 7 7 均不是完全立方数, 所以 ……………… 9 分

n ? 2 不可能是 n

的最小值.

2 3 若 n ? 3 ,设此三个正方体中最大一个的棱长为 x , 由 3 x ? 2005 ? 3 ? 8 , 知

最大的正方体棱长只能为 9 、 1 0 、 1 1 或 1 2 . 由于 2005 ? 3 ? 9 , 2005 ? 2 ? 9 ? 547 , 2005 ? 9 ? 2 ? 8 ? 0 , 所以 x ? 9 .
3 3 3 3

由于 2005 ? 2 ? 10
2005 ? 10
3

3

? 5 , 2005 ? 10 ? 9 ? 276 , 2005 ? 10 ? 8 ? 493 ,
3 3 3 3

? 2?7

3

? 0 , 所以
3 3

x ? 10 .
3 3

由于 2 0 0 5 ? 1 1 ? 8 ? 1 6 2 , 2 0 0 5 ? 1 1 ? 7 ? 3 3 1 , 2005 ? 11 ? 2 ? 6 ? 0 ,
3 3

所以 x ? 1 1 . 由于 2 0 0 5 ? 1 2 ? 6 ? 6 1 , 2 0 0 5 ? 1 2 ? 5 ? 1 5 2 ? 5 , 所以 x ? 1 2 .
3 3 3 3 3

因此 n ? 3 不可能是 n 的最小值. 综上所述, n ? 4 才是 n 的最小值. (2) 设 n 个正方体的棱长分别是 x 1 , x 2 , ? , x n , 则
x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 2 0 0 2
3 3 3 2005

……………… 12 分

.…………… ⑤

由 2 0 0 2 ? 4 (m o d 9 ) , 4 ? 1( m o d 9 ) ,得
3

2002

2005

? 4

2005

? 4

6 6 8? 3 ?1

? (4 )
3

668

? 4 ? 4 (m o d 9 ) .…… ⑥

…… 15 分

3 又当 x ? N* 时, x ? 0 , ? 1 ( m o d 9 ) ,所以

x 1 ∕ 4 (m o d 9 ) , x 1 ? x 2 ≡ 4 ( m o d 9 ) , x 1 ? x 2 ? x 3 ≡ ∕
3 3 3 3 3

3

∕ 4 (m o d 9 ) . … ⑦ ≡ …………… 21 分

⑤ 式模 9 , 由 ⑥、⑦ 可知, n ? 4 . 而 2 0 0 2 ? 1 0 ? 1 0 ? 1 ? 1 ,则
3 3 3 3

2002

2005

? 2002

2004

? (1 0 ? 1 0 ? 1 ? 1 ) ? ( 2 0 0 2
3 3 3 3

668

) ? (1 0 ? 1 0 ? 1 ? 1 )
3 3 3 3 3 668

? (2002

668

? 10) ? (2002
3

668

? 10) ? (2002
3

) ? (2002
3

668

) .…… 24 分
3

因此 n ? 4 为所求的最小值.

8


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