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3判别式法求函数值域


判别式法求函数值域
巴东 覃兴山 判别式法求函数值域是中学数学的常用方法, 那么它的理论依据是什么?适 用于哪些情况?有哪些注意事项?带着这些问题,我们一起来探讨. 一、方法探源 例 1 求函数 略解:变函数式为 的值域. . (1)

这就是判别式法求函数值域.善于思考的同学一定会问:为什么使方程(1) 有解的 y 的取值范围就是所求函数的值域?要

回答这一问题先要明白以下几点: (1)函数式是一种特殊的二元方程式(y 能用 x 的解析式表示,从而每一个 x 值对应于唯一的函数值 y),但方程式不一定是函数式,如 .(为什

么?) (2)由函数的定义可知:在函数所确定的映射下,每一个函数值 y 在定义 域上至少有一个自变量 x 与之对应.反过来,若某一实数 y 在定义域上有自变量 x 值与之对应,则此实数一定是值域中的元素. (3)判别式大于等于零是一元二次方程在实数集 R 上有解的充要条件. 例 1 中,将原函数式变为方程(1)是方程的等价变形,即两式中的 x,y 的 取值范围完全相同.由每一函数值都有自变量与之对应,可知方程(1)中的 y 若是值域中的元素, 必使关于 x 的方程有解;又因为使关于 x 的方程有解的实数 y 也一定是值域中的元素.综上,y 是值域中的元素的充要条件是:使关于 x 的方 程(1)在定义域 R 上有解. 注意:y=1 时,方程(1)为一次方程,不能用判别式法,要单独讨论.因 为 y=1 有原象 ,所以,1 在值域中.

二、方法推广 下面问题能否用判别式法呢? 例 2 求函数 的值域.

函数定义域为

,而判别式

是方程在 R(注意,不是 R 的子集!)

上有解的充要条件,所以不能用判别式法. 这时,我们应该反思,判别式法的实质到底是什么?实际上,判别式法深层 的理论根据是对应和方程的思想!如果你真正理解了判别式法的实质,就不难发 现, 方程 (1) 中的 y 是函数 方程(1)在函数的定义域 于等于零.这时判别式 的值域中的元素的充要条件为: 上至少有一实根,也即方程(1)至少有一根大 仅仅是必要条件.

至少有一根大于等于零,可分为两根都大于等于零和一根大于等于零另一根 小于零两种情况来求, 也可用补集思想来求,即先求使方程没有非负根的 y 的取 值范围,将有根的范围看作全集,再求其补集. 解:显然 y=1 不在值域中.当 y 1 时, 使方程(1)有两负根的充要条件为

.

所以方程至少有一个非负根的充要条件为

,即函数值域为

.

例 3 求函数 解:变函数式为

的值域. . (2)

当 y=1 时,方程无解. 当 为 时,方程(2)为关于 x 的一次方程,x 在定义域上有解的充要条件 ,所以函数的值域为 .

说明:用对应和方程的思想解释这种解法非常清楚.有些资料上把这类求函 数值域的方法解释为所谓的“反函数法”,即先求出原函数的反函数,说反函数 的定义域为原函数的值域,所以只须求反函数的定义域.虽然结果巧合,但犯了 逻辑错误,因为反函数依原函数而生,反函数的定义域不能从反函数式中求得, 而要从原函数的值域中求.而且这种所谓的“反函数法”很容易产生误导.如下 例.

例 4 求函数 分析:不难求出原函数的反函数为

的值域. .从反函数式求得 ?原函数的值域是不是 ? ,

,试问:反函数的定义域是不是 正解: (分析法) 函数的定义域为 所以函数值域为

.此题也可以用单调性法来求解.

例 5 求函数

的值域.

想一想,能否也用方程有解的思想来求? 解:变函数式为 由三角方程 ,函数的定义域为 R, 在 R 上有解的充要条件是 ,得

,所以函数值域为 另解:设点 P 在圆

.

,则函数 y 的几何意义为直线 PA 的斜率,又 上,由数形结合不难求出 PA 的斜率的取值范围.

例 6 求函数 解:变函数式为

的值域. .

当 y=1 时,x 无解;当

. (3)

方程(3)在 R 上有解的充要条件为 . 三、辨析正误 例 7 求函数 函数的定义域为 的值域. ,能否直接用判别式法呢?

,所以所求值域为

变函数式为 判别式

.

(4) 是方程(4)在 上有解 时,方程(4)

的必要条件.它是不是充要条件呢?只需考查一下当

是否有 x=1 这一根即可.将 x=1 代入方程(4)可知,无论 y 为何值,方程(4) 均不可能有 x=1 这一根.所以判别式非负是方程(4)在 条件.所以函数值域为 说明:当函数定义域为使分式有意义的一切实数时, 域上有解的充要条件,可直接用判别式法. 例 8 求函数 的值域. 也是方程在定义 上有解的充要

仿照例 2,不难找方程在 x>1 上有解的充要条件,但求解比较麻烦,请看下 面解法. 今 t=x-1,由 x>1 得 t>0.原函数变为

.



即 t=2(此时 x=3)时,y=6. .

所以函数值域为

该解法运用了换元法和平均值不等式求最值. 说明:判别式法求值域有时不定是最简单的,掌握一种方法,要抓住方法的 实质,明确适用范围. 例 9 求函数 看下面的解法. 变函数式为 整理得 由 . (5) .所以函数值域为(-∞,1]. , 的值域.

上面的解法有没有问题?将 y=1 代入 (5) x=0,再将 x、 的值代入函数式, 得 y 成立吗?问题出在哪里? 原因是方程变形中,两边平方不是同解变形,从而使 x、y 的取值范围发生 了变化(平方前要求 ,平方后没有).

正解:函数的定义域为

.又函数在定义域上为增函数,所以函数值

域为

.

另解:令

换元得

,只需求此二次函数的值域.

说明:求函数值域时,一般不能对函数式作非等价变形,如平方. 结论:判别式法的实质是对应和方程的思想.即 y 为值域中的元素的充要条 件是,使关于 x 的方程在函数定义域上有解,至于方程,可以是一次、二次、三 角方程或其他方程等. 运用这一思想解题时,要注意条件的充要性和方程变形的 等价性.


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