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重庆市两江中学高三上(2013级)半期考试数学试题


重庆市两江中学高三上半期考试 数学试题(理)
一.选择题(每小题只有一个正确答案,每题 5 分,共 50 分) 1.设集合 A={x|1<x<4},B={x|x 2-2x-3≤0},则 A∩( )= A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) ) , x03 ?Q , x03 ?Q D.(1,2)

2.命题“ ? x0∈CRQ, x03 ∈Q

”的否定是( A C
3 ? x0?CRQ, x0 ∈Q 3 ? x0?CRQ , x0 ∈Q

B D

? x0∈CRQ
? x0∈CRQ

3.等比数列 {a n } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 S n ,若数列 {a n ? 1} 也是等比数 列,则 S n =( A. ? ) B.2n
+ ?

C. ( ? )




D.3n

4.已知 i 是虚数单位,则 A.1-2i

=(

) C.2+i D.1+2i

B.2-i

5.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知? ++ -2 =0,? =39,则 m=( A.38 B.39 ) C.20


D.19 =


6.在等边?ABC 中.AB=2 设点 P.Q 满足 若 A.


,

= ( ? )



, ∈ ,

.

= ? ,则=(




) C.
±



B.

±

D.



7.若 x∈ , +∞),则下列不等式恒成立的是( A. C. ≤ + + ≥ ?


) < 1 ? +


B.

+

D. + ≥ ?

8.如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0 ( 2 ,- 2 ) ,角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函 数图像大致为

9. 设 函 数 f(x)( ∈ )满 足 f( ?)=f(x) , f(x)=f(2? x) , 且 当 ∈ , 时 , f(x)=x3. 又 函 数 g(x)=|xcos( )| , 则 函 数

h(x)=g(x)-f(x)在 ? , 上的零点个数为(
A.5 B. 6 C.7



) D.8

10.对于具有相同定义域 D 的函数()和 g(x) ,若存在函数 h(x) =kx+b(k,b 为常数) ,对任给的正数 m,存在相应的 ∈ ,使得当 x∈D 且 > 时,总有 < ? () < 则称直线 l:y=kx+b 为 < ? ? () <

曲线 y=f 与 y=g x) “分渐近线” (x) ( 的 .给出定义域均为 = | > 的 四组函数如下: ① = , = ; ③ =
+

② = ? + , = ; ④ =
+

?

;

, =

+

, = ( ? ? ? ).

其中,曲线 y=f(x)与 y=g(x)存在“分渐近线”的是 A.①④ B.②③ C..②④ D..③④

二.填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.


+ =

.

12.已知 A(0,1) ,B(-3,4) ,若点 C 在 ?AOB 的角平分线上, 且|


| = ,则 =


.

13.若 y=log a (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围 是 .


14.已知 A.B.C 三点在一条直线上, 是直线外一点, = O

+





其中 , 是等差数列 中的第三和第八项,则 前 10 项的和 = .


15.在?ABC 中, 为 BC 上一点, = , ∠ = , = D ,若?ADC 的面积为 ? ,则∠ = .

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答时写出必要的文字 说明.证明或演算步骤.) 16. (本小题 13 分)已知数列 的前 n 项和 = ? + (其


中 ∈ ? ),且 的最大值为 8. (1)确定常数 k,并求 ; (2)设 = (3)数列
+

,求数列 前 n 项和 ;

?

的前 n 项和为 ,求证: < 4.
π π π

17. (本小题 13 分)已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ? ? ?4 2? ?4 ? ? ?

(1)求函数()的单调增区间; (2)求 f ( x) 的最大值和最小值; (3)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的范围. ?4 2? ? ?
π π

18. (本小题 13 分)已知函数 f ( x) ? 的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . (Ⅰ)求 a . b 的值;

a ln x b ? , 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处 x ?1 x

(Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x) ?

ln x k ? ,求 k 的取值范围. x ?1 x
i

19.(本小题 12 分)设定义在 R 上的函数 f (x)=a0x4+a1x3+a2x2+a3x (a

2 2 ∈R,i=0,1,2,3 ),当x=- 2 时,f (x)取得极大值 3 ,并且函 数 y=f? (x)的图象关于 y 轴对称。 (1)求 f (x)的表达式; (2)求证:|f (sin x)-f (cos x) | ≤ 2 2 (x∈R). 3
2

20. (本小题 12 分)已知 b, c 是实数,函数 f ( x ) ? x ? bx ? c 对任意

? , ? ? R 有:① f (sin? ) ? 0 ② f (2 ? cos ? ) ? 0
(1)求 f (1) 的值; (2)证明 c ? 3 ; (3)设 f (sin ? ) 的最大值为 10,求 f (x) . 21.(本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分) 在数列 ?an ? 中, a1 =1, an?1 ? can ? c n?1 ? 2n ? 1?? n ? N *? ,其中实数 c ? 0 。 (1).求 ?an ? 的通项公式; (2).若对一切 k ? N * 有 a2k ? azk ?1 ,求 c 的取值范围。

重庆市两江中学高三(2013 级)上半期考试 数学试题(理)参考答案 一. 选择题 BDBDC,ACCBC 二. 填空题 11. ; 12. ? 三.解答题
16.解:(1) = ? + ( ∈ +)








;13.(1,2) ;14.

5 ;15. .




=? ( ? ) +






∴ =




k=4


= 时, =

n≥ 时, = ? ? = ? + ∴ = ? + (2) = ( ∈ + )

+

=

? (?)

= (? ? ?)





= + + ? + = ( ? + ? +? ? ) ? ? ? ? ? ?
(?) ?

=?

(3)

=

?

=


+ + + ? + ?


=

+



+



+ ?+



∴ =






+



+



+?+

?

?

? = ?




?



= ?

?

?



∴ = ? 即 < 4.



? ?



?

<4

17.解: = ? =sin2x- + =2sin(2x- ) +




+ ?

(1) ? 又 ∈

由 ? ≤ ? ≤ + ,








∈ 得

≤ ≤ +


,

∴增区间为 (2)∵ ∴


,

≤ ≤

≤ ? ≤

≤ ( ? ) ≤ ∴2≤2sin(2x- ) + ≤


∴ () = ; () =3 (3) ? | < ? ?2 < x ? m < 2 ? m < x + 2 怛成立 m > x ? 2
min

?m< f x +2

= 4且m > f x ?2

max

=1

∴ 的取值范围是(1,4).

18.解: (Ⅰ)f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) 1 b x ? 2 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? , 2 2 ( x ? 1) x

? f (1) ? 1, 且过点 (1,1) ,故 ? ? 1 ? f '(1) ? ? 2 , ? ?b ? 1, 即 ?a ? 1 ?2 ?b ? ? 2 , ?

解得 a ? 1 , b ? 1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ?
f ( x) ? (

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x
ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) ? )? (2 ln x ? ). x ?1 x 1 ? x2 x

(k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x ( x ? 0) ,则 h '( x) ? 考虑函数 h( x) ? 2ln x ? . x2 x

(i)设 k ? 0 ,由 h '( x) ?

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 ,h(x)递 x2

减.而 h(1) ? 0 ,故当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得 当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-(

1 h( x ) ? 0 ; 1 ? x2

1 h(x)>0 1? x2

ln x k ln x k + )>0,即 f(x)> + . x ?1 x x ?1 x

(ii)设 0<k<1.由于 (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x = (k ? 1) x 2 ? 2 x ? k ? 1 的图像开口向 下, ? ? 4 ? 4(k ? 1)2 ? 0 , 且 对称轴 x=
1 1 ? 1 当 x? (1, ) (k-1) 时, 1? k 1? k .
1 )时, 1? k

(x2 +1)+2x>0,故 h ' (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ? (1, h(x)>0,可得
1 h(x)<0,与题设矛盾. 1? x2

(iii)设 k ? 1.此时 x 2 ? 1 ? 2 x , (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x ? 0 ? h ' (x)>0,而 h (1)=0,故当 x ? (1,+ ? )时,h(x)>0,可得 与题设矛盾. 综合得,k 的取值范围为(- ? ,0] 19.解:∵f? (x)=4a0x3+3a1x2+2a2x+a3 为偶函数,∴ f ?(?x) = f ?(x), ∴ ?4a0x3 +3a1x2 ?2a2x + a3 = 4a0x3+3a1x2 +2a2x + a3, ∴ 4a0x3 + 2a2x =0 对一切 x ? R 恒成立,∴ =a1x3+a3x 2 2 又当 x=- 2 时,f (x)取得极大值 3 a0=a2=0,∴f (x)
1 h(x)<0, 1? x2

?f(- 22)= 32, ?a =2, 3 ∴? 解得? 2 ?f ? (- 2 )=0, ?a =-1,
1 3

2 ∴f (x)=3x3-x,f? (x)=2x2-1 (2)证明:易知 sin x∈[-1,1],cos x∈[-1,1]。 2 2 当 0< x < 2 时,f ? (x) < 0;当 2 < x < 1 时,f ? (x)>0。 2 2 ∴f (x)在[0, 2 ]为减函数,在[ 2 ,1]上为增函数, 2 2 1 又 f (0)=0,f ( 2 )=- 3 ,f (1)=-3,而 f (x)在[-1,1]上为奇 函数, 2 2 ∴f (x)在[-1,1]上最大值为 3 ,最小值为- 3 ,即 | f (x) | ≤

2 3 , 2 | 3 , f (cos x)| ≤ 2 2 f (sin x)|+| f (cos x) | ≤ 3 ∴| f (sin x) | ≤ 2 3 , ∴| f (sin x)-f (cos x)| ≤ |

20 解: (1)∵ ? ≤ ≤ ,又 f (sin? ) ? 0 ∴) ≥ ∵? ≤ ≤ ,∴1≤ + ≤ ,又 f (2 ? cos ? ) ? 0 ∴) ≤ ∴) = (2)由(1)知) = 得 + + = ? = ? ? 当 = 时,(+) = ≤ ? + + ≤ ∴ + ? ? + ≤ 即 ≥ (3) ∵()的对称轴为 = ? =
+

≥ (∵ ≥ )

∴ , 是()的的减区间,又? ≤ ≤ , ∴() = ? = ? + = 又 = ? ? ∴ = ?, = ∴ = ? + 21.解: (1)由原式得 令 =
+ +

=



+ ( + )

,则 =

+ = + ( + ),因此对 ≥ 有 = ? ? + ? ? ? + ? ? + = ? + ? + ? + + = ? +


因此 = ? + ? , ≥ ,又当 = 时上式成立, 因此 = ? + ? , ∈ + (2).由 > ? 得 () ? + ? > ( ? ) ? ? + ? 因 ? > 0, 所以 ? + ? + ? > 0对 ∈ +恒成立 令 = ? + ? + ? ,下分三种情况讨论 (i) 当 ? = 时即 = 或 = 时,代入验证可知只有 C=1 满足要求. (ii) 当 ? < 0时,抛物线 = ()开口向下,因此当正 整数 k 充分大时,() < 0,不合题意,此时无解. (iii) 当 ? > 0即 < 0 或 > 1时,抛物线 = ()开口 向上,其对称轴 =
(?)

必在直线 x=1 的左边.

因此 在[1,+∞)上是增函数. 所以要使() > 0对 ∈ + 恒成立, 只需() > 0即可. 由 = + ? > 0, 解得 <
??

或 >

?+ ??

结合 < 0 或 > 1得 < 综上 C 的取值范围为( ? ∞,

或 > 1

??

) ∪ , + ∞)

命题人:汪元健 2012.11.12


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