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高中数学必修2球的表面积和体积


1.3

空间几何体的表面积与体积

1.3.2

球的表面积和体积

问题提出

1.柱体、锥体、台体的体积公式分 别是什么?圆柱、圆锥、圆台的表面积 公式分别是什么? 2.球是一个旋转体,它也有表面积 和体积,怎样求一个球的表面积和体积 也就成为我们学习的内容.

知识探究(一):球的体积

思考1:从球的结构特征分析,球的大小 由哪个量所确定? 思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥 的体积分别是什么?

V柱 ? ? R

3

V锥

1 3 ? ?R 3

思考3:如图,对一个半径为R的半球,其 体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小 关系?

思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积,你 猜想半球的体积是什么? 2 3 V球 ? ? R 3

思考5:由上述猜想可知,半径为R的球的 4 3 体积 V ? ? R ,这是一个正确的结论,你 3 能提出一些证明思路吗?

知识探究(二):球的表面积

思考1:半径为r的圆面积公式是什么?它 是怎样得出来的?
a4

S圆 ? ?r

2

a3 an
a1

a2

思考2:把球面任意分割成n个“小球面 片”,它们的面积之和等于什么?

o

思考3:以这些“小球面片”为底,球心 为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥, 那么这些小棱锥的底面积和高近似地等 于什么?它们的体积之和近似地等于什 么?

o

思考4:你能由此推导出半径为R的球的 表面积公式吗?

S ? 4? R

2

思考5:经过球心的截面圆面积是什么? 它与球的表面积有什么关系?

球的表面积等于球的大圆面积的4倍

理论迁移

例1 如图,圆柱的底面直径与高都等 于球的直径,求证: 2 (1)球的体积等于圆柱体积的 3 ; (2)球的表面积等于圆柱的侧面积.

例2 已知正方体的八个顶点都在球O 的球面上,且正方体的表面积为a2,求 球O的表面积和体积. C′ o
A

例3 有一种空心钢球,质量为142g (钢的密度为7.9g/cm3),测得其外径 为5cm,求它的内径(精确到0.1cm).

例4 已知A、B、C为球面上三点, AC=BC=6,AB=4,球心O与△ABC的外心M 的距离等于球半径的一半,求这个球的 表面积和体积.
O A M B

C

3 6 R? , S ? 54? ,V ? 27 6? 2

作业: P28练习:1,2,3.


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