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广东省深圳市宝安中学2013-2014学年高二数学上学期期中测试试题 理 新人教A版


宝安中学 2013—2014 学年第一学期期中考试 高二数学(理科)
本卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷为 1-8 题,共 40 分, 第Ⅱ卷为 9-20 题,共 110 分。全卷共计 150 分。考试时间为 120 分钟。 第Ⅰ卷(本卷共 40 分) 一:选择题(每题只有一个正确选项,每题 5 分,共计 40 分) 1 若 a<b<0,则 1

1 A. ? a b ( )

a B. 0< <1 b

2

C. ab>b

D. b ? a
a

b

? x ? y ? 5 ? 0, ? 2.已知 x、y 满足条件 ? x ? y ? 0, 则 2x+4y 的最小值为 ? x ? 3. ?
A.6 B.-6
?

( )

C.12

D.-12

3. 在 ?ABC 中, B ? 60 ,若此三角形最大边与最小边之比为 ( 3 ? 1) : 2 ,则最大 内角 A. 45
?

( B. 60
?



C. 75

?

D. 90

?

4. 在等比数列 ?an ? 中 an ? 0(n ? 1, 2,3,

) ,若 a5 ? a6 ? 9 ,则
( )

log3 a1 ? log3 a2 ? log3 a3 ???? ? log3 a10 等于
A.8 B.10 C.12 D. 2 ? log3 5

5. 已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 ? ( A.138 B.135 C.95 D.23



6. 已知不等式 ax ? 5 x ? b ? 0 的解集是 {x | ?3 ? x ? ?2} , 则不等式 bx ? 5 x ? a ? 0 的解
2 2

集是 A. {x| x ? ?3或x ? ?2 } C. {x| ? B. {x| x ? ?





1 1 或x ? ? } 2 3

1 1 ?x?? } 2 3

D. {x| ?3 ? x ? ?2 }

7. 在 ?ABC 中, AB ? 1 , BC ? 2 ,则角 C 的取值范围是




1

A. (0,

?
6

]

B. (0,

?
3

]

C. (

? ? , ] 6 2

D. [

?
6

,? )

8. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n 且满足 S17 ? 0, S18 ? 0 ,则 项为 A.

S1 S2 , , a1 a2

,

S17 中最大的 a17
( )

S6 a6

B.

S7 a7

C.

S8 a8

D.

S9 a9

第Ⅱ卷(本卷共计 110 分) 二、填空题: (本大题共 6 小题,每题 5 分,共 30 分。要求只填最后结果。 9.点 (2,1) 和 (1, 2) 在直线 ax ? y ? 1 ? 0 的两边,则 a 的取值范围是_________

10 在等差数列 ?an ? 中,已知 a7 ? a8 , d ? 0 ,则使它的前 n 项和 Sn 取得最大值的自然数 n=______. 11. 在△ABC 中 , ∠ A ,∠ B ,∠ C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a : b : c ? 3 : 5 : 6, 则

2b sin A ? c sin B =__________. a sin C
12.若 x ? 1, x, x ? 1 是钝角三角形的三边长,则实数 x 的取值范围________

13. 在 数 列 {an } 中 , an

5 ? 4n ? , a1 ? a2 ? 2

? an ? an 2 ? bn, 其 中 a , b 为 常 数 , 则

a ? 2b 的值为

____.

14. 数列{an}与{bn} ,若 an=n+1,b1=a1,bn= abn?1 ,则 bn=

.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. (本题满分 12 分)
2

在△ABC 中,角 A,B,C 的对 边分别为 a,b,c,已知 4sin

2

A+ B

7 -cos 2C= ,且 a+b=5, 2 2

c= 7, (1)求角 C(2)求三角形的面积

16. (本题满分 12 分) 在三角形 ABC 中,其三边分别为 AB ? c, AC ? b, BC ? a (1)若 c ? 5 ,求 a cos B ? b cos A 的值; (2)若 sin A ? sin C cos B ,判断三角形 ABC 形状 ABC . (3)若三角形 ABC 是直角三角形, sin A ? k sin C cos B ,求 k 的取值范围

17. (本题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,满足 f (1) ? 0 (1) 若 c ? 1, 解不等式 f ( x) ? 0 (2)若 a ? b ? c ,设方程 f ( x) ? 0 的最小根为 x0 ,确定 a , c 的符号并求 x0 的取值范围;

18. (本题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足

an ?1 a 2 ? n ? , a1 ? 1 ,数列 ?bn ? 满足 bn ? nan n n ? 1 n(n ? 1)

(1)证明数列 ?bn ? 是等差数列; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式;
n (3)求数列 2 bn 的前 n 项的和 Sn .

?

?

19. (本题满分 14 分)
3

已知数列{an}的前 n 项为和 Sn,点 ( n,

Sn 1 11 ) 在直线 y ? x ? 上. 2 2 n

数列{bn}满足 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 (n ? N * ),且b3 ? 11,前 9 项和为 153. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)设 cn ?

k 3 ,数列{cn}的前 n 和为 Tn,求使不等式 Tn ? 对一切 57 (2an ? 11)(2bn ? 1)

n ? N * 都成立的最大正整数 k 的值.

20.(本题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ( x ?1)2 , g ( x) ? 10( x ?1) ,数列 ?an ? 满足

a1 ? 2, (an ?1 ? an ) g (an ) ? f (an ) ? 0, bn ?
(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

9 (n ? 2)(an ? 1) 10

(2)当 n 取何值时, bn 取最大值,并求出最大值。

宝安中学高二期中测试(理科数学)参考答案

4

一: CBCB 二:填空题

CCAD
10 ;12. (2, 4) ;13. 1;14. bn ? n ? 1 3
7 -cos 2C= , 2 2

9. (?3, ?1) ;10. 7;11. 三:解答题 15. 解(1) 因为 4sin
2

A+B

7 2 所以 2[1-cos(A+B)]-2cos C+1= , 2 7 2 2+2cos C-2cos C+1= , 2 1 1 2 cos C-cos C+ =0,解得 cos C= . 4 2 6分 7分
2 2

0 ? C ? ? ?C ?

?
3

1 a +b -7 2 2 (2)根据余弦定理有 cos C= = ,ab=a +b -7, 2 2ab 3ab=a +b +2ab-7=(a+b) -7=25-7=18,ab=6. 10 分 1 1 3 3 3 所以 S= absin C= ×6× = . 2 2 2 2 16 解: (1)解法 1: a cos B ? b cos A ? 2R sin A cos B ? 2R sin B cos A ? 2R sin( A ? B) 12 分
2 2 2

? 2 R sin C ? c ? 5
解法 2: a cos B ? b cos A ? a ? (2)

a 2 ? c 2 ? b2 b2 ? c 2 ? a 2 ?b? ?c?5 2ac 2bc

3分

sin A ? sin C cos B ?

sin A ? cos B sin C
6分

a a 2 ? c 2 ? b2 ? ? ? c 2 ? a 2 ? b 2 ,故三角形 ABC 为直角三角形 c 2ac
(3)若 A ? 90 ,则 B ? C ? 90 ?sin C ? cos B
0
0

?1 ? k sin 2 C
0

00 ? C ? 900 ?0 ? sin 2 C ? 1? k ? 1

8分 9分 11 分 12 分
5

若 B ? 90 ,则? sin A ? 0 ? k 不存在
0 0 若 C ? 90 ,则 A ? B ? 90 ?sin A ? cos B ? k ? 1

?k ?1

17. 解: (1)

f (1) ? 0 ? a ? b ? c ? 0 ,

1分 2分

c ? 1,?b ? ?a ? 1 , f ( x) ? 0?ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0

即 (ax ? 1)( x ? 1) ? 0

f ( x) ? ax2 ? bx ? c 为二次函数? a ? 0
1 ( , ??) a
4分

当 0 ? a ? 1 时,不等式解为 (??,1) 当 a ? 1 时,不等式解为 (??,1) 当 a ? 1 时,不等式解为 (??, ) 当 a ? 0 时,不等式解为 ( ,1)

(1, ??)
(1, ??)
6分 7分

1 a

1 a

(2)

a ? b ? c ? 0 , a ? b ? c ?a ? b ? c ? c ? c ? c ?c ? 0
10 分

? a ? b ? c ? a ? a ? a ? a ? 0 ,故 a ? 0, c ? 0

f ( x) ? 0 ? ax2 ? bx ? c ? 0

a?b?c ? 0

? ax2 ? (a ? c) x ? c ? 0 ? ( x ? 1)(ax ? c) ? 0
a ? 0, c ? 0 ? x0 ? c a
11 分

?2a ? ?c a ? b ? c ? 0 , a ? b ? c ? a ? ?a ? c ? c ? ? ? a ? ?2c
??2 ? c 1 1 ? ? ,? x0 ? (?2, ? ) a 2 2
14 分

18.(1).证明:

an ?1 a 2 ? n ? ,? (n ? 1)an ?1 ? nan ? 2 n n ? 1 n(n ? 1)

?bn?1 ? bn ? 2?bn?1 ? bn ? 2 ,
故数列 ?bn ? 是以 b1 ? a1 ? 1 为首项 2 为公差的等差数列 (2)由(1)得 bn ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ?1 5分

? nan ? 2n ? 1? an ?

2n ? 1 n

9分

(3)由(2) bn ? 2n ? 1

?2n bn ? (2n ?1)2n ,
6

? Sn ? 1? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ?2Sn ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? 24 ?

? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1)2n ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1)2n?1 ? 2n ) ? (2n ?1)2n?1

两式相减得 (1 ? 2)Sn ? 2 ? 2(22 ? 23 ?

(1 ? 2)Sn ? 2(2 ? 22 ? 23 ?

? 2n ) ? 2 ? (2n ?1)2n?1
14 分

Sn ? (2n ?1)2n?1 ? 6
19. 解: (1)由题意,得

Sn 1 11 1 11 ? n ? ,即S n ? n 2 ? n. n 2 2 2 2
1 2 11 1 11 n) ? [ (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? n ? 5. 2 2 2

2 故当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? ( n ?

当 n = 1 时, a1 ? S1 ? 6 ,而当 n = 1 时,n + 5 = 6, 所以, an ? n ? 5(n ? N * ). …………………………………………………… 4 分 又 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,即bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ) , 所以{bn}为等差数列,于是 而 b3 ? 11, 故b7 ? 23, d ?

9(b3 ? b7 ) ? 153. 2

23 ? 11 ? 3. 7?3

因此, bn ? b3 ? 3(n ? 3) ? 3n ? 2,即bn ? 3n ? 2(n ? N * ). ………………8 分 (2) cn ?

3 3 ? (2a n ? 11)(2bn ? 1) [2(n ? 5) ? 11][2(3n ? 2) ? 1]
? 1 1 1 1 ? ( ? ). …………………………9 分 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

Tn ? c1 ? c 2 ? ? ? c n ? 所以,

1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? . …………………………………………11 分 2 2n ? 1 2n ? 1

由于 Tn ?1 ? Tn ?

n ?1 n 1 ? ? ? 0, 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)(2n ? 1)
1 . ………………………………………………13 分 3

因此 Tn 单调递增,故 (Tn ) min ?

7



1 k ? , 得k ? 19, 所以 K max ? 18. …………………………………………14 分 3 57
2

20.⑴解:∵(an+1-an)·g(an)+f(an)=0 f(an)=(an-1) g(an)=10(an-1) 2 ∴10(an+1-an)(an-1)+(an-1) =0 即(an-1)(10an+1-9an-1)=0 x 又 a1=2,可知对任何 n∈N ,an-1≠0 ∴ an+1=

9 1 an ? 10 10

…4 分



an ?1 ? 1 9 ? an ? 1 10
9 的等比数列 10
n ?1

∴{an-1}是以 a1-1=1 为首项, 公比为

?9? an-1= ? ? ? 10 ?

?9? ? an=1+ ? ? ? 10 ?
n ?1

n ?1

………6 分
n

?9? ⑵由⑴可知,an-1= ? ? ? 10 ?
bn ?1 9 ? 1 ? ? ?1 ? ? bn 10 ? n ? 2 ?
当 n=7 时,

?9? (n∈N+) ∴bn=(n+2) ? ? ? 10 ?
……………………8 分

b8 ?1 b7 bn ?1 <1 bn
当 n<7 时,

…………………10 分

当 n>7 时,

∴bn+1<bn

bn ?1 >1 bn

∴bn+1>bn

………12 分

∴当 n=7 或 n=8 时,bn 取最大值,最大值为 b7=b8=

98 …………14 分 107

8


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