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解三角形高考题精选


解三角形高考题精选
一.选择题。 1.(06 全国 I) ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 cos B ? ( ) A.

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

r />
2.(06 山东)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A = (A) 1 (B)2 (C) 3 —1

? ,a = 3 ,b =1,则 c =( ) 3 (D) 3


2 3

3.(07 重庆)在 △ ABC 中, AB ? 3 , A ? 45 , C ? 75 ,则 BC ? ( A. 3 ? 3 B. 2 C. 2 D. 3 ? 3

4. ( 08 陕 西 ) △ ABC 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 若 ,则 c ? 2, b ? , 6 B ?1 2 0 a 等于( A. 6 B.2 C. 3 )

D. 2
2 2 2

5. (08 福建)在△ABC 中,角 ABC 的对边分别为 a、b、c,若(a +c -b )tanB= 3ac ,则角 B 的值为( A. )

? 6

B.

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3


6. (08 海南)如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( A. 5/18 B. 3/4 C.

3 /2

D. 7/8

二.填空题。 7. (06 北京) 在 ?ABC 中, 若 sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 , 则 ? B 的大小是____________. 8.(06 江苏)在△ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC= 9.(07 北京)在 △ ABC 中,若 tan A ?

1 , C ? 150 , BC ? 1 ,则 AB ? 3

10. ( 07 湖 南 ) 在 △ ABC 中 , 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c , 若 a ? 1 ,

b= 7 , c ? 3 ,则 B ?



11.(07 湖南文) 在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c , 若 a ? 1 ,c ? 3 ,

C?

π ,则 A ? 3



12.(07 重庆文)在△ABC 中,AB=1, BC=2, B=60°,则 AC= 13. (08 江苏)若 AB=2, AC= 2 BC ,则 S ?ABC 的最大值 .

14. ( 08 湖北)在△ ABC 中,三个角 A, B, C 的对边边长分别为 a ? 3, b ? 4, c ? 6 , 则

bc cos A ? ca cos B ? ab cos C 的值为

.

15. (08 浙江) 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a 、 b、 c , 若 则 cos A ? _________________。 三.解答题。

? 3b ? c?c o s

A ? ac o s C,

16.( 06 湖南)如图,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= ? ,∠ABC= ? . (1)证明 sin ? ? cos 2? ? 0 ; (2)若 AC= 3 DC,求 ? 的值. β B 图 D C A α

17(06 全国 I) ?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos 得最大值,并求出这个最大值。

B?C 取 2

18(07 宁夏,海南) )如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的 两个侧点 C 与 D .现测得 ?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰 角为 ? ,求塔高 AB .

19. (07 福建)在 △ ABC 中, tan A ?

1 3 , tan B ? . 4 5

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

20(07 浙江)已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

21. (07 山东)如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北 方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A 1 处时, 乙船位于甲船的北偏西 105 的方向 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的 北偏西 120 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里, 问乙船每小时航行多少海里?
?

?

在 △ ABC 中, a, b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边.若 a ? 2, 22(07 上海)

C?

π , 4

cos

B 2 5 ? ,求 △ ABC 的面积 S . 2 5

23. (07 全国Ⅰ文)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 3 , c ? 5 ,求 b.

24(07 全国Ⅱ)在 △ ABC 中,已知内角 A ? (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域;

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?
(2)求 y 的最大值.

25(07 广东)

已知△ ABC 顶点的直角坐标分别为

A(3,4)、B(0,0)、C (c,0) .

(1)若 c ? 5 ,求 sin∠ A 的值;

(2)若∠ A 是钝角,求 c 的取值范围.

26.(08 湖南)在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东

45 且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45 + ? (其中 sin ? =

26 ,0 ? ? ? 90 )且与点 A 相距 10 13 海 26

里的位置 C. (I)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断 它是否会进入警戒水域,并说明理由.

答案

1. B 2. B 3. A

4. D

5. D 6. D

7.

? 3

8. 4 6

9.

10 2

10.

5π π 6 11. 6

12.

3

13.

2 2 14.

61 2

15.

3 3

16. [解] (1).如图 3, ? ?

?
2

? (? ? 2? ) ? 2? ?

?

,? sin ? ? sin(2? ? ) ? ? cos 2? , 2 2

?

即 sin ? ? cos 2? ? 0 . (2) .在 ?ABC 中,由正弦定理得

DC AC DC 3DC ? ,? ? .?sin ? ? 3 sin ? sin ? sin(? ? ? ) sin ? sin ?
由(1)得 sin ? ? ? cos 2? ,?sin ? ? ? 3 cos 2? ? ? 3(1 ? 2sin 2 ? ),

即 2 3 sin

2

? ? sin ? ? 3 ? 0.解得 sin ? ?
3 ? ,? ? ? . 2 3

3 3 . 或 sin ? ? ? 2 3

0?? ?

?
2

,? sin ? ?

17. .解:

cos A ? 2cos

B?C ??A A A A ? cos A ? 2cos ? cos A ? 2sin ? 1 ? 2sin 2 ? 2sin 2 2 2 2 2

A 2 (0 ? A ?? ) 记 f t ? ?2t 2 ? 2t ? 1在 ( 0,1 ] 上的最大值 则原问题等价于求 ? ? t ? sin
? 1? ?1? f ? t ? ? ?2 ? t ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? ? ?2? 3 1 ? t? A? f t 4 时,即 3 时, ? ? 取得最大值 2 。 当
18. 解:在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? . 由正弦定理得
2 2

BC CD ? . sin ?BDC sin ?CBD

所以 BC ?

CD sin ?BDC s · sin ? ? . sin ?CBD sin(? ? ? ) s · tan ? sin ? . sin(? ? ? )

在 △ ABC 中 AB ? BC tan ?ACB ?

19. 解: (Ⅰ)

C ? π ? ( A ? B) ,

1 3 ? 3 ? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 4 5 ? ?1 .又 0 ? C ? π ,? C ? π . 1 3 4 1? ? 4 5 3 (Ⅱ) C ? ? ,? AB 边最大,即 AB ? 17 . 4


? ?? tan A ? tan B,A,B ? ? 0, ? ,? 角 A 最小, BC 边为最小边. ? ??

sin A 1 ? ? , ? tan A ? ? π? 由? cos A 4 且 A ? ? 0, ? , ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?
得 sin A ?

AB BC sin A 17 ? ? 2. .由 得: BC ? AB sin C sin A sin C 17

所以,最小边 BC ? 2 . 20. 解: (I)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 ,

BC ? AC ? 2 AB ,
两式相减,得 AB ? 1 . (II)由 △ ABC 的面积 由余弦定理,得 cos C ?

1 1 1 BC AC sin C ? sin C ,得 BC AC ? , 3 2 6

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 2 AC BC

( AC ? BC )2 ? 2 AC BC ? AB 2 1 ? ? , 2 AC BC 2
所以 C ? 60 . 21. 解:如图,连结 A1B2 , A2 B2 ? 10 2 , A1 A2 ?

20 ? 30 2 ? 10 2 , 60

?A1 A2 B2 是等边三角形, ?B1 A1B2 ? 105? ? 60? ? 45? ,
在 ?A 1 B2 B 1 中,由余弦定理得
2 2 B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B1 ? A1B2 cos 45?

? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ?

, 2 ? 200 2

B1B2 ? 10 2.
因此乙船的速度的大小为

10 2 ? 60 ? 30 2. 20

答:乙船每小时航行 30 2 海里.

4 3 22. 解: 由题意,得 cos B ? , B 为锐角, sin B ? , 5 5

? 3π ? 7 2 , sin A ? sin( π ? B ? C ) ? sin? ?B?? ? 4 ? 10
由正弦定理得 c ?

10 1 1 10 4 8 , ? S ? ac sin B ? ? 2 ? ? ? . 2 2 7 5 7 7 1 , 2

23. 解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?

π . 6

2 2 2 (Ⅱ)根据余弦定理,得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? 27 ? 25 ? 45 ? 7 .

所以, b ?

7.
? 2? ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? . ? ?

24. 解: (1) △ ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ? 应用正弦定理,知

AC ?

BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x , ? sin A sin ?

AB ?

BC ? 2? ? sin C ? 4sin ? ? x?. sin A ? ? ?

因为 y ? AB ? BC ? AC , 所以 y ? 4sin x ? 4sin ?

2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?
? ? 1 cos x ? sin x ? ??2 3 ? 2 ?

(2)因为 y ? 4 ? sin x ?

? ? ?

?? ? 5? ? ? ?? ? 4 3 sin ? x ? ? ? 2 3 ? ? x ? ? ? , ?? ? ? ? ? ??

所以,当 x ?

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . ? ? ?
当c=5时, AC ? (2, ?4)

25. 解:(1) AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4)

cos ?A ? cos ? AC, AB ??
(2)若A为钝角,则

?6 ? 16 5? 2 5

?

1 5
进而

sin ?A ? 1 ? cos 2 ?A ?

2 5 5

25
AB﹒AC= -3(c-3)+( -4) <0
2

解得c> 3

25 显然此时有AB和AC不共线,故当A为钝角时,c的取值范围为[ 3 ,+ ? )
26. 解: (I)如图,AB=40 2 ,AC=10 13 ,

?BAC ? ? ,sin ? ?

26 . 26

由于 0 ? ? ? 90 ,所以 cos ? = 1 ? (

26 2 5 26 ) ? . 26 26

由余弦定理得 BC=

AB2 ? AC2 ? 2 AB AC cos? ? 10 5.
10 5 ? 15 5 (海里/小时). 2 3

所以船的行驶速度为

(II) 解法一 如图所示, 以 A 为原点建立平面直角坐标系, 设点 B、C 的坐标分别是 B(x1,y2), C(x1,y2), BC 与 x 轴的交点为 D. 由题设有,x1=y1=

2 AB=40, 2

x2=ACcos ?CAD ? 10 13cos(45 ? ? ) ? 30 , y2=ACsin ?CAD ? 10 13sin(45 ? ? ) ? 20. 所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k=

20 ? 2 ,直线 l 的方程为 y=2x-40. 10

又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d= 所以船会进入警戒水域.

| 0 ? 55 ? 40 | ? 3 5 ? 7. 1? 4

解法二: 如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q. 在△ABC 中,由余弦定理得,

cos ?ABC ?

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 2 AB ? BC

=

402 ? 2 ? 102 ? 5 ? 102 ? 13 3 10 = . 10 2 ? 40 2 ? 10 5
2

从而 sin ?ABC ? 1 ? cos ?ABC ? 1 ? 在 ?ABQ 中,由正弦定理得,

9 10 ? . 10 10

10 AB sin ?ABC 10 ? 40. ? AQ= sin(45 ? ?ABC ) 2 2 10 ? 2 10 40 2 ?
由于 AE=55>40=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP ? BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离. 在 Rt ?QPE 中,PE=QE·sin ?PQE ? QE ? sin ?AQC ? QE ? sin(45 ? ?ABC) = 15 ? 所以船会进入警戒水域.

5 ? 3 5 ? 7. 5


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