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2013年湖南高考-三角函数与平面向量


2013 年湖南高考数学必考点题型热点预测与分析
命题热点一 三角函数与平面向量 高考对给部分考查的主要内容为:任意角的概念和弧度制、任意角的三角函数的概念、 诱导公式、同角三角函数关系、三角函数的图像和性质、两角和与差的三角函数公式、二倍 角公式、正弦定理、余弦定理、平面向量的概念和线性运算、平面向量的数量积、平面向量 的应用。高考对该部分的考查重基础,虽然该部分内容在试卷中试题数量多、占有的分值较 多,但是试题以考查基础为主,试题的难度一般是中等偏下。 在高考中重点考查: 三角函数的图像和性质、 正弦定理、 余弦定理、 平面向量的数量积、 平面向量的几何意义等。 预测 1. 如图, 单位圆(半径为 1 的圆)的圆心 O 为坐标原点,单位圆与 y 轴的正半轴交与 点 A ,与钝角 ? 的终边 OB 交于点 B( xB , yB ) ,设 ?BAO ? ? . (1) 用 ? 表示 ? ;

4 ,求点 B( xB , yB ) 的坐标; 5 (3) 求 xB ? yB 的最小值.
(2) 如果 sin ? ?

y

? 角终边
B

A

O

x

解:(1)如图 ?AOB ? ? ? ? ? ? ? 2? ,?? ? 3? ? 2? . 2 2 (2)由 sin ? ?

3? yB ? 2? ) ,又 r ? 1 ,得 y B ? sin ? ? sin( r 2

4 7 . ? ? cos2? ? 2 sin2 ? ? 1 ? 2 ? ( )2 ? 1 ? 5 25

由钝角 ? ,知 xB ? cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 24 ,
25

?B(?

24 7 . , ) 25 25

(3) 【法一】 xB ? y B ? cos ? ? sin ? ? 2 cos(? ?

? ), 4

又 ? ? ( ? , ? ),? ? ? ? ( 3? , 5? ) , cos(? ? ? ) ? ?? 1,? 2 ? , ? ? 2 4 4 4 4 2 ? ? ?

? xB ? yB 的最小值为 ? 2 .
【法二】 ? 为钝角,? xB ? 0, yB ? 0, xB ? yB ? 1 ,
2 2

xB ? yB ? ?(? xB ? yB ) ,

(? xB ? yB ) 2 ? 2( xB ? yB ) ? 2 ,? xB ? y B ? ? 2 ,
2 2

? xB ? yB 的最小值为 ? 2 .
【说明】本题考查三角函数的定义、诱导公式、倍角公式,三角函数的图象和性质(基本不 等式的应用.本题为原创题. 预测 2.已知向量 m ? (2 cos ? x,1), n ? ( 3 sin ? x ? cos ? x, a) ,其中 ( x ? R, ? ? 0) ,函数

??

?

?? ? f ( x) ? m ? n 的最小正周期为 ? ,最大值为 3。
(1)求 ? 和常数 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调递增区间。

2 解析: (1) f ( x) ? m ? n ? 2 3 sin ? x cos ? x ? 2 cos ? x ? a ,

?? ?

? ? 3sin 2?x ? cos2?x ?1? a ? 2sin(2? x ? ) ? a ? 1 , 6 2? 由T ? ? ? ,得 ? ? 1 。 2? ? 又当 sin(2? x ? ) ? 1 时 ymax ? 2 ? a ?1 ? 3,得 a ? 2 . 6 ? ? ? ? (2)由(1) f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 当 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? (k ? Z ) , 6 2 6 2 ? ? ? ? 即 k? ? ? x ? k? ? ,故 f ( x ) 的单调增区间为 [k? ? , k? ? ] , ( k ? Z ) 。 6 3 6 3
2 预测 3. 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? 2sin x, x ? R .

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (2)将函数 y ? f ( x) 的图像上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的 得到的图像再向左平移

? 单位,得到的函数 y ? g ( x ) 的图像,求函数 y ? g ( x ) 在 6

1 ,把所 2

区间 ? 0,

? ?? 上的最小值. ? 8? ?
3 sin 2 x + cos 2 x
4分

2 解: (1)因为 f ( x) = 2 3 sin x cos x + 1- 2sin x =

= 2 sin( x ? 2

?
6

),

函数 f(x)的最小正周期为 T = ? . 由 2k? ?

?

2

? 2x ?

?

6

? 2k? ?

?

2

, k ?Z ,

得 f(x)的单调递增区间为 [k? ?

?

, k? ? ] , k ? Z . 3 6

?

9分

(2)根据条件得 g (x) = 2 sin( x ? 4 所以当 x =

? 时, g ( x)min = - 3 . 8

5? 5? 5 4 ? ? [ ? , ? ], ) ,当 x ? [ 0, ] 时, 4 x ? 8 6 6 6 3
14 分

预测 4. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,且 cos A ? (Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)若 a ? b ? 2 ?1 ,求边 c . 5 2 解:(Ⅰ)∵ cos A ? . 5,0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 5 5 又∵ sin B ?
10 , sin A ? sin B ,∴ a ? b ,∴ A ? B , 10 10

2 5 10 ,sin B ? 5 10

? 3 10 ∴ B ? (0, ) ,∴ cos B ? .
2

……………………… 3 分
2 , 2

∴ cos C ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B ? ? ∴C ?
3? . 4

……………………… 6 分

a b a sin A 得, ? ? ? 2 ,∴ a ? 2b . sin A sin B b sin B 又∵ a ? b ? 2 ?1 ,∴ a ? 2,b ? 1. ………………………9 分 b c 又∵ ,∴ c ? 5 .(用余弦定理也可) ………………………12 分 ? sin B sin C

(Ⅱ)由正弦定理

预测 5. 已知平面向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos x,sin x) , c ? (sin ? , ? cos ? ) ,其 中 0 ? ? ? ? ,且函数 f ( x) ? ( a ? b) cos x ? (b ? c) sin x 的图象过点 ( (1)求 ? 的值;

?

?

?

? ?

? ?

?
6

,1) .

(2)将函数 y ? f (x) 图象上各点的横坐标变为原来的的 2 倍,纵坐标不变,得到函数

y ? g (x) 的图象,求函数 y ? g (x) 在 [0, ] 上的最大值和最小值. 2
? ? ? a ? b ? cos ? cos x ? sin ? sin x ? cos(? ? x)
…1 分 解: (1) ………………………… ………………

?

? ? b ? c ? cos x sin ? ? sin x cos ? ? sin( x ? ? )

……………2 分

? ? ? ? ? f ( x) ? (a ? b) cos x ? (b ? c) sin x ? cos(? ? x) cos x ? sin(? ? x)sin x ? cos(? ? x ? x)

………………

……………4 分

? cos(2 x ? ? ) ,

即 f ( x) ? cos(2 x ? ? ) ∴ f ( ) ? cos(

?

?

6 3 而0 ?? ?? ,
∴? ?

? ? ) ? 1,

?
3



(2)由(1)得, f ( x) ? cos(2 x ? 于是 g ( x) ? cos(2( x) ? 即 g ( x) ? cos( x ? 当 x ? [0, 所以

?
3

),

?

1 2

?
3

),
……………………………9 分

?
2

3

). 3 ? x?

] 时, ?

?

?
3

?

?
6



1 ? ? cos( x ? ) ? 1, ……………………………11 分 2 3 1 即当 x ? 0 时, g ( x) 取得最小值 , 2
当x?

?

3

时, g ( x) 取得最大值 1 .……………………12 分

预测 6. 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,向量

? ? ? ? ? 12 ? p ? (1 ? sin A, ), q ? (cos 2 A, 2sin A), 且 p / / q 。 7 (I)求 sin A 的值;
(II)若 b ? 2, ?ABC 的面积为 3,求 a。

解: (Ⅰ)? p // q

? ? ?

?

12 cos 2 A ? (1 ? sin A) ? 2sin A , 7

?6(1? 2sin2 A) ? 7sin A(1? sin A) , 5sin 2 A ? 7 sin A ? 6 ? 0 ,
?sin A ? 3 . (sin A ? ?2舍) 5 1 (Ⅱ)由 S?ABC ? bc sin A ? 3, b ? 2 ,得 c ? 5 , 2 4 2 又 cos A ? ? 1 ? sin A ? ? , 5
6分

? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? 25 ? 2 ? 2 ? 5cos A ? 29 ? 20cos A ,

4 2 时, a ? 13, a ? 13 ; 5 4 2 当 cos A ? ? 时, a ? 45, a ? 3 5 . 5
当 cos A ?

10 分 12 分

预测 7.在股票市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线(记作 MA)的 变化情况来决定买入或卖出股票。股民老张在研究股票的走势图时,发现一只股票的 MA 均线近期走得很有特点:如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系 xoy ,则股价 y(元) 和时间 x 的关系在 ABC 段可近拟地用解析式 y ? a sin(? x ? ? ) ? b(0 ? ? ? ? ) 来描述,从 C 点走到今天的 D 点,是震荡筑底阶段,而今天出现了明显的筑底结束的标志,且 D 点和 C 点正好关于直线 l : x ? 34 对称,老张预计这只股票未来的走势如图中虚线所示,这里 DE 段与 ABC 段关于直线 l 对称,EF 段是股价延续 DE 段的趋势(规律)走到这波上升行情的 最高点 F。 现在老张决定取点 A(0, 22), 点 B(12,19) ,点 D(44,16)来确定解析式中的常 数 a, b, ? , ? ,并且已经求得 ? ?

?
72

.

(I)请你帮老张算出 a , b, ? ,并回答股价什么时候见顶(即求 F 点的横坐标) (II)老张如能在今天以 D 点处的价格买入该股票 5 000 股,到见顶处 F 点的价格全部卖 出,不计其它费用,这次操作他能赚多少元?

(Ⅰ)? C , D 关于直线 l 对称? C 点坐标为 (2 ? 34 ? 44, 16) 即 (24, 16) , 解:

把 A 、 B 、 C 的坐标代入解析式,得

? ? 22 ? a sin ? ? b ? ? ? ?19 ? a sin( ? ? ) ? b 6 ? ? ? ?16 ? a sin( 3 ? ? ) ? b ?

① ② ③

② ? ①,得 ③ ? ①,得

a[sin( ? ? ) ? sin ? ] ? ?3 , 6 a[sin( ? ? ) ? sin ? ] ? ?6 , 3

? ?

? 2sin( ? ? ) ? 2sin ? ? sin( ? ? ) ? sin ? , 6 3

?

?

? cos ? ? 3s in ? ?

3 3 cos ? ? sin ? , 2 2

? (1 ?

3 3 3 ) cos ? ? ( ? 3)sin ? ? 3( ? 1)sin ? , 2 2 2

? tan ? ? ?

3 ,? 0 ? ? ? ? 3

?? ? ? ?

?
6

?

5? , 代入②,得 b ? 19 , 6
5? . 6
7分

再由①,得 a ? 6 ,

? a ? 6, b ? 19 , ? ?

于是, ABC 段的解析式为 y ? 6sin(

?
72

x?

5? ) ? 19 , 6

由对称性得, DEF 段的解析式为 y ? 6sin[

?

72 ? 当 x ? 92 时,股价见顶.

?

?

(68 ? xF ) ?

5? ? ? , 解得 xF ? 92 , 6 2

72

(68 ? x) ?

5? ] ? 19 , 6

10 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, yF ? 6 ?19 ? 25 , 故这次操作老张能赚 5000 ? (25 ? 16) ? 45 000 元. 预测 8.已知函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 如下图所示. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ? [?6, ? ] 时,求函数 y ? f ( x) ? f ( x ? 2) 的最大值与最小值及相应的 x 的值. 12 分

? , x ?R) 的图象的一部分 2

2 3

T 2? ? ? ,∴? ? ,得 f ( x) ? 2sin( x ? ? ) . ? 2 ?T ?8 ? 4 ? 4 4 ? ? ? ? ? 由对应点得当 x ? 1 时, ? 1 ? ? ? ? ? ? .∴ f ( x ) ? 2sin( x ? ) ;……………5 分 4 2 4 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ? (2) y ? 2sin( x ? ) ? 2sin[ ( x ? 2) ? ] ? 2sin( x ? ) ? 2cos( x ? ) 4 4 4 4 4 4 4 4 ? ? ? = 2 2 sin( x ? ) ? 2 2 cos x ,……………9 分 4 2 4 2 ? 3? ? ∵ x ? [ ?6, ? ] ,∴ x ? [? , ? ] ,………………10 分 3 4 2 6 ? ? 2 ? ∴ 当 x ? ? ,即 x ? ? 时, y 的最大值为 6 ;当 x ? ?? ,即 x ? ?4 时, y 的最小值 3 4 6 4 ?2 2 .………………12 分
解:(1)由图像知 A ? 2 ,

动向解读:本题主要结合三角函数与平面向量考查了三角函数的图像与性质。三角函 数解答题的命题方向: (1)考查三角函数的图像与性质为主,一般需要求出函数的解析式,

通过三角恒等变换的方法变换函数的解析式。 (2)考查三角形中的三角恒等变换,其核心 为根据正余弦定理实现边角之间的互化。 (3)考查利用正余弦定理解三角形(包括实际应 用题) ,这在近几年课标区高考试题中经常考到。


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