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北师大版数学(理)提升作业:阶段滚动检测(六)(含答案)


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阶段滚动检测(六)
第一~十章

(120 分钟

150 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的 四个

选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(滚动单独考查)(2013·咸阳模拟)已知复数 z 满足(1+i)z=1-i,则复 数 z 的共轭复数 =( (A)-i (B)i ) (C)1 +I (D)1- i =1},N={x|-1<log2x≤2},

2.(2013·南昌模拟)已知集合 M={x| 则 M∩N=( ) (B){x| <x≤4} (D){3}

(A){x|-1<x≤4} (C){-1,3}

3.把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件 A,“第二次出 现正面”为事件 B,则 P(B|A)等于( (A) (B) (C) ) (D) )

4.命题“存在(x,y),x,y∈R,2x+3y+3<0”的否定是( (A)存在(x,y),x,y∈R,2x+3y+3<0 (B)存在(x,y),x,y∈R,2x+3y+3≥0 (C)任意的(x,y),x∈R,y∈R,2x+3y+3≥0

(D)任意的(x,y),x∈R,y∈R,2x+3y+3>0 5.(2013 · 新 余 模 拟 ) 设 集 合 P={b,1},Q={c,1,2},P?Q, 若 b,c ∈ {2,3,4,5,6,7, 8,9},则 b=c 的概率是( (A) (B) ) (C) (D)

6.将一个骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的 概率为 ( (A) (B) (C) (D) 则 z=2x+3y 的最大值 )

7.(滚动单独考查)若实数 x,y 满足 是( (A)0 ) (B) (C)2 (D)3

8.(滚动单独考查)(2013·成都模拟)设方程 2-x=|lgx|的两根为 x1,x2, 则以下关系正确的是( (A)x1x2<0 (C)x1x2=1 ) (B)0<x1x2<1 (D)x1x2>1

9.从点 P(m,3)向圆 C:(x+2)2+(y+2)2=1 引切线,则切线长的最小值为 ( (A)2 ) (B) (C)4+ (D)5

10.(2013·合肥模拟)反 复抛掷一枚质地均匀的骰子,每一次抛掷后都 记录下朝上一面的点数,当记录有三个不同点数时即停止抛掷 ,则抛掷

五次后恰好停止抛掷的不同记录结果总数是( (A)360 种 (B)840 种 (C)600 种

) (D)1680 种

二、 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案填在 题中横线上) 11.某批花生种子,每颗种子的发芽率为 ,若每次播下 5 颗花生种子,则 每次种子发芽颗数的平均值为 颗.

12.设 A 为圆周上一定点,在圆周上等可能地任取一点与 A 连接,弦长超 过半径的 倍的概率为 .

13.(2013·淮南模拟)已知随机变量ξ 服从正态分布 N(2,σ 2),若 P(0< ξ <2)=0.32,则 P(ξ ≥4)= .

14.(2013·南昌模拟)已知实数 x∈[0,8],执行如图所示的程序框图, 则输出的 x 不小于 55 的概率为 .

15.(滚动交汇考查)(2013·温州十校联考)数列{an}是首项为 1,公比为

2

的 等 比 数 列 , 则 +a101 = .

a1

-a2

+a3

-a4

+ ?

-a100

三、 解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 16.(12 分)(滚动单独考查)已知向量 m=( (1)若 m·n =1,求 cos( -x)的值. (2)记 f(x)= m·n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足 (2a-c)cosB=bcosC,求 f(A)的取值范围. 17.(12 分)(2012·广东高考改编)某班 50 位学生期中考试数学成绩的 频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:40~50,50~60,60~ 70,70~80,80~90,90~100. sin ,1),n=(cos ,cos2 ).

(1)求图中 x 的值. (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分 以上(含 90 分)的人数记为 X,求 X 的数学期望. 18.(12 分)(滚动单独考查)设集合 W 是满足下列两个条件的无穷数列

{an}的集合: ① ≤an+1;②an≤M.其中 n∈N+,M 是与 n 无关的常数.

(1)若{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,a4=2,S4=20,证明:{Sn}∈W. (2)设数列{bn}的通项为 bn=5n-2n,且{bn}∈W,求 M 的取值范围. (3)设数列{cn}的各项均为正整数,且{cn}∈W.证明 cn≤cn+1. 19.(12 分)(2013·合肥模拟)某大楼共 5 层,4 个人从第一层上电梯,假 设每个人都等可能地在每一层下电梯,并且他们下电梯与否相互独立. 又知电梯只在有人下时才停止. (1)求某乘客在第 i 层下电梯的概率(i=2,3,4,5). (2)求电梯在第 2 层停下的概率. (3)求电梯停下的次数 X 的数学期望. 20.(13 分)(2012· 新课标全国卷)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场 购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩 下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天 需求量 n(单位:枝,n∈N)的函数解析式. (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分 布列、数学期望及方差;

②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由. 21.(14 分)(2013·西安模拟)“天宫一号”的顺利升空标志着我国运载 火箭技术的日趋完善.据悉,担任“天宫一号”发射任务的是“长征二 号 FT1”火箭.为确保发射成功,科学家更改了“长征二号 FT1”运载火 箭的 170 余项技术状态,增加了某项新技术,该项新技术在进入试用阶 段前必须对其中三项不同的指标甲、乙、丙进行通过量化检测.假设该 项新技术的指标甲、乙、丙独立检测合格的概率分别为 , , ,指标甲、 乙、丙检测合格分别记 4 分、2 分、4 分.若某项指标不合格,则该项指 标记 0 分,各项指标检测结果互不影响. (1)求该项新技术量化检测得分不低于 8 分的概率. (2)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 X, 求 X 的分布列与数学期望.

答案解析
1.【解析】选 B.z= = =-i? =i. 2.【解析】选 D.≧M={x|x2-2x-3=0}={-1,3},N={x| <x≤4}, ?M∩N={3}. 3.【解析】选 A.方法一:P(B|A)= = = .

方法二:A 包括的基本事件为{正,正},{正,反},AB 包括的基本事件为

{正,正},因此 P(B|A)= . 4.【解析】选 C.存在(x,y)的否定是任意的(x,y),2x+3y+3<0 的否定是 2x+3y+3≥0,故选择 C. 5.【解析】选 C.依题意得当 b=2 时,c 可从 3,4,5,6,7,8,9 中选取,此 时 b≠c;当 b 从 3,4,5,6,7,8,9 中选取时,有 b=c,因此,b=c 的概率为 = . 6.【解析】选 B.将一个骰子连抛三次,共有 n=63 种不同情形.其中,落 地时向上的点数依次成等差数列的有:①公差 d=〒1 的有 4〓2=8(种); ② 公 差 为 〒 2 的 有 2 〓 2=4( 种 ); ③ 公 差 d=0 的 有 6 种 , 共 有 m=8+4+6=18(种),故所求概率为 P= = = . 7.【解析】选 D.平面区域如图,阴影部分的顶点坐标分别为 O(0,0), A(0,1),B(- , ),

所以 zmax=3. 8.【解析】选 B.不妨设 x1<x2,则-x1>-x2, ? > ,即|lgx1|>|lgx2|.

≧x1<x2,?-lgx1>lgx2, ?lg(x1x2)<0,?0<x1x2<1.

9.【解析】选 A.利用切线长与圆半径的关系加以求解.不妨设圆 C 的圆 心为 C,设切点为 M,则 CM⊥MP,于是切线 MP 的长|MP|= = ,显然,当 m=-2 时,MP 有最小值 =2 .

10.【解析】选 B.由题意,得前四次抛掷出现的点数有两个,第五次抛掷 的点数不同于前两个,共有两种情况:一是前四次抛掷有三次点数相同, 此时共有不同记录结果 种;二是前四次抛掷有两次点数相同,另 种,故共有

两次点数也相同,此时共有不同记录结果 +

=4〓6〓5〓4+ 〓6〓5〓4=840(种).

11.【解析】每次种子发芽的颗数记为 X,则 X~B(5, ),EX=5〓 =4, 答案:4 12.【解析】不妨设圆心为 O,在圆周上,任取一点 B 与 A 连接,则弦长超 过半径的 答案: 13.【解析】由ξ~N(2,σ2)知,正态曲线的对称轴为 x=2, 又 P(0<ξ<2)=0.32,则 P(0<ξ<4)=0.64,于是, P(ξ≥4)= [1-P(0<ξ<4)]= (1-0.64)=0.18. 答案:0.18 14.【解析】≧0≤x≤8, ?当 n=1 时,1≤2x+1≤17,即 1≤x≤17, 当 n=2 时,3≤2x+1≤35, 即 3≤x≤35, 当 n=3 时,7≤2x+1≤71,即 7≤x≤71, ?输出的 x 不小于 55 的概率为 = = . 倍时有∠AOB∈( , π),由几何概型的公式得 = .

答案: 15.【解析】依题意 an=2n-1 ?a1 +…-a100 =20 -21 -a2 +a3 +a101 +22 -23 +…-299 +2100 -a4

=(1-2)100=1. 答案:1 16.【解析】(1)m· n= = sin + sin 〃cos +cos2

=sin( + )+ ,

≧m· n=1,?sin( + )= . cos(x+ )=1-2sin2( + )= , cos( -x)=-cos(x+ )=- . (2)≧(2a-c)cosB=bcosC, 由正弦定理得 (2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, ?2sinAcosB-sinCcosB =sinBcosC. ?2sinAcosB=sin(B+C). ≧A+B+C=π, ?sin(B+C)=sinA≠0. ?cosB= ,≧0<B<π,?B= , ?0<A< ,? < + < ,sin( + )∈( ,1).

又≧f(x)=sin( + )+ , ?f(A)=sin( + )+ , 故 f(A)的取值范围是(1, ). 17.【解析】(1)由题设可知(3〓0.006+0.01+x+0.054)〓10=1,解之得 x=0.018. (2)由题设可知,成绩在区间 80~90 内的人数为 0.018〓10〓50=9, 成绩在区间 90~100 内的人数为 0.006〓10〓50=3, 所以不低于 80 分的学生人数为 9+3=12,X 的所有可能取值为 0,1,2. P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= = , = , = .

所以 X 的数学期望 EX=0〓 +1〓 +2〓 = . 【变式备选】某人向一目标射击 4 次,每次击中目标的概率为 .该目标 分为 3 个不同的部分,第一、二、三部分面积之比为 1∶3∶6.击中目标 时,击中任何一部分的概率与其面积成正比. (1)设 X 表示目标被击中的次数,求 X 的分布列. (2)若目标被击中 2 次,A 表示事件 “第一部分至少被击中 1 次或第二部 分被击中 2 次”,求 P(A). 【解析】(1)依题意,X 的分布列为 X P 0 1 2 3 4

(2)设 Ai 表示事件“第一次击中目标时,击中第 i 部分”,i=1 ,2,3. Bi 表示事件“第二次击中目标时,击中第 i 部分”,i=1,2,3. 依题意知 P(A1)=P(B1)=0.1, P(A2)=P(B2)=0.3, P(A3)=P(B3)=0.6, 所求的概率为 P(A)=1-P(A3)P(B3)-P(A3)P(B2)-P(A2)P(B3)=0.28. 18.【解析】(1)设等差数列{an}的公差是 d,则 解得 所以 Sn=na1+ 由 =-1<0, 得 <Sn+1 适合条件①; d=-n2+9n,

-Sn+1= [(-n2 +9n)-(n+2)2+9(n+2)+2(n+1)2-18(n+1)]

又 Sn=-n2+9n=-(n- )2+ ,所以当 n=4 或 5 时,Sn 取得最大值 20,即 Sn≤20, 适合条件②. 综上,{Sn}∈W. (2)因为 bn+1-bn=5(n+1)-2n+1-5n+2n=5-2n,所以当 n≥3 时,bn+1-bn<0,此时 数列{bn}单调递减;当 n=1,2 时,bn+1-bn>0,即 b1<b2<b3,因此数列{bn}中的 最大项是 b3=7, 所以 M≥7. (3)假设存在正整数 k,使得 ck>ck+1 成立. 由数列{cn}的各项均为正整数,可得 ck≥ck+1+1,即 ck+1≤ck-1.

因为

≤ck+1,所以,

ck+2≤2ck+1-ck≤2(ck-1)-ck=ck-2, 由 ck+2≤2ck+1-ck 及 ck>ck+1, 得 ck+2<2ck+1-ck+1=ck+1,故 ck+2≤ck+1-1. 因为 ≤ck+2,

所以 ck+3≤2ck+2-ck+1≤2(ck+1-1)-ck+1=ck+1-2≤ck-3, 依次类推,可得 ck+m≤ck-m(m∈N*) 设 ck=p(p∈N*),则当 m=p 时,有 ck+p≤ck-p=0 这显然与数列{cn}的各项均为正整数矛盾. 所以假设不成立,即对于任意 n∈N*,都有 c n≤cn+1 成立. 19.【解析】(1)显然 P(i)= . (2)电梯在第 2 层停下的对立事件是在第 2 层不停下,即 4 个人在第 2 层都不下,其概率为(1- )4, ?P=1-(1- )4= .

(3)X 可取 1,2,3,4 四种值, P(X=1)= = , P(X=2)= P(X=3)= = , = ,

P(X=4)= = . 故 X 的分布列如表: X 1 2 3 4

P

?EX=1〓 +2〓 +3〓 +4〓 =

.

【变式备选】如图所示,在单位圆 O 的某一直径上随机的取一点 Q,求过点 Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过 1 的概率. 【解析】弦长不超过 1,即 OQ≥ ,而 Q 点在直径上是随机的,事 件 A={弦长超过 1}. 由几何概型的概率公式得 P(A)= ?弦长不超过 1 的概率为 1-P(A)=1- . 答:弦长不超过 1 的概率为 1- . 【方法技巧】生活中的几何概型度量区域的构造 将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何 概型的求解问题,构造出随机事件 A 对应的几何图形,利用几何图形的 度量来求随机事件的概率 ,根据实际问题的具体情况 ,合理设置参数 , 建立适当的坐标系 ,在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐 标系的点,便可构造出度量区域. 20.【解析】(1)当日需求量 n≥16 时,利润 y=80. 当日需求量 n<16 时,利润 y=10n-80. 所以 y 关于 n 的函数解析式为 y= (n∈N). = .

(2)①X 可能的取值为 60,70,80,并且 P(X=60)=0.1, P(X=70)=0.2, P(X=80)=0.7. X 的分布列为 X P X 的数学期望为 E(X)=60〓0.1+70〓0.2+80〓0.7=76. X 的方差为 D(X)=(60-76)2〓0.1+(70-76)2〓0.2+(80-76)2〓0.7=44. ②答案一: 花店一天应购进 16 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分 布列为 Y P Y 的数学期望为 E(Y)=55〓0.1+65〓0.2+75〓0.16+85〓0.54=76.4. Y 的方差为 D(Y)=(55-76.4)2 〓 0.1+(65-76.4)2 〓 0.2+(75-76.4)2 〓 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54 60 0.1 70 0.2 80 0.7

0.16+(85-76.4)2〓0.54

=112.04. 由以上的计算结果可以看出, D(X)<D(Y),即购进 16 枝玫瑰花时利润波动相对较小. 另外,虽然 E(X)<E(Y),但两者相差不大.故花店一天应购进 16 枝玫瑰 花. 答案二: 花店一天应购进 17 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花时,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为 Y P Y 的数学期望为 E(Y)=55〓0.1+65〓0.2+75〓0.16+85〓0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出,E(X)<E(Y),即购进 17 枝玫瑰花时的平均 利润大于购进 16 枝时的平均利润.故花店一天应购进 17 枝玫瑰花. 21.【解析】(1)记“该项新技术的三个指标甲、乙、丙独立检测合格” 分别为事件 A,B,C. 则 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= ,则事件“该项新技术量化检测得分不低于 8 分”可表示为 ABC+A C. ≧事件 ABC 与 A C 为互斥事件,且事件 A,B,C 相互独立. ?P(ABC+A C) =P(ABC)+P(A C)=P(A) 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

P(B)P(C)+P(A)P( )P(C)= 〓 〓 + 〓 〓 = . (2)依题意得,该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数 X 的可 能取值为 0,1,2,3. 故 P(X=0)=P( P(X=1)=P(A )= 〓 〓 = , + B +

C)= 〓 〓 + 〓 〓 + 〓 〓 = , P(X=2)=P(AB +A C+ BC)= 〓 〓 + 〓 〓 + 〓 〓 = , P(X=3)=P(ABC)= 〓 〓 = . ?随机变量 X 的分布列为 X P 0 1 2 3

?EX=0〓 +1〓 +2〓 +3〓 = . 【变式备选】已知关于 x 的二次函数 f(x)=ax2-4bx+1. (1)设集合 P={1,2,3}和 Q={-1,1,2,3 ,4},分别从集合 P 和 Q 中随机取 一个数作为 a 和 b,求函数 y=f(x)在区间[1,+≦)上是增加的概率. (2)设点(a,b)是区域 内的一点,

求函数 y=f(x)在区间[1,+≦)上是增加的概率.

【思路点拨】本题以“二次函数的单调性”为背景,首先写出事件发生 所满足的条件,在第(1)问中,给出了有限个数据,从而判断是古典概型 问题 ,利用列举法写出事件发生的总数以及满足条件的事件发生的个 数,再利用公式求解.第(2)问中,a 和 b 有无限个数据,所以是几何概型 问题,首先计算事件发生的总数与满足条件的事件发生的个数的测度 , 再利用公式求解. 【解析】(1)≧函数 f(x)=ax2-4bx+1 的图像的对称轴为直线 x= ,要使 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+≦)上是增加的,只要当且仅当 a>0 且 ≤1 即可,即 2b≤a. 若 a=1,则 b=-1; 若 a=2,则 b=-1 或 1; 若 a=3,则 b=-1 或 1. ?所求事件的概率为 = . (2)由(1)知,当且仅当 2b≤a 且 a>0 时, 函数 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+≦)上为增加的, 依条件可知事件的全部结果所构成的区域为 {(a,b)| 由 },构成所求事件的区域为三角形部分. 得交点坐标为( , ),

?所求事件的概率为 P= = .

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