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专题探究课四---高考中立体几何问题的热点题型


热点一 空间几何体的三视图及其表 面积、体积

热点二 空间几何体的体积

热点三

平行与垂直的综合问题

热点突破

热点一

空间几何体的三视图及其表面积、体积

柱、锥、台、球及其简单组合体、三视图、直观图等内容是 立体几何的基础,是研究空间问题的基本载体,也是高考对立体 几何考查的一个重要方面,其中几何体的结构特征和三视图是高 考的热点.

热点突破

热点一

空间几何体的三视图及其表面积、体积

[微题型1] 简单几何体的三视图的识别 【例1-1】如图所示,已知三棱锥的底面是直角三 角形,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长 为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是( )

解析 答案

结合三视图的画法规则可知B正确. B

热点突破 [微题型1]

热点一

空间几何体的三视图及其表面积、体积

简单几何体的三视图的识别

解答此类问题的关键是: 一要掌握各种基本几何体的三视图,注意简单组合体 的构成; 二要熟悉三视图“长对正、高平齐、宽相等”的法则.

热点突破

热点一

空间几何体的三视图及其表面积、体积
)

[微题型2] 三视图还原几何体的识别 【例1-2】三视图如图所示的几何体是( A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台

解析

由三视图知该几何体为一四棱锥,

其中有一侧棱垂直于底面,

底面为一直角梯形.
答案 B

热点突破 [微题型3]

热点一

空间几何体的三视图及其表面积、体积

借助三视图研究几何体的表面积、体积

【例 1-3】(1)如图是某几何体的三视图,其中正 视图是斜边长为 2a 的直角三角形, 侧视图是半径 为 a 的半圆,则该几何体的体积是( ) 3 3 3 3 3 A. πa B. 3πa C. πa D.2 3πa3 6 4 解析 (1)由侧视图为半圆可知, 该几何体与圆柱、圆锥、球有关, 结合正视图是一个直角三角形知该几何体是 沿中心轴线切开的半个圆锥, 将剖面放置在桌面上,如图, 由条件知,半圆锥的母线长为2a,底面半径为a, 故半圆锥的高为 (2a)2-a2= 3a, 1 ?1 3 ? 2 ×π a × 3 a 几何体的体积 V= × ?= 6 π 2 ?3

热点突破 [微题型3]

热点一

空间几何体的三视图及其表面积、体积

借助三视图研究几何体的表面积、体积

【例 1-3】(2)如图,一个空间几何体的正视图、 3 侧视图都是面积为 ,一个内角为 60° 的菱形, 2 俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为 ( ) A.2 3 B.4 3 C.8 D.4

(2)由三视图知,原几何体为两个四棱锥的组合体,

其中四棱锥的底面边长为1,斜高为1, 1 所以这个几何体的表面积为 S= × 1× 1× 8=4. 2
答案 (1)A (2)D

热点突破 [微题型3]

热点一

空间几何体的三视图及其表面积、体积

借助三视图研究几何体的表面积、体积

解决此类问题关键是通过三视图确定空间几何体中的 几何量的关系,其中,正视图、侧视图的高就是空间几何 体的高,正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长 度,侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度.

热点突破 [微题型3]

热点一

空间几何体的三视图及其表面积、体积

借助三视图研究几何体的表面积、体积

【训练1】(1)(2014· 北京卷)某三棱锥的三视图如图所示,则该 三棱锥最长棱的棱长为________. 解析 (1)该三棱锥的直观图如图所示,

并且PB⊥平面ABC,PB=2,AB=2,
AC=BC= 2,PA= 22+22=2 2,

PC= 22+( 2)2= 6,

故PA最长.

热点突破

热点二

空间几何体的体积

空间几何体的体积是高考考查立体几何的考点之一,求 空间几何体的体积的常用方法主要有:公式法、转化法、割 补法.

热点突破 [微题型1]

热点二

空间几何体的体积

公式法求几何体的体积

【例 2-1】一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的 体积为 4 3π,则该正方体的表面积为________.

依题意知正方体的体对角线长等于球的直径, 4 3 设球的半径为 R,则 4 3π= πR , 3
所以 R= 3,

解析

于是正方体的体对角线长为 2 3.

设正方体的棱长为a, 则有 2 3= 3a,于是 a=2, 因此正方体的表面积为6a2=24. 答案 24

热点突破 [微题型1]

热点二

空间几何体的体积

公式法求几何体的体积

对于规则几何体的体积问题,可以直接利用公式法进 行求解.

热点突破 [微题型2]

热点二

空间几何体的体积

转化法求几何体的体积

【例 2-2】如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E 为线 段 B1C 上的一点,则三棱锥 A-DED1 的体积为________.

解析

三棱锥A-DED1的体积等于三棱锥E-DD1A的体积,
1

即VA-DED =VE-DD1A
1 1 1 = ×× 1× 1× 1= . 3 2 6

1 答案 6

热点突破 [微题型2]

热点二

空间几何体的体积

转化法求几何体的体积

依据一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的.如 果一个几何体的底面面积和高较难求解时,我们可以采用等 体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变形,它是 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解 决有关锥体的体积,特别是三棱锥的体积.

热点突破 [微题型3]

热点二

空间几何体的体积

割补法求几何体的体积

【例 2-3】如图所示,已知三棱锥 D-ABC 中,AD⊥BC,AD, BC 之间的距离为 h,且 AD=a,BC=b,则三棱锥 D-ABC 的体 积为________.

解析 法一 设AD,BC的公垂线为EF,如图所示, 因为AD⊥BC, 所以AD⊥平面BEC, 所以VD-ABC=VA-BEC+VD-BEC
1 1 = S△BEC· AE+ S△BEC· ED 3 3

1 = S△BEC· AD 3 11 abh = · bh· a= . 32 6

热点突破 [微题型3]

热点二

空间几何体的体积

割补法求几何体的体积

【例 2-3】如图所示,已知三棱锥 D-ABC 中,AD⊥BC,AD, BC 之间的距离为 h,且 AD=a,BC=b,则三棱锥 D-ABC 的体 积为________.

法二 以AB,BC为邻边补成平行四边形ABCE, 以AD为侧棱补成平行六面体ABCE-DGMF,如图所示, 则三棱锥D-ABC的体积V1与 1 平行六面体ABCE-DGMF的体积V2之间有V1= V2, 6 易知平行六面体左右侧面之间的距离就是 异面直线AD,BC之间的距离h, 因为AD⊥BC,所以四边形BCMG为矩形, 1 1 abh 所以 V1= V2= SBCMG· h= . 6 6 6 abh 答案 6

热点突破 [微题型3]

热点二

空间几何体的体积

割补法求几何体的体积

运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间 几何体的体积计算问题,关键是能根据几何体中的线面关系 合理选择截面进行切割或者补形,转化为可以计算体积的空 间几何体,通过这个空间几何体的体积计算所求的空间几何 体的体积.

热点突破

热点三

平行与垂直的综合问题

直线与平面的位置关系是立体几何的核心内容,高考始 终把直线与平面的平行、垂直关系作为考查的重点,以多面 体为载体的线面位置关系的论证是历年必考内容,其中既有 单独考查直线和平面的位置关系的试题,也有以简单几何体 体积的计算为载体考查直线和平面的位置关系的试题.

热点突破 [微题型1]

热点三

平行与垂直的综合问题

平行与垂直关系的证明

【例 3-1】(满分 12 分)(2015· 山东卷)如图,三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点. (1)求证:BD∥平面 FGH; (2)若 CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面 BCD⊥平面 EGH.

证明 (1)法一 连接DG,CD,设CD∩GF=M,连接MH.(1分) 在三棱台DEF-ABC中, AB=2DE,G为AC的中点, M 可得DF∥GC,DF=GC, 所以四边形DFCG为平行四边形. 则M为CD的中点,(3分) 又H为BC的中点,所以HM∥BD,(4分) 又HM?平面FGH,BD?平面FGH, 所以BD∥平面FGH.(6分)

热点突破 [微题型1]

热点三

平行与垂直的综合问题

平行与垂直关系的证明

【例 3-1】(满分 12 分)(2015· 山东卷)如图,三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点. (1)求证:BD∥平面 FGH; (2)若 CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面 BCD⊥平面 EGH.

法二 在三棱台DEF-ABC中, 由BC=2EF,H为BC的中点, 可得BH∥EF,BH=EF, 所以四边形HBEF为平行四边形, 可得BE∥HF.(3分) 在△ABC中,G为AC的中点, H为BC的中点,所以GH∥AB.(4分) 又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.(5分) 因为BD?平面ABED,所以BD∥平面FGH.(6分)

热点突破 [微题型1]

热点三

平行与垂直的综合问题

平行与垂直关系的证明

【例 3-1】(满分 12 分)(2015· 山东卷)如图,三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点. (1)求证:BD∥平面 FGH; (2)若 CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面 BCD⊥平面 EGH.

(2)连接HE,EG, 因为G,H分别为AC,BC的中点, 所以GH∥AB.(7分) 由AB⊥BC,得GH⊥BC. 又H为BC的中点, 所以EF∥HC,EF=HC, 因此四边形EFCH是平行四边形, 所以CF∥HE.(9分)

热点突破 [微题型1]

热点三

平行与垂直的综合问题

平行与垂直关系的证明

【例 3-1】(满分 12 分)(2015· 山东卷)如图,三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点. (1)求证:BD∥平面 FGH; (2)若 CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面 BCD⊥平面 EGH.

又CF⊥BC, 所以HE⊥BC.(10分) 又HE,GH?平面EGH,HE∩GH=H, 所以BC⊥平面EGH.(11分)

又BC?平面BCD,
所以平面BCD⊥平面EGH.(12分)

球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系? r

.
a

一、 球体的体积与表面积

二、球与多面体的接、切

4 3 ① V球 ? ? R 3



S球面 ? 4? R 2

定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上, 则称这个多面体是这个球的内接多面体, 多面体的外接球 这个球是这个 。
定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面体, 多面体的内切球 这个球是这个 。

1

剖析定 义

一、由球心的定义确定球心

在空间,如果一个定点与一个简单 多面体的所有顶点的距离都相等,那么 这个定点就是该简单多面体的外接球球 心。

1

一、定义法 针对 讲解

D C B

A

O 图4

2

求正方体、长方体的外接球的 有关问题

2
A.3?

求正方体、长方体的外接球的有 关问题

②出现正四面体外接球时利用构造法(补形法),联 系正方体。 例 2.(全国卷)一个四面体的所有棱长都为 ,四 2 个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )
B.4? C.3 3? D.6?

2

破译规律-特别提 醒

3

球与正四面体内切接 问题

【例3】求棱长为a的正四面体内切球 的体积.

3

球与正四面体内切接 问题

球内接长方体的对角线是球的直径。 正四面体(棱长为a)的外接球半径R与 6 内切球半径r之比为R:r R= ? 3: a 1.外接球 4 半 径: 内切球半径:
6 r? a 12

3

正四面体内切、外接结 论

结论:正四面体与球的接切问题,可通过线面关系证 1 r? h R ? 3r 出,内切球和外接球的两个球心是重合的,为正四面 4 体高的四等分点,即定有内切球的半径 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 (为正 四面体的高 ),且外接球的半径 . 。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上

例4、正三棱锥的高为 1,底面边长为 棱锥的全面积和它的内切球的表面积。
A

。求

解法1: 过侧棱AB与球心O作截面( 如图 ) 在正三棱锥中,BE 是正△BCD的高,

1
O B O1 C

O1 是正△BCD的中心,且AE 为斜高

F D E

作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r,则 OA = 1 -r ∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E

2 6 例4、正三棱锥的高为 1,底面边长为 。 求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。
解法2: 设球的半径为 r,则 VA- BCD = A

VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
VA? BCD
2 1 3 ? ? ? 2 6 ?1 3 4

? ?

O

D O1 C

1 ? ? r ? S全 ? 3 2 ? 2 3 ? r 3

?

?

B

E

? r ? 6 ? 2 S球 ? 8?5 ? 2 6 ??

1 1 V多面体 ? ? ? S ? rS 注意:①割补法,② V 全 多 面 体 3 全 ? 内切球

3

? r内 切 球

变式训练:一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如 图所示,则截面的可能图形是( )









? A .①② B.②④ C.①②③ D.②③④

2017版高三一轮数学教学实用课件

第35页

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D

C B O

A

D1 A1
B1

C1

球的内接正方体的对角线等于球直径。

变式训练:已知正四面体内接于一个球,某人画出四 个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如下, 则( ) D








B.只有②④是正确的 D.只有①②是正确的
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? A.以下四个图形都是正确的 ? C.只有④是正确的
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第37页

解法2:

A B O D

A
B O D C 求正方体外接球的半径

C
求正多面体外接球的半径

直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。
例 4、(2014)已知三棱柱

4

的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上, . ,则此球的表面积等于_________.

若该棱柱的体积为

解:由已知条件得: ∵ 设 ,∴ 的外接圆的半径为 ,则

,∴ , ,∴



, .

∴外接球的半径为

,∴球的表面积等于

解析:球内接多面体,利用圆内接多边形的性 质求出小圆半径,通常用到余弦定理求余弦值 c ? 2r ,通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径 sin C ,从而解决问题。

5
A.

例 5 在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=PC= ,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60°,则该三棱锥外接球的体积为( B. C. 4 D. )

正棱锥的外接球的球心是在其 高上

5

正棱锥的外接球的球心是在其 高上

例 6.一个正四棱锥的底面边长为 2, 侧棱长为 , 五个顶点都在同一个球面上, 则此球的表面积为

9?

.

P
设外接球半径为 R,在△OO1A 中有

D
解得 . ∴ .

A O1 O

C

B

6
A.
答案:D.

测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆 心

例 7、.若三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,AB=2, SA=SB=SC=2,则该三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离为( )

B.

C.1

D.

S

O
,即 .

C M B

A

举一反三-突破提 升 1、(2015 海淀二模)已知斜三棱柱的三视 图如图所示,该斜三棱柱的体积为______.

4

4

举一反三-突破提 考点三 组合体的表面积与体积升

-44-

【例 3】 正三棱锥(正三棱锥是底面为等边三角形,三个侧面为全等的等腰 三角形的三棱锥)的高为 1,底面边长为 2 6,内有一个球与它的四个面都相 切(如图).求:

(1)这个正三棱锥的表面积; (2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.
考点一 考点二 考点三

4

举一反三-突破提 -45升 1 3 解:(1)底面正三角形中心到一边的距离为 × ×2 6 = 2,则正棱锥
3 2

侧面的斜高为
1 2

12 + (

2) = 3.

2

∴S 侧=3× ×2 6 × 3=9 2. ∴S 表=S 侧+S 底=9 2 + × ×(2 6) =9 2+6 3.
2 2
考点一 考点二 考点三

1

3

2

4

(2)设正三棱锥 P-ABC 的内切球球心为 O,连接 OP,OA,OB,OC,而 O 点

举一反三-突破提 升

-46-

到三棱锥的四个面的距离都为球的半径 r.∴ VP-ABC=VO-PAB+VO-PBC+VO-PAC+VO-ABC= S 侧·r+ S△ABC·r= S
3 3 3 1 1 1



·r=(3 2+2 3)r.

4

举一反三-突破提 升 1 1 3 2 又 VP-ABC= × × ×(2 6) ×1=2 3,∴(3 2+2 3)r=2 3, 3 2 2
得 r=
23

-47-

3 2+2 3

=

2 3 (3 2 -2 3 ) 18-12

= 6-2. ∴S 内切球=4π( 6-2)2=(40-16 6)π. V 内切球= π( 6-2) = (9 6-22)π.
3 3 4
3 8

? .四棱锥P—ABCD,底面ABCD是边长为6的正方形, 且PA = PB = PC = PD,若一个半径为1的球与此四棱 锥的各个面相切,则此四棱锥的体积为( ) ? A.15 B.24 C.27 D.30

4

举一反三-突破提 升

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1、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16, 则这个球的表面积是( A.16π ) B.20π C.24π D.32π

4

举一反三-突破提 升

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4

举一反三-突破提 升 2.正六棱柱的底面边长为 4,高为 6,则它的外接球的表面积为
A. 20? B.

25?

C. 100?

D. 200?

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4

已知正三棱锥 P-ABC 的主视图和俯视图如图所 示, 则此三棱锥的外接球的表面积为 ( )

举一反三-突破提 升

16? A 4π B, 12π C. 3

64? D. 3

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如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60° ,E 为 AB 的中 点.将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P, 则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为( A. )

4

举一反三-突破提 升

4 3? 27

B.

6? 2

C.

6? 8

D.

6? 24

4
A.36

举一反三-突破提 升

已知三棱锥 S—ABC 的三条侧棱两两垂直, 且 SA=2,SB=SC=4,则该三棱锥的外接球的半径为( B.6 C.3 ) D.9

一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形, 则这个几何体的 ( )

3 A、外接球的半径为 3
C、表面积为 6 ? 3 ? 1

B、体积为 3

16? D、外接球的表面积为 3

3
1
正视图

1

侧视图

1

俯视图

点 A、B、C、D 均在同一球面上,其中

是正三角形, )
(D)

AD 平面 ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为 (
(A) (B) (C)

平面四边形 ABCD 中, AB ? AD ? CD ? 1 , BD ? 2 , BD ? CD , 将其沿对角线 BD 折成四面体 A'? BCD ,使平面 A' BD ? 平面 BCD , 若四面体 A'? BCD 顶点在同一个球面上,则该球的体积为 .

3 ? 2

已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点, AB=2.∠ASC=∠BSC=45°则棱锥 S—ABC 的体积为(



3 A. 3

2 3 B. 3

4 3 C. 3

5 3 D. 3

已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,

?ABC 是边长为1 的正三角形, SC 为球 O 的直径, 且 SC ? 2 ,则此棱锥的体积为 ( )
(A) 2
6

(B) 3
6

(C) 2
3

(D) 2
2



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