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高考第一轮复习数学:4.4 两角和与差、二倍角的公式(三)


4.4

两角和与差、二倍角的公式(三)

●知识梳理 1.化简要求 (1)能求出值的应求出值. (2)使三角函数种数、项数尽量少;分母尽量不含三角函数;被开方式尽量不含三角函数. 2.化简常用方法 (1)活用公式(包括正用、逆用、变形用). (2)切割化弦、异名化同名、异角化同角等. 3.常用技巧 (1)注意特殊角的三角函数与特殊值的互化

. (2)注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质. (3)注意利用角与角之间的隐含关系. (4)注意利用“1”的恒等变形. ●点击双基 1.满足 cosα cosβ = A.α = C.α =
13π 12 π 2
3 2

+sinα sinβ 的一组α 、β 的值是 B.α = D.α =
3 2

,β =
π 6

3π 4

π 2 π 3

,β = ,β =

π 3 π 6

,β =

解析:由已知得 cos(α +β )= 答案:A 2.已知 tanα 和 tan( A.b=a+c C.c=b+a
π 4

,代入检验得 A.

-α )是方程 ax2+bx+c=0 的两个根,则 a、b、c 的关系是 B.2b=a+c D.c=ab
? b a c a

π b ? ( ? ? )? ? , ? t an ? ? t an π ? 4 a 解析: ? ∴tan 4 ? t an ? t an π ? ? )? c , ( ? 4 a ?

=
1?

=1.

∴-

b a

=1-

c a

.∴-b=a-c.∴c=a+b.

答案:C 3.f(x)=
sin x cos x 1 ? sin x ? cos x

的值域为

A.(- 3 -1,-1)∪(-1, 3 -1) B.[
? 2 ?1 2

,-1)∪(-1,

2 ?1 2



C.( D.[

? ?

3 ?1 2 2 ?1 2

, ,

3 ?1 2 2 ?1 2

) ]
π 4

解析:令 t=sinx+cosx= 2 sin(x+
t
2

)∈[- 2 ,-1)∪(-1, 2 ] ,

?1

则 f(x)= 答案:B

2 1? t

=

t ?1 2

∈[

?

2 ?1 2

,-1)∪(-1,

2 ?1 2

].

4.已知 cosα -cosβ =

1 2

,sinα -sinβ = ,则 cos(α -β )=_______.
3
1 4

1

解析: (cosα -cosβ )2=

, (sinα -sinβ )2=
13 36

1 9

.
59 72

两式相加,得 2-2cos(α -β )= 答案:
59 72

.∴cos(α -β )=

.

●典例剖析 【例 1】 求证:
sin( 2? ? ? ) sin ?

-2cos(α +β )=

sin ? sin ?

.

剖析:先转换命题,只需证 sin(2α +β )-2cos(α +β ) ·sinα =sinβ ,再利用角的 关系:2α +β =(α +β )+α , +β )-α =β 可证得结论. (α 证明:sin(2α +β )-2cos(α +β )sinα =sin[ +β )+α ]-2cos(α +β )sinα (α =sin(α +β )cosα +cos(α +β )sinα -2cos(α +β )sinα =sin(α +β )cosα -cos(α +β )sinα =sin[ +β )-α ]=sinβ . (α 两边同除以 sinα 得
sin( 2? ? ? ) sin ?

-2cos(α +β )=

sin ? sin ?

.