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高考第一轮复习数学:4.4 两角和与差、二倍角的公式(三)


4.4

两角和与差、二倍角的公式(三)

●知识梳理 1.化简要求 (1)能求出值的应求出值. (2)使三角函数种数、项数尽量少;分母尽量不含三角函数;被开方式尽量不含三角函数. 2.化简常用方法 (1)活用公式(包括正用、逆用、变形用). (2)切割化弦、异名化同名、异角化同角等. 3.常用技巧 (1)注意特殊角的三角函数与特殊值的互化

. (2)注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质. (3)注意利用角与角之间的隐含关系. (4)注意利用“1”的恒等变形. ●点击双基 1.满足 cosα cosβ = A.α = C.α =
13π 12 π 2
3 2

+sinα sinβ 的一组α 、β 的值是 B.α = D.α =
3 2

,β =
π 6

3π 4

π 2 π 3

,β = ,β =

π 3 π 6

,β =

解析:由已知得 cos(α +β )= 答案:A 2.已知 tanα 和 tan( A.b=a+c C.c=b+a
π 4

,代入检验得 A.

-α )是方程 ax2+bx+c=0 的两个根,则 a、b、c 的关系是 B.2b=a+c D.c=ab
? b a c a

π b ? ( ? ? )? ? , ? t an ? ? t an π ? 4 a 解析: ? ∴tan 4 ? t an ? t an π ? ? )? c , ( ? 4 a ?

=
1?

=1.

∴-

b a

=1-

c a

.∴-b=a-c.∴c=a+b.

答案:C 3.f(x)=
sin x cos x 1 ? sin x ? cos x

的值域为

A.(- 3 -1,-1)∪(-1, 3 -1) B.[
? 2 ?1 2

,-1)∪(-1,

2 ?1 2



C.( D.[

? ?

3 ?1 2 2 ?1 2

, ,

3 ?1 2 2 ?1 2

) ]
π 4

解析:令 t=sinx+cosx= 2 sin(x+
t
2

)∈[- 2 ,-1)∪(-1, 2 ] ,

?1

则 f(x)= 答案:B

2 1? t

=

t ?1 2

∈[

?

2 ?1 2

,-1)∪(-1,

2 ?1 2

].

4.已知 cosα -cosβ =

1 2

,sinα -sinβ = ,则 cos(α -β )=_______.
3
1 4

1

解析: (cosα -cosβ )2=

, (sinα -sinβ )2=
13 36

1 9

.
59 72

两式相加,得 2-2cos(α -β )= 答案:
59 72

.∴cos(α -β )=

.

●典例剖析 【例 1】 求证:
sin( 2? ? ? ) sin ?

-2cos(α +β )=

sin ? sin ?

.

剖析:先转换命题,只需证 sin(2α +β )-2cos(α +β ) ·sinα =sinβ ,再利用角的 关系:2α +β =(α +β )+α , +β )-α =β 可证得结论. (α 证明:sin(2α +β )-2cos(α +β )sinα =sin[ +β )+α ]-2cos(α +β )sinα (α =sin(α +β )cosα +cos(α +β )sinα -2cos(α +β )sinα =sin(α +β )cosα -cos(α +β )sinα =sin[ +β )-α ]=sinβ . (α 两边同除以 sinα 得
sin( 2? ? ? ) sin ?

-2cos(α +β )=

sin ? sin ?

.

评述:证明三角恒等式,可先从两边的角入手——变角,将表达式中出现了较多的相异 的角朝着我们选定的目标转化, 然后分析两边的函数名称——变名, 将表达式中较多的函数 种类尽量减少,这是三角恒等变形的两个基本策略. 【例 2】 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆上一点,且∠PF1F2=α ,∠PF2F1=2α ,求证:椭 圆的离心率为 e=2cosα -1.
y

F1 O

F2

x

剖析:依据椭圆的定义 2a=|PF1|+|PF2|,2c=|F1F2|,∴e= 在△PF1F2 中解此三角即可得证. 证明:在△PF1F2 中,由正弦定理知

2c 2a

.

| PF 1 | sin 2 ?

=

| PF 2 | sin ?

=

| F1 F 2 |

sin( π ? 3? )

.

由比例的性质得
?

| F1 F 2 | sin 3?

=

| PF 1 | ? | PF 2 | sin 2? ? sin ?
sin 3?

e=

| F1 F 2 | | PF 1 | ? | PF 2 |
2

=

sin 2? ? sin ?
2

=

sin ? cos 2? ? cos ? sin 2? sin ? ? 2 sin ? cos
2

?

= =

sin ? ( 2 cos
2

? ? ?)? 2 sin ? ? cos ?

sin(1 ? 2 cos ? ) 4 cos

? ?1

2 cos ? ? ?

=2cosα -1.

评述:恰当地利用比例的性质有事半功倍之效.

深化拓展
求 cot10°-4cos10°的值. 分析:给出非特殊角,怎样化为特殊角或非特殊角,互相抵消、约分求出值. 提示:cot10°-4cos10° =
cos 10 ? sin 10 ?

-4cos10°=

cos 10 ? ? 2 sin 20 ? sin 10 ?

3

=

cos 30 ? ? 20 ?)? 2 sin 20 ? ( sin 10 ?

cos 20 ? ?

=

2

sin 20 ? ? 2 sin 20 ? 2 sin 10 ?

1

3

cos 20 ? ?

3

sin 20 ?

=

2

2 sin 10 ?

=

3 sin( 30 ? ? 20 ?) sin 10 ?

= 3.

答案: 3 . ●闯关训练 夯实基础 1.(2003 年高考新课程卷)已知 x∈(- A.
7 24 π 2

,0) ,cosx= C.
24 7
3 5

4 5

,则 tan2x 等于 D.-
3 4

B.-
4 5

7 24

24 7

解析:∵cosx=

,x∈(-
? 3 2 9 16

π 2

,0) ,∴sinx=-

.∴tanx=-

.

∴tan2x=

2 tan x 1 ? tan
2

=
x
1?

=-

3 2

×

16 7

=-

24 7

.

答案:D 2.(2004 年春季北京)已知 sin(θ +π )<0,cos(θ -π )>0,则下列不等关系中 必定成立的是 A.tan C.sin
?
2

<cot <cos

?
2

B.tan D.sin

?
2

>cot >cos

?
2

?
2

?
2

?
2

?
2

解析:由已知得 sinθ >0,cosθ <0,则 tan

?
2

-cot

?
2

sin

?
2

cos

?
2

=
cos

?
2


sin

?
2

=-

2 cos ? sin ?

>0.

∴tan

?
2

>cot

?
2

.

答案:B 3.下列四个命题中的假命题是 A.存在这样的α 、β ,使得 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ B.不存在无穷多个α 、β ,使得 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ C.对于任意的α 、β ,cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ D.不存在这样的α 、β ,使得 cos(α +β )≠cosα cosβ -sinα sinβ 解析:由 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ =cosα cosβ -sinα sinβ ,得 sinα sinβ =0.∴α =kπ 或β =kπ (k∈Z). 答案:B 4.函数 y=5sinx+cos2x 的最大值是_______. 解析:y=5sinx+cos2x=5sinx+1-2sin2x=-2(sinx-
5 4

)2+

33 8

.

∴sinx=1 时,ymax=4. 答案:4 5.求周长为定值 L(L>0)的直角三角形的面积的最大值. 解法一:a+b+
a
2

?b

2

=L≥2 ab + 2 ab .∴ ab ≤
1 2

L 2? 2

.

∴S=

1 2

ab≤

1 2



L 2? 2

)2=

· [

(2 ? 2

2) L

]2=

3? 2 2 4

L2.

解法二:设 a=csinθ ,b=ccosθ .
c a

? b

∵a+b+c=L, ∴c(1+sinθ +cosθ )=L.∴c= ∴S=
1 2 L 1 ? sin ? ? cos ?

.

c2sinθ cosθ =

L

2

sin ? cos ?

2 2 (1 ? sin ? ? cos ? )

.

设 sinθ +cosθ =t∈(1,
t
2

2

] ,

?1 2
2

则 S=

L

2

·

2

(1 ? t )

=

L

2

·

t ?1 t ?1

4

=

L

2

(1-

2 t ?1

)≤
π 4

L

2

(1-
1 4

2 2 ?1

)=

3? 2 2 4

4
π 4

4

L2. ) ,求

6.(2004 年湖南,17)已知 sin( 2sin2α +tanα -cotα -1 的值.

+2α ) ·sin(

-2α )=

,α ∈(

π 4



π 2

解:由 sin( α )=
1 2

π 4

+2α ) ·sin(
1 2

π 4

-2α )=sin(

π 4

+2α ) ·cos(

π 4

+2α )=

1 2

sin(

π 2

+4

cos4α =
π 4

1 4

,得 cos4α =
π 2

.
5π 12
sin
2

又α ∈(



) ,所以α =

.
? ? cos ?
2

于是 2sin2α +tanα -cotα -1=-cos2α + =-(cos2α +2cot2α )=-(cos =-(- 培养能力
1 ? sin ? ? ? 2 sin
2

sin ? cos ?

=-cos2α +

? 2 cos 2? sin 2?

5π 6

+2cot

5π 6



3 2

-2 3 )=

5 2

3

.

1 ? t an

?
2

7.求证:

?
2

=
1 ? t an

?
2

.

证明:左边=

1 ? sin ? cos ?

( sin

?
2

? cos ? sin

?
2
2



2

cos

?
2

? sin ? sin

?
2

=
cos
2

?
2

?
2

=
cos

?
2

?
2



sin 1? cos

?
2

?
2

cos

?
2

? sin ? sin

?
2

右边=
sin 1? cos

?
2

=
cos

?
2

?
2



?
2

∵左边=右边,∴原式成立. 8.(2005 年春季北京,15)在△ABC 中,sinA+cosA=
2 2

,AC=2,AB=3,求 tanA 的值

和△ABC 的面积. 分析:本题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,考查运算能力. 解法一:∵sinA+cosA=
2

cos(A-45°)=

2 2

,∴cos(A-45°)=

1 2

.

又 0°<A<180°,∴A-45°=60°,A=105°. ∴tanA=tan(45°+60°)=
1? 1? 3 3

=-2- 3 .

∴sinA=sin105°=sin(45°+60°) =sin45°cos60°+cos45°sin60°= ∴S△ABC=
1 2

2 ? 4

6

.

AC·ABsinA

=

1 2

·2·3·

2 ? 4

6

=

3 4

( ,

2

+ 6 ). ①
1 2

解法二:∵sinA+cosA= ∴(sinA+cosA)2=
1 2

2 2

.∴2sinAcosA=-

.

∵0°<A<180°,∴sinA>0,cosA<0.∴90°<A<180°. ∵(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA= ∴sinA-cosA= ①+②得 sinA= ①-②得 cosA=
sin A cos A
6 2
3 2

, ②

.
6

2 ? 4 2 ? 4

.
6

.
4 2 ? 6

∴tanA=

=

2 ? 4

6

·

=-2- 3 .

(以下同解法一) 探究创新 9.锐角 x、y 满足 sinycscx=cos(x+y)且 x+y≠
π 2

,求 tany 的最大值.

解:∵sinycscx=cos(x+y) ,∴sinycscx=cosxcosy-sinxsiny, siny(sinx+cscx)=cosxcosy. ∴tany=
cos x sin x ? csc x

=

sin x cos x 1 ? sin x

=

sin x cos x 2 sin
2

x ? cos

2

=
x

t an x 1 ? 2 t an
2


x

tan x 2 2 tan x

=

2 4



当且仅当 tanx=

2 2

时取等号.
2 4

∴tany 的最大值为

.

●思悟小结 1.证明三角恒等式的基本思路,是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁 为简、左右归一、变更命题等方法,使等式两端的“异”化为“同”. 2.条件等式的证明,通过认真观察,发现已知条件和待证等式之间的关系,选择适当的 途径把条件用上去.常用方法有代入法、消去法、综合法(即从已知条件出发,以待证式为 目标进行代数或三角恒等变形,逐步推出待证式) 、分析法等. 3.三角函数的应用主要是借用三角函数的值域求最值,这首先应将原函数通过降幂、辅 助角公式等化成 y=Asin(ω x+ ? ) (A≠0,ω >0)的形式,或者通过换元转化成二次函数, 然后再求之. ●教师下载中心 教学点睛 1.三角恒等式的证明实际上就是三角函数式的化简过程. 2.有条件的三角函数求值有两个关键: ①三角函数各关系式及常用公式的熟练应用.②条

件的合理应用:注意条件的整体功能,注意将条件适当简化、整理或重新改造组合,使其与 所计算的式子更加吻合. 3.注意方程思想的应用. 拓展题例 【例 1】 试证:
tan ? (1 ? sin ? )? sin ? tan ? (1 ? sin ? )? sin ?

=

t an ? ? sin ? t an ? sin ?

.

证明:左边=

(1 ? sin ? )? sin ? cos ? sin ? (1 ? sin ? )? sin ? cos ? 2 sin

sin ?

?
2

=

1 ? sin ? ? cos ? ? ? sin ? ? cos ?

cos cos

?
2

? 2 cos ? 2 sin

2

?
2

cos

?
2

=
2 sin

?
2

?
2

2

?
2

=
sin

?
2

=cot

?
2



sin ?

右边=

cos ? sin ? cos ?

? sin ?

=
? sin ?

1 ? cos ? sin ?

2 cos

2

?
2

=
2 sin

?
2

cos

?
2

=cot

?
2

,∴原等式成立.

【例 2】 已知α 、β ∈(0, β 的值. 解:∵4tan
?
2

π 4

) ,3sinβ =sin(2α +β ) ,4tan

?
2

=1-tan2

?
2

.求α +

=1-tan2

?
2

,∴2·tanα =1,tanα =

1 2

.

∵3sinβ =sin(2α +β ) ,∴3sinβ =sin(α +β )cosα +cos(α +β )sinα . ∴3sin(α +β )cosα -3cos(α +β )sinα =sin(α +β )cosα +cos(α +β )sinα . ∴sin(α +β )cosα =2cos(α +β )sinα . ∴tan(α +β )=2tanα =1.∴α +β =
π 4

.

评述:角的变换是常用技巧.如 2α +β =(α +β )+α ,β =(α +β )-α 等.


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