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2015版高中数学(人教版必修5)第3章基本知能检测


第三章基本知能检测
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题有 4 个选项,其中有且 仅有一个是正确的,把正确的选项填在答题卡中) 1 1 b a 1.若 < <0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④ + >2 中正确的是( a b a

b A.①② C.①④ [答案] C 1 1 [解析] 由 < <0,得 b<a<0, a b ?a-b?2 b a ∴②③均不成立,a+b<0,ab>0,∴①成立.而 + -2= >0, a b ab b a ∴ + >2,④成立.故选 C. a b 2.若 m=(2a-1)(a+2),n=(a+2)(a-3),则 m,n 的大小关系正确的是( A.m>n C.m<n [答案] B [解析] m=2a2+3a-2,n=a2-a-6, ∴m-n=a2+4a+4=(a+2)2≥0. ∴m≥n. x+2 3.若集合 A={x|x2+x-6<0},B={x| ≤0},则 A∩B 等于( x-3 A.(-3,3) C.(-2,2) [答案] B [解析] A={x|-3<x<2}=(-3,2),B=[-2,3), ∴A∩B=[-2,2). x 4.不等式 ≥0 的解集为( ?x-2 010??x-2 011? A.{x|0≤x<2 010 或 x>2 011} C.{x|x≤0 或 2 010<x<2 011} [解答] A [解析] 原不等式等价于 ) B.[-2,2) D.[-2,3) ) B.m≥n D.m≤n ) B.②③ D.③④ )

B.{x|0<x<2 010 或 x>2 011} D.{x|x<0 或 2 010<x<2 011}

-1-

? ?x?x-2 010??x-2 011?≥0, ? ??x-2 010??x-2 011?≠0, ?

如图所示:

用穿针引线法求得原不等式的解集为{x|0≤x<2 010 或 x≥2 011}. 5.不等式(x-2a)(x+1)(x-3)<0 的解集为(-∞,-1)∪(3,4),则 a 的值为( A.-4 C .4 [答案] D [解析] 当 2a=4 时,用穿针引线法易知不等式的解集满足题意,∴a=2. x≥1 ? ? 6.(2013· 新课标Ⅱ)已知 a>0,x、y 满足约束条件?x+y≤3 ? ?y≥a?x-3? 1,则 a=( 1 A. 4 C .1 [答案] B [解析] 本题考查了线性规划知识. x≥1 ? ? 作出线性约束条件?x+y≤3 ? ?y≥a?x-3? ) 1 B. 2 D.2 B.-2 D.2 )

,若 z=2x+y 的最小值为

的可行域.

因为 y=a(x-3)过定点(3,0),故应如图所示,当过点 C(1,-2a)时,z=2x+y 有最小值,

1 ∴2×1-2a=1,∴a= . 2 4 1 1 π 7.有下列函数:①y=x+ (x>0);②y=x+ +1(x>1);③y=cosx+ (0<x< );④y x cosx 2 x-1 4 =lnx+ (x>0).其中最小值为 4 的函数有( lnx
-2-

)

A.4 个 C .2 个 [答案] C

B.3 个 D.1 个

4 1 [解析] 对于①,y=x+ ≥2 4=4,当且仅当 x=2 时,取等号.对于②,y=x-1+ x x-1 +2(x>1)≥2 1+2=4,当且仅当 x=2 时,取等号.对于③、④,最小值为 4 的条件不具备, 故选 C. 1 8.设 a<-1,则关于 x 的不等式 a(x-a)(x- )<0 的解集为( a 1 A.{x|x<a 或 x> } a 1 C.{x|x>a 或 x< } a [答案] A 1 [解析] 原不等式可化为(x-a)(x- )>0, a 1 1 ∵a<-1, >a,∴解为 x> 或 x<A. a a 9.(2013~2014 学年度安徽宿州市泗县双语中学高二期末测试)已知 a>0,b>0,a+b= 1 4 2,则 y= + 的最小值是( a b 7 A. 2 9 C. 2 [答案] C [解析] 本题主要考查基本不等式在求最值中的应用. a b ∵a+b=2,∴ + =1, 2 2 1 4 1 4??a b? 5 2a b + + = + + , ∴y= + =? a b ?a b??2 2? 2 b 2a 2a b ∵a>0,b>0,∴ + ≥2 b 2a 取得等号, 9 ∴y 的最小值是 ,选 C. 2 x+y≥2 ? ? 10.已知 O 是坐标原点, 点 A(-1,1), 若点 M(x, y)为平面区域?x≤1 ? ?y≤2 2a b 2a b 2 4 · =2,当且仅当 = ,且 a+b=2,即 a= ,b= 时 b 2a b 2a 3 3 ) B.4 D.5 B.{x|x>a} 1 D.{x|x< } a )

上的一个动点,

-3-

→ → 则OA· OM的取值范围是( A.[-1,0] C.[0,2] [答案] C

) B.[0,1] D.[-1,2]

[解析] 本题主要考查向量的坐标运算与线性规划知识. x+y≥2 ? ? → → OA· OM=(-1,1)· (x,y)=y-x,画出线性约束条件?x≤1

? ?y≤2

表示的平面区域如图所示.

→ → 可以看出当 z=y-x 过点 A(1,1)时有最小值 0,过点 C(0,2)时有最大值 2,则OA· OM的取 值范围是[0,2],故选 C. 11.要使关于 x 的方程 x2+(a2-1)x+a-2=0 的一根比 1 大且另一根比 1 小,则 a 的取 值范围是( ) B.a<-1 或 a>1 D.a<-2 或 a>1

A.-1<a<1 C.-2<a<1 [答案] C

[解析] 设 f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,由题意知,f(1)=1+a2-1+a-2=a2+a-2=(a- 1)(a+2)<0,∴-2<a<1. 12.若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2+kx+my-4=0 交于 M、N 两点,且 M、N 关于直线 x kx-y+2≥0 ? ? -y=0 对称,动点 P(a,b)在不等式组?kx-my≤0 ? ?y≥0 b-2 ω= 的取值范围是( a-1 A.[2,+∞) C.[-2,2] [答案] D [解析] 由题意分析直线 y=kx+1 与直线 x-y=0 垂直,所以 k=-1,即直线 y=-x+
-4-

表示的平面区域内部及边界上运动,则

) B.(-∞,-2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞)

k m 1.又圆心 C(- ,- )在直线 x-y=0 上,可求得 m=-1. 2 2 -x-y+2≥0 ? ? 则不等式组为?-x+y≤0 ? ?y≥0 b-2 所表示的平面区域如图,ω= 的几何意义是点 Q(1,2) a-1

与平面区域上点 P(a,b)连线斜率的取值范围. kOQ=2,kAQ=-2,

故 ω 的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞). 二、填空题(本大题共 4 个小题,每空 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 1 13.不等式 2x2+2x-4≤ 的解集为____________. 2 [答案] [-3,1] 1 - [解析] 不等式 2x2+2x-4≤ 化为 2x2+2x-4≤2 1, 2 ∴x2+2x-4≤-1,∴x2+2x-3≤0, ∴-3≤x≤1, ∴原不等式的解集为[-3,1]. 14.函数 f(x)=lg(x2-ax+a)的定义域为实数集 R,则实数 a 的取值范围是________. [答案] 0<a<4 [解析] 由题意得不等式 x2-ax+a>0 的解集为 R. ∴Δ=a2-4a<0,解得 0<a<4. 0≤x≤4 ? ? 15.已知 x、y 满足条件?0≤y≤3 ? ?x+2y≤8 [答案] 19 [解析] 可行域如图.

,则 z=2x+5y 的最大值为________.

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2 z 当直线 y=- x+ 经过直线 y=3 与 x+2y=8 交点(2,3)时,z 取最大值 zmax=19. 5 5 16.已知 log2a+log2b≥1,则 3a+9b 的最小值为________. [答案] 18 [解析] 本题考查利用均值不等式求最值的问题,解决此类问题的关键是根据条件灵活变 形,构造定值. ∵log2a+log2b≥1 ∴log2ab≥1,ab≥2. ∴a· 2b≥4,∴a+2b≥2 a· 2b≥4(当且仅当 a=2b=2 时取“=”) 3a+9b=3a+32b≥2 3a· 32b=2 3a (当且仅当 a=2b=2 时取“=”) 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)若函数 f(x)=lg(8+2x-x2)的定义域为 M,函数 g(x)= 定义域为 N,求集合 M、N、M∩N. [解析] 由 8+2x-x2>0,即 x2-2x-8<0, ∴(x-4)(x+2)<0, ∴-2<x<4. ∴M={x|-2<x<4}. 由 1- x-3 2 ≥0,得 ≥0, x-1 x-1 2 1- 的 x-1
+2b

≥2 34=18.

∴x≥3 或 x<1. ∴N={x|x<1 或 x≥3}. ∴M∩N={x|-2<x<1 或 3≤x<4}. x2-x+2 18.(本题满分 12 分)求函数 y= (x≠-1)的值域. x+1 x2-x+2 [解析] 由已知得 y= x+1 = ?x+1?2-3?x+1?+4 4 =(x+1)+ -3. x+1 x+1 4 ?x+1?· -3=1, x+1

4 (1)当 x+1>0,即 x>-1 时,y=(x+1)+ -3≥2 x+1

4 当且仅当 x+1= ,即 x=1 时,ymin=1,此时 y≥1. x+1 4 (2)当 x+1<0,即 x<-1 时,y=-[-(x+1)+ ]-3≤-2 -?x+1? =-7,
-6-

4 -?x+1?· -3 -?x+1?

4 当且仅当-(x+1)= , -?x+1? 即 x=-3 时,ymax=-7,此时 y≤-7. 综上所述,所求函数的值域为(-∞,-7]∪[1,+∞). 2 5 19.(本题满分 12 分)已知 x>0,y>0,lgx+lgy=1,求 + 的最小值. x y [解析] 解法一:由已知条件 lgx+lgy=1 可得: x>0,y>0,且 xy=10.则 2 5 2y+5x 2 10xy + = ≥ =2, x y 10 10
?2y=5x ? 2 5? ? 所以? , ?x+y?min=2,当且仅当? ?xy=10 ?x=2 ? 即? 时等号成立. ? ?y=5

解法二:由已知条件 lgx+lgy=1 可得: 2 5 x>0,y>0,且 xy=10, + ≥2 x y 号). 2 5 所以( + )min=2. x y 20.(本题满分 12 分)制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出 现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分 别为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%,投资人计划投资金额不超过 10 万 元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元, 才能使可能的盈利最大? [解析] 设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目,由题意知 x+y≤10 ? ?0.3x+0.1y≤1.8 ?x≥0 ? ?y≥0 25 ·=2 xy 2 5 ? ? x =y 10 =2(当且仅当? 10 ? ?xy=10
? ?x=2 ,即? 时取等 ? ?y=5



-7-

目标函数 z=x+0.5y. 上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域. 作直线 l0:x+0.5y=0,并作平行于直线 l0 的一组直线,x+0.5y=z,z∈R.与可行域相交, 其中有一条直线经过可行域上的 M 点,且与直线 x+0.5y=0 的距离最大,这里 M 点是直线 x
?x+y=10 ? +y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点.解方程组? , ? ?0.3x+0.1y=1.8 ? ?x=4 得? . ?y=6 ?

此时 z=1×4+0.5×6=7(万元).
? ?x=4 ∴当? ,时 z 取得最大值. ?y=6 ?

答:投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过 1.8 万元的 前提下,使可能盈利最大. 21.(本题满分 12 分)已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}, (1)求 a,b 的值; x2-1 (2)解不等式 >0. ax-b [解析] (1)由已知得:1,b 是方程 ax2-3x+6=4 的两根, ∴a-3+6=4,∴a=1, ∴方程 x2-3x+2=0 其两根为 x1=1,x2=2, ∴b=2. x2-1 x2-1 (2)将 a=1、b=2 代入不等式 >0 得, >0, ax-b x-2 可转化为:(x+1)(x-1)(x-2)>0, 如图,由“穿针引线”法可得

原不等式的解集为{x|-1<x<1 或 x>2}. 22.(本题满分 14 分)国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值(美元)与其 重量(克拉)的平方成正比,且一颗重为 3 克拉的该钻石的价值为 54 000 美元. (1)写出钻石的价值 y 关于钻石重量 x 的函数关系式; (2)把一颗钻石切割成两颗钻石,若两颗钻石的重量分别为 m 克拉和 n 克拉,试证明:当 m=n 时,价值损失的百分率最大. 原有价值-现有价值 (注:价值损失的百分率= ×100%;在切割过程中的重量损耗忽略不 原有价值
-8-

计) [解析] (1)由题意可设价值与重量的关系式为: y=kx2, ∵3 克拉的价值是 54000 美元, ∴54 000=k· 32,解得:k=6 000, ∴y=6 000x2, 答:此钻石的价值与重量的函数关系式为 y=6 000x2. (2)若两颗钻石的重量为 m、n 克拉,则原有价值是 6 000(m+n)2, 现有价值是 6 000m2+6 000n2, 价值损失的百分率 = 6 000?m+n?2-6 000m2-6 000n2 ×100% 6 000?m+n?2

m+n?2 2×? ? 2 ? 1 2mn = ×100%≤ = , 2 ?m+n?2 ?m+n?2 当且仅当 m=n 时取等号. ∴当 m=n 时,价值损失的百分率最大.

-9-


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