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四川遂宁市高中2015届高三下学期第二次诊断性考试 数学理试题word版含答案


四 川 遂 宁 市 高 中

2015

届 高 三 下 学 期 第 二 次 诊 断 性 考 试 数 学 理 试 题

1.已知集合 A ? { y | y ? sin x} , B ? {x | ( x ? 3)(2 x ? 1) ? 0} , 则 A? B ? A. [ ?3, ]

1 2

/>
B. [ ?1, ]

1 2

C. [ ?1, )

1 2

D. (?3, )

1 2

2.在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名学生的听力成绩(单位:分). 甲组 9 0 1 2 9 3 7 乙组

x
7

5 1

y

8

已知甲组数据的众数为 15,乙组数据的中位数为 17,则 x 、 y 的值分别为 A.2,5 B.5,5 C.5,7 D.8,7

3.已知复数 z 满足: zi ? 2 ? i (是虚数单位) ,则 z 的虚部为 A. 2i 4.为了得到函数 y ? B. ? 2i C. 2 D. ?2

2 sin 3 x 的图象,可以将函数 y ? sin 3 x ? cos 3 x 的图象
第 - 1 - 页 共 13 页

A.向右平移 C.向左平移

?
12

个单位长 个单位长

?

12

? 个单位长 4 ? D.向左平移 个单位长 4
B.向右平移

5.已知向量 a ? (? ,1) , b ? (? ? 2,1) ,若 a ? b ? a ? b ,则实数 ? 的值为 A.1 B. C. ?1 D. ? 2

6.设 a 、 b 是实数,则“ a 2 ? b 2 ”是“ a ? b ? 0 ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.执行如图所示的程序框图,如果输入 x , 的值均为 2,最后输出 S 的值为 n , 在区间 [0,10] 上随机选取一个数 D, 则 D ? n 的概率为

4 10 6 C. 10
A.

5 10 7 D. 10
B.

8.从 3 名语文老师、4 名数学老师和 5 名英语老师中选派 5 人组成一个支教小组,则语文、数学和英语老 师都至少有 1 人的选派方法种数是 A.590 9.已知双曲线 B.570 C.360 D.210

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的离心率为 4,过右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点, a 2 b2

弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于点 H,若 MN ? 10 ,则 HF = A.14 C.18 B.16 D.20

10 . 若函数 f ( x) 满足对任意的 x ? [n, m](n ? m) ,都有

n ? f ( x) ? km 成立,则称函数 f ( x) 在区间 k

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1 [n, m](n ? m) 上是 “ 被 K 约束的 ” 。若函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? a 2 在区间 [ , a ](a ? 0) 上是 “被 2 约束 a
的”,则实数 a 的取值范围是

A. (1,2] C. (1, 2 ]

B. (1, 3

3 ] 2

D. ( 2 ,2]

第Ⅱ卷(非选择题,满分 100 分)
注意事项: 1.请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答,不能答在此试卷上。 2.试卷中横线及框内注有“▲”的地方,是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,将答案填答题卷指定横线上) 11.圆心在原点且与直线 y ? 2 ? x 相切的圆的方程为 ▲ 12.某几何体的三视图(单位: cm )如题所示,则此几何体的体积为 ▲

cm 3

13.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足

1 ? f ( x) , f ( x ? 1)


且 f ( x) ? ?

?1,?1 ? x ? 0 11 ,则 f ( f ( )) ? 2 ?? 1,0 ? x ? 1

14.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B , C 的俯角分别为

75 , 30 ,此时气球的高是 60m ,则河流的宽度 BC 等于 ▲

m

15.若函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b (其中 a, b 不同时为 0) ,则称函数 y ? f ( x) 为“准奇
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函数”,称点 (a, b) 为函数 f ( x) 的“中心点”。现有如下命题: ① 函数 f ( x) ? sinx ? 1 是准奇函数; ② 若准奇函数 y ? f ( x) 在 R 上的“中心点”为 (a, f (a )) ,则函数 F ( x) ? f ( x ? a ) ? f (a ) 不是 R 上的 奇函数;
3 2 ③ 已知函数 f ( x) ? x ? 3 x ? 6 x ? 2 是准奇函数,则它的“中心点”为 (1, 2) ;

④ 已知函数 f ( x) ? 2 x ? cos x 为“准奇函数”, 数列 {a n } 是公差为
n n

7 ? 的等差数列, 若 ? f (a n ) ? 7?(其 8 n ?1



,则 ? ai 表示 ? ai ? a1 ? a2 ? ? ? an )
i ?1 i ?1

[ f (a4 )]2 64 ? a1 ? a7 7

其中正确的命题是 ▲ 。 (写出所有正确命题的序号)

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分)解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。答在答题卷指定 位置。 16. (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ?

5 sin A sin x ? cos 2 x( x ? R) , 其 中 A 、 B 、 C 是 ?ABC 的 三 个 内 角 , 且 满 足 2

cos( A ?

?
4

)??

2 ? ? , A?( , ) 10 4 2

(1)求 sin A 的值; (2)若 f ( B ) ?

3 ,且 AC ? 5 ,求 BC 的值。 2


17. (本小题满分 12 分) 由于我市去年冬天多次出现重度污染天气,市政府决定从今年 3 月份开始进行汽车尾气的整治,为降
第 - 4 - 页 共 13 页

低汽车尾气的排放量,我市某厂生产了甲、乙两种不同型号的节排器,分别从两种节排器中随机抽取 100 件进行性能质量评估检测,综合得分情况的频率分布直方图如图所示。

节排器等级如表格所示 综合得分 K 的范围 节排器等级 一级品 二级品 三级品

K ? 85 75 ? k ? 85 70 ? k ? 75

若把频率分布直方图中的频率视为概率,则 (1)如果从甲型号中按节排器等级用分层抽样的方法抽取 10 件,然后从这 10 件中随机抽取 3 件,求 至少有 2 件一级品的概率; (2)如果从乙型号的节排器中随机抽取 3 件,求其二级品数 X 的分布列及数学期望;



18.(本小题满分 12 分)

第 - 5 - 页 共 13 页

如图,已知四边形 ABCD 为正方形, EA ? 平面 ABCD , CF ∥ EA ,且 EA ? (1)求证: EC ? 平面 BDF ; (2)求二面角 E ? BD ? F 的余弦值。

2 AB ? 2CF ? 2



19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 为等差数列,其中 a1 ? 1, a7 ? 13 (1)求数列 {a n } 的通项公式; ( 2 )若数列 {bn } 满足 bn ?

1 , Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和,当不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) n a n ? a n ?1

( n ? N ? )恒成立时,求实数 ? 的取值范围。



20. (本小题满分 13 分) 已知定点 A(?2, 0) ,F (1, 0) , 定直线:x ? 4 , 动点 P 与点 F 的距离是它到直线的距离的

1 .设点 P 的 2

轨迹为 C ,过点 F 的直线交 C 于 D 、 E 两点,直线 AD 、 AE 与直线分别相交于 M 、 N 两点。 (1)求 C 的方程; (2)以 MN 为直径的圆是否恒过一定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由。



21. (本小题满分 14 分)
x 已知函数 f ( x) ? e ( e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数),

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g ( x) ? ln( x ? 1)
(1)若 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求 F ( x) 的极值; (2)对任意 x ? 0, 证明: f ( x) ? g ( x ? 1) ; (3)对任意 x ? 0, 都有 g ( x) ?

ax 成立,求实数 a 的取值范围。 x ?1


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遂宁市高中 2015 届第二 次诊断性考试

数学(理科)参考答案及评分意见
一、选择题:每小题 5 分,满分 50 分 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分, 11. x ? y ? 2 ;
2 2

12.90;

13. ?1 ; 14. 120 3 ? 120

15.①③④

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)因为 A ? (

? ?

? 2 ? ? 3? , , ) ,所以 A ? ? ( , ) ,又 cos( A ? ) ? ? 4 10 4 2 4 2 4

从而 sin( A ?

?
4

) ? 1 ? cos 2 ( A ?

?
4

)?

7 2 10

................3 分

所以 sin A ? sin[( A ?

?
4

)?

?
4

] ? sin( A ?

?
4

) cos

?
4

? cos( A ?

?
4

) sin

?
4

?

4 . 5
..............6 分

(2) f ( x) ? 2 sin x ? cos 2 x ? 2 sin x ? 1 ? 2 sin 2 x ? ?2(sin x ? ) 2 ?

3 1 ? 5? 所以 sinB ? ,从而 B ? 或 (舍去) 。 2 2 6 6 BC 5 由正弦定理知 ,所以 BC ? 8 ? sin A sin B
因为 f ( B ) ? 17. (本小题满分 12 分)

1 2

3 , 2
...............9 分 ...............12 分

②由已知及频率分布直方图中
第 - 8 - 页 共 13 页

7 1 1 ,二级品的概率为 ,三级品的概率为 ,如果 10 4 20 从乙型号的节排器中随机抽取 3 件,则二级品数 X 可能的值为 0,1,2,
的信息知,乙型号的节排器中一级品的概率为 3
0 又 P (X ? 0) ? C3 ? ( )3 ?

...............6 分

3 27 4 64 1 3 27 1 P(X ? 1) ? C3 ? ( )1 ? ( ) 2 ? 4 4 64 1 3 9 P(X ? 2) ? C32 ? ( ) 2 ? ? 4 4 64 1 1 3 P(X ? 3) ? C3 ? ( )3 ? 4 64 因而 X 的分布列为 0 X 27 P 64

1

2

3

27 64

9 64

1 64
...............10 分

27 27 9 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 64 64 64 64 4 1 3 (法二:因为 X ~ B (3, ) ,所以 E ( X ) ? ) 4 4 E( X ) ? 0 ?
18.(本小题满分 12 分)

..............12 分

(法二) 以点 A 为坐标原点, AD 所在的直线为 x 轴, AB 所在直线为 y 轴, AE 所在直线为 z 轴建立直角坐标系, 则
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A(0, 0, 0); B(0, 2, 0); D( ? 2, 0, 0); C ( ? 2, 2, 0); F ( ? 2, 2,1); E(0, 0, 2) ,
所以 BD ? (? 2, ? 2, 0); BF ? ( ? 2, 0,1); EC ? ( ? 2, 2, ?2) 从而有 EC · BD =0, EC · BF =0 所以 EC ? BD, EC ? BF 又因为 BD

BF ? B, 从而 EC ? 面 BDF

...............6 分

由(1)知向量 EC 为平面 BDF 的法向量 设平面 EBD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) 则?

? ?n ? BD ? 0 ? ?n ? ED ? 0

即?

? ?? 2 x ? 2 y ? 0 ? ?? 2 x ? 2 z ? 0 n ? EC n ? EC ?

;令 z ? 1 得 x ? ? 2, y ?

2

故 cos ? n, EC ??

2 10 ? 10 2 10
10 10

...............10 分

所以二面角 E ? BD ? F 的余弦值为

...............12 分

①当 n 为偶数时,要使不等式

?Tn ? n ? 8 ? (?1) n ( n ? N ? )恒成立,只需不等式 ? ?
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(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 17 恒成立即可, n n



2n ?

∴ ? ? 25

8 ?8 n









n?2









...............9 分

② 当 n 为 奇 数 时 , 要 使 不 等 式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) n ( n ? N ? ) 恒 成 立 , 只 需 不 等 式

(n ? 8)(2n ? 1) 8 8 8 ∵ 2n ? 是随 n 的增大而增大, ∴ n ? 1 时, ? 2n ? ? 15 恒成立即可, 2n ? n n n n 取得最小值 ? 6 ,∴ ? ? ?21 ...............11 分

??

综合①②可得 ? 的取值范围是 (??,?21)

...............12 分

20. (本小题满分 13 分) 解: (1) F (1 , 0) ,设 P( x , y ) 为 C 上任意一点,依题意有

( x ? 1) 2 ? y 2 1 ? x?4 2
...............5 分



x2 y 2 ? ?1 4 3

(2)易知直线 DE 斜率不为 0,设直线 DE 方程为 x ? ty ? 1

? x ? ty ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 ,得 (3t ? 4) y ? 6ty ? 9 ? 0 ? ?1 ? 3 ? 4
设 D ( x1 , y1 ) , E ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 由 A(?2 , 0) ,知 AD 方程为 y ? 0 ?

?6t ?9 , y1 y2 ? 2 2 3t ? 4 3t ? 4

...............7 分

y1 ? 0 6y ( x ? 2) ,点 M 坐标为 M (4 , 1 ) x1 ? 2 x1 ? 2
...............9 分

同理,点 N 坐标为 N (4 ,

6 y2 ) x2 ? 2

由对称性,若定点存在,则定点在 x 轴上。设 G (n , 0) 在以 MN 为直径的圆上 则 GM ? GN ? (4 ? n ,

6 y1 6y 36 y1 y2 ) ? (4 ? n , 2 ) ? (4 ? n) 2 ? ?0 x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
……11 分



(4 ? n) 2 ?

36 y1 y2 36 y1 y2 ? (4 ? n) 2 ? 2 ?0 (ty1 ? 3)(ty2 ? 3) t y1 y2 ? 3t ( y1 ? y2 ) ? 9

第 - 11 - 页 共 13 页

即 (4 ? n) ?
2

36 ? (?9) ? 0 , (4 ? n) 2 ? 9 ? 0 , n ? 1 或 n ? 7 2 ?9t ? 3t (?6t ) ? 9(3t ? 4)
2



以 MN 为直径的圆恒过 x 轴上两定点 (1 , 0) 和 (7 , 0)

...............13 分

注:1.若只求出或证明两定点中的一个不扣分。2.也可以由特殊的直线,如 x ? 1 ,得到圆与 x 轴的交 点 (1 , 0) 和 (7 , 0) 后,再予以证明。3.用几何法证明也给满分。

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)设 F ( x) ? e x ? ln( x ? 1)令F ' ( x) ? e x ?
'

1 ?0? x ?0 x ?1
'

当 x ? (?1, 0) , F ( x) ? 0 ,当 x ? (0, ??) , F ( x) ? 0 所以当 x ? (?1, 0) 时, F ( x) 单调递减,当 x ? (0, ??) 时, F ( x) 单调递增 从而当 x ? 0 时, F ( x) 取得的极小值 F (0) ? 1
x ' x '

…………3 分

(2)证明:令 G ( x) ? e ? x ? 1 , G ( x) ? e ? 1 ,当 x ? (0, ??) , G ( x) ? 0 所以当 x ? (0, ??) 时 G ( x) 单调递增; G ( x) ? G (0) ? 0( x ? 0) ; 所以 e x ? x ? 1 ? 0 ? x ? ln( x ? 1) ,? ( x ? 1) ? ln( x ? 2) ? g ( x ? 1)

f ( x) ? e x ? x ? 1 ? g ( x ? 1)
所以 f ( x) ? g ( x ? 1) …………8 分

(3)令 h( x ) ? ( x ? 1)ln( x ? 1) ? ax ,

h' ( x) ? ln( x ? 1) ? 1 ? a ,令 h ' ( x) ? 0 解得 x ? e
(i)当 a

a ?1

? 1.

? 1 时, x ? e a ?1 ? 1 ? 0 所以对所有 x ? 0 , h' ( x) ? 0 ; h( x) 在 [0, ??) 上是增函数.

所以有 h( x ) 即当 a

? h(0) ? 0( x ? 0)

? 1 时,对于所有 x ? 0 ,都有 g ( x) ?

ax . x ?1

(ii)当 a ? 1时, 对于0 ? x ? e a ?1 ? 1, h ' ( x) ? 0, 所以h( x)在(0, e a ?1 ? 1)上是减函数 ,

从而对于0 ? x ? e a ?1 ? 1有h( x) ? h(0) ? 0 ,
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f ( x) ? ac ,所以当 a ? 1 时,不是对所有的 x ? 0 都有 g ( x) ?

ax 成立. x ?1

综上, a 的取值范围是 ( ??,1)

…………14 分

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