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直线的一般式方程


3.2.3 直线的一般式方程
一、教学目标 1.掌握直线方程的一般式,了解直角坐标系中直线与关于 x 和 y 的一次方程的对应关系,培 养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 2.会将直线方程的特殊形式化成一般式,会将一般式化成斜截式和截距式,培养学生归纳、 概括能力,渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想. 3.通过教学,培养相互合作意

识,培养学生思维的严谨性,注意学生语言表述能力的训练. 二、重点难点 教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化. 教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于 x 和 y 的一次方程的对应关系,关键是直线方程 各种形式的互化 三、教学过程 1、导入新课 前面所学的直线方程的几种形式, 有必要寻求一种更好的形式, 那么怎样的形式才能表示一 切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题. 提出问题 ①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于 x,y 的二元一次方程? ②关于 x,y 的一次方程的一般形式 Ax+By+C=0(其中 A、B 不同时为零)是否都表示一条 直线? ③我们学习了直线方程的一般式,它与另四种形式关系怎样,是否可互相转化? ④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化? ⑤我们学习了直线方程的一般式 Ax+By+C=0,系数 A、B、C 有什么几何意义?什么场合下 需要化成其他形式?各种形式有何局限性? 讨论结果:①分析:在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角 α. 1° 当 α≠90°时,它们都有斜率,且均与 y 轴相交,方程可用斜截式表示:y=kx+b. 2° 当 α=90°时,它的方程可以写成 x=x1 的形式,由于在坐标平面上讨论问题,所以这个方程 应认为是关于 x、y 的二元一次方程,其中 y 的系数是零. 结论 1° :直线的方程都可以写成关于 x、y 的一次方程.

A C A x- , 这就是直线的斜截式方程, 它表示斜率为- , B B B C C 在 y 轴上的截距为- 的直线.b 当 B=0 时, 由于 A、 B 不同时为零必有 A≠0, 方程化为 x=- , B A
②分析: a 当 B≠0 时, 方程可化为 y=表示一条与 y 轴平行或重合的直线. 结论 2° :关于 x,y 的一次方程都表示一条直线. 综上得:这样我们就建立了直线与关于 x,y 的 二元一次方程之间的对应关系 . 我们把 Ax+By+C=0(其中 A,B 不同时为 0)叫做直线方程的一般式. 注意:一般地,需将所求的直线方程化为一般式. 在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式 (初中时学过的一次函数) 把新旧知识联系起来. 师生小结: 特殊形式必能化成一般式; 一般式不一定可以化为其他形式 (如特殊位置的直线) , 由于取点的任意性,一般式化成点斜式、两点式的形式各异,故一般式化斜截式和截距式较 常见;特殊形式的互化常以一般式为桥梁,但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式. 各种形式互化的实质是方程的同解变形(如图 1).

图1 列表:





方程 y-y1=k(x-x1) y=kx+b

局限 除 x=x0 外 除 x=x0 外 除 x=x0 和 y=y0 外 除 x=x0、y=y0 及 y=kx 外 无

点斜式 斜截式 两点式 截距式

各常数的几何意义 (x1,y1)是直线上一个定 点,k 是斜率 k 是斜率,b 是 y 轴上的截 距 (x1,y1)、(x2,y2)是直线上 两个定点 a 是 x 轴上的非零截距,b 是 y 轴上的非零截距 A 当 B≠0 时,- 是斜 B C 率,- 是 y 轴上的截距 B

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1
x y ? =1 a b

一般式

Ax+By+C=0

思考探究:P98 例题讲解: P98 例 5、6 知能训练: 课本本节练习 1、2、3. 拓展提升: 《名师金典》P60 例 1 P61 例 2、例 3 . 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 一、教学目标 1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系,并且会通过直线方程 系数判定解的情况,培养学生树立辩证统一的观点. 2.当两条直线相交时, 会求交点坐标.培养学生思维的严谨性, 注意学生语言表述能力的训练. 3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论,加深对解析法的理解,培养转化能力. 4.以“特殊”到“一般”,培养学生探索事物本质属性的精神,以及运动变化的相互联系的观点. 二、重点难点 教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.

三、教学过程: 1、导入新课 思路 1.作出直角坐标系中两条直线, 移动其中一条直线, 让学生观察这两条直线的位置关系. 课堂设问:由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那如果 两直线相交于一点, 这一点与这两条直线的方程有何关系?你能求出它们的交点坐标吗?说 说你的看法. 思路 2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题. 2、提出问题 ①已知两直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判断这两条直线的关系? ②如果两条直线相交,怎样求交点坐标?交点坐标与二元一次方程组有什关系? ③解下列方程组(由学生完成):

?2 x ? 6 y ? 3 ? 0, ?2 x ? 6 y ? 0, ?3x ? 4 y ? 2 ? 0, ? ? (ⅰ) ? ; (ⅱ) ? ; (ⅲ) ? 1 1 1 1 . y ? x? y ? x? ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ? 3 2 3 2 ? ?
如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系? 设两条直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公 共解,那么以这个解为坐标的点必是直线 l1 和 l2 的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这 两条直线方程所组成的方程组 ?

? ? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, 是否有唯一解. ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解,则 l1 与 l2 相交; (ⅱ)若二元一次方程组无解,则 l1 与 l2 平行; (ⅲ)若二元一次方程组有无数解,则 l1 与 l2 重合.即

?l1、l 2 相交, ?唯一解 转化 ? ? 直线 l1、l2 联立得方程组 ?无穷多解? ?l1、l 2 重合, ?无解 ? ? ?l1、l 2 平行.
(代数问题) (几何问题) 一般地,对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有

? A1 B ? 1 ? l1 l 2 相交, ?唯一解 ? A2 B2 ? ? A1 B C ? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0? ? 方程组 ? ? 1 ? 1 ? l1 l 2 重合, ?无穷多解 ? A2 B2 C 2 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0? ? A B C ?无解 ? 1 ? 1 ? 1 ? l1 l 2 平行. ? A2 B2 C 2 ?
3、例题讲解:P103 例 1、2, 《名师金典》P63 例 1、2 4、练习巩固:P104 第 1、2 题 5、作业:课本习题 3.3 A 组 1、2、3,选做 4 题.

3.3.2 两点间的距离 一、教学目标 1.使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程; 通过具体的例子来体会坐标法对于证 明简单的平面几何问题的重要性. 2.能灵活运用此公式解决一些简单问题;使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应 问题,培养学生勇于探索,善于发现,独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质. 二、重点难点 教学重点:1、平面内两点间的距离公式. 2、如何建立适当的直角坐标系. 教学难点:如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题. 三、教学过程: 1、导入新课 思路 1.已知平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|? 思路 2.(1)如果 A、B 是 x 轴上两点,C、D 是 y 轴上两点,它们的坐标分别是 xA、xB、yC、 yD,那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求 B(3,4)到原点的距离.(3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),求|AB|. 2、提出问题 已知平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.

图1 在直角坐标系中,已知两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),如图 1,从 P1、P2 分别向 x 轴和 y 轴作 垂线 P1M1、P1N1 和 P2M2、P2N2,垂足分别为 M1(x1,0)、N1(0,y1)、M2(x2,0)、N2(0,y2), 其中直线 P1N1 和 P2M2 相交于点 Q. 在 Rt△P1QP2 中,|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2. 因为|P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|, 所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2.
2 2 由此得到两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式:|P1P2|= ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) .

3、例题讲解:P105 例 3、4, 《名师金典》P65 例 1、2、3 4、练习巩固:P106 第 1、2 题 5、作业:课本习题 3.3 A 组 6、7、8;B 组 6.


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