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5第五讲 不定方程 学生版


第五讲 不定方程
本讲概述
一次不定方程 (1)a,b 是非零整数,d=(a,b),则对每个整数 c,不定方程 ax+by=c 有整数解当且仅当 d|c.

(2)设 a,b 是非零整数,(a,b)=d, n 是整数。若(x,y)=

是不定方程

的一组整数解,则次方程

的全部

整数解为

.t 取所有整数。

注:当 n=1 时, (1)就是裴蜀定理。(1)和(2)都能推广到多元的形式。 (3)中国剩余定理 (孙子定理 ) 设 是 k 个两两互素的正整数, , 为

任意整数,则同余式组

有唯一解

。其中



二次不定方程 (1)二次剩余 定义:p 是素数,(a,p)=1.若同余方程 非剩余。 性质:若 p 是奇素数,则 p 的二次剩余共有 个,它们是 。 则 a 叫做模 p 的二次剩余,否则叫做模 p 的二次

模 p 的两个二次剩余相乘是二次剩余。模 p 的二次剩余和二次非剩余相乘是二次非剩余,模 p 的两 个二次非剩余相乘是二次剩余。 欧拉判别法: 则 a 是模 p 的二次剩余;

则 a 是模 p 的二次非剩余。

(2)沛尔 ( pell) 方程 形如 x ? dy ? 1 ( d ? N * , d 不是完全平方数)的方程称为沛尔方程. 能够证明它一定有无穷多
2 2

组正整数解;又设 ( x1 , y1 ) 为该方程的正整数解 ( x, y ) 中使 x ? y d 最小的解,则其的全部正整数解由

1 ? xn ? [( x1 ? d y1 )n ? ( x1 ? d y1 ) n ] ? 2 ? ( n ? 1, 2,3,? )给出. ? ? yn ? 1 [( x1 ? d y1 ) n ? ( x1 ? d y1 ) n ] ? 2 d ?
①只要有解 ( x1 , y1 ) ,就可以由通解公式给出方程的无穷多组解. ② xn , yn 满足的关系: xn ? yn d ? ( x1 ? y1 d )n ; ? (3)勾股方程 x ? y ? z
2 2 2

? xn ? 2 x1 xn ?1 ? xn ? 2 , ? yn ? 2 x1 yn ?1 ? yn ? 2

这里只讨论勾股方程的正整数解,只需讨论满足 ( x, y ) ? 1 的解,此时易知 x, y , z 实际上两两互素. 这 种 x, y , z 两两互素的正整数解 ( x, y, z ) 称为方程的本原解, 也称为本原的勾股数。 容易看出 x, y 一奇一偶, 无妨设 y 为偶数,下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。
2 2 2 定理三:方程 x ? y ? z 满足 ( x, y ) ? 1 , 2 | y 的全部正整数解 ( x, y, z ) 可表为

x ? a 2 ? b 2 , y ? 2ab, z ? a 2 ? b 2 ,其中, a , b 是满足 a ? b ? 0, a, b 一奇一偶,且 (a, b) ? 1 的任意
整数. 多元高次不定方程 多元高次不定方程没有一般的解法,任何一种解法都只能解决一些特殊的不定方程,如利用二次剩余 来讨论一些特殊的不定方程的整数解.其它常用的解法有 ⑴代数恒等变形:如因式分解、配方、换元等; ⑵不等式估算法:利用不等式等方法,确定出方程中某些变量的范围,进而求解; ⑶同余法:对等式两边取特殊的模(如奇偶分析) ,缩小变量的范围或性质,得出不定方程的整数解 或判定其无解; ⑷构造法:构造出符合要求的特解,或构造一个求解的递推式,证明方程有无穷多解; ⑸无穷递推法。

例题精讲
【例 1】 (1)求 60x-14y=18 的全部整数解。 (2)求 18x+30y+45z=48 的全部整数解。

【例 2】设 a,b,c 都是正整数,(a,b)=1,则当 c>ab-a-b 时,ax+by=1 有非负整数解。

【例 3】解同余方程组

【例 4】能否找到 2000 个自然数集合 S,使得(1)S 中任意两数互素; (2)S 中任意 k(>1)个数的和为合数。

【例 5】 证明: 有无穷多个三角数为完全平方数. (所谓三角数, 就是形如

n(n ? 1) 的数, 其中 n 为自然数.) 2

【例 6】证明:方程 x

4

? y 4 ? z 2 无正整数解。

【例 7】(1)若 n (2)证明方程

证明不定方程 的解中,没有形如

没有整数解(x,y,z). 的数。

【例 8】 求所有正整数 x>1,y>1,z>1,使得

【例 9】 (1)证明:方程 x( x ? 1) ? 1 ? y 没有正整数解.
2

k (2)设 k 是正整数, k ? 2 ,证明:方程 x( x ? 1) ? y 没有正整数解.

【例 10】求

的正整数解。

大显身手
1.设 a,b,c 都是正整数,(a,b)=1,当 c=ab-a-b 时,方程没有非负整数解。
2.设 a,b,c 为两两互素的正整数。证明 2abc-ab-bc-ca 是不能表示为 xbc+yca+zab 形式的最大整数。 (a,y,z 是最大整数)

3.存在 n 个连续的正整数,使得其中任何一个都不是质数的整数幂。

4.n 和 k 是正整数,其中 n 是奇数。证明:存在整数 a,b,使得,(a,n)=1,(b,n)=1,k=a+b. 5.p 是奇素数。-1 是模 p 的二次剩余的充要条件是

6.证明:下列数不能表示为若干个连续整数的立方和。
(1 )

(2)

7.方程
4 4

有无穷多组整数解。
4

8.证明:不定方程 x ? y ? z 没有满足 xyz ? 0 的整数解. 9.求所有的 2 的幂,将其十进制的首位删去后,剩下的数仍是一个 2 的幂。

10.证明不定方程

没有正整数解。

11.证明不定方程

的全部正整数解是(2,2,2)

12.求方程
2 x ? 3 y ? 5z ? 7 w ? 1 的所有非负整数解 ? x, y, z, w? .

13.设 u 是一个给定的正整数, 证明方程

至多有有限组正整数解(n,x,y).

14.证明:不定方程

仅有一组正整数解(2,2,3)

本讲义编写者朱超逸老师将给大家开设习题课,选讲部分习题,希望大家能认真思考&多多做练习!


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