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辽宁省东北育才学校2015-2016学年高二数学下学期第二阶段考试试题 理


2015—2016 学年度下学期第二阶段考试 高二年级数学科(理)试卷
总分:150 分 时间:120 分钟 命题人:高二数学备课组 第Ⅰ卷 (选择题共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.复数 z ? A. 1

3?i 的虚部为 2?i
B. ?1 C. i D. ?i

2.若 f ( x) ? x? ? ?x ? ? ln x ,则 f '( x) ? ? 的解集为 A. (?, ??)

( -? , ? )( U ?, +?) B.

C. ( ?, ??)

D. (-?, ?)

3.若 z ? 1 ? i ,则 z ? z ? z ? 1 ? A. 2 2 ?1 4.由曲线 y ? A. B. 2 ? 1 C. 2 ? 3 D. 2 2 ? 1

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为
B.4 C.

10 3

16 3

D.6

5.如图,元件 Ai (i ? 1,2,3,4) 通过电流的概率均为 0.9,且各元件是否通过电流相互 独立,则电流能在 M,N 之间通过的概率是

A.0.729 6.设 0 ? ? ? A. 2 cos

B.0.8829

C.0.864

D.0.9891

?
2

,已知 a1 ? 2 cos? , an?1 ? B. 2 cos

2 ? an ,则猜想 an ?

?
2
n

?
2
n ?1

C. 2 cos

?
2
n ?1

D. 2 sin

?
2n
1

7.某校赛艇运动员 10 人,3 人会划右边,2 人会划左边,其余 5 人两边都能划,现要

从中选 6 人上艇,平均分配在两边上划桨,有( 员间的顺序) A. 675 B. 575 C. 512 D. 545

)种不同的选法(不考虑同侧队

8.在三次独立重复试验中,事件 A 在每次试验中发生的概率相同,若事件 A 至少发 生一次的概率为

63 ,则事件 A 恰好发生一次的概率为 64
B.

A.

1 4

3 4

C.

3 64

D.

9 64

? 9.已知函数 f ( x) ? ? x ? ? f ?(?) x , n ? f ?(?) ,则二项式 ( x ?

2 x

) n 展开式中

常数项是 A.第 7 项 B.第 8 项 C.第 9 项 D.第 10 项

10.已知函数 y ? f ( x) ( x ? R )的图象上任一点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线斜率

k ? ( x0 ? 3)(x0 ? 1)2 ,则该函数的单调递减区间为
A. ?? 1,??? B. ?? ?,3? C. ?? ?,?1? D. ?3,???

11.一个口袋中有编号分别为 0,1,2 的小球各 2 个,从这 6 个球中任取 2 个,则取 出 2 个球的编号数和的期望为 A.1 B.1.5 C.2 D.2.5

12.已知 a,b ? R,且 e x ?1 ≥ ax ? b 对 x ∈R 恒成立,则 ab 的最大值是 A.

1 3 e 2

B.

2 3 e 2

C.

3 3 e 2

D. e 3

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13. 有一名同学在书写英文单词“error”时,只是记不清字母的顺序,那么他写错 这个单词的概率是 14.已知 (2 ? 3x)
50

.

? a0 ? a1x ? a2x 2 ? L ? a50x 50 ,则 | a0 | ? | a1 | ? L ? | a50 |?

.
2

15.一个正四面体的骰子,四个面分别写有数字 3,4,4,5,则将其投掷两次,骰子 与桌面接触面上的数字之和的方差是 .

16.甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑 球. 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A ,A2和A3 表示由甲罐取出的球是 1 红球,白球和黑球的事件. 再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红 球的事件。则下列结论中正确的是 ①P(B)= .

2 5 ;②P(B| A1 )= ;③事件 B 与事件 A1 相互独立;④ A ,A2和A3 是两两互 1 5 11

斥的事件;⑤P(B)的值不能确定,因为它与 A ,A2和A3 中究竟哪一个发生有关. 1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 17.(本小题满分 10 分)已知关于 x 的方程 x2 ? (6 ? i ) x ? 9 ? ai ? 0(a ? R) 有实数 根b . (1)求实数 a , b 的值. (2)若复数 z 满足 z ? a ? bi ? 2 z ? 0 ,求 z 的最小值.

18.(本小题满分 12 分)否存在常数 a, b, c 使等式

1 ? 22 ? 2 ? 32 ? L ? n( n ? 1) 2 ?

n(n ? 1) ( an 2 ? bn ? c) 对一切正整数 n 都成立?若 12

存在,用数学归纳法证明你的结论;若不存在,请说明理由.

19. (本小题满分 12 分)育才高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,
3

决定在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设“茶艺” 、 “模拟驾驶” 、 “机 器人制作” 、 “数学与生活”和“生物与环境”选修课,每位有兴趣的同学可以在任何 一天参加任何一门科目.(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不 满座)统计数据表明,各选修课各天的满座的概率如下表: 生物与环境 周一 周三 周五 数学与生活 机器人制作 模拟驾驶 茶艺

1 4 1 2 1 3

1 4 1 2 1 3

1 4 1 2 1 3

1 4 1 2 1 3

1 2 2 3 2 3

(1)求茶艺选修课在周一、周三、周五都不满座的概率; (2)设周三各选修课中满座的科目数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

20.(本小题满分 12 分)已知在 ( 3 x ? (1)求 n ; (2)求含 x 项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.
2

1 2 x
3

)n 的展开式中,第 6 项为常数项.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln( 2 ? 3 x) ? (1)求 f ( x) 在 [0,1] 上的极值;

3 2 x . 2

(2)若关于 x 的方程 f ( x) ? ?2 x ? b 在 [0,2] 上恰有两个不同的实根,求实数 b 的取 值范围.

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln(a ? x) ? ln(a ? x)(a ? 0) . (1)曲线 y ? f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 2 x ,求 a 的值; (2)当 x ? 0 时,不等式 f ( x ) ? 2 x ?

2 x3 恒成立,试求 a 的取值范围. 3
4

2015—2016学年度下学期第二阶段考试 高二年级数学科试卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.A 2. C 3. B 4.C 5. B 6. B 7. A8. D9. C 10. B 11.C 12.A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.

19 20

14. (2+ 3)

50

15. 1

16. ②④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 2 17.解:解: (1)∵b 是方程 x ﹣(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根, 2 ∴(b ﹣6b+9)+(a﹣b)i=0, ∴ 解之得 a=b=3.

(2)设 z=x+yi(x,y∈R) ,由| ﹣3﹣3i|=2|z|, 2 2 2 2 得(x﹣3) +(y+3) =4(x +y ) , 2 2 即(x+1) +(y﹣1) =8, ∴z 点的轨迹是以 O1(﹣1,1)为圆心,2 为半径的圆,如图所示, 如图,

当 z 点在 OO1 的连线上时,|z|有最大值或最小值, ∵|OO1|= , 半径 r=2 , ∴当 z=1﹣i 时. |z|有最小值且|z|min= .

5

18.解:把 n=1,2,3 代入得方程组

,解得



猜想: 等式 成立. 下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,由上面的探求可知等式成立. (2)假设 n=k 时等式成立,即

对一切





当 n=k+1 时,

所以当 n=k+1 时,等式也成立, ∴由(1)(2)知猜想成立,即存在 a=3,b=11,c=10 使命题成立.

6

19.解: (Ⅰ)设茶艺在周一、周三、周五都不满座为事件 A, 则 P( A) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ?

1 2

2 3

2 3

1 . 18

......2 分

(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4,5.

1 2 1 P( X ? 0) ? (1 ? ) 4 (1 ? ) ? ; 2 3 48 1 2 1 2 1 1 1 P( X ? 1) ? C 4 (1 ? ) 3 (1 ? ) ? (1 ? ) 4 ? 2 2 3 2 3 8 1 1 2 1 2 7 2 1 1 P( X ? 2) ? C 4 ( ) 2 (1 ? ) 2 (1 ? ) ? C 4 (1 ? ) 3 ? ; 2 2 3 2 2 3 24 1 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 P( X ? 3) ? C 4 ( ) (1 ? )(1 ? ) ? C 4 ( ) (1 ? ) 2 ? ; 2 2 3 2 2 3 3

1 2 1 2 3 3 1 3 P( X ? 4) ? ( ) 4 (1 ? ) ? C4 ( ) (1 ? ) ? ; 2 3 2 2 3 16 1 2 1 P( X ? 5) ? ( ) 4 ? . 2 3 24
所以,随机变量 X 的分布列如下 : ......8 分

X P

0

1

2

3

4

5

1 48

1 8

7 24

1 3

3 16

1 24
......10 分

故 E( X ) ? 0 ?

1 1 7 1 3 1 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 48 8 24 3 16 24 3
﹣ ) 的展开式的通项为
n

......12 分

20.解: (1)根据题意,可得(

= 又由第 6 项为常数项,则当 r=5 时, ,



7



=0,解可得 n=10,

(2)由(1)可得,Tr+1=(﹣ ) C10 令
2

r

r



,可得 r=2, ,

所以含 x 项的系数为

(3)由(1)可得,Tr+1=(﹣ ) C10 若 Tr+1 为有理项,则有 分析可得当 r=2,5,8 时, 则展开式中的有理项分别为

r

r



,且 0≤r≤10, 为整数, .

201











f (x ) = ln(a + x ) - ln(a - x ) (a > 0)



f ' (x ) =

1 1 2a + = 2 , a+ x a- x a - x2

f ' (0) =


2a 2 2 由题意知 f ' (0) = 2 , ∴ = 2 = , 2 a a a
2x 3 ( x ? 0) 3

∴a= 1

????? 4

(II)令 g (x ) = f (x ) - 2x -

? 骣 2 x3 ÷ 2a ÷ ( x) = ? = f ( x) - 2 - 2 x 2 = 2 - 2 - 2x2 则 gⅱ ? f ( x) - 2 x ÷ 2 ÷ ? 3 a - x 桫

=

2 ( x4 - (a2 - 1) x2 + a - a2 ) a - x2
2

i)当 0 < a ? 1 时, a 2 - 1 ? 0 , a - a 2 ? 0 当0? x

a 时, x 4 - (a 2 - 1)x 2 + a - a 2 ? 0 ,即 g? ? x ? ? 0

∴函数 g (x ) 在 [0, a ) 上为增函数
8

∴ g (x ) ? g (0)

0 ,即当 0 < a ? 1 时, f (x ) ? 2x

2x 3 3

ii)当 a > 1 时, a 2 - 1 > 0 , a - a 2 < 0 ∴0< x <

a 2 - 1 < a 时, x 2 - (a 2 - 1) < 0 , x2 轾 x2 - (a2 - 1) < 0 犏 臌

从而 x 4 - (a 2 - 1)x 2 + a - a 2 < 0 ,即 g? ? x ? ? 0 从而函数 g ( x ) 在 0, a 2 - 1 上为减函数 ∴当 0 < x <

(

)

a 2 - 1 时 g (x ) < g (0) = 0 ,这与题意不符

综上所述当 x ? 0 时, f (x ) ? 2x 12 分 22.解: 解: (I)f ?( x) ? 去)

2x 3 , a 的取值范围为 0 < a ? 1 3

?????

3 ? 3( x ? 1)( 3x ? 1) 1 ? 3x ? , 令 f ?( x) ? 0得x ? 或x ? ?1 (舍 2 ? 3x 3x ? 2 3

1 1 ?当0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0, f ( x)单调递增; 当 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0, f ( x)单调递减 . . 3 3 1 1 ? f ( ) ? ln 3 ? 为函数 f ( x)在[0,1]上的极大值 ,无极小值. ?? 5 分 3 6 3 2 (Ⅱ)由f ( x) ? ?2 x ? b ? ln( 2 ? 3x) ? x ? 2 x ? b ? 0. 2 3 7 ? 9x 2 令? ( x) ? ln(2 ? 3x) ? x 2 ? 2 x ? b, 则? ?( x) ? , 2 2 ? 3x 7 7 当 x ?[0, ]时,? ?( x) ? 0,? f ( x)在[0, ]上单调递增; 3 3 7 7 当 x ?[ , 2]时,? ?( x) ? 0,? f ( x)在[ , 2]上单调递减 . ?? 8 分 3 3 ? f ( x) ? ?2x ? b在[0,2]恰有两个不同实根等价 于:

?? (0) ? ln 2 ? b ? 0 ? 7 7 2 7 ? ?b ? 0 ?? ( ) ? ln(2 ? 7 ) ? ? 6 3 ? 3 ? (2) ? ln 8 ? 2 ? b ? 0 ? ?

9

?? (2) ? ?(0) ? ln 2 ? b ? ln(2 ? 7 ) ? 4 7 ?7 . 6
?? 12 分

10


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