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2014高三一轮专题复习--二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(有详细答案)


二元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题

1. 二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地, 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某 一侧所有点组成的平面区域. 我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线. 当我们在坐 标系中画不等式 Ax+By+C≥0 所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把

边界 直线画成实线. (2)由于对直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C, 所得的符号都相同,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0 ,y0 )作为测试点,由 Ax0 +By0 +C 的符号即可判断 Ax+By+C>0 表示的直线是 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域. 2. 线性规划相关概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 3. 应用 利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形. (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解. (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 意义 由变量 x,y 组成的一次不等式 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 欲求最大值或最小值的函数 关于 x,y 的一次解析式 满足线性约束条件的解 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式 Ax+By+C>0 表示的平面区域一定在直线 Ax+By+C=0 的上方. ( × )

(2)不等式 x2 -y2 <0 表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成 的含有 y 轴的两块区域. 3x-y-6<0, ? ? (3)不等式组?x-y+2>0, ? ?x≥0,y≥0 ( √ )

表示的平面区域是下图中的阴影部分.

(

×

)

(4)线性目标函数的最优解可能是不唯一的. (5)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.

( (

√ √ × )

) ) )

(6)目标函数 z=ax+by(b≠0)中, z 的几何意义是直线 ax+by-z=0 在 y 轴上的截距.( 2. 下列各点中,不在 x+y-1≤0 表示的平面区域内的是 A.(0,0) C.(-1,3) 答案 解析 C 把各点的坐标代入可得(-1,3)不适合,故选 C. B.(-1,1) D.(2,-3) (

x-y≥-1, ? ? 3. 若实数 x,y 满足不等式组? x+y≥1, ? ? 3x-y≤3, A.3 答案 解析 C B. 5 2 C.2 D.2 2

则该约束条件所围成的平面区域的面积是(

)

因为直线 x-y=-1 与 x+y=1 互相垂直,

所以如图所示的可行域为直角三角形, 易得 A (0,1),B (1,0),C(2,3), 1 故|AB |= 2,|AC|=2 2,其面积为 ×|AB |×|AC|=2. 2 y≤2x, ? ? 4.(2013· 湖南)若变量 x,y 满足约束条件? x+y≤1, ? ? y≥-1,

则 x+2y 的最大值是(

)

A. - 答案 解析

5 2 C

B.0

C.

5 3

D.

5 2

画出可行域如图.

1 1 1 z 1 2 设 z=x+2y,平行移动直线 y=- x+ z,当直线 y=- x+ 过点 M? , ?时,z 取最大值 ?3 3? 2 2 2 2 5 , 3 5 所以(x+2y)ma x= . 3 x+y-2≥0, ? ? 5.(2013· 浙江)设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足?x-2y+4≥0, ? ?2x-y-4≤0. k =________. 答案 解析 2 作出可行域如图阴影部分所示:

若 z 的最大值为 12,则实数

1 由图可知当 0≤-k < 时,直线 y=-kx+z 经过点 M(4,4)时 z 最大,所以 4k +4=12,解得 2 1 k =2(舍去);当-k ≥ 时,直线 y=-kx+z 经过点(0,2)时 z 最大,此时 z 的最大值为 2,不 2 合题意;当-k <0 时,直线 y=-kx+z 经过点 M(4,4)时 z 最大,所以 4k +4=12,解得 k =2,符合题意. 综上可知,k =2.

题型一

二元一次不等式(组)表示的平面区域

x≥0, ? ? 例 1 若不等式组?x+3y≥4, ? ? 3x+y≤4 则 k 的值是 A. 7 3 B. 3 7 C. 4 3

4 所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部分, 3 ( D. 3 4 )

思维启迪

4? ? 4? 画出平面区域,显然点 ? ?0,3?在已知的平面区域内,直线系过定点 ?0,3?,结

合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可. 答案 解析 A 不等式组表示的平面区域如图所示.

4 4 4 由于直线 y=kx+ 过定点?0, ?. 因此只有直线过 AB 中点时,直线 y=kx+ 能平分平面区 ? ? 3 3 3 域. 1 5? 因为 A (1,1),B (0,4),所以 AB 中点 D? ?2,2?. 4 1 5? 5 k 4 当 y=kx+ 过点? , ?时, = + , ? 3 2 2 2 2 3 7 所以 k = . 3 思维升华 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法:

直线定界,测试点定域. 注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线. 测试点可 以选一个,也可以选多个,若直线不过原点,则测试点常选取原点.

如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC 三个顶点的 坐 标分别为 A (0,1),B (-2,2),C(2,6),试写出△ABC 及其内部区域所 对应的二元一次不等式组. 解 由已知得直线 AB 、BC、CA 的方程分别为直线 AB :x+2y-2

=0,直线 BC:x-y+4=0,直线 CA :5x-2y+2=0, ∴原点(0,0)不在各直线上,将原点坐标代入到各直线方程左端,结合式子的符号可得不等

?x-y+4≥0 ? 式组为? x+2y-2≥0 ? ? 5x-2y+2≤0
题型二

.

求线性目标函数的最值

x-4y≤-3 ? ? 例 2 设 x,y 满足约束条件:? 3x+5y≤25 ? ? x≥1 思维启迪 解

,求 z=x+y 的最大值与最小值.

作可行域后,通过平移直线 l0 :x+y=0 来寻找最优解,求出目标函数的最值.

先作可行域,如图所示中△ABC 的区域,且求得 A (5,2)、

22 B (1,1)、C(1, ),作出直线 l0 :x+y=0,再将直线 l0 平移,当 5 l0 的平行线 l1 过点 B 时,可使 z=x+y 达到最小值;当 l0 的平 行线 l2 过点 A 时,可使 z=x+y 达到最大值. 故 zmin =2,z ma x=7. 思维升华 得. (2)求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义,明确和直线的 纵截距的关系. (1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得,也可能在边界处取

?0≤x≤ (1)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ?y≤2, ?x≤ 2y
→ → M(x,y)为 D 上的动点,点 A 的坐标为( 2,1),则 z=OM· OA 的最大值为 A.3 B.4 C.3 2 D.4 2

2, 给定. 若

(

)

x≥1, ? ? (2)(2013· 课标全国Ⅱ)已知 a>0,x,y 满足约束条件?x+y≤3, ? ?y≥a?x-3?, 为 1,则 a 等于

若 z=2x+y 的最小值

(

)

A.

1 4

B.

1 2

C.1

D.2

答案

(1)B (2)B

解析

?0≤x≤ (1)由线性约束条件?y≤2, ?x≤ 2y

2,

→ → 画出可行域如图阴影部分所示,目标函数 z=OM· OA = 2x+y,将其 化为 y=- 2x+z,结合图形可知,目标函数的图象过点( 2,2)时, 、 z 最大,将点( 2,2)的坐标代入 z= 2x+y 得 z 的最大值为 4. (2)作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分). 易知直线 z=2x+y 过交点 A 时,z 取最小值, 由?
? ?x=1, ?y=a?x-3?, ? ?x=1, ? ?y=-2a, ?

得?

∴z min =2-2a=1, 1 解得 a= ,故选 B. 2 题型三 例 3 实际生活中的线性规划问题

(2012· 江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不超过 54

万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植 面积(单位:亩)分别为 A.50,0 C.20,30 思维启迪 B.30,20 D.0,50 根据线性规划解决实际问题,要先用字母表示变量,找出各量的关系列出约束 ( )

条件,设出目标函数,转化为线性规划问题. 答案 B

?x+y≤50, ? 解析 设种植黄瓜 x 亩,韭菜 y 亩,则由题意可知?1.2x+0.9y≤54, ? ?x,y∈ N+ ,
0.9y 的最大值,根据题意画可行域如图阴影所示.

求目标函数 z=x+

当目标函数线 l 向右平移,移至点 A (30,20) 处时,目标函数取得最大值,即当黄瓜种植 30 亩,韭菜种植 20 亩时,种植总利润最大. 思维升华 线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最

好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,转化为简单的线性规划问题, 再按如下步骤完成: (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的 那一条 l; (2)平移——将 l 平行移动,以确定最优解的对应点 A 的位置; (3)求值——解方程组求出 A 点坐标(即最优解),代入目标函数,即可求出最值. 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车. 某天需送往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满载且只 能送一次. 派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型 卡车需配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元,该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆 数,可得最大利润 z 为 A.4 650 元 C.4 900 元 答案 解析 C 设该公司合理计划当天派用甲、乙型卡车的车辆数分别为 x,y,则根据条件得 x,y x+y≤12, B.4 700 元 D.5 000 元 ( )

? x+y≤19, ?210 6y≥72, 满足的约束条件为 ? x≤x+ 8,y≤7, ? ? x∈N ,y∈ N ,
* *

目标函数 z =450x

+350y. 作出约束条件所表示的平面区域如图,然后平移目标 函数对应的直线 450x+350y=0(即 9x+7y=0)知,当直线经 过直线 x+y=12 与 2x+y=19 的交点(7,5)时,目标函数取得 最大值,即 z=450×7+350×5=4 900. 题型四 标函数的最值 求非线性目

x-y-2≤0, ? ? 例 4 (1)设实数 x,y 满足?x+2y-4≥0, ? ?2y-3≤0,

y 则 的最大值为________. x

x+y≥2, ? ? (2)已知 O 是坐标原点,点 A (1,0),若点 M(x,y)为平面区域?x≤1, ? ?y≤2, → → 则|OA +OM|的最小值是________. 思维启迪

上的一个动点,

与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求

解一般要结合给定代数式的几何意义来完成. 答案 解析 3 (1) 2 (2) 3 2 2

y 3 (1) 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,在点(1, )处取到最大值. x 2

→ → → → (2)依题意得,OA +OM=(x+1,y),|OA +OM|= ?x+1?2 +y2可视为点 (x,y)与点(-1,0)间的距离,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的 平面区域,结合图形可知,在该平面区域内的点中,由点(-1,0)向直线 → → x+y=2 引垂线的垂足位于该平面区域内,且与点(-1,0)的距离最小,因此|OA +OM|的最 小值是 |-1+0-2| 2 = 3 2 . 2

思维升华

常见代数式的几何意义有

(1) x2 +y2 表示点(x,y)与原点(0,0)的距离; (2) ?x-a?2 +?y-b?2 表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离; y (3) 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率; x y-b (4) 表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率. x-a x≥1, ? ? 设不等式组?x-2y+3≥0, ? ? y≥x,

所表示的平面区域是 Ω1 ,平面区域 Ω2 是与 Ω1 关

于直线 3x-4y-9=0 对称的区域,对于 Ω1 中的任意一点 A 与 Ω2 中的任意一点 B ,|AB |的 最小值等于 A. 28 5 B 由题意知,所求的|AB |的最小值,即为区域 Ω1 中的点到直 B.4 C. 12 5 D.2 ( )

答案 解析

线 3x-4y-9=0 的距离的最小值的两倍,画出已知不等式表示的 平面区域,如图所示, 可看出点(1,1)到直线 3x-4y-9=0 的距离最小,故|AB |的最小值 为 2× |3×1-4×1-9| =4,选 B. 5

线性规划问题中忽视参数范围致误

典例:(5 分)已知 x,y 满足约束条件|x|+2|y|≤2,且 z=y-mx(m≠0)的最小值等于-2,则实 数 m 的值等于________. 易错分析 本题容易出现的错误主要有两个方面:

(1)没有将绝对值不等式转化为不等式组,画不出正确的可行域; (2)没有对参数 m 的取值情况进行分类讨论,造成漏解,只得到 m=1. 解析 原不等式等价于以下四个不等式组: x≥0, ? ? ?y≤0, ? ? x-2y≤2, x≤0, ? ? ?y≤0, ? ? -x-2y≤2,

x≥0, ? ? ?y≥0, ? ? x+2y≤2, x≤0, ? ? ?y≥0, ? ? -x+2y≤2,

因此可画出可行域(如图): 由 z=y-mx 得 y=mx+z. 1 (1)当 m> 时,由图形可知,目标函数在点 A (2,0)处取得最小值, 2 因此-2=0-2m,解得 m=1. 1 (2)当 0<m≤ 时,由图形可知,目标函数在点 D(0,-1)处取得最小值, 2 因此-2=-1-m×0,m 无解. 1 (3)当 m<- 时,由图形可知,目标函数在点 C(-2,0)处取得最小值, 2 因此-2=0+2m,解得 m=-1. 1 (4)当- ≤m<0 时,由图形可知,目标函数在点 D(0,-1)处取得最小值, 2 因此-2=-1-m×0,m 无解. 综上,实数 m 的值等于 1 或-1.

答案

1 或-1 (1)含绝对值不等式表示区域的画法

温馨提醒

含有绝对值的不等式所表示的平面区域,应该根据变量的取值情况,将不等式中的绝对值 符号去掉,化为几个不等式组,把每一个不等式表示的平面区域画出后合并起来就是相应 的含绝对值不等式所表示的平面区域. (2)正确运用分类讨论的方法 本题是线性规划的逆问题,这类问题的特点是在目标函数或约束条件中含有参数,当在目 标函数中含有参数时,参数的不同取值将要影响到最优解的位置,因此要根据可行域边界 直线的斜率与目标函数对应直线斜率的大小关系,对参数的取值情况进行分类讨论,在运 动变化中寻找问题成立的条件,从而得到参数的取值. 如果在约束条件中含有参数,那么随 着参数的变化,可行域的形状可能就要发生变化,因此在求解时也要根据参数的取值对可 行域的各种情况进行分类讨论,以免出现漏解.

方法与技巧 1. 平面区域的画法:线定界、点定域(注意实虚线). 2. 求最值: 求二元一次函数 z=ax+by (ab≠0)的最值, 将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式: a z z y=- x+ ,通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值. 最优解在顶点或边界取得. b b b 3. 解线性规划应用题,可先找出各变量之间的关系,最好列成表格,然后用字母表示变量, 列出线性约束条件;写出要研究的函数,转化成线性规划问题. 失误与防范 1. 画出平面区域. 避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化. z z 2. 在通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值时,要注意:当 b>0 时,截距 取最大值时, b b z z z 也取最大值;截距 取最小值时,z 也取最小值;当 b<0 时,截距 取最大值时,z 取最小 b b z 值;截距 取最小值时,z 取最大值. b

A组

专项基础训练

(时间:40 分钟) 一、选择题

y≤x+1 ? ? 1. 在直角坐标平面内,不等式组? y≥0 ? ? 0≤x≤t A. - 3或 3 答案 C B. -3 或 1

3 所表示的平面区域的面积为 ,则 t 的值为( 2 C.1 D. 3

)

y≤x+1 ? ? 解析 不等式组? y≥0 ? ? 0≤x≤t 由?
? ?y=x+1 ? x=t ?

所表示的平面区域如图中阴影部分所示.

解得交点 B (t,t+1),在 y=x+1 中,令 x=0 得 y=1, ?1+t+1?×t 3 2 = ,得 t +2t 2 2

即直线 y=x+1 与 y 轴的交点为 C(0,1),由平面区域的面积 S= -3=0,解得 t=1 或 t=-3(不合题意,舍去),故选 C. x≥0, ? ?y≥0, 2. 直线 2x+y-10=0 与不等式组? x-y≥-2, ? ? 4x+3y≤20 A.0 个 答案 解析 B B.1 个 C.2 个

表示的平面区域的公共点有

(

)

D. 无数个

在坐标平面内画出直线 2x+y-10=0 与不等式组表示的平面区域, 易知直线与此区

域的公共点有 1 个. 3x+y-6≥0, ? ? 3.(2013· 天津)设变量 x,y 满足约束条件? x-y-2≤0, ? ? y-3≤0,

则目标函数 z=y-2x 的最小值为

( A. -7 答案 解析 A 可行域如图阴影部分(含边界) B. -4 C.1 D.2

)

令 z=0,得直线 l0 :y-2x=0,平移直线 l0 知,当直线 l 过 A 点时, z 取得最小值. 由?
? ?y=3, ?x-y-2=0 ?

得 A (5,3).

∴z min =3-2×5=-7,选 A.

x +y ≤4, ? ? 4. O 为坐标原点,点 M 的坐标为(1,1),若点 N(x,y)的坐标满足?2x-y≥0, ? ?y≥0, 大值为 A. 2 答案 解析 B → → 如图, 点 N 在图中阴影区域内, 当 O、 M、 N 共线时, OM· ON B.2 2 C. 3 D.2 3

2

2

→ → 则OM· ON的最

(

)

→ → 最大,此时 N( 2, 2),OM· ON=(1,1)· ( 2, 2)=2 2,故选 B.

?2x-y-2≥0, ? 5.(2013· 山东)在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组 ? x+2y-1≥0, ? ? 3x+y-8≤0
一动点,则直线 OM 斜率的最小值为 A.2 答案 解析 C 画出图形,数形结合得出答案. B.1 C. - 1 3 D. - 1 2

所表示的区域上

(

)

2x-y-2≥0, ? ? 如图所示,? x+2y-1≥0, ? ? 3x+y-8≤0 所表示的平面区域为图中的阴影部分. 由?
?x+2y-1=0, ? ? 3x+y-8=0, ?

得 A (3,-1).

1 当 M 点与 A 重合时,OM 的斜率最小,k OM =- . 3 二、填空题 y≤x, ? ? 6. 已知 z=2x-y,式中变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1, ? ?x≤2, 答案 解析 5 在坐标平面内画出题中的不等式表示的平面区域及直线 2x

则 z 的最大值为________.

-y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点(2,-1)时, 相应直线在 x 轴上的截距最大,此时 z=2x-y 取得最大值,最大值 是 z=2×2-(-1)=5.

x+y≥0 ? ? 7. 设 z=2x+y,其中 x, y 满足 ?x-y≤0 ? ?0≤y≤k 最小值为________. 答案 解析 2 -2

,若 z 的最大值为 6,则 k 的值为________, z 的

在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 2x

+y=6,结合图形分析可知,要使 z=2x+y 的最大值是 6,直线 y=k 必过直线 2x+y=6 与 x-y=0 的交点,即必过点(2,2),于是有 k =2; 平移直线 2x+y=6,当平移到经过该平面区域内的点(-2,2)时,相应 直线在 y 轴上的截距达到最小,此时 z=2x+y 取得最小值,最小值是 z=2×(-2)+2=-2. 8. 铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如表: a A B 50% 70% b(万吨) 1 0.5 c(百万元) 3 6

某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨),则购买铁矿石的 最少费用为________(百万元). 答案 解析 15 设购买铁矿石 A 、B 分别为 x 万吨,y 万吨,购买铁矿石的费

用为 z(百万元),则 0.5x+0.7y≥1.9 ? ?x+0.5y≤2 ?x≥0 ? ?y≥0



目标函数 z=3x+6y, 由?
?0.5x+0.7y=1.9, ? ? ?x+0.5y=2,

得?

?x=1, ? ? ?y=2.

记 P (1,2),

画出可行域可知,当目标函数 z=3x+6y 过点 P (1,2)时,z 取到最小值 15. 三、解答题 9. 若直线 x+my+m=0 与以 P (-1,-1)、Q(2,3)为端点的线段不相交,求 m 的取值范围. 解 直线 x+my+m=0 将坐标平面划分成两块区域, 线段 PQ 与直线 x+ my+m=0 不相交,
?-1-m+m>0 ? ?2+3m+m>0 ?

则点 P 、Q 在同一区域内,于是,? 1 范围是 m<- . 2

,或?

?-1-m+m<0, ? ?2+3m+m<0, ?

所以,m 的取值

7x-5y-23≤0 ? ? 10. 已知 x,y 满足条件? x+7y-11≤0 ? ? 4x+y+10≥0 7x-5y-23≤0 ? ? 解 不等式组? x+7y-11≤0 ? ? 4x+y+10≥0

,求 4x-3y 的最大值和最小值.

表示的区域如图所示.

可观察出 4x-3y 在 A 点取到最大值,在 B 点取到最小值. 解方程组
? ?7x-5y-23=0 ? , ? 4x+y+10=0 ?

得?

?x=-1 ? ?y=-6 ?



则 A (-1,-6). 解方程组?
? ?x+7y-11=0 ? ?4x+y+10=0

,得?

? ?x=-3 ? ?y=2

.

则 B (-3,2),因此 4x-3y 的最大值和最小值分别为 14,-18. B组 专项能力提升

(时间:30 分钟) 1.(2012· 课标全国)已知正三角形 ABC 的顶点 A (1,1),B (1,3),顶点 C 在第一象限,若点(x,y) 在△ABC 内部,则 z=-x+y 的取值范围是 A.(1- 3,2) C.( 3-1,2) 答案 解析 A 如图,根据题意得 C(1+ 3,2). B.(0,2) D.(0,1+ 3) ( )

作直线-x+y=0,并向左上或右下平移,过点 B (1,3)和 C(1+ 3, 2)时, z=-x+y 取范围的边界值, 即-(1+ 3) +2<z<-1+3, ∴z=-x+y 的取值范围是(1- 3,2).

x+4y≥4 ? ? 2.(2013· 广东)给定区域 D:? x+y≤4 ? ? x≥0

.

令点集 T={(x0 ,y0 )∈D|x0 ,y0 ∈Z,(x0 ,y0 )是 z=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的点}, 则 T 中的点共确定________条不同的直线. 答案 解析 6 线 性 区 域 为 图 中 阴 影 部 分 , 取 得 最 小 值 时 点 为 (0,1) , 最 大 值 时 点 为

(0,4)(1,3)(2,2)(3,1)(4,0) ,故共可确定 6 条.

x+2y-3≤0, ? ? 3. 已知变量 x,y 满足条件? x+3y-3≥0, ? ? y-1≤0, 得最大值,则 a 的取值范围是__________. 答案 解析

若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点(3,0)处取

?1,+∞? ?2 ?
画出 x、y 满足条件的可行域如图所示,要使目标函数 z=ax+y 仅在点(3,0)处取得

最大值,则直线 y=-ax+z 的斜率应小于直线 x+2y-3=0 1 1 的斜率,即-a<- ,∴a> . 2 2 x≥0, ? ? 4. 当 x,y 满足约束条件?y≤x, (k 为负常数)时,能使 z=x+3y 的最大值为 12,试 ? ? 2x+y+k ≤0, 求 k 的值. 解 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所 示). 1 1 当直线 y=- x+ z 经过区域中的点 A 时,截距最大. 3 3 由?
?y=x ?

k 得 x=y=- . 3 ? 2x+y+k =0, ?

k k ∴点 A 的坐标为(- ,- ). 3 3 k k 4 则 z 的最大值为- +3(- )=- k , 3 3 3

4k 令- =12,得 k =-9. 3 ∴所求实数 k 的值为-9. 5.(2013· 湖北)某客运公司用 A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每 天往返一次. A 、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别 为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车 不多于 A 型车 7 辆. 若每天运送人数不少于 900,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小, 那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆? 解 设 A 型、 B 型车辆的数量分别为 x,y 辆,相应营运成本为 z 元,则 z=1 600x+2 400y.

由题意,得 x,y 满足约束条件 x+y≤21, ? ?y≤x+7, ? 36x+60y≥900, ? ? x,y≥0,x,y∈ N. 作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为 P (5,12),Q(7,14),R(15,6).

由图可知,当直线 z=1 600x+2 400y 经过可行域的点 P 时,直线 z=1 600x+2 400y 在 y z 轴上的截距 最小,即 z 取得最小值. 2 400 故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆.


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