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甘肃省天水一中2016届高三上学期10月月考数学(理)试卷


天水市一中 2013 级 2015—2016 学年度第一次考试试题 数学理(特殊) 命题人:王传刚 王亚平 审核人:张硕光

一.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是满足题目要求的,把正确选项的代号填在答题卡上。 ) 1.若集合 A ? {x A.3 个 2.设 z ? A. 3

? 6 x ? 3 ? 4} 则 B ? ? y ? N ? , y ? A ? 中元素的个数为( ) ? y
C.1 个 ) C.2 D. 2 D.2 个

B.4 个

2 2 ? ?1 ? i ? ,则 z =( 1? i
B.1

b 是两个单位向量,其夹角为 ? ,则“ ? ? ? 3.设a 、

? 6

? ”是“| a ? b |? 1 ”的( ) 3

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列有关命题的说法错误的是( ) (A)命题“若 x 2 ? 1 ? 0 , 则 x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1 则 x 2 ? 1 ? 0 ” (B)“ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 (C)若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题

0 (D)对于命题 p : ?x ? R 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R 均有 x ? x ? 1…
2

???? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? 5.△ABC 中,AB 边的高为 CD,若 CB ? a, CA ? b , a · b =0,| a |=1,| b |=2,则 AD =
( )

A、 a ? b

1? 1? 3 3

B、

2? 2? a? b 3 3

C、

3? 3? a? b 5 5

D、

4? 4? a? b 5 5

6.将函数 y ? 3 cos x ? sin x ( x ? R) 的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位长度后,所得到的图象 关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A. ) D.

?
12

B.

?
6

C.

?
3

5? 6


7.函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为(

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8.在等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 240 ,则 a9 ? A. 30 B. 31 C. 32 D. 33

1 a11 的值为( 3



9.已知 {an } 是首项为 32 的等比数列,S n 是其前 n 项和,且 前 10 项和为( (A) 58 )

S 6 65 ? ,则数列 {| log 2 a n |} S 3 64

(B) 56 (C) 50 (D) 45 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 10.设向量 a, b, c 满足 a ? b ? 1, a ? b ? ? , a ? c, b ? c ? 60? ,则 c 的最大值等于 2 (A) 2 (B)

3

(C)

2

(D)

1
2

11.已知函数 f ( x) ? ?

?
2

x ? 1, x ? 0

? x ? 2 x ? 1, x ? 0

,若关于 x 的方程 f ( x) ? axf ( x) ? 0 恰有 5 个不

同的实数解,则 a 的取值范围是 ( A. (0,1) B. (0,2)
x

) C. (1,2)

D. (0,3) 0,

12.设函数 f ( x) = e (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a 1,若存在唯一的整数 x0 ,使得 f ( x0 ) 则 a 的取值范围是( ) (A)[-

3 3 3 ,1) (B)[, ) 2e 2e 4

(C)[

3 3 , ) 2e 4

(D)[

3 ,1) 2e 2a ? 3 , a ?1

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把正确答案填在答题卡的相应位置。 ) 13.设 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(2)>1,f(2014)= 则实数 a 的取值范围是________. 14.等比数列 {an } 中, a3 ? 6 ,前三项和 S3 ? 15 .设非零向量 a 与 b 的夹角是 是 .

?

3 0

4 xdx ,则公比 q 的值为



| 2a ? t b | 5? ,且 | a |?| a ? b | ,则 (t ? R) 的最小值 6 |b|

16.设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? ?1 , an ?1 ? S n S n ?1 ,则 S n ? ________. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本题满分 10 分)已知函数 f ? x ? ? 3 sin ??x ? ? ? ? ? ? 0, ?

? ?

?
2

?? ?

??

? 的图像关于 2?

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直线 x ?

?
3

对称,且图像上相邻两个最高点的距离为 ? .

(1)求 ? 和 ? 的值; (2)若 f ?

3 ?? 2? ? 3? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ,求 cos? ? ? ? 的值. 3 ? 2 ? ?2? 4 ?6 ?

18 . (本题满分 12 分)在 ?ABC 中,已知 3 tan A tan B ? 3 ? tan A ? tan B ,记角

A,B,C 的对边依次为 a, b, c .
(1)求角 C 的大小; (2)若 c ? 2 ,且 ?ABC 是锐角三角形,求 a 2 ? b 2 的取值范围. 19. (本题满分 12 分)已知等差数列 {an } 满足: a5 ? 11, a2 ? a6 ? 18 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an ? 3n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . 20 ( 本 题 满 分 12 分 ) 设 数 列

?a n ?

的 前 n 项 和 为 Sn , 已 知

a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1) S n ? 2n (n ? N * ) .
(1)求证:数列 ?S n ? 2? 是等比数列; (2)设 bn ?

8n ? 14 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求满足 Tn ? 0 的最小自然数 n 的值. Sn ? 2
x

21. (本题满分 12 分)已知函数 f (x) ? e ? ln(x ? 1) ? 1, x ? [0, ??), (Ⅰ)判断 f ? x ? 的单调性并求出函数 f ? x ? 的最小值; (Ⅱ)若 x ? [3, ??) 时不等式 e
x -3

? ln(x ? 1) ? ln m 恒成立,求 m 的取值范围。
2

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? ( x ? 1) 在 x ? 1 处有极值. (Ⅰ)求实数 a 值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)试问是否存在实数 m ,使得不等式 m ? tm ? e ? 14 ? f ( x ) 对任意 x ? ? e ? 1, e ? 及
2 2

t ? ? ?1,1? 恒成立?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. ?e ? 2.71828??

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数学考试答案 BDACD BCCAA AD 13. ? 1 ? a ? 14, 1 或 ?

2 3

1 2

15. 16. ?

3 3
1 n

17. 【答案】 (1) ? ? 2, ? ? ?

?
6

; (2)

3 ? 15 8

解: (1)因 f ? x ? 的图象上相邻两个最高点的距离为 ? ,所以 f ? x ? 的最小正周期 T ? ? , 从而 ? ?

2? ? 2. T

又因 f ? x ? 的图象关于直线 x ?

?
3

对称,所以

2?

?
3

? ? ? k? ?

?
2

, k ? 0, ?1, ?2,? , 因 ?

?
2

?? ?

?
2

得k ? 0

所以 ? ?

?
2

?

2? ? ?? . 3 6

(2)由(1)得 f ?

3 ?? ? ? ? ?? ? ? 3 sin ? 2 ? ? ? ? ?2? ? 2 6? 4

所以 sin ? ? ? 由

? ?

??

1 ?? . 6? 4

?
6

?? ?

2? ? ? 得0 ?? ? ? , 3 6 2

所以 cos ? ? ? 因此 cos ? ? ?

? ?

??

?? 15 ?1? 2? . ? ? 1 ? sin ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 6? 6? 4 ? ?4?

2

? ?

3? ? ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? sin ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? sin 2 ? 6 ? 6? 6? 6 6? 6 ? ? ??

=

1 3 15 1 3 ? 15 ? ? ? ? 4 2 4 2 8

18. 【答案】 (1)

?
3

; (2) ?

? 20 ? , 8 ? 3 ? ?
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【解析】 (1)依题意: tan A ? tan B ? ? 3 ,即 tan( A ? B) ? ? 3 ,又 0 ? A ? B ? ? , 1 ? tan A tan B ∴
A? B ? 2? ,∴ 3

C ?? ? A? B ?
?

? , 3
?
6 2

A ? ,即 ? ? (2)由三角形是锐角三角形可得 ? ? ? A? 2 ? ?B ? ? ? ? 2

由正弦定理得 a ? b ? c 得 sin A sin B sin C

a?

c 4 ? sin A ? sin A , b ? 4 sin B ? 4 sin( 2? ? A) sin C 3 3 3 3

a2 ? b2 ?
?

16 2 [sin 2 A ? sin 2 ( ? ? A)] 3 3

16 8 4? ? [cos 2 A ? cos( ? 2 A)] 3 3 3

?
?

16 8 1 3 16 8 1 3 ? ( cos 2 A ? sin 2 A) ? [cos 2 A ? (? ) cos 2 A ? (? ) sin 2 A] = 3 3 2 2 3 3 2 2
16 8 ? ? sin(2 A ? ) ∵ 3 3 6

?
6

? A?

? ,∴
2

? ? 5? , ? 2A ? ? 6 6 6



1 ? ? sin(2 A ? )≤1 2 6

即 20 ? a 2 ? b 2 ≤8 . 3
2

19. 【答案】 (Ⅰ) an ? 2n ? 1 ; (Ⅱ) S n ? n ? 2n ?

3 3 n ?1 . ? 2 2
?a1 ? 4d ? 11 , ?2a1 ? 6d ? 18

试题解析: (Ⅰ)设 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,则由 a 5 ? 11, a 2 ? a 6 ? 18 得 ? 解得 a1 ? 3, d ? 2, 所以 an ? 2n ? 1 ;
n (Ⅱ)由 a n ? 2n ? 1 得 bn ? 2n ? 1 ? 3 .]

1 2 3 n Sn ? ? ?3 ? 5 ? 7 ? ? ? ? 2n ? 1? ? ? ? ?3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ?

? n 2 ? 2n ?

3 ?1 ? 3n ? 1? 3

3 3n ?1 ? n 2 ? 2n ? ? 2 2

20. 【答案】 (1)

a2 ? 4, a3 ? 8 ; (2)见解析; (3)5 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1) S n ? 2n (n ? N * )

试题解析: (1)∵ ∴

a1 ? 2,

a1 ? 2a2 ? (a1 ? a2 ) ? 4
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a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 2(a1 ? a2 ? a3 ) ? 6


a2 ? 4, a3 ? 8 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1) S n ? 2n (n ? N * ) a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an ? (n ? 2) S n ?1 ? 2(n ? 1)
① ②

(2)证明:∵ ∴当 n ? 2 时, 由① ? ②得

nan ? [(n ? 1) S n ? 2n] ? [(n ? 2) S n ?1 ? 2(n ? 1)] ? n( S n ? S n ?1 ) ? S n ? 2S n ?1 ? 2 ? nan ? S n ? 2S n ?1 ? 2
∴ ∴ ∵ ∴

? S n ? 2 S n ?1 ? 2 ? 0 ,即 S n ? 2 S n ?1 ? 2 S n ? 2 ? 2( S n ?1 ? 2) S1 ? 2 ? 4 ? 0 S n ?1 ? 2 ? 0

Sn ? 2 ?2 S ? 2 n ? 1 ∴
∴数列

?Sn ? 2? 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列
S n ? 2 ? 2n ?1

(3) 由(2)得

bn ?


8n ? 14 4n ? 7 ? Sn ? 2 2n

3 1 5 4n ? 7 Tn ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? 2 2 2 2n ∴ 1 3 1 5 4n ? 11 4n ? 7 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2n 2
以上两式相减得

1 3 1 1 1 4n ? 7 Tn ? ? ? 4( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? 2 2 2 2 2 2n


Tn ?

2 n ? 4n ? 1 2n
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当 n ? 1, 2, 3, 4 时, 所以满足

Tn ? 0 ,当 n ? 5 时, Tn ? 0

Tn ? 0 的最小自然数 n 的值为 5。
4 e

21. (1) 递增 ,最小值为 0 【0, +?) (2) m ?

22. 【答案】 (Ⅰ)a ? ?8 (Ⅱ) f ( x) 的单调减区间为 (1, ??) , f ( x) 的单调减区间为 (?1,1)
2 2 ( Ⅲ ) 存 在 ?2 ? m ? 2 , 使 得 不 等 式 m ? tm ? e ? 14 ? f ( x ) 对 任 意 x ? ? e ? 1, e ? 及

t ? ? ?1,1? 恒成立
【解析】 (Ⅰ)因为 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? ( x ? 1) , 试题分析:解:
2

a ? 2x ? 2 . x ?1 a ' 由 f (1) ? 0 ,可得 ? 2 ? 2 ? 0 , a ? ?8 . 2
所以 f ' ( x) ? 经检验 a ? ?8 时,函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值, 所以 a ? ?8 . (Ⅱ) f ( x) ? ?8ln( x ? 1) ? ( x ? 1) ,
2

f ' ( x) ?

?8 2( x ? 1)( x ? 3) . ? 2x ? 2 ? x ?1 x ?1

而函数 f ( x) 的定义域为 (?1, ??) , 当 x 变化时, f ( x) , f ( x) 的变化情况如下表:
'

x
f ?( x)

?? 1,1?
- ↘

1
0 极小值

?1,?? ?
+ ↗

f ( x)

由表可知, f ( x) 的单调减区间为 (?1,1) , f ( x) 的单调减区间为 (1, ??) . (3)∵ 1 ? e ? 1 ,? f ?( x) ? 0, x ? ? e ? 1, e ? 时, f ( x) min ? f (e ? 1) ? ?8 ? e 2 不等式 m ? tm ? e ? 14 ? f ( x ) 对任意 x ? ? e ? 1, e ? 及 t ? ? ?1,1? 恒成立,即
2 2

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m 2 ? tm ? e 2 ? 14 ? f ( x) min ? m 2 ? tm ? e 2 ? 14 ? ?8 ? e 2 ,
即 m 2 ? tm ? e 2 ? 6 ? 0 对 t ? ? ?1,1? 恒成立,

?m 2 ? m ? 6 ? 0 令 g (t ) ? m ? mt ? 6 , ? g (?1) ? 0, g (1) ? 0 ? ? 2 , ?m ? m ? 6 ? 0
2

解得 ?2 ? m ? 2 为所求.

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