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2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)第3章§3.7


§3.7 解三角形

双基研习?面对高考 § 3.7 解 三 角 形

考点探究?挑战高考

考向瞭望?把脉高考

双基研习?面对高考

基础梳理

1.正弦定理和余弦定理

思考感悟

1.在△ABC中,sinA>sinB是A>B的什么条件?
2.结合余弦定理,如何判断三角形的形状(锐角

三角形、直角三角形、钝角三角形)?
提示:1.充要条件 a b ∵sinA>sinB? > ?a>b?A>B. 2R 2R

2.不妨设三边长分别为a,b,c,且a≥b≥c,只
需验证b2+c2-a2的结果,即大于零为锐角三角 形,等于零为直角三角形,小于零为钝角三角形 .

2.△ ABC 的面积公式 1 (1)S= a· h (h 表示 a 边上的高) 2 a a 1 1 1 acsinB bcsinA abc 2 2 (2)S= absinC=_________ =________ = (R 为外 2 4R 接圆半径) 1 (3)S= p? p- a??p-b??p- c?(其中 p= (a+b+c)) 2

课前热身

1.在△ABC中,若cos(2B+C)+2sinAsinB=0,
则△ABC中一定是( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 )

D.等腰三角形
答案:C

2. (2011 年宿州质检 )在△ ABC 中, A= 60° , b= 1, △ ABC 的面积为 3,则边 a 的值为 ( ) A. 2 7 B. 21 C. 13 D. 3

答案:C

3.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它 的顶角的余弦值为 ( ) 5 3 A. B. 18 4 3 C. 2 7 D. 8

答案:D

4.(教材习题改编)在△ABC中,下列四个条件:
①a=7,b=14,A=30°; ②a=30,b=25,A=150°; ③a=20,b=50,A=30°; ④a=30,b=40,A=30°.

其中解三角形有一解的是________.
答案:①②

5.在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 3a=2csinA,角 C=________. π 答案: 3

考点探究?挑战高考

考点突破 利用正余弦定理解三角形 1.已知三角形中的两角一边,可使用正弦定理 解三角形; 2.已知三角形的两边及其一边对角,可利用正 弦定理解三角形(也可考虑使用余弦定理); 3.已知三角形的三边或已知三角形的两边及其 夹角,使用余弦定理解三角形.

例1

(2010年高考陕西卷)如图,在△ABC中,

已知B=45°,D是BC边上的一点,AD=10, AC=14,DC=6,求AB的长. 【思路点拨】 已知三角形ACD三边的长,可用 余弦定理求∠ADC,在△ABD中再用正弦定理求

解.

【解】 在△ ADC 中,AD= 10,AC= 14,DC= 6, AD2+ DC2- AC2 由 余 弦 定 理 得 cos ∠ ADC = = 2AD· DC 100+ 36- 196 1 =- , ∴∠ ADC=120° , ∠ ADB= 60° . 2 2×10× 6 在△ ABD 中, AD= 10, B= 45° ,∠ ADB= 60° , AB AD 由正弦定理得 = , sin ∠ ADB sin B 3 10× AD · sin ∠ ADB 10sin 60° 2 ∴ AB= = = = 5 6. sin 45° sinB 2 2

【名师点评】

应熟练掌握正、余弦定理及其变

形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余
弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.

三角形形状的判定
判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进

行思考,主要看其是否是正三角形、等腰三角形
、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形,要特 别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角 三角形”的区别.

例2

(2010年高考辽宁卷)在△ABC中,a,b,c

分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+ c)sinB+(2c+b)sin C. (1)求A的大小; (2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.

【思路点拨】

利用正弦定理或余弦定理进行边

角互化,转化为边边关系或角角关系.

【解】 (1)由已知,根据正弦定理得 2a2= (2b+ c)b + (2c+b)c,即 a2= b2+ c2+ bc. 由余弦定理得 a2=b2+ c2- 2bccosA, 1 故 cosA=- ,又 A∈ (0, π),故 A=120° . 2 2 2 2 (2)由 (1)得 sin A= sin B+ sin C+ sinBsinC. 1 又 sinB+ sinC= 1,得 sinB= sinC= . 2 因为 0° <B<90° ,0° <C<90° ,故 B= C. 所以△ ABC 是等腰的钝角三角形

【名师点评】

正弦定理和余弦定理具有将三角

形的“边”与“角”互化的功效,判断三角形形状时 ,一般充分利用它将所给的边角关系先化为纯粹 的边之间关系或角之间关系,再判断.

与面积有关的问题
1 1 1 1.对于面积公式 S= absinC= acsinB= bcsinA, 2 2 2 一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. 2.与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦 定理,进行边角转化.

(2009 年高考安徽卷 )在△ ABC 中,sin(C- A) 1 = 1, sinB= . 3 (1)求 sinA 的值; (2)设 AC= 6,求△ ABC 的面积.

例3

【思路点拨】 (1)根据 sin(C-A)=1 确定角 C、A 之间的关系,再根据三角形内角和定理,就可以确 1 定角 A、B 之间的关系,利用已知的 sinB= 建立关 3 于 A、 B 的三角函数方程, 通过方程求出 sinA 的值; (2)根据第 (1)问的结果和三角形面积公式解决.

(1)由 sin(C- A)= 1,- π<C- A<π, π 知 C= A+ . 2 π 又 A+ B+ C= π,所以 2A+ B= , 2 π π 即 2A= - B,0<A< . 2 4 【解】 1 3 故 cos2A= sinB,即 1-2sin A= , sinA= . 3 3
2

6 (2)由 (1)得 cosA= . 3 BC AC 又由正弦定理,得 = , sinA sinB sinA 所以 BC= AC = 3 2, sinB 1 所以 S△ ABC= AC· BC· sinC 2 1 π = AC· BC· sin(A+ ) 2 2 1 = AC· BC· cosA= 3 2. 2

【名师点评】 三角形中的三角恒等变换的关键是 三角形内角和定理,离开了三角形内角和定理就无 法解决三角形中的三角恒等变换,在解题时要充分 考虑到这一点,如在必要时用 sin(A+B)代换 sinC, A+ B C 用 cos 代替 sin 等. 2 2 变式训练 (2011 年驻马店调研)在△ABC 中,若 b
37 = 4,c=3,BC 边上的中线 AD= ,求 A、a、S 2 △ ABC.

解:如图,由于 AD 是 BC 边上的中线,若设 BD= x,则 DC= x. 在△ ABD 中,由余弦定理得: 37 2 x +? ? -32 2 cos∠ ADB= . 37 2· x· 2
2

在△ ACD 中,由余弦定理得: 37 2 x +? ? -42 2 cos∠ ADC= . 37 2· x· 2
2

∵∠ ADB+∠ ADC= π, ∴ cos∠ ADB=- cos∠ ADC. 37 2 37 2 2 2 x +? ? -3 x +? ? -4 2 2 2 于是 =- ,解得: 37 37 2· x· 2· x· 2 2
2

13 x= ,故 a=2x= 13. 2 又由余弦定理得 cosA 42+32-? 13?2 1 = = , 2 2×4×3 ∴ A= 60° . 1 1 3 则 S△ ABC= bcsinA= ×4×3× =3 3. 2 2 2

方法感悟
方法技巧 1.正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的 重点,利用三角形内角和、边、角之间的关系,

三角函数的变形公式去判断三角形的形状,求解
三角形,以及利用它们解决一些实际问题.(如

例1)

A 2.应熟练掌握和运用内角和定理:A+ B+ C= π, 2 B C π + + = 中互补和互余的情况,结合诱导公式可 2 2 2 以减少角的种数. (如例 2) 3.正、余弦定理的公式应注意灵活运用,如由正、 余 弦 定 理 结 合 得 sin2A = sin2B + sin2C - 2sinB· sinC· cosA,可以进行化简或证明.(如例 2)

4.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途 径: (1)化边为角; (2)化角为边,并常用正弦 (余弦 )定理 实施边、角转换.(如例 2) 5.三角形面积有多种计算方法,在实际解题中要注 1 意灵活选用, 要注意 S= absinC 这一面积公式与正、 2 余弦定理的结合.(如例 3)

失误防范 1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中 一边的对角求另一边的对角,进而求出其他的边 和角时,有时可能出现一解、两解,所以要进行

分类讨论.
2.利用正、余弦定理解三角形时,要注意三角

形内角和定理对角的范围的限制.

考向瞭望?把脉高考

考情分析
正弦定理、余弦定理是高考的热点之一,属每年必 考内容,主要考查利用正、余弦定理解决一些简单 的度量问题,常与同角三角函数的关系、诱导公式、 和差角公式以及向量等交汇命题,多以解答题形式 出现,属解答题中的低档题. 预测2012年高考仍将以正弦定理、余弦定理,尤其 是两个定理的综合应用为主要考点,重点考查计算 能力以及用数学知识分析和解决问题的能力.

规范解答 例 ( 本题满分 14 分 )(2010 年高考浙江卷 ) 在 △ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 1 已知 cos2C=- . 4 (1)求 sinC 的值; (2)当 a=2,2sin A= sin C 时,求 b 及 c 的长. 1 2 【解】 (1)因为 cos2C= 1-2sin C=- , 4 10 所以 sinC= ± , 3 分 4 10 又 0<C<π,所以 sinC= .5 分 4

a c (2)当 a=2,2sinA= sinC 时, 由正弦定理 = , sinA sin C 得 c=4.8 分 1 2 由 cos2C= 2cos C- 1=- ,且 0<C<π 得 4 6 cosC= ± .10 分 4 由余弦定理 c2=a2+ b2-2abcosC,得 b2± 6b- 12=0(b>0),12 分 解得 b= 6或 2 6,

?b= 6, ?b=2 6, 所以? 或? 14 分 ?c= 4, ?c= 4.

【名师点评】 (1)本题易失误的是:①忽视角 C 是 10 △ ABC 的内角而出现 sinC= ± 的情况; ②由第 (1) 4 6 问误判角 C 为锐角导致第 (2)问中 cosC= 而求得 4 b、 c 仅有一组解.

(2)解三角形依据的就是正弦定理和余弦定理.正
弦定理解决的是已知三角形两边和一边的对角、 三角形两内角和其中一边两类问题,余弦定理解 决的是已知三角形两边及其夹角、三角形三边两 类问题.在解题中只要分析清楚了三角形中的已

知元素,就可以选用这两个定理中的一个求解出
三角形中的未知元素.

名师预测
在△ ABC 中,a、b、 c 分别为角 A、 B、C 的对边, 且满足 b2+c2-a2= bc. (1)求角 A 的值; (2)若 a= 3,设角 B 的大小为 x,△ ABC 的周长为 y,求 y= f(x)的最大值.
解: (1)在△ABC 中, 由 b2+c2-a2=bc 及余弦定理, b2+c2-a2 1 π 得 cosA= = ,而 0<A<π,则 A= . 2 3 2bc

π (2)由 a= 3, A= 及正弦定理, 3 b c a 3 得 = = = = 2, sinB sinC sinA 3 2 2π 而 B= x, C= - x, 3 2π 2π 则 b= 2sinx, c=2sin( - x)(0<x< ), 3 3 于是 y= a+ b+ c

2π = 3+ 2sinx+2sin( -x) 3 π = 2 3sin(x+ )+ 3, 6 2π π π 5π 由 0<x< 得 <x+ < , 3 6 6 6 π π 当 x+ = , 6 2 π 即 x= 时, ymax= 3 3. 3

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