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B10--选修2-1 2.1曲线与方程(2课时)


第一课时 2.1.1 曲线与方程 教学要求:理解并能运用曲线的方程、方程的曲线的概念,建立“数”与“形”的桥梁,培养 学生数形结合的意识. 教学重点:求曲线的方程 教学难点:掌握用直接法、代入法、交轨法等求曲线方程的方法 教学过程: 一、复习准备: 2 1. 动一动:画出函数 y=2x (-1≤x≤2)的图象 C 2. 提问:画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线 l,并写出其方程 二、讲授新课: 1. 教学曲线与方程: ① 提问:到两坐标轴距离相等的点的集合是什么?写出它的方程.能否写成 y=|x|,为什么? ②曲线与方程的关系:一般地,在坐标平面内的一条曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或 轨迹)与一个二元方程 F(x,y)=0 之间,如果具有以下两个关系: 1.曲线 C 上的点的坐标,都是方程 F(x,y)=0 的解; 2.以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点,都是曲线 C 上的点,那么,方程 F(x,y)=0 叫做这条曲线 C 的方程;曲线 C 叫做这个方程 F(x,y)=0 的曲线. 注意:1? 如果??,那么?? 2? “点”与“解”的两个关系,缺一不可; 3? 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念,相对不同角度的两种说法. 4? 曲线与方程的这种对应关系,是通过坐标平面建立的. (请学生再认真阅读一遍课本中的定义,真正弄懂曲线方程的概念. ) 2 ③讲解例 1:点 P(1,a)在曲线 x +2xy 5y=0 上,则 a=_______________. 练习:1。A(1,0),B(0,1),线段 AB 的方程是 x+y 1=0 吗? 2.由到 x 轴距离等于 5 的点所组成的曲线的方程是 y?5?0 吗? 3.离原点距离为 2 的点的轨迹是什么?它的方程是什么?为什么? 2. 小结 1、什么是曲线的方程、方程的曲线;2、两个条件缺一不可(请学生说出哪两个条件) 三、巩固练习: 1、以 O 为圆心,2 为半径,上半圆弧、下半圆弧、右半圆弧、左半圆弧的方程分别是什么?在 第二象限的圆弧的方程是什么? 2、下列方程的曲线分别是什么?

x?2 x2 log x (1) y ? (2) y ? 2 (3) y ? a a x ? 2x x
3、画出方程 ( x ? y)( x ? 1 ? y2 ) ? 0 的曲线. 4、设集合 A ? {( x, y) | x ? 1 ? y 2 ? 0} , B ? {( x, y) | y ? 1 ? x2 ? 0} ,

(4) y=sin(arcsinx)

则 A?B 表示的曲线是____________________,A?B 表示的曲线是____________________.

第二课时 2.1.2 求曲线的方程 教学目标:(1)掌握求曲线的方程的步骤;(2)会根据具体条件正确写出曲线的方程. 教学重点: 求方程的步骤, 正确写出曲线的方程. 教学难点:正确写出曲线的方程. 教学过程: 一、复习准备: 1、已知曲线 C 的方程为 y=2x2 ; ①现曲线 C 上有点 A(1,2) ,A 的坐标是不是 y=2x2 的解?点(0.5,t)在曲线上,则 t=___. ②已知方程 y=2x2 的一组解为

?x ? 2 ,以这组解为坐标的点 B(2,8)——(在/不在)曲 ? ?y ? 8

线 C 上? 2、曲线包括直线,曲线与其所对应的方程 f ( x, y ) ? 0 之间有哪些关系? 二、讲授新课: 1.自 17 世纪笛卡尔发明了坐标系后,人们开始用代数的方法来研究几何.我们这节课就来学习 求曲线的方程. 例 1:有一圆,它的圆心为 O ,半径长为 r ? 4 ,试写出此圆的方程。 解:以圆心 O 为原点,建立直角坐标系如图所示,设 M ( x, y) 为圆上的任意一点,也就是点 M 属于集合 P ? {M | MO ? r} 由两点间的距离公式 d ?

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ,点 M 适合的条

2 2 2 2 件可表示为 ( x ? 0) ? ( y ? 0) ? 4 上式两边平方,并整理得 x ? y ? 16

(与学生一起回顾解题过程,引导学生小结求解步骤: ) 求解步骤:①建立适当的坐标系,用 M ( x, y) 表示曲线上的任意一点的坐标; ②写出适合条件 P 的点 M 的集合 P ? {M | p( M )} ; ③用坐标表示条件 P , 列出方程 f ( x, y ) ? 0 ; ④将方程 f ( x, y ) ? 0 化为最简形式;⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。 2、学生练习: 1.圆心 C 的坐标为 (6,0) ,半径为 r ? 4 ,求此圆的方程。 变式(思考:此圆有一半埋在地下,求其在地表面的部分的方程。 ) 2、设 A 、 B 两点的坐标分别是 (?1, ?1),(3,7) ,求线段 AB 的垂直平分线的方程。 变式(思考:若 AB ? 4 ,如何建立坐标系求 AB 的垂直平分线的方程) 学生小结感受:哪一步最关键?哪一步要特别注意?哪一步最难? 3、小结:曲线与方程的关系;求解方程的步骤; 三、巩固练习: ①有一曲线,曲线上的每一点到 X 轴的距离等于这点到 A(0,3)的距离的 2 倍,试求曲线的方程 ②现有一曲线在 X 轴的下方,曲线上的每一点到 X 轴的距离减去这点到点 A (0,2)的距离的 差是 2,求曲线的方程。 ③ 曲线上的任意一点到 O(0,0)、A(a,0)两点距离的平方差为常数 a,求曲线的方程。

④曲线上的任意一点到 A(-a,0),B(a,0)两点距离的平方和为常数 a(0≤a≤0.5),求曲线的方 程。


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