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53东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-轨迹与轨迹方程A


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 051A

轨迹与轨迹方程(教案)A
一、知识梳理: 1. 求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程, 其实质就是利用题设中的已知条件,用 “坐标化” 将其转化为寻求变量间的关系问 题,解决这类问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础知识要熟练掌握,还要利

用各种数学思想方法,同时具备一定的推理能力和运算能力。 2. 求曲线的轨迹方程常采用的方法有:直接法、定义法、参数法、几何法、交轨法 (1)、 定义法:若动点的轨迹条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆,双曲线,圆等)可用 定义直接求解. (2)、直接法:直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式 后化简,得出动点的轨迹方程(也就是常说的五步法) (3)、相关点法(轨迹转移法) 根据相关点所满足的方程,通过转换而求出动点轨迹 : 的方程. (4)、参数法:若动点的坐标(x,y)中的 x,y,分别随另一个变量的变化而变化,我们 可以以这个变量为参数建立轨迹的参数方程. (5)、交轨法:求两动曲线交点的轨迹时,可由方程直接消去参数,例如:求两动直线交 点的轨迹时常用此方法,也可以引入参数来建立这些动曲线之间的联系,然后消去参 数得到轨迹方程. 3.易错点提示: (1):要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”这两个不同的概念; (2) :检验是否有不符 合条件或漏掉的点。 二、题型探究 探究 1:定义法 例 1: (1) 、由动点 p 向圆x 2 + y 2 =1 引两条切线 PA,PB,切点分别为 A,B,∠APB = 600 , 求动点 P 的轨迹方程。

1

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(2)已知?ABC三边 AB,BC,AC 的长度成等差数列,点 B,C 的坐标分别是(-1,0),C(1,0), 求点 A 的轨迹方程.

探究 2:直接法: 例 2:已知?ABC中,BC=2,AC = m(m > 0),求动点 A 的轨迹方程,并说明轨迹是 图形。
AB

探究 3:相关点法: 例 3:已知 P 是圆C:x 2 + y 2 =1 上任意一点,由 P 向 x 轴作垂线段 PM,M 为垂足,求 线段 PM 的中点 N 的轨迹。

探究 4:参数法 例 4:设椭圆的方程为4x 2 + y 2 = 4,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A,B,O 是 坐标原点, P 满足OP = (OA + OB), l 绕点 M 旋转时, 点 当 求动点 P 的轨迹方程。
2 1

探究 5:交轨法: 例 5:双曲线x 2 ? 2y 2 = 2的左、右顶点分别为 A1,A2 ,点 P(x1,y1) ,Q(x1,-y1) 是双曲线上不同的两个动点,求直线 A1P 与 A2 Q 交点的轨迹 E 的方程。

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三、方法提升: 求轨迹方程时,一般先观察能否根据条件直接判断轨迹是什么图形,设出方程, 利用待定系数法求方程,即定义法;否则通过条件列出动点坐标所满足的方程,若能 直接列出就是直接法;否则寻求动点的坐标与其它动点的坐标的关系即相关点法,或 寻求动点坐标与其它参数的关系,消去参数得到轨迹方程即参数法,交轨法关键是处 理涉及到的轨迹方程,消参得到变通方程。 四、反思感悟

五、课时作业 一、选择题(每小题 6 分,共 42 分) 1.两定点 A(-2,-1) ,B(2,-1) ,动点 P 在抛物线 y=x2 上移动,则△PAB 重心 G 的 轨迹方程是( ) A.y=x2-

1 3

B.y=3x2-

2 3

C.y=2x2-

2 3

D.y=

1 2 1 x2 4

答案:B 解析:设 G(x,y) ,P(x0,y0)则 x0=3x,y0=3y+2,代入 y=x2 得重心 G 的轨迹方程: 3x+2=(3x)2. 2.曲线 C 上任意一点到定点 A(1,0)与到定直线 x=4 的距离之差等于 5,则此曲线 C 是( ) A.抛物线 B.由两段抛物线弧连接而成 C.双曲线 D.由一段抛物线和一段双曲线弧连接而成 答案:B 解析:设 P(x,y)为曲线 C 上任意一点,由题意,得 ( x ? 1) ? y -|x-4|=5,
2 2

故 y2= ?

?4 x( x ? 4), 故曲线 C 是由两段抛物线弧连接而成. ?? 16( x ? 5)(x ? 4).

3.下列命题中,一定正确的是( ) A.到两定点距离之比为定常数的点的轨迹是椭圆 B.到定点 F(-c,0)和到定直线 x=圆的左半部分

c a2 的距离之比为 (a>c>0)的点的轨迹是椭 a c

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c a2 C.到定直线 x=和到定点 F(-c,0)的距离之比为 (a>c>0)的点的轨迹是椭 a c
圆 D.平面上到两定点的距离之比等于常数(不等于 1)的点的轨迹是圆 答案:D 解析:对照椭圆定义可知 A、B、C 都不对,故知选 D. 4.一动圆与圆 x2+y2=1 外切,而与圆 x2+y2-6x+8=0 内切,那么动圆的圆心的轨迹是 ( ) A.双曲线的一支 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 答案:A 解析:设动圆圆心为 P(x,y) ,半径为 r,又圆(x-3)2+y2=1 的圆心为 F(3,0).故 ?|PO|=r+1,|PF|=r-1,故|PO|-|PF|=2.由双曲线定义知 P 点轨迹是双曲线的右支. 5.已知点 P 是直线 2x-y+3=0 上的一个动点,定点 M(-1,2) 是线段 PM 延长线上 ,Q 的一点,且|PM|=|MQ|,则 Q 点的轨迹方程是( ) A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 答案:D 解析:设 Q(x,y) ,则 P 点(-x-2,-y+4) ,又点 P 在直线 2x-y+3=0 上,故 2(-x-2) -(-y+4)+3=0,即:2x-y+5=0.

x2 y2 ? 6.设 A1、A2 是椭圆 =1 的长轴两个端点,P1、P2 是垂直于 A1A2 的弦的端点, 9 4
则直线 A1P1 与 A2P2 交点 P 的轨迹方程为( A. ) B.

x2 y2 ? =1 9 4 x2 y2 ? =1 9 4

y2 x2 ? =1 9 4 y2 x2 ? =1 9 4

C.

D.

答案:C 解析:设 P1、P2 两点的横坐标为 x=3cosθ ,又 A1(-3,0),A2(3,0),P1(3cosθ ,2sinθ ),? P2(3cosθ ,-2sinθ ),故直线 A1P1 和 A2P2 方程分别为 y= (x-3).设交点 P(x,y) ,则 y2=

2 sin ? ? 2 sin ? (x+3),y= 3 cos ? ? 3 3 cos ? ? 3

x2 y2 ? 4 sin 2 ? ? (x2-9),即 =1. 9 4 9(cos2 ? ? 1)

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7.点 M(x,y)与定点 F(1,0)的距离和它到直线 x=8 的距离的比为 的轨迹方程为( A. ) B.

1 ,则动点 M 2

x2 y2 =1 ? 4 3 x2 y2 =1 ? 16 12

x2 y2 =1 ? 8 7

C.

D.3x 2+4y2+8x-60=0

答案:D 解析:设 M 为(x,y) ,则 ( x ? 1) ? y ∶|x-8|=1∶2.整理有:3x2+4y2+8x-60=0.
2 2

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.(2012 北京西城区一模,12)点 P(0,2)到圆 C: (x+1)2+y2=1 的圆心的距离为 _____________,如果 A 是圆 C 上一个动点, AB =3 AP ,那么点 B 的轨迹方程为 _______________________. 答案: 5 (x-2)2+(y-6)2=4
2 2

解析:由圆的方程圆心(c-1,0),则 P 到圆心的距离 d= (0 ? 1) ? (2 ? 0) ? 设 A、B 点的坐标分别为(x0,y0)(x,y). 、

5.

AB =(x-x0,y-y0), AP =(-x0,2-y0). AB =3 AP ,即(x-x0,y-y0)=(-3x0,6-3y0).
x ? ? x0 ? ? 2 , ? x ? x0 ? ?3x0 , x 6? y 2 ? ?? ∴? ∵A 在圆上,∴(- +1)2+( ) =1. 2 2 ? y ? y0 ? 6 ? 3 y0 , ? y ? 6 ? y . ? 0 2 ?
即(x-2)2+(y-6)2=4.即为 B 点的轨迹方程. 9.已知定直线 l 上有三点 A、 C, B、 AB=2, BC=5, AC=7, 动圆 O 恒与 l 相切于点 B, 则 过 点 A 、 C 且 都 与 ⊙ O 相 切 的 直 线 l1 、 l2 的 交 点 P 的 轨 迹 是 _________________________. 答案:去掉两个顶点的双曲线 解析:由题设条件可得||PA|-|PC||=3,根据双曲线定义知点 P 的轨迹为去掉两个顶点的

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双曲线. 10.F1、F2 为椭圆的两个焦点,Q 是椭圆上任意一点,从某一焦点引∠F1QF2 的外角平 分线的垂线,垂足为 P,则点 P 的轨迹是____________________. 答案:圆 解析:如右图,延长 F1P 交 F2Q 于 F1′,则

|OP|=

1 1 1 1 |F1′F2|= |F1′Q|+|F2Q|)= (|F1Q|+|F2Q|)= ×2a=a.∴P 点轨迹为圆. 2 2 2 2

三、简答题(11—13 题每小题 10 分,14 题 13 分,共 43 分) 11.设抛物线 y2=2px 的准线 l,焦点为 F,顶点为 O,P 为抛物线上任意一点,PQ⊥l, Q 为垂足,求 QF 与 OP 的交点 M 的轨迹方程. 解析:设抛物线上点 P(2pt2,2pt) (t≠0) ,直线 OP 的方程为:y= x.

1 t

p p ,2pt) ,F( ,0) , 2 2 p ∴直线 QF 的方程 y=-2t(x- ).它们的交点 M(x,y) , 2 1 ? y ? x, (1) ? t 由方程组 ? p ? y ? ?2t ( x ? ). (2) 2 ? p p 由①×②得:y2=-2x(x- ),∴交点 M 的轨迹方程 y2=-2x(x- ). 2 2
又 Q(12.(2012 湖北重点中学模拟,21)平面直角坐标系中,O 为原点,给定两点 A(1,0) 、 B(0,-2) ,点 C 满足 OC=α OA +β OB ,其中α 、β ∈R,且α -2β =1, (1)求点 C 的轨迹方程; (2)设点 C 的轨迹与双曲线

x2 y2 ? =1(a>0,b>0)交于两点 M、N,且以 MN 为 a2 b2

直径的圆过原点,求证:

1 1 ? 2 为定值. 2 a b

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(1)解析:设 C(x,y) ,因为 OC =α OA +β OB , 则(x,y)=α (1,0)+β (0,-2) ∴?

?x ? ? , ∵α -2β =1,∴x+y=1. ? y ? ?2? .

即点 C 的轨迹方程为 x+y=1.

? x ? y ? 1, ? (2)证明:由 ? x 2 得: 2-a2)x2+2a2x2-a2-a2b2=0. (b y2 ? 2 ? 2 ? 1, b ?a
由题意,得 b2-a2≠0,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2), 则:x1+x2=

2a 2 , b2 ? a2

x1x2=-

a 2 ? a 2b 2 . b2 ? a2

因为以 MN 为直径的圆过原点, OM ? ON =0, 即 x1x2+y1y2=0,x1x2+(1-x2)(1-x2) =1-(x1+x2)+2x1x2 =1+

2a 2 2(a 2 ? a 2 b 2 ) ? =0, b2 ? a2 b2 ? a2

即 b2-a2-2a2b2=0,∴

1 1 ? 2 =2 为定值. 2 a b 1 ( AB + AD ), 2

13.(2012 湖北十一校大联考,22)已知 A、B、D 三点不在一条直线上,且 A(-2,0) , B(2,0) AD |=2, AE = ,|

(1)求点 E 的轨迹方程; (2)过点 A 作直线 l 交以 A、B 为焦点的椭圆于 M、N 两点.线段 MN 的中点到 y 轴

4 且直线 MN 与点 E 的轨迹相切,求椭圆的方程. 5 1 解析: (1)设 E(x,y) AE = ( AB + AD )∴ AD =2 AE - AB . , 2
距离为 ∴ AD =2(x+2,y)-(4,0)=(2x,2y).又| AD |=2,∴x2+y2=1(y≠0).

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x2 y2 (2)设椭圆方程为: 2 ? 2 =1,直线 l:y=k(x+2), a b
由于直线 l 与圆 E 相切,∴

| 2k | 1? k 2

=1.∴k=±

3 . 3

直线 l:y=±

3 3 (x+2).将 y=± (x+2)代入 b2x2+a2y2-a2b2=0, 3 3
? 4a 2 . 3b 2 ? a 2

则有(3b2+a2)x2+4a2x+4a2-3a2b2=0.∴xM+xN=

∴x 中=

xM ? x N 4 ? 2a 2 2a 2 ,|x 中|= 2 = , ? 2 2 2 5 2 3b ? a 3b ? a x2 y2 =1. ? 8 4

∴5a2=6b2+2a2.∴a2=2b2.又 c2=4,∴b2=4,a2=8,椭圆方程为

14.(2010 广东珠海一模,18)已知两定点 A(-t,0)和 B(t,0) ,t>0.S 为一动点,SA 与 SB 两直线的斜率乘积为

1 . t2

(1)求动点 S 的轨迹 C 的方程,并指出它属于哪一种常见曲线类型; (2)当 t 取何值时,曲线 C 上存在两点 P、Q 关于直线 x-y-1=0 对称? 解析: (1)设 S(x,y) ,SA 的斜率 k1=

y (x≠-t), x ? (?t )

SB 斜率 k2=

y y y 1 (x≠t),由题意,得 ? ? 2 (x≠±t), x?t x ? (?t ) x ? t t
x2 2 -y =1(x≠±t).点 S 的轨迹 C 为双曲线(除去两顶点). t2

经整理,得

(2)假设 C 上存在这样的两点 P(x1,y1)和 Q(x2,y2), 则 PQ 直线斜率为-1,且 P、Q 的中点在直线 x-y-1=0 上.设 PQ 直线方程为:y=-x+b,

? y ? ? x ? b, ? 由 ? x2 整理得(1-t2)x2+? 2t2bx-t2b2-t2=0. ? y 2 ? 1, ? 2 ?t
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其中 1-t =0,方程只有一个解,与假设不符. 当 1-t2≠0 时,Δ >0,Δ =(2bt2)2-4(1-t2)(-t2b2-t2)=4t2(b2+1-t2), 所 以 t2 < b2+1 ① 又 x1+x2=-

2



x ? x2 2t 2 b t 2b ,所以 1 . ?? 2 1? t2 1? t 2
y1 ? y 2 b . ? 2 1? t2 x1 ? x2 y1 ? y 2 )在直线 x-y-1=0 上, , 2 2

代入 y=-x+b,得

因为 P、Q 中点为(

所以有:-

1? b t 2b b -1=0,整理得 t2= , ? 2 2 1? b 1? t 1? t

②解①②,得-1<b<0,0<t<1,经检验,得:当 t 取(0,1)中任意一个值时,曲线 C 上均存在两点关于直线 x-y-1=0 对称.

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