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高中数学椭圆教案


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学 科 教 师 辅 导 教 案

1

教育是对知识与道德的忠诚!

中小学 1 对 1 课外辅导专家

优学教育学科教师辅导教案
讲义编号 lk-zy
学员编号:lk-zy 学员姓名:周颖 课 题 2013-1-16-11:30-13:30 1.掌握椭圆的两个定义 2.掌握椭圆的性质 3.会利用椭圆的性质解题 教学内容 授课日期及时段 教学目的 年 级:高三 辅导科目:数学 椭圆 课时数:1 学科教师:刘凯

一,知识点罗列
1.椭圆的两种定义: ①平面内与两定点 F1 , F2 的距离的和等于定长 2a 2a ? F1 F2 的动点 P 的轨迹,即点集 M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|}; ( 2a ? F1 F2 时为线段 F1 F2 , 2a ? F1 F2 无轨迹) 。其中两定点 F1,F2 叫焦点,定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于 1 的正常数的点的轨迹,即点集 M={P| ( e ? 1 为抛物线; e ? 1 为双曲线) ? e ,0<e<1 的常数 ? 。 d (利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化,定点为焦点,定直 线为准线).

?

?

PF

2 标准方程: (1)焦点在 x 轴上,中心在原点: 焦点 F1(-c,0) ,

x2 y2 ; ? ? 1 (a>b>0) a2 b2

F2(c,0) 。其中 c ?

a 2 ? b 2 (一个 Rt 三角形)

(2)焦点在 y 轴上,中心在原点:

y2 x2 ; ? ? 1 (a>b>0) a2 b2

焦点 F1(0,-c) ,F2(0,c) 。其中 c ? a 2 ? b 2 注意:①在两种标准方程中,总有 a>b>0, c ?

a 2 ? b 2 并且椭圆的焦点总在长轴上;

②两种标准方程可用一般形式表示:Ax2+By2=1 (A>0,B>0,A≠B) ,当 A<B 时,椭圆的 焦点在 x 轴上,A>B 时焦点在 y 轴上。

2

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3 参数方程:焦点在 x 轴, ?

? x ? a cos? ( ? 为参数) y ? b sin ? ?

4 一般方程: Ax2 ? By2 ? 1( A ? 0, B ? 0) 5.性质:对于焦点在 x 轴上,中心在原点: x ? y ? 1 (a>b>0)有以下性质: a2 b2 坐标系下的性质: ① 范围:|x|≤a,|y|≤b; ② 对称性:对称轴方程为 x=0,y=0,对称中心为 O(0,0) ; ③ 顶点:A1(-a,0) ,A2(a,0) ,B1(0,-b) ,B2(0,b) ,长轴|A1A2|=2a,短轴|B1B2|=2b; ( a 半长轴长, b 半短轴长) ;
2 2

x2 y2 a2 a2 ④椭圆的准线方程:对于 2 ? 2 ? 1 ,左准线 l1 : x ? ? ;右准线 l 2 : x ? c c a b
对于

王新敞
奎屯

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y2 x2 a2 a2 l : y ? ? ? 1 l : y ? ? ,下准线 ;上准线 2 1 c c a2 b2
a2 a2 ? c2 b2 ?c ? ? (焦参数) c c c

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焦点到准线的距离 p ?

椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且关于短轴对称

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⑤焦半径公式:P(x0,y0 )为椭圆上任一点。|PF1|= r左 =a+ex0,|PF2|= r右 =a-ex0;|PF1|= r下 =a+ey0, |PF2|= r上 =a-ey0

PF max ? a ? c, PF min ? a ? c ,左加右减,上减下加
2b 2 a

⑥通径:过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径,通径最短= 平面几何性质:

c ⑦离心率:e= ? a

c2 ?b? ? 1 ? ? ? (焦距与长轴长之比) ? ?0,1? ; e 越大越扁, e ? 0 是圆。 2 a ?a?

2

b2 2a 2 ⑧焦准距 p ? ;准线间距 ? c c
⑨两个最大角 ??F1 PF2 ?max ? ?F1 B2 F2 , ??A1 PA2 ?max ? ?A1 B2 A2 焦点在 y 轴上,中心在原点: 6.焦点三角形应注意以下关系: (1) 定义:r1+r2=2a
3 教育是对知识与道德的忠诚!

y2 x2 ? ? 1 (a>b>0)的性质可类似的给出。 a2 b2

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(2) 余弦定理: r12 + r22 -2r1r2cos ? =(2c)
1 2 1 2
2

(3) 面积: S ?PF 1F 2 = r1r2 sin ? = ·2c| y0 |= c| y0 |= b ? tan
2

?
2

(其中 P( x0 , y0 )为椭圆上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2= ? )
2 2 2 2 7.共焦点的椭圆系设法:把椭圆 x ? y ? 1 (a>b>0)的共焦点椭圆设为 2x ? 2y ? 1(? ? ?b 2 ) 2 2 a ?? b ?? a b 8. 特 别 注 意 : 椭 圆 方 程 中 的 a,b,c,e 与 坐 标 系 无 关 , 而 焦 点 坐 标 , 准 线 方 程 , 顶 点 坐 标 , 与 坐 标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件 a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.

9.弦长公式: AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ?

1 ? y1 ? y2 ? 1 ? k 2 2 k a

b ? x1 ? x2 ? ? ? ? a (a,b,c 为方程的 ? ?x x ? c 1 2 ? a ?

系数

二,题型总结
考点 1 椭圆定义及标准方程 题型 1:椭圆定义的运用 例 1 .椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一 个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A、B 是它的焦点,长轴长为 2a,焦距为 2c,静放在 点 A 的小球(小球的半径不计) ,从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时,小球经过 的路程是( ) A.4a B.2(a-c) C.2(a+c) D.以上答案均有可能
y

P D

C A
O

B Q

x

例 2.点 P 为为椭圆

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点,F1、F2 是椭圆的两个焦点,试求: PF1 ? PF2 取得最 2 a b

2

2

值时的 P 点坐标。

4

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题型 2 求椭圆的标准方程 例 3.设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴 上较近的端点距离为 4 2 -4,求此椭圆方程.

考点 2 椭圆的几何性质 题型 1:求椭圆的离心率(或范围) 例 4. 在 △ ABC 中, 离心率 e ?

?A ? 300 ,| AB |? 2, S?ABC ? 3 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的


题型 2:椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等)

x2 y 2 ? ?1 2 2 x, y 满足 4 2 例 5. 已知实数 ,求 x ? y ? x 的最大值与最小值

考点 3 椭圆的最值问题 题型 1: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值

x2 y2 ? ?1 例 6.椭圆 16 9 上的点到直线 l: x ? y ? 9 ? 0 的距离的最小值为___________.
题型 2.

的最值 若 A 为椭圆内一定点(异于焦点) ,P 是 C 上的一个动点,F 是 C 的一个焦点,e 是 C 的离心率,求

的最小值。

例 7. 已知椭圆

内有一点 A(2,1) ,F 是椭圆 C 的左焦点,P 为椭圆 C 上的动点,求
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的最小值。 考点 4 直线与椭圆相交问题 题型 1 直线与椭圆相交求弦长 (1) 常用分析一元二次方程解的情况,仅有△还不够,且用数形结合的思想。 (2) 弦的中点,弦长等,利用根与系数的关系式,但△>0 这一制约条件不同意。

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ?

1 ? y1 ? y2 ? 1 ? k 2 2 k a

b ? x1 ? x2 ? ? ? ? a (a,b,c 为方程的系数) ? ?x x ? c 1 2 ? a ?

例 11.已知直线 l 过椭圆 8x 2 ? 9 y 2 ? 72 的一个焦点,斜率为 2,l 与椭圆相交于 M、N 两点,求弦 MN 的 长。

题型 2“点差法”解题。 “设而不求”的思想。 当涉及至平行法的中点轨迹, 过定点弦的中点轨迹, 过定点且被定点平分的弦所在直线方程, 用 “点 差法”来求解。 步骤:1.设 A(x1,y1) B(x2,y2)分别代入椭圆方程; 2.设 p( x0 , y0 ) 为 AB 的中点。两式相减,

b2 x y1 ? y 2 b 2 ( x ? x2 ) ?? 2 1 ?? 2 0 x1 ? x2 a ( y1 ? y 2 ) a y0

3.得出 k ?

y1 ? y2 x1 ? x2

x2 y2 b2 注:一般的,对椭圆 2 ? 2 ? 1 上弦 AB 及中点, M ,有 K AB ? K OM ? ? 2 a b a
例 12.已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 , 求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程 2

考点五.轨迹问题 这一问题难,但是解决法非常多,有如下几种。 1.直接法:根据条件,建立坐标系,设动点(x,y),直接列出动点所应满足的方程。 2.代入法:一个是动点 Q(x0,y0)在已知曲线 F(x,y)=0,上运动,而动点 P(x,y)与 Q 点满足某种关系,
6 教育是对知识与道德的忠诚!

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要求 P 点的轨迹。其关键是列出 P、Q 两点的关系式 ?

? x0 ? f ( x, y ) ? y o ? y ( x, y )

3.定义法:通过对轨迹点的分析,发现与某个圆锥曲线的定义相符,则通过这个定义求出方程。 4.参数法:在 x,y 间的方程 F(x,y)=0 难以直接求得时,往往用 ? 间的关系。 常用的参数有斜率 k 与角 ? 等。 例 13: ?ABC 的一边的的顶点是 B(0,6)和 C(0,-6),另两边斜率的乘积是 ?

? x ? f (t ) (t 为参数)来反映 x,y 之 ? y ? y(t )

4 ,求顶点 A 的轨迹方程: 9

课堂练习
1. 短轴长为 5 ,离心率 e ? 长为 A.3 2. 已知 P 为椭圆 ( B.6

2 的椭圆两焦点为 F1,F2,过 F1 作直线交椭圆于 A、B 两点,则△ABF2 的周 3
) C.12 D.24

x2 y2 ? ? 1 上的一点, M , N 分别为圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 和圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 上的点, 25 16
) C .13 D. 15

则 PM ? PN 的最小值为( A. 5
2 2

B. 7

3. 如果方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴的椭圆,那么实数 k 的取值范围是____________.

4. 椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距 离是 3 ,求这个椭圆方程. 5. 我国于 07 年 10 月 24 日成功发射嫦娥一号卫星,并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地球运行的轨迹 是以地球的地心为焦点的椭圆。 若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为 m, 远地点到地心的距离为 n, 第二次变轨后两距离分别为 2m、 2n (近地点是指卫星距离地面最近的点, 远地点是距离地面最远的点) , 则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率( ) A.不变 B. 变小 C. 变大 D.无法确定
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6.已知点 A, B 是椭圆 7. 如图,把椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 )上两点,且 AO ? ? BO ,则 ? = m2 n2

x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 25 16 F 是椭圆的一个焦点 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7 七个点,

则 PF ________________ ?P 1 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7F ?

8. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 l: x ? y ? 9 ? 0 的距离的最小值为 16 9

___________. 9.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的内接矩形的面积的最大值为 16 9 x2 ? y 2 ? 1 上的在第一象限内的点,又 A(2,0) 、 B(0,1) , 4

10. 已知点 P 是椭圆

O 是原点,则四边形 OAPB 的面积的最大值是_________.

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回家作业
1.椭圆 2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 的焦距是( A.2 ) C. 2 5 D. 2( 3 ? 2 ) ) B. 2( 3 ? 2 )

2.F1、F2 是定点,|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则点 M 的轨迹是( A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 3.P 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上一点,P 到右焦点 F2 的距离为 1,则 P 到相应左焦点的准线距离为( 4
B.



A.

3 6
3 4

2 3 3
2 3


C.

3 2
1 2

D. 2 3 )

4.若椭圆经过原点,且焦点为 F1(1,0) ,F2(3,0) ,则其离心率为( A. B. C. D.

1 4

4.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短 是距离为 3 ,这个椭圆方程为(

A.

x2 y2 ? ?1 12 9
x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 12 9 9 12

B.

x2 y2 ? ?1 9 12

C.

D.以上都不对 ___________ .

6.离心率 e ?

7.与椭圆 4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(-3,2)的椭圆方程为_______________. 8. 设双曲线

1 ,一个焦点是 F ?0,?3? 的椭圆标准方程为 2

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 )的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心率等于 a 2 b2

_____________

??? ? ??? ? x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,点 A ? l ,线段 AF 交 C 于点 B ,若 FA ? 3FB , 9.已知椭圆 C : 2
则 | AF | =________

???? ?

9

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