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高中数学 3.1.1《数系的扩充与复数的概念》课件 新人教B版选修2-2


3.1.1

数系的扩充与复数的概念

复习回顾

自然数

数 系 的 扩 充

用图形表示包含关系: 整数 有理数

R
无理数 实数

Q

Z

N

知识引入

我们已经知道:

对于一元二次方程

x ? 1 ? 0 没有实数根.
2

x ? ?1
2
思考?
我们能否将实数集进行扩充,使得在新的 数集中,该问题能得到圆满解决呢?

引入一个新数:

i

满足

i ? ?1
2

现在我们就引入这样一个数 i ,把 i 叫做虚数单位,
并且规定: (1)i2??1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运 算时,原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集, 一般用字母C表示 .

复数的代数形式: 通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部 虚部

其中

i 称为虚数单位。
R? C ?

讨 论?

复数集C和实数集R之间有什么关系?

?实数b ? 0 ? 复数a+bi ? ?纯虚数a ? 0,b ? 0 ?虚数b ? 0?非纯虚数a ? 0,b ? 0 ? ?

1.说明下列数中,那些是实数,哪些是虚 数,哪些是纯虚数,并指出复数的实部与 虚部。

2 ? 7 , 0.618,

i , i?1? 3 ?,
2

2 i, 0 7

3 ? 9 2i,

5 i+8,

例1: 实数m取什么值时,复数

z ? m ? 1 ? (m ? 1)i
(1)实数? (2)虚数?(3)纯虚数?
解: (1)当 m ? 1 ? 0,即 (2)当 m ? 1 ? 0 ,即 (3)当 ?m ? 1 ? 0

m ? 1时,复数z 是实数. m ? 1 时,复数z 是虚数.
即 m ? ? 1时,复数z 是 纯虚数.

? ?m ? 1 ? 0

练习:当m为何实数时,复数

Z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i
2 2

(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数

(1)m= ? 1 (2)m ? ?1 (3)m=-2

如果两个复数的实部和虚部分别相

等,那么我们就说这两个复数相等.
若a, b, c, d ? R,

?a ? c a ? bi ? c ? di ? ? ?b ? d

例2: 已知 (2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y )i



其中 x, y ? R, 求

x与 y .

解:根据复数相等的定义,得方程组 ?2 x ? 1 ? y 5 得 x? ,y?4 ? 2 ?1 ? ?( 3 ? y )

若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0, 求x的值.

i

x=2

1.虚数单位i的引入; 2.复数有关概念:
复数的代数形式: z ? a ? bi (a ? R, b ? R) 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数 复数相等 a ? bi
?a ? c ? c ? di ? ? ?b ? d



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