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上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编:圆锥曲线


上海市 17 区县 2016 届高三第二次模拟数学理试题分类汇编:

圆锥曲线
一、填空、选择题 1、(崇明县 2016 届高三二模)已知双曲线
x2 y2 (a ? 0,b ? 0) ? ?1 的一条渐近线方程是 y ? 3x , a 2 b2

它的一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点相同,则双曲线的标准方

程为



2、(奉贤区 2016 届高三二模)双曲线 4 x2 ? y 2 ? 1 的一条渐近线与直线 tx ? y ? 1 ? 0 垂直,则 t ? ________.

x2 y 2 + ? 1 (a ? b ? 0) 的两个顶点,过椭圆的右焦 a 2 b2 点 F 作 x 轴的垂线,与其交于点 C. 若 AB / / OC ( O 为坐标原点),则直线 AB 的斜率为
3、(虹口区 2016 届高三二模)如图, A、B 为椭圆 ___________.

4、(黄浦区 2016 届高三二模)若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 5,最大值为 15,则椭圆短 轴长为 y2 5、 (静安区 2016 届高三二模)已知双曲线 x2 ? 2 ? 1(m ? 0) 的渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 没有公共 m 点, 则该双曲线的焦距的取值范围为 . 6、(闵行区 2016 届高三二模)如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AA1 的中点, P 为底面

ABCD 内一动点,设 PD 1、 PE 与底面 ABCD所成的角分别为

?1、?2 ( ?1、?2 均不为 0 ) .若 ?1 ? ?2 ,则动点 P 的轨迹为哪种曲
线的一部分( (A)直线 (C) 椭圆 ). (B)圆 (D) 抛物线

7、(浦东新区 2016 届高三二模)抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点
2

P( x, y ) 为该抛物线上的动点,又点 A(?1, 0) ,则

PF PA

的最小值是( )

(A)

1 2

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)

2 3 3

8、(普陀区 2016 届高三二模)过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A 、 B 两点, 且这两点的横坐标之和为 9 ,则满足条件的直线( ) (A)有且只有一条 (B)有两条 (C)有无穷多条

(D)必不存在

9、(徐汇、金山、松江区 2016 届高三二模)抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标是____________ 10、(杨浦区 2016 届高三二模)已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1的右焦点为 F,过点 F 且平行于双曲线的 4

一 条 渐 近 线 的 直 线 与 双 曲 线 交 于 点 P , M 在 直 线 PF 上 , 且 满 足 OM ? PF ? 0 , 则

???? ? ??? ?

???? ? | PM | ??? ? ? | PF |

.

11、(闸北区 2016 届高三二模)已知 F 1 、 F2 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, P 为 a 2 b2


椭圆上一点,且 PF 1 F2 的面积为 9 ,则 b ? 1 ? PF 2 ,若 ?PF

????

???? ?

12、 (长宁、 青浦、 宝山、 嘉定四区 2016 届高三二模) 在平面直角坐标系 xOy 中, 有一定点 A(1 , 1) , 若线段 OA 的垂直平分线过抛物线

C : y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点,则抛物线 C 的方程为_____________
13、(奉贤区 2016 届高三二模)已知抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 M x0 , 2 3 ,则点 M 到抛物线焦点 的距离为________. 二、解答题 1、(崇明县 2016 届高三二模) 已知椭圆
x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 (?c, 0) 、 a2 b2

?

?

???? ? Q 是椭圆外的动点, 满足 F1 Q ? 2a . 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点, 点 T 在线段 F2 Q 上, F2 (c, 0) , ???? ??? ? ???? 并且满足 PT ? TF2 ? 0 , TF2 ? 0 . ???? (1)当 a ? 5, b ? 3 时,用点 P 的横坐标 x 表示 F1 P ;

(2)求点 T 的轨迹 C 的方程; (3)在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使 ?F1 MF2 的面积 S ? b2 ?若存在,求出 ?F1MF2 的 正切值;若不存在,说明理由.

2、 (奉贤区 2016 届高三二模)已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的长轴长是短轴长的两倍,焦 a2 b2

距为 2 3 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)不过原点 O 的直线与椭圆 C 交于两点 M 、 N ,且直线 OM 、 MN 、 ON 的斜率依次成等比 数列,问:直线是否定向的,请说明理由.

3、(虹口区 2016 届高三二模)已知直线 y ? 2 x 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线,点 a 2 b2

A(1,0)、M ( m, n) (n ? 0)
都在双曲线 C 上,直线 AM 与 y 轴相交于点 P ,设坐标原点为 O . (1) 求双曲线 C 的方程,并求出点 P 的坐标(用 m 、 n 表示); (2) 设点 M 关于 y 轴的对称点为 N ,直线 AN 与 y 轴相交于点 Q .问:在 x 轴上是否存在定点 T , 使得 TP ? TQ ?若存在,求出点 T 的坐标;若不存 在,请说明理由. (3) 若过点 D(0, 2 ) 的直线 l 与双曲线 C 交于 R、S

y M N

P O A x

Q
(第22题图)

??? ? ??? ? ??? ? 两点,且 OR ? OS ? RS ,试求直线 l 的方程.

x2 y 2 ? ? 1 (a , b ? 0),若点 P( x0 , y0 ) 满足 a 2 b2 x0 2 y0 2 x0 2 y0 2 P ? ? 1 ? ? 1,则称 P 在 C( a ,b ) 的内部; ,则称 在的 外部;若点 满足 P ( x , y ) C 0 0 ( a ,b ) a 2 b2 a 2 b2 (1)若直线 y ? kx ? 1 上的点都在 C(1,1) 的外部,求 k 的取值范围;
4 、(黄浦区 2016 届高三二模)对于双曲线 C( a ,b ) : (2)若 C( a ,b ) 过点 (2,1) ,圆 x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 在 C( a ,b ) 内部及 C( a ,b ) 上的点构成的圆弧长 等于该圆周长的一半,求 b 、 r 满足的关系式及 r 的取值范围; (3)若曲线 | xy | ? mx2 ? 1 (m ? 0) 上的点都在 C( a ,b ) 的外部,求 m 的取值范围;

5、(静安区 2016 届高三二模)已知 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (其中 a ? b ? 0 )的左、右 a 2 b2

焦点,椭圆 C 过点 (? 3,1) 且与抛物线 y 2 ? ?8 x 有一个公共的焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的右焦点且斜率为 1 的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两点,求线段 AB 的长度.

6、 (闵行区 2016 届高三二模)已知椭圆 ? : 一个面积 为 2 的等腰直角三角形, O 为坐标原点. (1)求椭圆 ? 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点与短轴两端点构成 a 2 b2

(2)设点 A 在椭圆 ? 上,点 B 在直线 y ? 2 上,且 OA ? OB , 求证:

1 1 ? 为定值; 2 OA OB 2

(3)设点 C 在椭圆 ? 上运动, OC ? OD ,且点 O 到直线 CD 的距离为常数 d ? 0 ? d ? 2? ,求动 点 D 的轨迹方程.

7、(浦东新区 2016 届高三二模)教材曾有介绍:圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上的点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程为

x0 x ? y0 y ? r 2 。我们将其结论推广:椭圆


x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )上的点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程 a 2 b2

x0 x y0 y x2 E ? ? 1 ? y2 ? 1 ,在解本题时可以直接应用。已知,直线 与椭圆 : x? y? 3 ?0 2 2 2 a b a ( a ? 1 )有且只有一个公共点。 (1)求 a 的值; y (2)设 O 为坐标原点,过椭圆 E 上的两点 A 、 B 分
别作该椭圆的两条切线 l1 、l 2 , 且 l1 与 l 2 交于点 M (2, m) 。 当 m 变化时,求 ?OAB 面积的最大值; (3)在(2)的条件下,经过点 M (2, m) 作直线 l 与 该椭圆 E 交于 C 、 D 两点,在线段 CD 上存在点 N ,使 O B A M x

| CN | | MC | 成立,试问:点 N 是否在直线 AB 上, ? | ND | | MD |
请说明理由。

8、(普陀区 2016 届高三二模)已知椭圆 ? : 的直线 l 与 ? 只有一个公共点 M

x2 y2 ? ? 1 的中心为 O ,一个方向向量为 d ? (1, k ) 5 4

(1)若 k ? 1 且点 M 在第二象限,求点 M 的坐标; (2)若经过 O 的直线 l1 与 l 垂直,求证:点 M 到直线 l1 的距离 d ?

5 ? 2;
k1 4 ? k 5

(3)若点 N 、 P 在椭圆上,记直线 ON 的斜率为 k 1 ,且 d 为直线 OP 的一个法向量,且 求 ON
2

? OP 的值.

2

9、 (徐汇、 金山、 松江区 2016 届高三二模) 已知椭圆 C : 且点 P (1, ) 在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F ?1,0 ? , a 2 b2

3 2

x2 y2 4 ? ? 1 上异于其顶点的任意一点 Q 作圆 O : x 2 ? y 2 ? 的两条切线,切点 2 3 a b2 ? 5 3
1 1 ? 2 2 3m n

分别为 M , N ( M , N 不在坐标轴上) , 若直线 MN 在 x 轴,y 轴上的截距分别为 m , n, 证明: 为定值; (3)若 P 1, P 2 是椭圆 C2 :

x2 3 y 2 E 过P ? ? 1 上不同的两点, PP 1 2 ? x 轴,圆 1, P 2 , 且椭圆 a 2 b2

则称圆 E 为该椭圆的一个内切圆. 试问: 椭圆 C2 是否存在过左焦点 F1 C2 上任意一点都不在圆 E 内, 的内切圆?若存在,求出圆心 E 的坐标;若不存在,请说明理由.

10、(闸北区 2016 届高三二模)若动点 M 到定点 A(0,1) 与定直线 l : y ? 3 的距离之和为 4 . (1)求点 M 的轨迹方程,并在答题卡所示位置画出方程的曲线草图; (2)(理)记(1)得到的轨迹为曲线 C ,问曲线 C 上关于点 B(0, t )(t ? R) 对称的不同点有几对? 请说明理由.

x2 y 2 ? ? 1 的下焦点, 11、(长宁、青浦、宝山、嘉定四区 2016 届高三二模)如图,设 F 是椭圆 3 4
直线 y ? kx ? 4 ( k ? 0 )与椭圆相交于 A 、 B 两点,与 y 轴交于 P 点. (1)若 PA ? AB ,求 k 的值; (2)求证: ?AFP ? ?BFO ; (3)求△ ABF 面积的最大值. y B O F A x

P

参考答案 一、填空、选择题 1、

x2 y 2 ? ?1 4 12
8、B

2、 ?

1 2

3、

2 2

4、 10 3 11、3

5、 (2, 4) 12、 y 2 ? 4 x

6、B

7、B

9、(1,0)

10、

1 2

13、4

二、解答题 1、(1)设点 P 的坐标为 ( x, y). 由 P ( x, y ) 在椭圆上,得

???? 9 4 | F1P |? ( x ? 4)2 ? y 2 ? ( x ? 4)2 ? 9 ? x 2 ? ( x ? 5)2 . 16 5
由 ?5 ? x ? 5, 知

???? 4 4 x ? 5 ? 0 ,所以 | F1 P |? x ? 5 .........................4 分 5 5

(2)设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. ......................6 分 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 | PT | ? | TF2 |? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点. 在△QF1F2 中, | OT |?

1 | F1Q |? a ,所以有 x 2 ? y 2 ? a 2 . 2
2 2 2

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x ? y ? a . .........................10 分
2 2 ? x0 ? y0 ? a2 , ? (3)C 上存在点 M( x 0 , y 0 )使 S= b 的充要条件是 ? 1 .........12 分 2 ? ? 2c | y 0 |? b . ?2

2

由③得 | y0 |? a ,由④得 | y0 |?

2 b2 . 所以,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b 2 ; c c

2 当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M. .................................14 分

c

2 当 a ? b 时, MF 1 ? (?c ? x0 ,? y0 ), MF2 ? (c ? x0 ,? y0 ) , c

2 2 2 2 2 2 由 MF 1 ? MF2 ? x0 ? c ? y0 ? a ? c ? b ,

MF1 ? MF2 ?| MF1 | ? | MF2 | cos?F1MF2 ,

1 | MF1 | ? | MF 2 | sin ?F1 MF 2 ? b 2 ,得 tan?F1 MF2 ? 2. ...............18 分 2 ?2a ? 2 ? 2b ? 2、解:(1)由已知得 3分 ?2c ? 2 3 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 解得 a ? 2, b ? 1 5分 S?
∴椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 . 4

6分

(2)(理)由题意可设直线的方程为: y ? kx ? m ? km ? 0? ,

? y ? kx ? m ? 联立 ? x 2 ,消去 y 并整理, 2 ? ? y ?1 ?4 2 2 2 得: ?1 ? 4k ? x ? 4kmx ? 4 ? m ? 1? ? 0
2 2 计算 ? ? 16 4k ? m ? 1 ? 0

7分 8分

?

?

此时设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,

4 m2 ? 1 8km 则 x1 ? x2 ? , x1 x 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 于是 y1 y2 ? ? kx1 ? m?? kx2 ? m? ? k 2 x1x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m2 又直线 OM , MN , ON 的斜率依次成等比数列,
2 2 y1 y2 k x1 x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m ∴ ? ? ? k2 x1 x2 x1 x2

?

?

9分 10 分

11 分 12 分 13 分 13 分 8分 9分 11 分 13 分

∴?

8k 2 m2 1 ? m2 ? 0,? m ? 0,? k 2 ? 2 1 ? 4k 4

所以是不定向的, (2)文

? ? 方向向量 d ? ? ?2,1?
可得 A? 2,1? , B ? ?2,1? 设 P xP , y p ,则

?

?

? ? xP ? 2 ? m ? n ? ? ? ? yP ? ? m ? n ? 1 ? m2 ? n2 ? 2

2 xP ? yP 2 ? 1 4

?a ? 1 ?a ? 1, ? ?? 3、解:(1)由已知,得 ? b 故双曲线 C 的方程为 ? 2 ?b ? 2, ? ?a
???? ? ? AM ? (m ?1, n) 为直线 AM 的一个方向向量,

x2 ?

y2 ? 1. 4

……3 分

? 直线 AM 的方程为

x ?1 y n ? , 它与 y 轴的交点为 P(0, ). m ?1 n 1? m

……5 分

???? (2)由条件,得 N (?m, n), 且 AN ? (?m ?1, n) 为直线 AN 的一个方向向量,
故直线 AN 的方程为

n x ?1 y ). ? , 它与 y 轴的交点为 Q (0, ?m ? 1 n 1? m

……7 分

假设在 x 轴上存在定点 T ( x0 , 0) ,使得 TP ? TQ ,则
??? 由 TP ? ( ? x0 ,

??? ? n n n2 ), TQ ? ( ? x0 , ? ), 及 m 2 ? ? 1, 得 m ?1 m ?1 4 ? ? ? ? ? ?? n n n2 2 2 T P? T Q ?( ? 0 x , )( ?? x0 , ? ) ? x0 ? 2 ? x0 ? m ?1 m ?1 m ?1

n2 2 ? x0 ? 4 ? 0. n2 (1 ? ) ? 1 4
……10 分

故 x0 ? ?2, 即存在定点 T ,其坐标为 (2, 0) 或 (?2, 0), 满足题设条件.

??? ? ??? ? ??? ? (3) 由 OR ? OS ? RS 知,以 OR、OS 为邻边的平行四边形的对角线的长相等,故此四边形为

??? ? ??? ? 矩形,从而 OR ? OS .
由已知,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2, 并设 R( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 ),

……12 分

? y ? kx ? 2, 则由 ? ? 2 y2 ? 1, ?x ? ? 4



(k 2 ? 4) x2 ? 4kx ? 8 ? 0.

由 ? ? 16k 2 ? 32(k 2 ? 4) ? 16(8 ? k 2 ) ? 0, 及 k 2 ? 4 ? 0, 得 k 2 ? 8 且 k 2 ? 4 由 x1 ? x2 ? ?

(*)

4k 8 , x1 x2 ? 2 , y1 y2 ? (k x1 ? 2)(k x2 ? 2), k ?4 k ?4
2

……14 分

??? ? ??? ? 8(k 2 ? 1) 8k 2 4(k 2 ? 2) 得 OR ? OS ? x1 x2 ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 2 ? 2 ?4? 2 ?0 k ?4 k ?4 k ?4
故 k 2 ? 2, 符合约束条件(*). 因此,所求直线 l 的方程为 y ? ? 2 x ? 2. ……16 分

2 4、[解](1)由题意,直线 y ? kx ? 1 上点 ( x0 , kx0 ? 1) 满足 x2 ? y 2 ? 1 ,即求不等式 x0 ? (kx0 ? 1)2 ? 1的 解为一切实数时 k 的取值范围.(1 分) 2 对于不等式 (1 ? k 2 ) x0 ? 2kx0 ? 2 ? 0 , k ? ? 1 当 时,不等式的解集不为一切实数,(2 分)

2 ? ?1 ? k ? 0, 于是有 ? 解得 | k |? 2 . 2 2 ? ?? ? 4k ? 8(1 ? k ) ? 0, 故 k 的取值范围为 (??, ? 2) ? ( 2, ??) .(4 分)

(2)因为圆 x2 ? y 2 ? r 2 和双曲线 C( a ,b ) 均关于坐标轴和原点对称,所以只需考虑这两个曲线在第一 象限及 x 、 y 轴正半轴的情况.

由题设,圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧,它们交点的坐标为 ? 将x?

? 2r 2 r ? . ? 2 , 2 ? ? ? ?

r2 r2 2r 2r ,y? 代入双曲线 C( a ,b ) 方程,得 2 ? 2 ? 1 (*),(6 分) 2a 2b 2 2 4 1 又因为 C( a ,b ) 过点 (2,1) ,所以 2 ? 2 ? 1 ,(7 分) a b 2 4b 8b 2 将 a2 ? 2 代入(*)式,得 r 2 ? 2 .(9 分) b ?1 b ?3 3r 2 ? 0 ,解得 r 2 ? 8 .因此, r 的取值范围为 (2 2, ??) .(10 分) 由 b2 ? 2 r ?8 1 1 x2 y2 (3)由 | xy |? mx 2 ? 1 ,得 | y |? m | x | ? .将 | y |? m | x | ? 代入 2 ? 2 ? 1 , a b | x| | x|

? 1 ? ?m| x|?| x|? 2 x ? ? ? 1 对任意非零实数 均成立.(12 分) 由题设,不等式 2 ? x a b2 ? 1 ? ?m| x| ?| x|? 2 2 x ? ? ? 1 [(b 2 ? a 2 m 2 ) x 2 ? a ? 2a 2 m] . 其中 2 ? a b2 a 2b 2 x2 a2 ? 2a 2 m ,( t ? 0 ). 令 x 2 ? t ,设 f (t ) ? (b 2 ? a 2 m 2 )t ? t 当 b 2 ? a 2 m 2 ? 0 时,函数 f (t ) 在 (0, ??) 上单调递增, f (t ) ? 1 不恒成立;(14 分)
当 b 2 ? a 2 m 2 ? 0 时, (b 2 ? a 2 m 2 )t ?
2

2

a2 ≤ ?2 (a 2 m 2 ? b 2 )a 2 , t

函数 f (t ) 的最大值为 ?2 (a 2 m2 ? b2 )a 2 ? 2a 2 m ,

?2 (a 2 m2 ? b2 )a 2 ? 2a 2 m ? 0 ? 1 ;(16 分) a 2b 2 a2 当 b 2 ? a 2 m 2 ? 0 时, f (t ) ? ? ? 2a 2 m ? 0 ? 1 .(17 分) t b ?b ? 综上, b2 ? a 2 m2 ≤ 0 ,解得 m ≥ .因此, m 的取值范围为 ? , ?? ? .(18 分) a ?a ?
因为 m ? 0 ,所以 5、(1)抛物线 y 2 ? ?8 x 的焦点为 (?2, 0) ………1 分

所以椭圆 C : 又

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 (?2, 0) , c ? 2 , b 2 ? a 2 ? 4 ………2 分 a 2 b2

3 1 ? 2 ? 1 ,得 a4 ? 8a2 ? 12 ? 0 ,解得 a 2 ? 6 ( a 2 ? 2 舍去)………4 分 2 a b

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 。………6 分 6 2
…………………7 分

(2)直线 l 的方程为 y ? x ? 2 .

联立方程组 ? x 2

?y ? x ? 2 ? y2 ? ?1 ? 2 ?6
…………………9 分(文 10 分)

消去 y 并整理得 2 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 故 x1 ? x2 ? 3 , x1 x2 ?
2

3 . 2

…………………10 分(文 11 分)

则 AB ? 1 ? k x1 ? x 2 ?

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 6 …………12 分(文 14 分)
2,a ? 2,
…………………………3 分

6、解:(1)由条件可得 b ? c ? 椭圆 ? 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .………………………………………………………5 分 4 2

(2)设 A( x0 , y0 ) ,则 OB 的方程为 x0 x ? y0 y ? 0 ,由 y ? 2 得 B(?

2 y0 , 2) …7 分 x0

?

4 ? x0 2 4 ? x0 2 1 1 1 1 1 ? .…10 分 ? = ? = ? 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 4 y0 4( x0 ? y0 ) OA OB x0 ? y0 4( x0 2 ? 2 ? 0 ) ?4 2 2 x0


(3)设 C ( x0 , y0 ), D( x, y) ,由 OC ? OD 得 x0 x ? y0 y ? 0 又 C 点在椭圆上得:
2

x0 2 y0 2 ? ?1 4 2



4 y2 4 x2 2 联立①②可得 x0 ? , y0 ? 2 2 x2 ? y 2 2x ? y2



…………………………12 分

2 2 2 2 2 由 OC ? OD 得 OC ? OD =CD ? d ,即 OC ? OD =(OC +OD ) ? d

可得 将

1 1 1 ? ? , 2 2 d OC OD 2


………………………………………………………14 分 代 入 得 :

1 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2 2 d OC OD x0 ? y0 x ? y2

1 4 x2 4 y2 ? 2 x2 ? y 2 2x2 ? y 2

?

1 2 x2 ? y 2 ? 4 , ? x2 ? y 2 4( x 2 ? y 2 )

化简得 D 点轨迹方程为: (

1 1 2 1 1 ? ) x ? ( 2 ? ) y 2 ? 1 .…………………………16 分 2 d 2 d 4

?y ? x? 3 1 ? 2 7、解:(1)联立 ? x 2 整理得 ( 2 ? 1) x ? 2 3 x ? 2 ? 0 2 a ? y ?1 ? ? a2
2 依题意 ? ? 0 即 (2 3 ) ? 4 ? (

1 ? 1) ? 2 ? 0 ? a ? 2 …………………………(4 分) a2

(2)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 于是直线 l1 、 l 2 的方程分别为

x1 x xx ? y1 y ? 1 、 2 ? y2 y ? 1 2 2

将 M (2, m) 代入 l1 、 l 2 的方程得 x1 ? my 1 ? 1 ? 0 且 x2 ? my 2 ?1 ? 0 所以直线 AB 的方程为 x ? m y ? 1 ? 0 ……………………(6 分)

?x ? m y ? 1 ? 0 ? ? (m2 ? 2) y 2 ? 2my ? 1 ? 0 联立 ? x 2 2 ? y ? 1 ? ? 2
显然 ? ? 0 ,由 y1 , y2 是该方程的两个实根, 有 y1 ? y2 ?

2m 1 , y1 y2 ? ? 2 ………………(8 分) 2 m ?2 m ?2 1 1 x1 y1 的绝对值,即 S ? | y1 ? y2 | 2 2 x2 y2

?OAB 面积 S ?
即S ?
2

1 2(m 2 ? 1) 2 1 [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? 2 ? ? 2 1 4 (m ? 2) (m 2 ? 1) ? 2 ?2 2 m ?1

当 m ? 0 时, S 取得最大值

2 ………………(10 分) 2

(3)点 N 在直线 AB 上………………(11 分) 因为

| CN | | MC | ? | ND | | MD |
?? ??

设 C( xC , yC ) 、 D( xD , yD ) 、 N ( x0 , y0 ) ,且 CN ? ? ND ( ? ? 0.? ? 1 ) 于是 CM ? ?? MD 即
?? ??

xC ? ?xD y ? ?y D x ? ?xD y ? ?y D ? x0 、 C ? y0 、 C ?2、 C ?m 1? ? 1? ? 1? ? 1? ?



xC x 2 2 ? yC ? 1 , D ? yD ? 1 …………(13 分) 2 2
2 2

2

2

x x 2 2 ? C ? yC ? ?2 ( D ? yD ) ? 1 ? ?2 2 2 1 x ? ?xD xC ? ?xD yC ? ?yD yC ? ?yD ? ? ? ? 1 ,…………(15 分) ? ? C 2 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1 ? ? x0 ? 2 ? y0 m ? 1 ? x0 ? my0 ? 1 ? 0 ,即 N 在直线 AB 上。…………(16 分) 2
8、(1)设直线 l : y ? x ? m ,根据题意可得:……1 分

?y ? x ? m ? 2 2 2 ,消去 y 并整理得 9 x ? 10bx ? 5 m ? 4 ? 0 ……①…………2 分 ?x y2 ?1 ? ? 4 ?5

?

?

2 ? ? ?10b? ? 4 ? 9 ? 5 b 2 ? 4 ? 0 ,解得 m 2 ? 9 ,因为 M 在第二象限,故 m ? 3 ,……3

?

?


2 代入①得 9 x ? 30x ? 25 ? 0 ,解得 x ? ?

5 4 ? 5 4? ,进而 y ? ,故 M ? ? , ? .……4 分 3 3 ? 3 3?

(2)根据题意可得,直线 l1 : x ? ky ? 0 ……5 分

? y ? kx ? m ? 设直线 l : y ? kx ? m ( m ? 0 ),则 ? x 2 ……5 分 y2 ? ? 1 ? 4 ?5
消去 y 得 4 ? 5k 2 x 2 ? 10kmx? 5 m 2 ? 4 ? 0 ……6 分
2 ? ? ?10km? ? 20 4 ? 5k 2 ? m2 ? 4 ? 0 ,解得 5k 2 ? m 2 ? 4 ? 0 ,即 m 2 ? 5k 2 ? 4 ……7 分

?

?

?

?

?

??

?

且x ?

? 5km 4m 4m ? ? ? 5km ,y? ,故 M ? 2 , 2 ? ……8 分 2 2 5k ? 4 5k ? 4 ? 5k ? 4 5k ? 4 ?

点 M 到直线 l1 的距离 d ?

? 5km 4km ? 2 2 5k ? 4 5k ? 4 1? k 2

?

km 5k 2 ? 4 1? k 2

?

?1 ? k ??4 ? 5k ?
2 2

k

① 当 k ? 0 时, d ? 0 ;……9 分 ② 当 k ? 0 时, d ?

1 5k 2 ? 4 ?9 k2

? 5 ? 2 ,当且仅当 k ? ? 4

4 时等号成立. 5

综上①②可得,点 M 到直线 l1 距离 d ? (3)根据条件可得直线 OP 的斜率 k 2 ? ? 由于

5 ? 2 .……10 分

1 ,……11 分 k

k1 4 4 ? ,则直线 ON 的斜率的 k1 ? k ……12 分 5 k 5

? x2 y2 ? ?1 ? 4 25 ?5 2 4 ON y ? kx 于是直线 的方程为 ,由 ? ,可得 x ? ……13 分 5 5 ? 4k 2 ? y ? 4 kx ? 5 ?
设点 P( x1 , y1 ) ,则 OP ? x1 ? y1 ? ?1 ?
2 2 2

? ?

16 2 ? 2 25 ? 16k 2 ……14 分 k ? x1 ? 25 ? 5 ? 4k 2

同理 ON

2

2 2 ? x2 ? y2 ?

20 1 ? k 2 ……15 分 5 ? 4k 2

?

?

OP ? ON

2

2

?

25 ? 16k 2 20 k 2 ? 1 45 ? 36k 2 ? ? 9 ……16 分 ? 5 ? 4k 2 5 ? 4k 2 5 ? 4k 2

?

?

9、【解答】(1)由题意得, c ? 1. 所以 a 2 ? b2 ? 1, 又点 P (1, ) 在椭圆 C 上,所以

3 2

1 9 ? 2 ? 1, 解得 a2 ? 4, b2 ? 3, 2 a 4b

所以椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. ----------------------------------------------3 分 4 3

(2)由(1)知, C1 :

x2 3 y 2 ? ? 1, 设点 Q( x1 , y1 ), M ( x2 , y2 ), N ( x3 , y3 ), 4 4
4 , 3
① 直线 QN 的方程为 x3 x ? y3 y ?

则直线 QM 的方程为 x2 x ? y2 y ?

4 , ② 3 4 , 3

4 ? x x ? y y ? 2 1 2 1 ? ? 3 , 把点 Q 的坐标代入①②得 ? 4 ?x x ? y y ? 3 1 3 1 ? 3 ?
令 y ? 0, 得 m ?

所以直线 MN 的方程为 x1 x ? y1 y ?

4 4 4 4 , y1 ? , 又点 Q 在椭圆 C1 上, , 令 x ? 0, 得 n ? , 所以 x1 ? 3m 3n 3 x1 3 y1

所以 (

1 1 3 4 2 4 ) ? 3( ) 2 ? 4, 即 2 ? 2 ? , 为定值.-------------------------------9 分 3m n 4 3m 3n

E 在 x 轴上, (3)由椭圆的对称性,不妨设 P 1 (m, n), P 2 (m, ?n), 由题意知,点
设点 E (t , 0), 则圆 E 的方程为 ( x ? t ) ? y ? (m ? t ) ? n . ----------------------11 分
2 2 2 2

由椭圆的内切圆的定义知,椭圆上的点到点 E 的距离的最小值是 PE , 1
2 2 设点 M ( x, y ) 是椭圆 C2 上任意一点,则 ME ? ( x ? t ) ? y ? 2

3 2 x ? 2tx ? t 2 ? 1, 4

?2t 4t ? . ① 3 3 2 假设椭圆 C2 存在过左焦点 F1 的内切圆,则 (? 3 ? t )2 ? (m ? t )2 ? n2 .
当 x ? m 时, ME 最小,所以 m ? ?
2



又点 P1 在椭圆 C2 上,所以 n ? 1 ?
2

m2 . 4

③------------------------------------14 分

由①②③得 t ? ?

3 或 t ? ? 3, 2

4t ?4 3 3 符合题意。 ? ? ?2, 不合题意,舍去,且经验证, t ? ? 3 3 2 3 综上,椭圆 C2 存在过左焦点 F 的内切圆,圆心 E 的坐标是 (? , 0). ---------16 分 2
当 t ? ? 3 时, m ?
2 2 10、解: (1) 、设 M ( x, y ) ,由题意 x ? ( y ? 1) ? | y ? 3 |? 4 ……………………………4 分 2 2 ① :当 y ? 3 时,有 x ? ( y ? 1) ? y ? 1 ,化简

得: x2 ? 4 y
2 2 ② :当 y ? 3 时,有 x ? ( y ? 1) ? 7 ? y ,化简

得: x ? ?12( y ? 4) (二次函数)
2

综上所述:点 M 的轨迹方程为

4 y, y ? 3 ? (如图) x2 ? ? ??12( y ? 4), y ? 3
(2) 、(理)当 t ? 0 或 t ? 4 显然不存在符合题意的对称点

……………………………4 分

当 0 ? t ? 4 时,注意到曲线 C 关于 y 轴对称,至少存在一对(关于 y 轴对称的)对称点 下面研究曲线 C 上关于 B(0, t ) 对称但不关于 y 轴对称的对称点
2 设 P( x0 , y0 ) 是轨迹 x2 ? 4 y ( y ? 3) 上任意一点, 则 x0 它关于 B(0, t ) 的对称点 ? 4 y0 ( y0 ? 3) ,

为 Q(? x0 , 2t ? y0 ) ,由于点 Q 在轨迹 x2 ? ?12( y ? 4) 上, 所 以 (? x0 )2 ? ?12(2t ? y0 ? 4) , 联 立 方 程 组
2 ? x0 ? 4 y0 (*)得 ? 2 x ? ? 12(2 t ? y ? 4) 0 ? 0

4 y0 ? ?12(2t ? y0 ? 4) ,化简得 t ?

y0 ? 6 (0 ? y0 ? 3) 3

① 当 y0 ? (0,3) 时, t ? (2, 3) ,此时方程组 (*) 有两解,即 增加有两组对称点。 ② 当 y0 ? 0 时, t ? 2 ,此时方程组(*)只有一组解,即增加 一组对称点。(注:对称点为 P(0, 0) , Q (0, 4) )

③ 当 y0 ? 3 时 , t ? 3 , 此 时 方 程 组 (*) 有 两 解 为

P(2 3,3), Q(?2 3,3) ,没有增加新的对称点。
?t ? 0, t ? 4, 不存在 ? t ? (0, 2),?1对 ? ? 综上所述:? t ? 2, ?? 2对 …………………………8 分 ? t? (2,3), ? 3对 ? ?1对 ? ? t ?[3, 4),

? x2 y2 ?1, ? ? 11、(1)由 ? 3 得 (3k 2 ? 4) x2 ? 24kx ? 36 ? 0 ,所以△ ? 144(k 2 ? 4) ? 0 , 4 ? y ? kx ? 4 ?
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

24 k 36 , x1 x2 ? , ………………(2 分) 2 3k ? 4 3k 2 ? 4

因为 PA ? AB ,所以 x2 ? 2 x1 ,代入上式求得 k ?

6 5 。 5

………………………(4 分)

(2)由图形可知,要证明 ?AFP ? ?BFO ,等价于证明直线 AF 与直线 BF 的倾斜角互补, 即等价于 k AF ? kBF ? 0 。 ………………………………………………………(2 分)

?1 1? y1 ? 1 y2 ? 1 kx1 ? 3 kx2 ? 3 3( x ? x ) ? ? ? ? 2k ? 3? ? ? ? 2k ? 1 2 ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2 ? x1 x2 ? 24k 3? 2 ? 2k ? 3k ? 4 ? 2k ? 2k ? 0 。 …………………………………………(5 分) 36 3k 2 ? 4 所以, ?AFP ? ?BFO 。 …………………………………………………(6 分) k AF ? kBF ?
2 (3)由△ ? 0 ,得 k ? 4 ? 0 ,所以

S ?ABF ? S ?PBF ? S ?PAF ?

1 1 | PF | ? | x1 ? x2 |? ? 3 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 2 2

18 k 2 ? 4 , ? 3k 2 ? 4

………………………………………………………………(3 分)

2 2 2 令 t ? k ? 4 ,则 t ? 0 , 3k ? 4 ? 3t ? 16 故 S ?ABF ?

18 k 2 ? 4 18t 18 ? 2 ? 2 3k ? 4 3t ? 16 3t ? 16 t

?

16 16 2 21 18 3 3 2 (当且仅当 3t ? ,即 t ? ,k ? 取等号)。 ………(5 分) ? t 3 3 4 2 3 ? 16

所以,△ ABF 面积的最大值是

3 3 。 4

……………………………………………(6 分


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