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2016年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题(含解析)


2016 年福建省高中数学竞赛 暨 2016 年全国高中数学联赛 (福建省赛区) 预赛试卷参考答案 (考试时间:2016 年 5 月 22 日上午 9:00 -11:30,满分 160 分)
一、填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上)

? ? 1.若函数 f ( x) ? 3cos(? x ? ) ?

sin(? x ? ) ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? ,则 f ( x) 在区间 6 3
? ?? 0 , 上的最大值为 ? ? 2? ?
【答案】 【解答】∵ 。

2 3
f ( x)? 3 c o ?s ( x?

?
6

?) ? s ix n? ( 3

?

? ) ?3 x co ? s ( ? ? )x ? s i n? ( 6 6 2

?

?

?

)

? 3cos(? x ? ) ? cos(? x ? ) ? 4 cos(? x ? ) ,且 f ( x) 的最小正周期为 ? 。 6 6 6

?

?

?



? ? ? 7? ? ?? ? ? 2 , f ( x) ? 4 cos(2 x ? ) 。又 x ? ?0 , ? 时, ? 2 x ? ? , 6 6 6 6 ? 2?
2x ?



?
6

?

?

? ?? ,即 x ? 0 时, f ( x) 在区间 ?0 , ? 上取最大值 2 3 。 6 ? 2?

1 ? ? 2.已知集合 A ? ? x x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ? , B ? ? x ? a ? ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范 x ?3 ? ?
围为 【答案】 。
1 (? , ? ?) 2 1 ? ax ? 3a ? 1 ? a ,得 ? 0。 x?3 x?3

【解答】 A ? ? x 1 ? x ? 2 ? 。由 ∴
a ? 0 时, B ? ? x x ? 3

? 。满足 A ? B 。

1

? ax ? 3a ? 1 a ? 0 时,由 ? 0 ,得 x?3

1 x?( 3? ) a ? 0 ,B ? ? x x ? 3 或 x ? 3 ? 1 ? 。满足 A ? B 。 ? ? a ? x ?3 ?

1 x ? (3 ? ) ? ax ? 3a ? 1 1 ? ? a a ? 0 时,由 ? 0 ,得 ? 0 , B ? ? x 3 ? ? x ? 3 ? 。由满足 A ? B , x?3 a x ?3 ? ?
得3?
1 1 ? 1, ? ? a ? 0 。 a 2

1 1 ? ?) 。 综合得, a ? ? 。 a 的取值范围为 ( ? , 2 2

3.函数 f ( x) ? x2 ln x ? x2 ? 2 零点的个数为 【答案】 【解答】
0? x?e
? 3 2


x( 2 l n ? x。 3 )

1 ∵
f ?( x)? 2 x l nx ? x ? 2x ?
? 3 2

时, f ?( x) ? 0 ; x ? e
? 3 2

时, f ?( x) ? 0 。
? 3 2



f ( x) 在区间 (0 , e
? 3 2

) 上为减函数,在区间 (e

, ? ?) 上为增函数。

又0 ? x ? e
f (e
? 3 2

3 1 时, ln x ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 0 , f ( x) ? x2 (ln x ? 1) ? 2 ? 0 ; 2 2

3 ) ? e ? 3 (? ? 1) ? 2 ? 0 , f (e) ? 2e2 ? 2 ? 0 。 2

∴ 函数 f ( x) 的零点个数为 1。 或:作图考察函数 y ? ln x 与 y ?
2 ? 1 图像交点的个数。 x2

4.如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,二面角 B ? AC 1 ? D 的大小为 【答案】
120?
E ,连结 DE 。 【解答】设正方体棱长为 1。作 BE ? AC 1 于



D1 A1 D A B B1

C1

由正方体的性质知, △A1DC ≌△A1BC 。 ∴ , ?BED 为二面角 B ? AC D E? 1 AC 1 ? D 的平面角,

且 BE ? DE ?

2 , BD ? 2 。 3

C

2



2 2 ? ?2 1 cos ?BED ? 3 3 ?? 。 2 2 2 2? ? 3 3

(第 4 题)

D1 A1 D A B E B1

C1

120? 。 ∴ 二面角 B ? AC 1 ? D 的大小为

或:设 AC 、BD 交于点 O ,由 ?BEO ? 60? ,得 ?BED ? 120? 。

C

5 . 在 空 间 四 边 形 ABCD 中 , 已 知 AB ? 2 , BC ? 3 , CD ? 4 , DA ? 5 , 则 uuu r uuu r 。 A C? B D ? 【答案】

uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 【解答】 以 AB , BC , CD 为基底向量。则 AD ? AB ? BC ? CD 。

uuu r2 uu u r uuu r uuu r AD ? ( AB ? BC ? CD ) 2 ,

7

A

uuu r 2 uu u r 2 uuu r 2 uuu r 2 uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r 即 AD ? AB ? BC ? CD ? 2 AB ? BC ? 2 AB ? CD ? 2BC ? CD 。 u uur u uur u uur u uur u uur u uur ∴ 2 5? 4? 9? 1 6 ? A2 B ( B ? C ?A B ? C D ? B C?, C) D u uur u uur u uur u uur u uur u uur ∴ A B? B C 。 ? AB ? C? D B? C C ? 2D ? u uur u uur u uur u uur u uur u uur ∴ A C? B D ?( A B ? B )C ?( B? C )C D uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ? AB ? BC ? AB ? CD ? BC ? CD ? BC ? BC ? ?2 ? 9 ? 7 。

B C

D

6.已知直线 l 过椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1的左焦点 F 且交椭圆 C 于 A 、 B 两点。 O 为坐标原 2

点,若 OA ? OB ,则点 O 到直线 AB 的距离为 【答案】 【解答】



6 3
F (? 1 ,0。显然 ) x 轴不符合要求。设直线 AB 方程为 x ? ty ? 1 。

? x ? ty ? 1 ? 由 ? x2 ,得 (t 2 ? 2) y 2 ? 2ty ?1 ? 0 2 ? y ?1 ? ? 2

………… ①

①的判别式大于 0。设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 由 OA ? OB ,得
3

2t ?1 , y1 y2 ? 2 。 t ?2 t ?2
2

x1 x2 ? y1 y2 ? (ty1 ? 1)(ty2 ? 1) ? y1 y2 ? (t 2 ? 1) y1 y2 ? t ( y1 ? y2 ) ? 1 ?

?(t 2 ? 1) 2t ?t? 2 ?1 ? 0 。 2 t ?2 t ?2



, ?(t 2 ? 1 ) ? t 22 ?t 2 ? 2 ? 0t 2 ?

1 。 2

∴ 点 O 到直线 AB 的距离为

1 1? t
2

?

1 1? 1 2

?

6 。 3

3 7.已知 z ? C ,若关于 x 的方程 x 2 ? 2 zx ? ? i ? 0( i 为虚数单位)有实数根,则复数 z 的 4

模 z 的最小值为 【答案】 1



3 【解答】设 z ? a ? bi ( a , b ? R ) , x ? x0 是方程 x 2 ? 2 zx ? ? i ? 0 的一个实数根。 4 3 2 ? 2(a ? bi ) x0 ? ? i ? 0 。 则 x0 4



3 ? 2 ? x0 ? 2ax0 ? ? 0 L L L ① 。 4 ? ? LLL ② ? ? 2bx0 ? 1 ? 0
1 1 1 3 3b 2 ? 1 ,代入①,得 2 ? 2a ? ? ? 0 , 3b2 ? 4ab ? 1 ? 0 , a ? 。 2b 4b 2b 4 4b

由②得, x0 ? ∴ 成立。 ∴ (a ?
z
2

2 2 ? a ? b ?(

3b2 ? 1 2 25 2 1 3 5 3 5 2 ) ? b? b ? ? ? ? ? 1 , 当且仅当 b ? ? 时等号 2 4b 16 1 b6 8 8 8 5

z 的最小值为 1。
2 5 5 2 5 5 2 5 5 ? i) ) ,b ? 或a ? ? ,b ? ? ,即 z ? ?( 。 5 5 5 5 5 5

8.将 16 本相同的书全部分给 4 个班级,每个班级至少有一本书,且各班所得书的数量 互不相同,则不同的分配方法种数为 【答案】 216 将 16 分解成 4 个互不相同的正整数的和有 9 种不同的方式:
4

。 (用数字作答)

【解答】 ∵

16 ? 1 ? 2 ? 3 ? 10 , 16 ? 1 ? 2 ? 4 ? 9 , 16 ? 1 ? 2 ? 5 ? 8 , 16 ? 1 ? 2 ? 6 ? 7 , 16 ? 1 ? 3 ? 4 ? 8 , 16 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 , 16 ? 1 ? 4 ? 5 ? 6 , 16 ? 2 ? 3 ? 4 ? 7 , 16 ? 2 ? 3 ? 5 ? 6 。
4 ∴ 符合条件的不同分配方法有 9 A4 ? 216 种。

9.f ( x) 是定义在 R 的函数, 若 f (0) ? 1008 , 且对任意 x ? R , 满足 f ( x ? 4) ? f ( x) ? 2( x ? 1) ,
f ( x ? 12) ? f ( x) ? 6( x ? 5) ,则
f (2016) ? 2016



【答案】 【解答】 ∵ ∴

504

对任意 x ? R , f ( x ? 4) ? f ( x) ? 2( x ? 1) ,

f ( x ?12) ? f ( x) ? ? f ( x ?12) ? f ( x ? 8)? ? ? f ( x ? 8) ? f ( x ? 4)? ? ? f ( x ? 4) ? f ( x)? ? 2?( x ? 8) ?1? ? 2?( x ? 4) ?1? ? 2( x ?1) ? 6x ? 30 ? 6( x ? 5)

又 f ( x ? 12) ? f ( x) ? 6( x ? 5) , ∴ ∴
f ( x ? 12) ? f ( x) ? 6( x ? 5) 。

f (2016) ? ? f (2016) ? f (2004)? ? ? f (2004) ? f (1992)? ? L ? ? f (12) ? f (0)? ? f (0)
(2009 ? 5) ?168 ? 1008 ? 1008 ?1008 。 2

? 6 ? 2009 ? 6 ?1997 ? L ? 6 ? 5 ? 1008 ? 6 ?



f (2016) 1008 ? ? 504 。 2016 2

10.当 x , y , z 为正数时,

4 xz ? yz 的最大值为 x ? y2 ? z2
2



【答案】 【解答】

17 2


x2 ?

4 16 2 16 z 时等号成立, z ?2 xz ,当且仅当 x ? 17 17 17

y2 ?

1 1 2 1 z 时等号成立。 z ?2 yz ,当且仅当 y ? 17 17 17

5



2 x2 ? y 2? z 2? ( x ?

16 2 1 16 z )? y ( ?2 z ? )2 2 xz ? 17 16 17

1 2 2 yz ? xz (? 4 yz 。 ) 1 7 17

∴ 立。 ∴

4 1 4 x z? y z 17 ,当且仅当 x ? z,y ? z ,即 x : ? y: z ? 4 :: 1 17 时等号成 2 2 x ? y? z 2 17 17
2

4 x z? y z 17 的最大值为 。 2 2 x ? y? z 2
2

注 : 本 题 利 用 待 定 系 数 法 。 将 z 2 拆 成 两 项 ? z 2 和 (1 ? ? ) z 2 。 由 x2 ? ? z 2 ? 2 ? xz ,

y2 ? (1 ? ? ) z 2 ? 2 1 ? ? yz ,以及

16 2 ? 4 ? ,得 ? ? 。由此得到本题的解法。 17 2 1? ? 1

二、解答题(共 5 小题,每小题 20 分,满分 100 分。要求写出解题过程) 11.已知数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn ? 2an ? 2 ( n ? N * ) 。 (1)求 ? an ? 的通项公式 an ; (2)设 bn ? 有 Tk ? Tn ; (3) 设 cn ?

1 1 ,Tn 是数列 ? bn ? 的前 n 项和,求正整数 k ,使得对任意 n ? N * 均 ? an n(n ? 1)

a n ?1 ( 1 ? an ) ( 1 ? a n)? 1

,Rn 是数列 ? cn ? 的前 n 项和,若对任意 n ? N * 均有 Rn ? ? 成

立,求 ? 的最小值。 【解答】 (1)由 Sn ? 2an ? 2 ,得 S n ? 1 ? 2a n ? 1 ? 2 。两式相减,得 a n ? 1 ? 2a n ? 1 ? 2an 。 ∴

a n ? 1 ? 2an ,数列 ? an ? 为等比数列,公比 q ? 2 。

由又 S1 ? 2a1 ? 2 ,得 a1 ? 2a1 ? 2 , a1 ? 2 。 ∴

an ? 2n 。

………………………………

5分

(2) bn ?

1 1 1 ? n(n ? 1) ? ? ? ?1 ? 。 n n ? 2 n(n ? 1) n(n ? 1) ? 2 ?
n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)(n ? 2) ? n(n ? 1) ? ? ? ? 0 ,得当 n ? 5 时,数列 ? ?为 n n ?1 n ?1 n 2 2 2 ? 2 ? n(n ? 1) 5 ? (5 ? 1) ? ? 1。 2n 25

由计算可知, b1 ? 0 , b2 ? 0 , b3 ? 0 , b4 ? 0 。 当 n ? 5 时,由

递减数列。于是, n ? 5 时, ∴
n ? 5 时, bn ?

1 ? n(n ? 1) ? ?1 ? ? 0 。 n ? n(n ? 1) ? 2 ?

因此, T1 ? T2 ? T3 ? T4 , T4 ? T5 ? T6 ? L 。
6

∴ 对任意 n ? N * 均有 T4 ? Tn 。故 k ? 4 。 (3)∵

……………………………… ………

10 分 15 分

2n ? 1 1 1 cn ? ? ? 2( n ? n ?1 ) n n ?1 (1 ? an )(1 ? a n ? 1 ) (1 ? 2 )(1 ? 2 ) 2 ?1 2 ?1 a n ?1
n



1 1 ? 1 1 Rn ? 2 ? ( ? ) ? ( ? ?)L ? 5 9 ? 3 5

1 ( ? 2 ? 1

n ?1

1 ? ? ) 2? ? ?1

1 1 2 2 。 ? 2 ( n? 1 ? ? ) n ?1 3 ?2 1 3? 2

1

∵ 对任意 n ? N * 均有 Rn ? ? 成立, ∴

??

2 2 。 ? 的最小值为 。 3 3

…………………… 20 分

12.已知 f ( x) ? ln(ax ? b) ? x2 ( a ? 0 ) 。
f (1)) 处的切线方程为 y ? x ,求 a , b 的值; (1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1,

(2)若 f ( x) ? x2 ? x 恒成立,求 ab 的最大值。 【解答】 (1) f ?( x) ?
a ? 2x 。 ax ? b

a ? ? ? 2 ?1 ? f (1) ? 依题意,有 ? 。解得, a ? ?1 , b ? 2 。 a?b ? ? f (1) ? ln(a ? b) ? 1 ? 1

a ? ?1 , b ? 2 。

……………………………………

5分

(2)设 g ( x) ? f ( x) ? ( x2 ? x) ,则 g ( x) ? ln(ax ? b) ? x , g ( x) ? 0 。 ①
b a ? 0 时, g ( x) 定义域 ( ?? , ? ), a
? b ?1 a

e b 取 x0 使得 ln(ax0 ? b) ? ? ? 1 ,得 x0 ? a

?b

a

??

b 。 a

b b b 则 g ( x0 ) ? ln(ax0 ? b) ? x0 ? ln(ax0 ? b) ? (? ) ? (? ? 1) ? ? 1 ? 0 与 g ( x) ? 0 矛盾。 a a a



a ? 0 时, g ( x) ? 0 不恒成立,即 a ? 0 不符合要求。

………………

10 分



a a ? 0 时, g ?( x) ? ?1 ? ax ? b

?a ( x ?

a ?b ) a ( ax ? b ? 0 ) 。 ax ? b

当?

b a ?b a?b ?x? 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? 时, g ?( x) ? 0 。 a a a

7



b a ?b a ?b ) 上为增函数,在区间 ( , ? ? ) 上为减函数。 g ( x) 在区间 ( ? , a a a b a ?b ? ? ) 上有最大值,最大值为 g ( )。 g ( x) 在其定义域 ( ? , a a a ?b a ?b ) ? ln a ? ? 0。 a a



由 g ( x) ? 0 ,得 g ( ∴ ∴ ∴ ∴ ∴

b ? a ? a ln a 。

…………………………………

15 分

ab ? a 2 ? a 2 ln a 。

设 h(a) ? a2 ? a2 ln a ,则 h?(a) ? 2a ? (2a ln a ? a) ? a(1 ? 2ln a) 。

0 ? a ? e 时, h?(a) ? 0 ; a ? e 时, h?(a) ? 0 。
h(a) 在区间 (0 , e ) 上为增函数,在区间 ( e , ? ?) 上为减函数。
h(a) 的最大值为 h( e ) ? e ?
e e ? 。 2 2

∴ 当a ? e ,b ?

e e 时, ab 取最大值为 。 2 2
e 。 2

综合①,②得, ab 的最大值为

…………………………………

20 分

8

13.如图,⊙O 为 △ABC 的外接圆, DA 是 ⊙O 的切线,且 ?DBA ? ?ABC , E 是直线 DB 与 ⊙O 的另一交点。点 F 在 ⊙O 上,且 BF∥EC ,G 是 CF 的延长线与切线 DA 的交点。求证:
AG ? AD 。

G

F

C E B

O A

D
(第 13 题) 【解答】在 △ABC 和 △ABD 中,由 DA 是 ⊙O 的切线知,
?BAD ? ?BCA 。又 ?DBA ? ?ABC 。

∴ ∵ ∴ ∴ ∴

?A D B? ? C A B 。
A 、 B 、 E 、 C 四点共圆,

…………………………………

5分

?CAB ? ?CEB ? 180? 。 ?ADE ? ?DEC ? 180? 。 EC ∥ D。 A

………………………………

10 分

又 BF∥EC , ∴ ∴
EC ∥ B∥ F D。 G
G C? D E , GF ? DB 。

由 EC , BF 是 ⊙O 的两条平行弦知 CF ? EB 。 …………………………………
9

15 分

又 GA2 ? GF ? GC , DA2 ? DB ? DE 。 ∴
GA2 ? DA2 , AG ? AD 。

…………………………………

20 分

14.如图, F1 、 F2 为双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点,动点 P( x0 , y0 ) ( y0 ? 1 )在双 4

0) ,交 y 轴于点 N 。 曲线 C 上的右支上。设 ?F1PF2 的角平分线交 x 轴于点 M (m ,

(1)求 m 的取值范围; (2) 设过 F1 ,N 的直线 l 交双曲线 C 于点 D ,E 两点,求 △F2 DE 面积的最大值。 【解答】 (1)依题意, F1 (? 5 , 0) , F2 ( 5 , 0) 。 直线 PF1 方程为 y ? 程为 y ?

y0 ? 0 x0 ? 5

直线 PF2 方 ( x ? 5) ;

y0 ? 0 x0 ? 5

( x ? 5) 。
(第 14 题)

即直线 PF1 方程为 y0 x ? ( x0 ? 5) y ? 5 y0 ? 0 ; 直线 PF2 方程为 y0 x ? ( x0 ? 5) y ? 5 y0 ? 0 。
0) 在 ?F1PF2 的平分线上,得 由点 M (m ,

y0 m ? 5 y0
2 y0 ? ( x0 ? 5)2

?

y0 m ? 5 y0
2 y0 ? ( x0 ? 5)2



2 ? 由 ? 5 ? m ? 5 , y0 ? 1 ,以及 y0

1 2 x0 ? 1 ,得 x0 ? 2 2 。 4



2 y0 ? ( x 0? 5) 2 ?

5 2 5 5 2 2 x 0? 2 5 x ? x ?02) , y0 ? ( x0 ? 5)2 ? ( x0 ? 2)2 。 0 4?( 4 2 2
…………………………… 5分



m? 5 5?m 4 。m ? 。 ? x0 5 5 x0 ? 2 x0 ? 2 2 2

10

结合 x0 ? 2 2 ,得 0 ? ∴

4 ? 2。 x0
……………………………………
y0 ? 0 4 (x ? ) 。 4 x0 x0 ? x0

m 的取值范围为 0 , 2 ? ?。

?

10 分

(2)由(1)知,直线 PM 方程为 y ?

1 ) 4 y0 y0 1 1 1 令 x ? 0 ,得 y ? ? 2 。 ? ? 。故,点 N 坐标为 (0 , ? ) 。 kl ? ?? x0 ? 4 y0 y0 ? 5 ?0 5 y0 0 ? (?
∴ 直线 l 方程为 y ? ?

1 ( x ? 5) 。 5 y0

1 ? ? y ? ? 5 y ( x ? 5) ? 2 0 由? ,消 x 得 (5 y0 ? 4) y 2 ? 10 y0 y ? 1 ? 0 2 ? x ? y2 ? 1 ? ? 4
2 2 2 ① 的判别式 △ ? 100 y0 ? 4(5 y0 ? 4) ? 80 y0 ? 16 ? 0 。

…………… ①

设 D( x1 , y1 ) , E( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ? ∴

10 y0 1 , y1 y2 ? 2 。 2 5 y0 ? 4 5 y0 ? 4

…………

15 分

y1 ? y2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? (?

2 4 5 y0 ?1 10 y0 2 1 ) ? 4 ? ? 。 2 2 2 5 y0 ? 4 5 y0 ? 4 5 y0 ?4

由 y0 ? 1 ,得 y1 ? y2 ? ? ∴

10 y0 1 ? 0 , y1 y2 ? 2 ?0。 2 5 y0 ? 4 5 y0 ? 4
S△F2 DE 1 ? F1 F 2 ? y 1 ?y 2
2 4 5y0 ? 1 1 ?2 5? 。 2? 2 2 5 y0 ? 4

y1 ? 0 , y2 ? 0 ,

2 设 5 y0 ? 4 ? t ,则 t ? 1 ,

S△F2 DE ? 4 5 ?
∴ ∴

t ?5 5 1 1 1 1 ? 4 5 ? 2 ? ? 4 5 ? 5( ? ) 2 ? 。 t t t t 10 20
………………………… 20 分

t ? 1 ,即点 P 为 P(2 2 , 1) 时, △F2 DE 面积取最大值 4 30 。

面积的最大值为 4 30 。 △F2 D E

11

15.求满足下列条件的最小正整数 n :若将集合 A ? ? 1,,, 2 3 L, n ? 任意划分为 63 个两 两不相交的子集(它们非空且并集为集合 A ) A1 , A 2 , A 3 ,…, A 6 3 ,则总存在两个正整 数 x , y 属于同一个子集 Ai ( 1 ? i ? 63 )且 x ? y , 31x ? 32 y 。 【解答】考虑模 63 的剩余类,即将集合 A 划分为如下 63 个两两不相交的子集:
A i ? ? a a ? 63k ? i , k ? N ? , i ? 1 ,2,3,…,63。 ………………………

5分

则对每一个 Ai ( 1 ? i ? 63 )及任意的 x , y ? Ai ( x ? y )都有 x ? y ? 63 。 于是, y ? x ? 63 , x ? n 。 ∴
3 2y ? 3 x 1? 3 2 x( ? 6? 3) x 3 ?1 x ? ?3 2 ? n 6 3? 。 2 0 1 6

若 n ? 2016 ,则 32 y ? 31x ? n ? 2016 ? 0 , 31x ? 32 y ,与 31x ? 32 y 矛盾。 ∴
n ? 2016 时,不满足题设条件。

……………………………

10 分

另一方面,当 n ? 2016 时,由 2016 ? 32 ? 63 知,下列 64 个数: 31? 63 , 31? 63 ? 1 ,
31? 63 ? 2 ,…, 31? 63 ? 63 都在集合 A 中。

因此,对将 A ? ? 1,,, 2 3 L, n ? 任意划分为 63 个两两不相交的子集 A1 , A 2 , A 3 ,…,

A 6 3 的划分方法,由抽屉原则知, 31? 63 , 31? 63 ? 1 , 31? 63 ? 2 ,…, 31? 63 ? 63 这 64 个数
中必有两个数 x , y ( x ? y )属于同一个 Ai 。 …………………………… 15 分 设 x ? 31? 63 ? x1 , y ? 31? 63 ? y1 , 63 ? x1 ? y1 ? 0 。 于是, 31x ? 32 y ? 31(31? 63 ? x1 ) ? 32(31? 63 ? y1 ) ? (31x1 ? 32 y1 ) ? 31? 63(31 ? 32)

? 31x1 ? 31? 63 ? 31? 63 ? 31? 63 ? 0 。

n ? 2016 ,满足题设的条件。

综上可知,满足题设条件的 n 的最小值为 2016。

……………………

20 分

12


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2016年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷及参考答案

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2016年全国高中数学联赛福建省预赛试卷及答案

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2010年福建省高中数学竞赛暨全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷(含答案)

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二00四年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷(附答案)

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2015年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题精编(附答案)

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2016年全国高中数学联赛福建省预赛试卷

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2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题+答案(word打印版)

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2009年福建省高中数学竞赛暨2009年全国高中联赛(福建省赛区)预赛试卷(详细解答)

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