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宁夏银川九中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)


宁夏银川九中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(理科)
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)如果 a<0,b>0,那么,下列不等式中正确的是() A. B. C.a <b
2 2

D.|a|>|b|

2. (5 分)已知等差数列{an}满足 a2+a8=12

,则 a5=() A.4 B. 5 C. 6
*

D.7

3. (5 分)已知数列{an}对任意的 p,q∈N 满足 ap+q=ap+aq,且 a2=﹣6,那么 a10 等于() A.﹣165 B.﹣33 C.﹣30 D.﹣21

4. (5 分)设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 A.2 B. 4 C.

=()

D.

5. (5 分)一个等差数列的前 5 项和为 10,前 10 项和为 50,那么它的前 15 项和为() A.210 B.120 C.100 D.85

6. (5 分)不等式组

所表示的平面区域的面积为()

A.

B.27

C.30

D.

7. (5 分)如图是 2014 年银川九中举行的校园之星评选活动中,七位评委为某位同学打出 的分数的茎叶统计图,则数据的中位数和众数分别为()

A.86,84 8. (5 分)函数 y= A.{x|x≥0}

B.84,84

C.85,84 的定义域为()

D.85,93

B.{x|x≥1}

C.{x|0≤x≤1}

D.{x|x≥1}∪{0}

9. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为()

A.1

B.

C.

D.

10. (5 分)已知函数 围是() A.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) (﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) 11. (5 分)已知 x>0,y>0,且 () A.(﹣4,2)

若 f(2﹣a )>f(a) ,则实数 a 的取值范

2

B.(﹣1,2)

C. (﹣2,1)

D.

=1,若 x+2y>m +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围

2

B.(﹣1,2)

C.(1,2)

D.(﹣2,4)

12. (5 分)定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x) ,如果对于任意给定的等比数 列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(﹣∞,0) 2 x ∪ (0, +∞) 上的如下函数: ①f (x) =x ; ②f (x) =2 ; ③f (x) = ; ④f (x) =ln|x|. 则 其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为() A.①② B.③④ C.①③ D.②④

二.填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)把 89 化为二进制的结果是. 14. (5 分) 某校现有 2014-2015 学年高一学生 210 人, 2014-2015 学年高二学生 270 人, 2015 届高三学生 300 人, 用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调

查,如果已知从 2014-2015 学年高一学生中抽取的人数为 7,那么从 2015 届高三学生中抽 取的人数应为. 15. (5 分) 已知△ ABC 的一个内角为 120°, 并且三边长构成公差为 4 的等差数列, 则△ ABC 的面积为. 16. (5 分)以下命题正确的是. ①若 a +b =8,则 ab 的最大值为 4; n n+1 2 ②若数列{an}的通项公式为 an=2 +2n﹣1,则数列{an}的前 n 项和为 2 +n ﹣2; ③若 x∈R,则 x+ 的最小值为 6;
* n 2 2

④已知数列{an}的递推关系 a1=1,an=3an﹣1+2(n≥2,n∈N ) ,则通项 an=2?3 ﹣1. ⑤已知 则 4x+2y 的取值范围是.

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.必须写出相应的文字说明、过程或步骤) 2 17. (10 分)已知集合 A={x||x﹣a|≤1},B={x|x ﹣5x+4≥0}.若 A∩B=?,求实数 a 的取值范 围. 18. (12 分)从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 到 350 度 之间,频率分布直方图如图所示.求 (Ⅰ)直方图中 x 的值; (Ⅱ)在这些用户中,用电量落在区间 5. (5 分)一个等差数列的前 5 项和为 10,前 10 项和为 50,那么它的前 15 项和为() A.210 B.120 C.100 D.85 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由已知得 S5,S10﹣S5,S15﹣S10 成等差数列,由此能求出 S15=120. 解答: 解:由已知得 S5,S10﹣S5,S15﹣S10 成等差数列, ∵一个等差数列的前 5 项的和为 10,前 10 项的和为 50, ∴10,40,S15﹣50 成等差数列, ∴10+S15﹣50=80, 解得 S15=120. 故选:B. 点评: 本题考查等差数列的前 15 项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差 数列的性质的合理运用.

6. (5 分)不等式组

所表示的平面区域的面积为()

A.

B.27

C.30

D.

考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 画出不等式组

所表示的平面区域为直角三角形 ABC 及其内部的部

分,求得 A、B、C 各个点的坐标,可得直角三角形 ABC 的面积.

解答: 解:不等式组

表示的平面区域为直角三角形 ABC 及其内部的部分,

如图所示:容易求得 A(﹣ , ) ,B(3,﹣3) ,C(3,8) ,

不等式组

表示的平面区域的面积是三角形 ABC 的面积,结合图形可求 A 到

BC 的距离 d=|﹣ ﹣3|= 即 S△ ABC= 故选:A. d×BC=

,|BC|=11, = ,

点评: 本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域, 体现了数形结合的数学思想, 属于 基础题. 7. (5 分)如图是 2014 年银川九中举行的校园之星评选活动中,七位评委为某位同学打出 的分数的茎叶统计图,则数据的中位数和众数分别为()

A.86,84

B.84,84

C.85,84

D.85,93

考点: 茎叶图;众数、中位数、平均数. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 按照茎叶图,这组数据是 79,84,84,84,86,87,93 在这组数据中出现的次数 最多的是 84,把这组数据按照从小到大的顺序排列,最中间一个是 84,得到众数和中位数. 解答: 解:按照茎叶图,这组数据是 79,84,84,84,86,87,93 在这组数据中出现的次数最多的是 84, ∴众数是 84, 把这组数据按照从小到大的顺序排列,最中间一个是 84, ∴中位数是 84, 故选:B. 点评: 对于一组数据,通常要求的是这组数据的众数,中位数,平均数分别表示一组数据 的特征,这样的问题可以出现在选择题或填空题.考查茎叶图的知识点. 8. (5 分)函数 y= A.{x|x≥0} B.{x|x≥1} 的定义域为() C.{x|0≤x≤1} D.{x|x≥1}∪{0}

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 要使函数有意义,只需 x(x﹣1)≥0 且 x≥0,解之即可. 解答: 解:要使函数有意义,只需 x(x﹣1)≥0,且 x≥0, 解得 x=0 或 x≥1, ∴函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}, 故选 D. 点评: 本 题主要考查求函数的定义域的方法,求函数定义域即求使得式子有意义即可, 属于基础题. 9. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为()

A.1

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 从框图赋值入手,先执行一次运算,然后判断运算后的 i 的值与 2 的大小,满足判 断框中的条件,则跳出循环,否则继续执行循环,直到条件满足为止. 解答: 解:框图首先给变量 i 和 S 赋值 0 和 1 . 执行 ,i=0+1=1;

判断 1≥2 不成立,执行

,i=1+1=2;

判断 2≥2 成立,算法结束 ,跳出循环,输出 S 的值为



故选 C. 点评: 本题考查了程序框图,考查了直到型结构,直到型循环是先执行后判断,不满足条 件执行循环,直到条件满足结束循环,是基础题.

10. (5 分)已知函数 围是() A.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) (﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)

若 f(2﹣a )>f(a) ,则实数 a 的取值范

2

B.(﹣1,2)

C. (﹣2,1)

D.

考点: 函数单调性的性质;其他不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题义知分段函数求值应分段处理,利用函数的单调性求解不等式.

解答: 解: 由 f(x)的解析式可知,f(x)在(﹣∞,+∞)上是单调递增函数,在由 f(2﹣a )>f(a) , 2 得 2﹣a >a 2 即 a +a﹣2<0,解得﹣2<a<1. 故选 C 点评: 此题重点考查了分段函数的求值, 还考查了利用函数的单调性求解不等式, 同时一 元二次不等式求解也要过关.
2 2

11. (5 分)已知 x>0,y>0,且 () A.(﹣4,2)

=1,若 x+2y>m +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围

B.(﹣1,2)

C.(1,2)

D.(﹣2,4)

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 化为 x+2y=( ) (x+2y)=4+ =1, ≥8, ,利用不等式得出 8>m +2m,即可求解.
2

解答: 解:∵x>0,y>0,且 ∴x+2y=(
2

) (x+2y)=4+

∵若 x+2y>m +2m 恒成立, 2 ∴8>m +2m, 即﹣4<m<2, 故选:A 点评: 本题考查了均值不等的运用,不等式的恒成立,属于中档题. 12. (5 分)定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x) ,如果对于任意给定的等比数 列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(﹣∞,0) 2 x ∪ (0, +∞) 上的如下函数: ①f (x) =x ; ②f (x) =2 ; ③f (x) = ; ④f (x) =ln|x|. 则 其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为() A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 考点: 等比关系的确定. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 根据新定义,结合等比数列性质 解答: 解:由等比数列性质知 ① , =f (an+1) ,故正确;
2

,一一加以判断,即可得到结论.

② ③ ④f(an)f(an+2)=ln|an|ln|an+2|≠ =
2



=f (an+1) ,故不正确; =f (an+1) ,故正确;
2

2

=f (an+1) ,故不正确;

故选 C 点评: 本题考查等比数列性质及函数计算,正确运算,理解新定义是解题的关键. 二.填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)把 89 化为二进制的结果是 1011001(2) . 考点: 进位制. 专题: 计算题. 分析: 利用“除 k 取余法”是将十进制数除以 2,然后将商继续除以 2,直到商为 0,然后 将依次所得的余数倒序排列即可得到答案. 解答: 解:89÷2=44…1 44÷2=22…0 22÷2=11…0 11÷2=5…1 5÷2=2…1 2÷2=1…0 1÷2=0…1 故 89(10)=1011001(2) 故答案为:1011001(2) 点评: 本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化,其中熟练掌握“除 k 取余法” 的方法步骤是解答本题的关键.属于基础题. 14. (5 分) 某校现有 2014-2015 学年高一学生 210 人, 2014-2015 学年高二学生 270 人, 2015 届高三学生 300 人, 用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调 查,如果已知从 2014-2015 学年高一学生中抽取的人数为 7,那么从 2015 届高三学生中抽 取的人数应为 10. 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题. 分析: 设从 2015 届高三学生中抽取的人数应为 x,根据分层抽样的定义和方法可得 ,由此求得 x 的值,即为所求. 解答: 解:设从 2015 届高三学生中抽取的人数应为 x,根据分层抽样的定义和方法可得 ,解得 x=10, 故答案为 10. 点评: 本题主要考查分层抽样的定义和方法, 利用了总体中各层的个体数之比等于样本中 对应各层的样本数之比,属于基础题.

15. (5 分) 已知△ ABC 的一个内角为 120°, 并且三边长构成公差为 4 的等差数列, 则△ ABC 的面积为 15 . 考点: 余弦定理;数列的应用;正弦定理. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 因为三角形三边构成公差为 4 的等差数列,设中间的一条边为 x,则最大的边为 x+4,最小的边为 x﹣4,根据余弦定理表示出 cos120°的式子,将各自设出的值代入即可得 到关于 x 的方程, 求出方程的解即可得到三角形的边长, 然后利用三角形的面积公式即可求 出三角形 ABC 的面积. 解答: 解:设三角形的三边分别为 x﹣4,x,x+4, 则 cos120°= 化简得:x﹣16=4﹣x,解得 x=10, 所以三角形的三边分别为:6,10,14 则△ ABC 的面积 S= ×6×10sin120°=15 . =﹣ ,

故答案为:15 点评: 此题考查学生掌握等差数列的性质, 灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求 值,是一道中档题. 16. (5 分)以下命题正确的是①②. 2 2 ①若 a +b =8,则 ab 的最大值为 4; n n+1 2 ②若数列{an}的通项公式为 an=2 +2n﹣1,则数列{an}的前 n 项和为 2 +n ﹣2; ③若 x∈R,则 x+ 的最小值为 6;
* n

④已知数列{an}的递推关系 a1=1,an=3an﹣1+2(n≥2,n∈N ) ,则通项 an=2?3 ﹣1. ⑤已知 则 4x+2y 的取值范围是.

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 2 2 分析: ①由 a +b ≥2ab,可得,2ab≤8 利用不等式判断; 1 2 3 n ②Sn=(2 +2 +2 +…+2 )+2(1+2+3+…+n)﹣n 可求结果; ③x∈R,则 x+
n

的值可以为负值,最小值不为 6;

④若通项 an=2?3 ﹣1,验证 a1 是否成立; ⑤4x+2y=3(x+y)+(x﹣y) ,故 2≤3(x+y)+(x﹣y)≤11,可求范围. 2 2 解答: 解:①由 a +b ≥2ab,可得,2ab≤8,∴ab,4 即 ab 的最大值 4,①正确;

②Sn=(2 +2 +2 +…+2 )+2(1+2+3+…+n)﹣n= ﹣2,②正确; ③x∈R,则 x+
n

1

2

3

n

+2?

﹣n=2

n+1

+n

2

的值可以为负值,最小值不为 6,∴③错误;

④若通项 an=2?3 ﹣1,则 a1=2?3﹣1=5,而得 a1=1,∴④错误; ⑤4x+2y=3(x+y)+(x﹣y) ,∴2≤3(x+y)+(x﹣y)≤11,∴⑤错误. 故答案为:①②. 点评: 本题虽然考查简易逻辑的知识,但牵扯到的知识较为广泛,答题时应仔细认真. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.必须写出相应的文字说明、过程或步骤) 17. (10 分)已知集合 A={x||x﹣a|≤1},B={x|x ﹣5x+4≥0}.若 A∩B=?,求实数 a 的取值范 围. 考点: 专题: 分析: 解答: 集合的包含关系判断及应用. 不等式的解法及应用. 先化简集合 A,B,再利用 A∩B=?,建立不等式组,即可求实数 a 的取值范围. 2 解:由题意 A={x||x﹣a|≤1}=,B={x|x ﹣5x+4≥0}=(﹣∞,1]∪
2

考点: 用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据频率分布直方图中各频率和为 1,求出 x 的值; (2)求出用电量落在区间 即(10﹣d) (10+6d)=(10+2d) , 2 整理得 10d ﹣10d=0, 解得 d=0 或 d=1. 当 d=0 时,S20=20a4=200. 当 d=1 时,a1=a4﹣3d=10﹣3×1=7, 于是 =20×7+190=330.
2

点评: 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质.属基础题. 21. (12 分)如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图 2 中阴影部分) ,这两栏的面积之和为 18000cm ,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝 空白的宽度为 5cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm) ,能使矩形广告面积最小?

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 应用题. 分析: 设矩形栏目的高为 acm,宽为 bcm,则依题意可知 ab=9000,代入广告的面积中, 根据基本不等式的性质求得广告面积的最小值.根据等号成立的条件确定广告的高和宽. 解答: 解:设矩形栏目的高为 acm,宽为 bcm,则 ab=9000.① 广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a>0,b>0. 广告的面积 S=(a+20) (2b+25) =2ab+40b+25a+500 =18 500+25a+40b≥18500+2 =18500+2 . 当且仅当 25a=40b 时等号成立,此时 b= ,代入①式得 a=120,从而 b=75.

即当 a=120,b=75 时,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140cm,宽为 175cm 时,可使广告的面积最小. 点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用. 基本不等式在解决生活问题中常 被用到,也是 2015 届高考应用题中热点,平时应用注意这方面的训练. 22. (12 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 n∈N ,点(n,Sn) ,均在函数 x y=b +r(b>0)且 b≠1,b,r 均为常数)的图象上. (1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记 bn= (n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
* *

考点: 数列与函数的综合;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由“对任意的 n∈N ,点(n,Sn) ,均在函数 y=b +r(b>0,且 b≠1,b,r 均 n 2 为常数)的图象上”可得到 Sn=b +r,依次求出 a1、a2、a3,由等比数列的性质(a2) =a1×a3, 解可得答案. (2)结合(1)可知 an=(b﹣1)b
n﹣1 + x

=2

n﹣1

,从而 bn=

,符合一个等

差数列与等比数列相应项之积的形式,用错位相减法求解即可. + x 解答: 解: (1)因为对任意的 n∈N ,点(n,Sn) ,均在函数 y=b +r(b>0,且 b≠1,b, r 均为常数)的图象上. 所以得 Sn=b +r, 当 n=1 时,a1=S1=b+r, 2 1 2 1 a2=S2﹣S1=b +r﹣(b +r)=b ﹣b =(b﹣1)b, 3 2 3 2 2 a3=S3﹣S2=b +r﹣(b +r)=b ﹣b =(b﹣1)b , 2 2 2 又因为{an}为等比数列,所以(a2) =a1×a3,则 =(b﹣1)b ×(b+r) 解可得 r=﹣1, (2)当 b=2 时,an=(b﹣1)b
n﹣1 n

=2

n﹣1

,bn=

则 Tn= Tn= 相减,得 Tn=

+

=

所以 Tn= 点评: 本题主要考查数列与函数的综合运用,主要涉及了数列的通项与前 n 项和间的关 系,错位相减法求和等问题,属中档题,是常考类型.


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