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抛物线高考真题


2010~2014 年高考真题备选题库
1. (2014 湖南,5 分)如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a<b), 原 b 点 O 为 AD 的中点,抛物线 y2=2px(p>0)经过 C,F 两点,则 =________. a 解析:由正方形的定义可知 BC=CD,结合抛物线的定义得点 D 为抛物线的焦点,所以 p ? 2 ?p ? ?p ? 2 |AD|=p=a,D? ?2,0?,F?2+b,b?,将点 F 的坐标代入抛物线的方程得 b =2p?2+b?=a b?2 2b b b b +2ab,变形得? ?a? - a -1=0,解得a=1+ 2或a=1- 2(舍去),所以a=1+ 2. 答案:1+ 2 2. (2014 新课标全国Ⅰ,5 分)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上 一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若 FP =4 FQ ,则|QF|=( 7 A. 2 C.3 5 B. 2 D.2

??? ?

??? ?

)

解析:过点 Q 作 QQ′⊥l 交 l 于点 Q′,因为 FP =4 FQ ,所以 |PQ|∶|PF|=3∶4,又焦点 F 到准线 l 的距离为 4,所以|QF|=|QQ′| =3.故选 C. 答案:C 3. (2014 新课标全国Ⅱ,5 分)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( 3 3 A. 4 63 C. 32 9 3 B. 8 9 D. 4 )

??? ?

??? ?

3 ? 3 3 解析:易知抛物线中 p= ,焦点 F? ?4,0?,直线 AB 的斜率 k= 3 ,故直线 AB 的方程为 2 y= 3? 3? 21 9 x- ,代入抛物线方程 y2=3x,整理得 x2- x+ =0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 3 ? 4? 2 16

21 21 3 x1+x2= .由抛物线的定义可得弦长|AB|=x1+x2+p= + =12,结合图象可得 O 到直线 2 2 2 p 3 1 9 AB 的距离 d= · sin 30° = ,所以△OAB 的面积 S= |AB|· d= . 2 8 2 4 答案:D 4. (2014 辽宁,5 分)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( )

1 A. 2 3 C. 4

2 B. 3 4 D. 3

p 解析:∵A(-2,3)在抛物线 y2=2px 的准线上,∴- =-2,∴p=4,∴y2=8x,设直线 2 AB 的方程为 x=k(y-3)-2
?x=k?y-3?-2, ? ①,将①与 y2=8x 联立,即? 2 得 y2-8ky+24k ? y = 8 x ?

1 +16=0 ②, 则 Δ=(-8k)2-4(24k+16)=0, 即 2k2-3k-2=0, 解得 k=2 或 k=- (舍去), 2 将 k=2 代入①②解得? 答案:D 5. (2014 山东,14 分)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的 任意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有|FA|=|FD|.当点 A 的横坐标为 3 时,△ADF 为正三角形. (1)求 C 的方程; (2)若直线 l1∥l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E, ①证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; ②△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. p ? 解:由题意知 F? ?2,0?. 设 D(t,0)(t>0),则 FD 的中点为? p+2t ? ? 4 ,0?.
? ?x=8

8-0 4 ,即 B(8,8),又 F(2,0),∴kBF= = ,故选 D. 8-2 3 ?y=8 ?

p p t- ?, 因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知 3+ =? 2 ? 2? 解得 t=3+p 或 t=-3(舍去). 由 p+2t =3,解得 p=2. 4

所以抛物线 C 的方程为 y2=4x. (2)①由(1)知 F(1,0), 设 A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0), 因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1, 由 xD>0 得 xD=x0+2,故 D(x0+2,0). y0 故直线 AB 的斜率 kAB=- . 2 因为直线 l1 和直线 AB 平行,

y0 设直线 l1 的方程为 y=- x+b, 2 8 8b 代入抛物线方程得 y2+ y- =0, y0 y0 64 32b 2 由题意 Δ= 2 + =0,得 b=- . y0 y0 y0 4 4 设 E(xE,yE),则 yE=- ,xE= 2. y0 y0 y2 0≠4 4 +y y0 0 4y0 yE-y0 时,kAE= =- , 2= 2 4 y0 xE-x0 y0-4 2- y0 4 4y0 (x-x0), 2 y0-4



可得直线 AE 的方程为 y-y0=

4y0 由 y2 (x-1),直线 AE 恒过点 F(1,0).当 y2 0=4x0,整理可得 y= 2 0=4 时,直线 AE 的 y0-4 方程为 x=1,过点 F(1,0),所以直线 AE 过定点 F(1,0). ②由①知直线 AE 过焦点 F(1,0), 1 1 ? 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+? ?x0+1?=x0+x0+2. 设直线 AE 的方程为 x=my+1, x0-1 因为点 A(x0,y0)在直线 AE 上,故 m= . y0 y0 设 B(x1,y1).直线 AB 的方程为 y-y0=- (x-x0), 2 2 由于 y0≠0,可得 x=- y+2+x0, y0 8 代入抛物线方程得 y2+ y-8-4x0=0. y0 8 8 4 所以 y0+y1=- ,可求得 y1=-y0- ,x1= +x0+4. y0 y0 x0 所以点 B 到直线 AE 的距离为

d=

? 4 +x0+4+m?y0+ 8 ?-1? y0? ? 4?x0+1? ? ?x0
1+m2 1 ? . x0? = x0



4? x0+

?

1 1 1 1 则△ABE 的面积 S= ×4? x0+ ?x0+ +2≥16,当且仅当 =x0,即 x0=1 时等号成 2 ? x0 x0 x0? 立. 所以△ABE 的面积的最小值为 16.

y2 x2 6. (2014 陕西,13 分)如图,曲线 C 由上半椭圆 C1: 2+ 2= a b 1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线 C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1 与 C2 的公共点为 A,B,其中 C1 的离心率为 (1)求 a,b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(均异于点 A,B),若 AP⊥AQ,求直线 l 的方程. 解:(1)在 C1,C2 的方程中,令 y=0,可得 b=1,且 A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆 C1 的左、右顶点. c 3 设 C1 的半焦距为 c,由 = 及 a2-c2=b2=1 得 a=2. a 2 ∴a=2,b=1. y2 (2)由(1)知,上半椭圆 C1 的方程为 +x2=1(y≥0). 4 易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x-1)(k≠0), 代入 C1 的方程,整理得 (k2+4)x2-2k2x+k2-4=0. (*) 设点 P 的坐标为(xP,yP), ∵直线 l 过点 B,∴x=1 是方程(*)的一个根. 由根与系数的关系,得 xP= k2-4 -8k ,从而 yP= 2 , 2 k +4 k +4 3 . 2

2 ?k -4 -8k ? ∴点 P 的坐标为? 2 , 2 ?. ?k +4 k +4?

? -1? ? k≠0? , ?y=k? x 同理,由? 2 ?y=-x +1? y≤0? ?

得点 Q 的坐标为(-k-1,-k2-2k).

???? ??? ? 2k AP ∴ = 2 (k,-4), AQ =-k(1,k+2). k +4 ??? ? ???? -2k2 ∵AP⊥AQ,∴ AP ·AQ =0,即 2 [k-4(k+2)]=0,
k +4 8 ∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得 k=- . 3 8 经检验,k=- 符合题意, 3 8 故直线 l 的方程为 y=- (x-1). 3 7. (2013 新课标全国Ⅱ, 5 分) 设抛物线 C: y2=2px(p>0)的焦点为 F, 点 M 在 C 上, |MF|

=5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( A.y2=4x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x

)

B.y2=2x 或 y2=8x D.y2=2x 或 y2=16x

解析:本题考查抛物线与圆的有关知识,意在考查考生综合运用知识的能力.

??? ? p p ? ? ,0 , 由已知得抛物线的焦点 F? 设点 A (0,2) , 抛物线上点 M ( x , y ) , 则 =? AF 0 0 ?2 ? ?2,-2?,
2 ???? ? ??? ? ???? ? y0 ?8 ? ,y0-2?.由已知得, AF ·AM =0,即 y2 AM =? 0-8y0+16=0,因而 y0=4,M p,4 . ?2p ? ? ?

由|MF|=5 得, 答案: C

?8-p?2+16=5,又 p>0,解得 p=2 或 p=8,故选 C. ?p 2?

8. (2013 北京,5 分)若抛物线 y2=2px 的焦点坐标为(1,0),则 p=________,准线方程 为________. 解析: 本题主要考查抛物线的方程及其简单的几何性质, 意在考查考生的运算求解能力. p p 因为抛物线的焦点坐标为(1,0),所以 =1,p=2,准线方程为 x=- =-1. 2 2 答案:2 x=-1

x2 y2 9. (2013 江西,5 分)抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1 相交 3 3 于 A,B 两点,若△ABF 为等边三角形,则 p=________. 解析:本题考查抛物线、双曲线的标准方程及简单的几何性质,意在考查考生的数形结 p p 0, ?,准线 l 为 y=- ,所以可求 合思想以及转化与化归的能力.由 x2=2py(p>0)得焦点 F? ? 2? 2
2 x2 y2 12+p2 ? p? ? 12+p p? 得抛物线的准线与双曲线 - =1 的交点 A?- , B? 所以|AB| ? ,- ,- ?, 3 3 2 2 2 2? ? ? ?



12+p2,则|AF|=|AB|= 答案:6

p π p 3 12+p2,所以 =sin ,即 2= 2 ,解得 p=6. |AF| 3 12+p

10. (2013 湖南,13 分)过抛物线 E:x2=2py(p>0)的焦点 F 作斜率分别为 k1,k2 的两条 不同直线 l1,l2,且 k1+k2=2,l1 与 E 相交于点 A,B,l2 与 E 相交于点 C,D,以 AB,CD 为直径的圆 M,圆 N(M,N 为圆心)的公共弦所在直线记为 l. (1)若 k1>0,k2>0,证明: FM · FN <2p2; 7 5 (2)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为 ,求抛物线 E 的方程. 5 解:本小题主要考查抛物线的定义、标准方程及其几何意义,圆的方程及两圆的公共弦 的求法,点到直线的距离公式,直线与圆锥曲线的位置关系,向量的数量积,基本不等式的 应用,二次函数的最值的求法,考查运算求解能力和函数方程思想、转化化归思想和数形结

? ???? ? ???

合思想.属难题. p? (1)由题意,抛物线 E 的焦点为 F? ?0,2?, p 直线 l1 的方程为 y=k1x+ . 2 p ? ?y=k1x+2, 由? 得 x2-2pk1x-p2=0. ?x2=2py, ? 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 x1,x2 是上述方程的两个实数根.从而 x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk2 1+p.

? p? ???? 2 pk1,pk2 所以点 M 的坐标为? 1+ , FM =(pk1,pk1). 2? ?

??? ? 2 p? pk2,pk2 + , FN =(pk2,pk2 同理可得点 N 的坐标为? 2). 2? ?
2 于是 FM · FN =p2(k1k2+k2 1k2).

? ???? ? ???

由题设,k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2, 所以 0<k1k2<? k1+k2?2 ? 2 ? =1.

故 FM · FN <p2(1+12)=2p2. p p (2)由抛物线的定义得|FA|=y1+ ,|FB|=y2+ , 2 2
2 所以|AB|=y1+y2+p=2pk2 1+2p,从而圆 M 的半径 r1=pk1+p.

? ???? ? ???

故圆 M 的方程为 p?2 2 2 2 (x-pk1)2+? ?y-pk1-2? =(pk1+p) , 3 2 化简得 x2+y2-2pk1x-p(2k2 1+1)y- p =0. 4 同理可得圆 N 的方程为 3 2 x2+y2-2pk2x-p(2k2 2+1)y- p =0. 4 于是圆 M,圆 N 的公共弦所在直线 l 的方程为
2 (k2-k1)x+(k2 2-k1)y=0.

又 k2-k1≠0,k1+k2=2,则 l 的方程为 x+2y=0. 因为 p>0,所以点 M 到直线 l 的距离
2 |2pk2 1+pk1+p| p|2k1+k1+1| d= = 5 5



1?2 7? p?2? ?k1+4? +8

?

?

5

.

1 7p 7p 7 5 故当 k1=- 时,d 取最小值 .由题设, = ,解得 p=8. 4 5 8 5 8 5 故所求的抛物线 E 的方程为 x2=16y. x2 y2 11. (2012 山东,5 分)已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2: a b x2=2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( 8 3 A.x2= y 3 C.x2=8y 16 3 B.x2= y 3 D.x2=16y a2+b2 = a2 b b 1+? ?2=2,所以 = 3, a a )

b c 解析:双曲线的渐近线方程为 y=± x,由于 = a a

p 2 p 所以双曲线的渐近线方程为 y=± 3x.抛物线的焦点坐标为(0, ),所以 =2,所以 p=8,所 2 2 以抛物线方程为 x2=16y. 答案:D 12. (2011 新课标全国,5 分)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( A.18 C.36 B.24 D.48 )

p p 解析:设抛物线方程为 y2=2px,则焦点坐标为( ,0),将 x= 代入 y2=2px 可得 y2=p2, 2 2 1 |AB|=12,即 2p=12,∴p=6.点 P 在准线上,到 AB 的距离为 p=6,所以△PAB 的面积为 2 ×6×12=36. 答案:C 13. (2011 辽宁,5 分)已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF| +|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( 3 A. 4 5 C. 4 ) B .1 7 D. 4

1 解析: 根据抛物线定义与梯形中位线定理, 得线段 AB 中点到 y 轴的距离为: (|AF|+|BF|) 2 1 3 1 5 - = - = . 4 2 4 4 答案:C
2 ? ?x=2pt , ? 14. (2012 天津,5 分)已知抛物线的参数方程为 (t 为参数),其中 p>0,焦 ?y=2pt, ?

点为 F, 准线为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂线, 垂足为 E.若|EF|=|MF|, 点 M 的横坐标是 3, 则 p=________. p p 解析:由题意知,抛物线的普通方程为 y2=2px(p>0),焦点 F( ,0),准线 x=- ,设准 2 2 线与 x 轴的交点为 A.由抛物线定义可得|EM|=|MF|,所以△MEF 是正三角形,在直角三角形 p EFA 中,|EF|=2|FA|,即 3+ =2p,得 p=2. 2 答案:2 15.(2012 陕西,5 分)右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶 离水面 2 米,水面宽 4 米.水位下降 1 米后,水面宽______米. 解析:以抛物线的顶点为原点,对称轴为 y 轴建立直角坐标系,设 抛物线的方程为 x2=-2py,则点(2,-2)在抛物线上,代入可得 p=1, 所以 x2=-2y.当 y=-3 时,x2=6,所以水面宽为 2 6. 答案:2 6 16. (2010 浙江,4 分)设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则 B 到该抛物线准线的距离为________. p p 解析:抛物线的焦点 F 的坐标为( ,0),线段 FA 的中点 B 的坐标为( ,1),代入抛物线 2 4 p 方程得 1=2p× , 4 解得 p= 2,故点 B 的坐标为( 3 2 答案: 4 17.(2011 新课标全国,12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直 2 2 2 3 2 ,1),故点 B 到该抛物线准线的距离为 + = . 4 4 2 4

BA ,M 点的轨迹为曲线 C. 线 y=-3 上,M 点满足 MB ∥ OA , MA ·AB = MB ·
(1)求 C 的方程; (2)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处的切线,求 O 点到 l 距离的最小值. 解:(1)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y),

????

??? ?

???? ??? ?

???? ??? ?

????

????

??? ? AB =(x,-2). ???? ???? ??? ? 再由题意可知( MA + MB )·AB =0,
即(-x,-4-2y)· (x,-2)=0 1 所以曲线 C 的方程为 y= x2-2. 4 1 1 1 (2)设 P(x0,y0)为曲线 C:y= x2-2 上一点,因为 y ′= x,所以 l 的斜率为 x0. 4 2 2

1 因此直线 l 的方程为 y-y0= x0(x-x0), 2 即 x0x-2y+2y0-x2 0=0. |2y0-x2 1 0| 则 O 点到 l 的距离 d= 2 .又 y0= x2 -2,所以 4 0 x0+4 1 2 x +4 2 0 1 x2 0+4+ 4

d=

= ( 2 x2 0+4

)≥2, x2 0+4

当 x0=0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.


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