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山东省淄博市2015届高三3月第一次模拟考试数学(理)试题


淄博市 2015 届高三下第一次模拟考试试题

理 科 数 学
本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,共 6 页.满分 150 分,考试用时 120 分钟.考试结束后,将本 试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在 答题卡和试卷规定的位置上. 2.第 I 卷每小题选出答

案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置, 不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、 修正带,不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 如果事件 A, B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B); 如果事件 A, B 独立, 那么 P ? AB? ? P ? A? ? P ? B ?

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题。每小题 5 分。共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.复数

1? i (i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于 i3
B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

A.第一象限 2.集合 A ? x y ? A.R

?

x , B ? ? y y ? log 2 x, x ? 0?,则A ? B 等于
B. ? C.

?

? ?? ?0,

D.

? ?? ? 0,

3. 已知命题 p : a ? 1或b ? 2 ,命题 q : a ? b ? 3 ,则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 4. 将函数 y ? sin ? 2 x ? A. x ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? ?

??

? ? 图象向左平移 4 个单位,所得函数图象的一条对称轴的方程是 6?

?
3

6 1 5. 函数 y ? 的图象大致是 x ? sin x

B. x ?

?

C. x ?

?
12

D. x ? ?

?
12

·1 ·

6.某班组织文艺晚会,准备从 A,B 等 8 个节目中选出 4 个节目演出,要求:A,B 两个节目至少有一个 选中,且 A,B 同时选中时,它们的演出顺序不能相邻,那么不同演出顺序的和数为 A.1860 B.1320 C.1140 D.1020 7.已知 x, y ? R ,且 2 ? 3 ? 2
x y ?y

? 3? x ,则下列各式中正确的是

A. x ? y ? 0 B. x ? y ? 0 C. x ? y ? 0 D. x ? y ? 0 8. 某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 1 的 正方形,其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直,则该几 何体的体积是 A.

5 6

B.

3 4
x 2

C.

1 2

D.

1 6

9. 函数 f ? x ? ? e ? x ? x ? 1与g ? x ? 的图象关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称,P,Q 分别是函数 f ? x ? , g ? x ? 图象上的动点,则 PQ 的最小 值为 A.
(第 8 题图)

5 5

B.

5

C.

2 5 5

D. 2 5

x2 y 2 2 2 2 10.过双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左焦点 F 1 ,作圆 x ? y ? a 的切线交双曲线右支于点 P, a b
切点为 T, PF1 的中点 M 在第一象限,则以下结论正确的是 A. b ? a ? MO ? MT C. b ? a ? MO ? MT B. b ? a ? MO ? MT D. b ? a ? MO ? MT

·2 ·

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.某算法的程序框图如图所示,若输出结果为 3,则可输入的实数 数共有_____个. 12. 若不等式 8x ? 9 ? 7和不等式 ax ? bx? 2 的解集相同,则
2

x 的个

a ? b ? ______________. r r r r r r r r 13. 已知向量 a, b 满足 a ? 2, b ? 3, 2a ? b ? 37 ,则 a与b 的夹
_________.

角 为

?2 x ? y ? 4, ? 14. 在 约 束 条 件 ? x ? y ? m, 下 , 当 3 ? m ? 5 时 , 目 标 函 数 ? x ? 0, y ? 0. ?
z ? 3x ? 2 y 的最大值的取值范围是____________(请用区间表示).
15.对于函数 f ? x ? , 若存在区间 A ? ? m, n ?,使得 y y ? f ? x ? , x ? A ? A , 则称函数 f ? x ? 为 “同 域函数” ,区间 A 为函数 f ? x ? 的一个“同城区间”.给出下列四个函数: ① f ? x ? ? cos

?

?

?
2

x ;② f ? x ? ? x2 ?1 ;③ f ? x ? ? x 2 ? 1 ;④ f ? x ? ? log 2 ? x ?1? .

存在“同域区间”的“同域函数”的序号是_______________(请写出所有正确的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 3 sin ? x sin ?

1 ?? ? ? ? x ? ? cos 2 ? x ? ?? ? 0 ? ,其图象两相邻对称轴间的距离为 2 ?2 ?

(I)求 ? 的值;

? . 2

(II) 设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 c ? 7, f ? C ? ? 0 , 若向量 m ? ?1,sin A ? 与向量

u r

r n ? ? 3,sin B ? 共线,求 a,b 的值.

·3 ·

17. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 E ? ABCD中,平面 EAD ? 平面 ABCD , DC//AB , BC ? CD , EA ? ED , AB=4,BC=CD=EA=ED=2,F 是线段 EB 的中点. (I)证明: BD ? AE ; (II)求平面 ADE 和平面 CDE 所成角(锐角)的余弦值.

18. (本小题满分 12 分) 为了开展全民健身运动,市体育馆面向市民全面开放,实行收费优惠,具体收费标准如下: ①锻炼时间不超过 1 小时,免费; ②锻炼时间为 1 小时以上且不超过 2 小时,收费 2 元; ③锻炼时间为 2 小时以上且不超过 3 小时,收费 3 元; ④锻炼时间超过 3 小时的时段,按每小时 3 元收费(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)已知甲、乙 两人独立到体育馆锻炼一次,两人锻炼时间都不会超过 3 小时,设甲、乙锻炼时间不超过 1 小时的 概率分别是 0.4 和 0.5,锻炼时间为 1 小时以上且不超过 2 小时的概率分别是 0.5 和 0.3. (1)求甲、乙两人所付费用相同的概率; (II)设甲、乙两人所付费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 E ? .

19. (本小题满分 12 分)
? 在数列 ?an ?中,a3 ? 1, Sn 是其前 n 项和, 且S n ? an ?1 n ? N .

?

?

·4 ·

(I)求 an , S n ; (II)设 bn ? log 2 Sn,数列?cn ? 满足 cn ? bn?3 ? bn?4 ? 1 ? n ? n ? 1?? n ? 2? ? 2 n ,数列 ?cn ? 的前 n 项和
b

为 Tn ,当 n ? 1 时,求使

2 n ?1 Tn ? 2n ? 成立的最小正整数 n 的值. n ?1 5

20. (本小题满分 13 分) 设函数 f ? x ? ?

1? a 2 x ? ax ? ln x ? a ? R ? . 2

(I)当 a ? 3 时,求函数 f ? x ? 的极值; (II)当 a ? 1 ,讨论函数 f ? x ? 的单调性; (III)对任意 x1,x2 ? ? 0, ??? ,且 x1 ? x2 , 有

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? 2 ? a 恒成立,求 a 的取值范围. x2 ? x1

21. (本小题满分 14 分)

x2 2 已知 F1 , F2 分别是椭圆 2 ? y ? 1? a ? ?? 的左、右焦点,A,B 分别为椭圆的上、下顶点, F2 到直 a
线 AF1 的距离为 2 . (I)求椭圆的方程;
·5 ·

(II)过 F2 的直线交椭圆于 M,N 两点,求 F2 M ? F2 N 的取值范围; (III)过椭圆的右顶点 C 的直线 l 与椭圆交于点 D(点 D 异于点 C) ,与 y 轴交于点 P(点 P 异于坐 标原点 O) ,直线 AD 与 BC 交于点 Q. 证明: OP ? OQ 为定值.

uuuu r uuur

uu u r uuu r

·6 ·

·7 ·

·8 ·

·9 ·

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