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2014高考数学(理)二轮专题升级训练:专题4 第2讲 数列的求和及其综合应用(含答案解析)]


专题升级训练

数列的求和及其综合应用
满分:100 分)

(时间:60 分钟

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分)
1.已知数列{an}是公差为 2 的等差数列,且 a1,a2,a5 成等比数列,则{an}的前 5 项和 S5 为( ) A.20 B.30 C.25 D

.40 2.(2013·山东烟台模拟,3)设各项都是正数的等比数列{an},Sn 为前 n 项和,且 S10=10,S30=70,那么 S40=( ) A.150 B.-200 C.150 或-200 D.400 或-50 3.已知 Sn 是非零数列{an}的前 n 项和,且 Sn=2an-1,则 S2 014 等于( ) A.1-22 014 B.22 014-1 C.22 015-1 D.22 013 4.若数列{an}是等差数列,首项 a1>0,a1 003+a1 004>0,a1 003· a1 004<0,则使数列{an}的前 n 项和 Sn>0 成 立的最大自然数 n 是( ) A.2 005 B.2 006 C.2 007 D.2 008 5.设数列{an}是首项为 1 公比为 4 的等比数列,把{an}中的每一项都减去 3 后,得到一个新数列 {bn},{bn}的前 n 项和为 Sn,对任意的 n∈N*,下列结论正确的是( ) A.4bn=bn+1 且 Sn=(4n-1) B.4bn-6=bn+1 且 Sn=(4n-1) C.4bn+9=bn+1 且 Sn=(4n-1)-3n D.4bn-9=bn+1 且 Sn=(4n-1)-3n 6.(2013·北京东城模拟,7)对于函数 y=f(x),部分 x 与 y 的对应关系如下表: x y 1 7 2 4 3 5 4 8 5 1 6 3 7 5 8 2 9 6

数列{xn}满足 x1=2,且对任意 n∈N*,点(xn,xn+1)都在函数 y=f(x)的图象上,则 x1+x2+x3+x4+…+x2012+x2013 的值为( ) A.9 394 B.9 380 C.9 396 D.9 400

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分)
7.在等差数列{an}中,首项 a1=0,公差 d≠0,若 ak=S6,则 k 的值为 . 8.已知数列{an}满足 a1=,且对任意的正整数 m,n 都有 am+n=am· an,则数列{an}的前 n 项和 Sn= . 9.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差数列”的通项为 2n,则 数列{an}的前 n 项和 Sn= .

三、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤)
10.(本小题满分 15 分)在数列{an}中,a1=,若函数 f(x)=x3+1 在点(1,f(1))处切线过点(an+1,an). (1)求证:数列为等比数列; (2)求数列{an}的通项公式和前 n 项和公式 Sn. 11.(本小题满分 15 分)已知函数 f(x)=,数列{an}满足 a1=1,an+1=f,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=(n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若 Sn<对一切 n∈N*成立,求最小正整数 m. 12.(本小题满分 16 分)(2013·江苏,19)设{an}是首项为 a,公差为 d 的等差数列(d≠0),Sn 是其前 n 项和.记 bn=,n∈N*,其中 c 为实数. (1)若 c=0,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明:Snk=n2Sk(k,n∈N*); (2)若{bn}是等差数列,证明:c=0.

## 1.C 2.A 3.B 解析:∵Sn=2an-1,∴Sn-1=2an-1-1(n≥2),两式相减得 an=2an-2an-1,即 an=2an-1,∴数列{an}是公比 为 2 的等比数列,由 S1=2a1-1,得 a1=1, ∴S2 014==22 014-1. 4.B 解析:由 a1>0,a1 003+a1 004>0,a1 003·a1 004<0,可知数列{an}是递减的等差数列, ∴a1 003>0,a1 004<0.又 a1 003+a1 004=a1+a2 006>0,a1+a2 007=2a1 004<0, ∴S2 006=>0,S2 007==2 007a1 004<0, ∴最大自然数 n 是 2 006. 5.C 解析:由已知得 bn=4n-1-3,故有 4bn+9=4(4n-1-3)+9=4n-3=bn+1,Sn=(1+4+42+…+4n-1)-3n=(4n-1)3n. 6.A 解析:由题意得,x1=2,x2=4,x3=8,x4=2,…数列的周期为 3,故 x1+x2+x3+x4+…+x2 012+x2 14=9 394. 013=671(x1+x2+x3)=671× 7.16 8.2- 解析:令 m=1,则 an+1=a1·an,∴数列{an}是以 a1=为首项,为公比的等比数列,Sn==2-. 9.2n+1-2 解析:∵an+1-an=2n, ∴a n=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =2n-1+2n-2+…+22+2+2 =+2=2n. ∴Sn==2n+1-2. 10.解:(1)证明:因为 f'(x)=3x2,所以切线的斜率为 k=3,切点(1,2), 切线方程为 y-2=3(x-1)?3x-y-1=0. 又因为过点(an+1,an), 所以 3an+1-an-1=0, 即 3an+1=an+1, 所以 3an+1-=an-? 3=an?, 即数列为一等比数列,公比 q=. (2)由(1)得为一公比为 q=,首项为 a1-的等比数列, 则 an-·. ∴an=·, Sn=. 11.解:(1)∵an+1=f=an+, ∴{an}是以 1 为首项,为公差的等差数列. ∴an=1+(n-1)× n+. (2)当 n≥2 时,bn=, 又 b1=3=, ∴Sn=b1+b2+…+bn=+…+, ∵Sn<对一切 n∈N*成立, 即对一切 n∈N*成立, 又,∴, 即 m≥2 023. ∴最小正整数 m 为 2 023. 12.证明:由题设,Sn=na+d. (1)由 c=0,得 bn==a+d.又因为 b1,b2,b4 成等比数列,所以=b1b4, 即=a,化简得 d2-2ad=0.因为 d≠0,所以 d=2a. 因此,对于所有的 m∈N** ,有 Sm=m2a. 2 从而对于所有的 k,n∈N ,有 Snk=(nk) a=n2k2a=n2Sk. (2)设数列{bn}的公差是 d1,则 bn=b1+(n-1)d1,即=b1+(n-1)d1,n∈N*,代入 Sn 的表达式,整理得,对于 所有的 n∈N*,有 n3+n2+cd1n=c(d1-b1). 令 A=d1-d,B=b1-d1-a+d,D=c(d1-b1),则对于所有的 n∈N*,有 An3+Bn2+cd1n=D.(*) 在(*)式中分别取 n=1,2,3,4,得 A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1, 从而有 由②,③得 A=0,cd1=-5B,代入方程①,得 B=0,从而 cd1=0. 即 d1-d=0,b1-d1-a+d=0,cd1=0.

若 d1=0,则由 d1-d=0,得 d=0,与题设矛盾,所以 d1≠0. 又因为 cd1=0,所以 c=0.


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