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2012-2013学年高中数学常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题37 数列通项公式的求法


第 37 讲:数列通项的求法(归纳法、定义法、公式法、 累加法、累乘法)
【考纲要求】 1、 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式 ) 。 2、掌握等差数列、等比数列的通项公式。 【基础知识】

2、定义法:若在已知数列中存在 : a n+1 ? a n = d (常数)或

a n +1 = q, (q ≠ 0) 的关系,可采用 an

求等差数列、等比数列的通项公式的求法,确定数列的通项。 3、 式 : 在 知 列 存 : 公 法 若 已 数 中 在

S n = f (a n )或S n = f (n) 的 系 可 利 关 , 以 用

n ? S 1) ( = an = ? 1 n ≥ S Sn ? ?1 ( 2) n?

,求数列的通项。

【方法讲评】 方法一 归纳法

使用情景 解题步骤

已知数列的首项和递推公式 观察、归纳、猜想、证明。

8 1) n + 8( a1 1 = 例 已知数列 {an 满足 an +1 = a + } n 2 9 n + (2 n + 2 3) 1)



,求数列 {an 的通项公式。 }

由此可猜测 an =

1 (2? + 2 1) n 1) n + (2

2

,往下用数学归纳法证明这个结论。

(1)当= = 1 时, a1 = n

8 1(2 + 1) × ? 1 9 1)+ (2 × 1

2 2

,所以等式成立。

1 (2? + 2 1) k (2)假设当 n = 时等式成立,即 ak = k 1) k + (2

2

,则当 n+ k =

1 时,

由此可知,当 n+ k =

1 时等式也成立。
*

根据(1)(2)可知,等式对任何 n ∈ , N

都成立。

(1) 求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此猜测 | an | | bn 的通项公式,并证明你的结论 。 , |

方法二 使用情景 解题步骤

公式法 已知数列是等差数列或等比数列 先求出等差(比 )数列的基本量 d( , ) q1 a 式。 ,再代入等差(比)数列的通项公

例2

等差数列 {a n } 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a 3 , a 9 成等比数列, S 5 = a5 。

2

求数列 {a n } 的通项公式。

【点评】 :利用定义法求数列通项时要注意不用错定义 ,设法求出首项与公差 (公比)后再写 出通项。 【变式演练 2】 已知等比数列 {an}中, 1=64,公比 q≠1,a 2,a3,a4 又分别是某等差数列的第 7 项, a 第 3 项,第 1 项. (1)求 an; (2)设 bn=log 2an,求数列{|bn|}的前 n 项和 Tn. 方法三 和差法

使用情景

已知 S n = f ( a n )或S n = f ( n) 利用公式 an = ?

解题步骤

n ? S11) ( = 2) n ≥ S Sn ? ?1 ( n?

求解。

例3

数列{ an }的前 n 项和为 S n , a1S =1, an +1 = 2 n =2,当 n≥2 时 an S Sn ? ) = n
n?2
?1 =n

( n∈ N ? ),求{ an }的通项公式。

解:由 a1 =1, a2 = 2 S 1

1 a ( an +1 ? 2



an +1 =3,因此{ an }是首 an

项为 a2 =2,q=3 的等比数列。故 an =3 × 2 所以 an = ?

(n≥2),而 a1 =1 不满足该式

?1
n?2

(n=1)

≥ 2) × 3 ?2 (



n

方法四 使用情景

累加法 在已知数列中相邻两项存在: = n ? n nf a a ≥ n 先给递推式= n ? n nf a a ≥ n
?1 ?1

2) ( )(

的关系

2) ( )(

中的 n 从 2 开始赋值,一直到 n ,一共

解题步骤

得到 n ? 1 个式子,再把这 n ? 1 个式子左右两边对应相加化简,即得到数列 的通项。
?1

例4

在数列{ an }中, a1 =1,= n ? n aa ? n 解:∵ n = 1时, a =1
1

1 (n=2、3、4……) ,求{ an }的通项公式。

a1= ? a

n ≥ 2时, 2 1 a a3 ? 2 = a a= ? 3 4 ....... n a= n ? ?1 ? n a

? ? 2 ? ? a an + 3 ? 这 n-1 个等式累加得:++= ? ? ? 1 ? ?

1

...1 2

1) ( ? n n (n-1) = 2

a

2 nn+ ? 1) ( ? n n = + 故 an = 2 2

2 1

且 a1 = 1 也满足该式 ∴ an =

n n 2+ ? 2

2

(n∈ N

?

).

方法五 使用情景

累乘法 若在已知数列中相邻两项存在: ≥

an = n)( 2) ( g n an ?1

的关系。

解题步骤

先给递推式 ≥

an = n)( 2) ( g n an ?1

中的 n 从 2 开始赋值, 一直到 n , 一共得到 n ? 1

个式子,再把这 n ? 1 个式子左右两边对应相乘化简,即得到数列的通项。 例5 已知数列 {a n } 满足 a1 =

2 n , a n +1 = a n , 求a n 3 n +1

解:由条件知

a n +1 n = , 分别令 n=1,2,3, ……(n-1), 代入上式得(n-1) an n +1 a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 1 ? ? ?????? n = × × × ??????× ? n = a1 a 2 a3 a n ?1 2 3 4 n a1 n
2 3n

个等式累乘之,即

又∵ a1 =

2 , 3

∴ an =

【高考精选传真】 14】 { 2012 【201 1. 2012 高考真题辽宁 理 14 已知等比数列 1an}a 2 = a a+, 5 5n = 为递增数列 且 a 2 a ) 10 =______________。 则数列{ an}的通项公式 an =______________

,2( + n

n

+



【反馈训练】 1.数列 {an } 的前 n 项和 S n = n 2 ? a n ( n ≥ 2) ,而 a1 = 1 ,则 an = A. ( )

2 (n + 1) 2

B.

2 (n + 1)n

C.

2 2 ?1
n
*

D.

2 2n ? 1 ?
2

2.数列{an } 中,a1=1,对于所有的n ≥ 2 , n ∈ =n 都有 a1 ? N a 3 a2 ? a A.

n

,则 a3 + a = 5

等于

61 16

B.

25 9

C.

25 16

D.

31 15

3.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10, …,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数 ; 类似地,称图 2 中的 1,4,9,16…这样的数成为正方形数 。下列数中及时三角形数又是正方 形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 4.数列 {an } 中, a1 = 1,

an =

an ?1 ( n ≥ 2) ,则数列{ an}的通项公式是: 1 + 3an ?1
C.

A.

1 3n ? 2

B.

1 3n + 2

1 2n ? 3

D.

1 2n + 3

a1 (3n ? 1) 5.数列 {an } 中,若 S n = (n ∈ N + ) ,且 a4 = 54 ,则 a1 的值是________. 2
6.数列 {a3} 满足+ 3 + 3 a = 3 a+ +2 1 1 a a n
2

?

n? n

n +1 ) ( Nn ∈ 3

*

,则 an = __________.

2 2 7.已知数列 {an } 满足 a1 = 2 , ?n ∈ N , an > 0 ,且 (n + 1) an + an an +1 ? nan +1 = 0 ,

+

则数列 {an } 的通项公式是 an = ____ __。 8.已知数列 ( 3=} 满足 a1 = 1, Nn 1∈). a ? {an 4 = 4,n a a 2 2 (1)求a 3 , 4a
*

n+

n+

的值; (2)证明:数列 {an +1 ? a n

(3)求数列 {an } 的通项公式; } 是等比数列;

9.已知数列{an}的前 n 项和为 S n ,且 S n = 2an ? 1 ,数列 {bn } 满足 b1 = 2 , bn +1 = an + bn 求 an , bn 10.已知数列 {an } 满足 an +1 = 3an + 3n +1 ? 1 ( n ∈ N + ) ,且 a4 = 365 (1)求 a1 的值; (2)若数列 {

an + t (3)求数列的 {an } 通项 an 。 } 为等差数列,求常数 t 的值; 3n


11.已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且对任意正整数nn a ( n 2 S+ = 1 2)都有 n ? (1)求数列 {a n } 的通项公式;

2

1 1 1 (2)设 Tn = ++ + ? aa 4 ?2 a 3 a1 ? a a

?
n n
+

,求 Tn .

求数列 {bn } 的通项公式; (3)求证: S n >

1 4n + 1 ? 1, n ∈ N * . 2

1 1 1 14.若 Sn 是等差数列{a n}的前 n 项和, S3 与 S4 的等差中项与等比中项分别为 1 与 S5,求 3 4 5 数列{an}的通项公式. 15.某人有人民币 1 万元,若存入银行,年利率为 6%;若购买某种股票,年分红利为 24%,

每年储蓄的利息和买股票所分的红利都存入银行. (1)问买股票多少年后,所得红利才能和原来的投资款相等? (2)经过多少年,买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等? (精确到整年) (参考数据:lg 2≈0. 301 0,lg 3≈0.477 1,lg 1.06≈0.025 3)

用数学归纳法证明: ①当 n=1 时, a1=2,b1=4,上述结论成立. ②假设当 n=k 时,结论成立,即:(+ k = ( b k 1) k k + = 1) a 那么,当 n=k+1 时,



2



k + +2)+k1)?b+ 2(ak +1 = 2 k1)( a (k 1)= ? =(

2



ak2+ 2 bk

2



所以当 n=k+1 时,结论也成立.由 ① ②,可知1)n = ( +b n + ( 1) n na n 立. 【变式演练 2 详细解析】 1 (1)依题意有 a2-a4=3(a3-a4), 3 2 即 2a4-3a 3+a2=0,2a 1q -3a1q +a1q=0, 即 2q2-3q+1=0. ∵q≠1,∴q= 故 an=64×(

对一切正整数都成

1 . 2

1 n-1 ) , 2 1 n-1 ) ]=log 227-n=7-n, 2

(2)b n=log 2[64×(

∴|b n|= ?

?7 ? n n ≤ 7, ?n ? 7 n > 7.

n(13 ? n) ;n>7 时, 2 ( n ? 7)( n ? 6) Tn=T7+ 2 ( n ? 7)( n ? 6) =21+ , 2
n≤7 时,Tn=

n(13 ? n) ? (n ≤ 7), ? 2 故 Tn = ? (n ? 7)(n ? 6) ? + 21 (n > 7). 2 ?
【变式演练 3 详细解析】

2 1 4 2 1 4 S (n=1、2、3……)…①得 a1 = = a+ ? +n 由 S n = a × ? 2n +1 1× 1 3 3 3 3 3 3 2 1 4 (n=2、3…)…② 所以 a1 =2 再 S n ?1 = an+1× 2n ? ? 3 3 3 1 4 n n +1 将①和②相减得: a2S (2n ? ) ? = ×( an ? ?1 ) n= S a n? n ?1 3 3
n a 整理得 an 4( 2n +)2 = + n
?1 ?1

4

(n=2、3…)因而数列{ an + 2n }是首项为 a1= 42 +
n ?1
n = 4 ,因而 a? 2 4n n =

,q=4

的等比数列。即 an + 2n =4 × 4

n



1n

aa

3× n 1)5 = n因为 a++1 = 2(

n



,所以 an ≠ 0 ,则 n +1 = 2( n + 1)5

a an

n

,故

a aa n ? ? ? ? ? an = n3 a1 2 a?2 an ?1 a n
? 3
2

?1

?
n ?1

a2
1

+ ?

n

2 ? 1)5 3 52 1) 1] 5 1)5 ]][2( [2( + [2(2[2(1 ? n=1) n]

?
?

1n ? ( 2 ++?+ 2)1)(

5 ( 3 ××? ? ? 2] 1)=[ 2 ! × × 5× 2 =3

n ?1

n n
n ?1

?
1)( ? n 2

n
n ?1
1)( ? n 2

所以数列n an 的通项公式为× 5 × 2 }{ !. × an = 3 【反馈训练详细解析】

1.【答案】B

4. 【答案】A 【解析】 法一:代入检验法,当 n = 1 时,只有选项 A 满足 a1 = 1 ,故选 A。 法二:由已知有

1 1 1 = + 3 ,则 { } 是首项为 1,公差为 3 的等差数列, an an ?1 an
1 3n ? 2

则 1 = 3n ? 2 ,即 a = n
an

5. 【答案】2 【解析】因 a4 = S 4 ? S3 =

a1 (34 ? 1) a1 (33 ? 1) ? = 27a1 ,则 27a1 = 54 ,故 a1 = 2 2 2

?2 n =1 ? 6. 【答案】 an = _ ? 3 ?3? n n ≥ 2 ?

n 1 2) a = 【解析】+23 + 3 ≥ ( 3 + a a1 3a+ 2

2

iii

n? n?

n 3

(1) ,用已知的等式减去( 1)得

?2 n =1 ? an = 3 ,但是不适合 n = 1,所以 an = _ ? 3 ?3? n n ≥ 2 ?
?n

7. 【答案】 2n 【解析】

= 0由题得[(n + 1)1 n ]+ a a n ][an n + na ?

+1

= ?

a na

? na(n n 1) + +1 ∴ a n

n

+1

=0或者

(舍去) 2

a = ∴ n +1 n an

n +1

n 利用累乘法可以得到an

又 a1 = 1 适合上式,故 ?n ∈ N + , an =

3n ? 1 2

9. 【解析】解:由 a1 = S1 = 2a1 ? 1 ,得 a1 = 1 ; 当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = 2a n ? 2a n ?1 , an = 2an ?1 ,则 故{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则 an = 2 n ?1 由 bn +1 = bn + an ,得 bn +1 ? bn = an = 2 n ?1

an =2 an ?1

∴ bn = (bn ? bn ?1 ) + (bn ?1 ? bn ? 2 ) + ? + (b2 ? b1 ) + b1 = 2 n ? 2 + 2 n ?3 + ? + 2 0 + 2 = 1 ? 2 n ?1 + 2 = 2 n ?1 + 1 ,其中 n ≥ 2 1? 2
+

因为 b1 = 2 适合上式,故 bn = 2 n ?1 + 1 ( n ∈ N ) 10. 【解析】 (1)∵ a4 = 3a3 + 80 = 3(3a2 + 26) + 80 = 27a1 + 72 + 78 + 80 = 27a1 + 230

∴ 27a1 + 230 = 365 ,得 a1 = 5

(2) 依题设 a1 = 5 , a2 = 3a1 + 8 = 23 , a3 = 3a2 + 26 = 95 若数列 {

a + t a1 + t a3 + t an + t , } 为等差数列,则 2 ? 2 = + n 3 9 3 27
1 2

化简得: 4t = 6a2 ? 9a1 ? a3 = 138 ? 45 ? 95 = ?2 ,则 t = ? 经检验, t = ?

a +t 1 1 时, { n n } 为等差数列,故 t = ? 2 3 2

11. 【解析】 (Ⅰ) 在 2Sn=( n+2)an-1 中,令 n=1,求得 a1=1. ∵ 2Sn=(n+2)an-1,∴ 2Sn-1=( n+1)an-1-1. 当 n≥2 时,两式相减得: 2(Sn-Sn-1)=( n+2)an-( n+1)an-1, 即 2 an=( n+2)an-( n+1)an-1,整理得,

n

an n +1 . = an ?1

12.【解析】 (I)由 a1 =a 及 S++1 = 4 1, n n 2
1

,有

a 1 + aa1 a1b3 2 = ?1 ==+22= 3 a= 2, 4 a ∴a 5, 2 2 + a 由 S++1 = 4 n n 2
,. ..① 则当 n ≥ 2 时,有 S n = 4 a +2 n
?1

...② ..

n

a a n a )+n 2 2(1a2 ? ∴ a?+1 = 4 a ②-①得 , n 4 = a 1 ? ?n n
n

a 又∵? n = a n b

+1

2 ,∴ bn b = n
+1

2
3 2 2

?1

∴{bn 是首项 b1 = 3 ,公比为2的等比数列. }

(II)由(I)可得? n = a n a ?= n b

a a n , =?1? n ∴ n +1 n 4 2 2 n +1

3

} ∴ 数列 {

an 1 3 是首项为 ,公差为 的等比数列.[来源.网.] n 2 2 4

1 3 3 an 1 ? = ?n+= 1) ( n ∴ n 4 44 2 2

(3 n , ?n = 2 ? a 1)

n?2

(2) 由 an =

1 , 3 4n ?

Tn+1 T = 2n + 16n 2 ? 8n ? 3 2 an a n+1

得 ( 4n ? 3)Tn +1 = ( 4n + 1)Tn + ( 4n ? 3)(4n + 1)



Tn +1 T ? n =1 4n + 1 4n ? 3

则数列 { }

Tn 3 4n ?

是首项为 1,公差为 1 的等差数列。



Tn 1?= 1 n =+n 3 4n ?
2

∴ n n ? =n T3 =4 (4 n ? n 3) 则 n ≥ 2 n = = b? = n ?时, n Tn T ∴ bn = 8n ? 7

?1

?7 8

,又 b1 = 1 适合此式

n∈N *
∴ an =

(3) a n =

1 4n ? 3

2 2 4n ? 3

>

2 4n ? 3 + 4 n + 1

=

4n + 1 ? 4n ? 3 2

∴ S n = a1 + a 2 + ? + a n >

1 ( 5 ? 1) + ( 9 ? 5 ) 2 1 + ? + ( 4n + 1 ? 4n ? 3 ) = 4n ? 1 ? 1 2 1 > 4n + 1 = 1 n∈ N * 2
设{an}的首项为 a1,公差为 d.

14【解析】

1 1 1 ∵ S3 与 S4 的等差中项、等比中项分别为 1 与 S5, 3 4 5 1 1 (3a1+3d)+ (4a1+6d)=2, 3 4 ∴ 1 1 2 (5a1+10d) = (3a1+3d)(4 a1+6d), 25 12 12 d=- , d=0, 5 ∴ 或 a1=1, a =4.
1

12 32 n+ . 5 5 15. 【解析】 设该人将 1 万元购买股票, x 年后所得的总红利为 y 万元,则 2 x-1 y=24%+24%(1+6%)+24%(1+6%) +…+24%(1+6%) x-1 x 2 =24%(1+1.06+1.06 +…+1.06 )=4(1.06 -1). 5 (1)由题意,得 4(1.06 x-1)=1,∴1.06 x= . 4 两边取常用对数,得 5 xlg 1.06=lg =lg 5-lg 4=1-3lg 2. 4 1-3lg 2 1-3×0.301 0 ≈ ≈4. ∴x= lg 1.06 0.025 3 x x (2)由题意,得 4(1.06 -1)=(1+6%) , 4 x ∴1.06 = .解得 x≈5. 3 答 (1)买股票 4 年后所得的红利才能和原来的投资款相等; (2)经过大约 5 年,买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等. ∴数列{an}的通项公式为 an=1 或 an=-



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