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1.4四种命题及其关系


§1.4. 四种命题及其关系
学习目标:1.了解命题的概念和命题的构成; 2.理解逻辑联结词“或” “且” “非”的含义; 基础热身:
2 (1)命题“若 x ? 1 ,则 ?1 ? x ? 1 ”的逆否命题是(



A. 若 x 2 ≥ 1 ,则 x ≥ 1 或 x ≤ ?1 C. 若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x2 ? 1

B. 若 ?1 ? x ? 1 ,则 x2 ? 1 D. 若 x ≥ 1 或 x ≤ ?1 ,则 x 2 ≥ 1

(2) 命题“若函数 f ( x) ? loga x (a ? 0,a ? 1) 在定义域内是减函数 , 则 loga 2 ? 0 ”的逆否命题是 ( ) A、若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内 不是减函数 B、若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内不是减函数 C、若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数 D、若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数 知识梳理: 1.命题的四种形式:如果, 那么, 逆命题:若 ,则 ,则 原命题:若 P, ,则 . . . 则 q.

否命题:若 逆否命题:若

2. 四种命题间的关系: 1° 原命题与逆否命题总是具有 逆命题与否命题也总是具有 互为逆否的两个命题 的真假性, 的真假性. 的真假性. .

2°互逆命题或互否命题,它们的真假性 3°原命题与它的逆否命题, 是等价. 叫做等价命题. 因此, 证原命题为真, 与证它的逆否命题为真等效. 于是, 为了证明原命题为真, 有时考虑证明

为真, 叫做

法.

案例分析: 例 1:把命题“负数的平方是正数”改写成“若 p 则 q”的形式,并写出它的逆命题、否命 题与逆否命题。 解:原命题:若一个数是负数,则它的平方是正数。 逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数。 否命题:若一个数不是负数,则它的平方不是正数。 逆否命题:若一个数的平方不是正数,则 它不是负数。 例 2:写出命题“若 a 和 b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的否命题和逆否命题。 分析: (1) “a 和 b 都是偶数”是条件, “a+b 是偶数”是结论。
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(2) “a 和 b 都是偶数”的否定包含三种情况, “a 是偶数,b 不是偶数”或“a 不是偶数,b 是偶数” ,若“a 不是偶数,b 也不是偶数” 。所以综合起来它的否定即为“a 和 b 不都是偶 数” 。 解:否命题为:若 a 和 b 不都是偶数,则 a+b 不是偶数。 逆否命题为:若 a+b 不是偶数,则 a 和 b 不都是偶数。 达标练习 1、填空: (1)命题“末位是 0 的整数,可以被 5 整除”的逆命题是___________________________ ( 2 )命题“线段的 垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的否命题是 _____________________________________________________ (3) 命题 “到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线” 的逆否命题是_________________ (4)命题“若 xy≠0,则 x≠0 且 y≠0”的逆命题为_________________________________ (5)把命题“弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对应的弧”写成“若 p 则 q”的形式 为____________________________________________________________________ 2、把命题“等式的两边都乘以同一个数,所得的结果仍是等式”写成“若 p 则 q”的形式, 并写出它的逆否命题。 小结(概念及方法) 思考 1、 “负数的平方是正数”有几个条件?它的四种命题有其他的写法吗? 2、显然例一中“负数的平方是正数”这个命题是真命题,那么它的逆命题、否命题、逆否 命题都是真命题吗 ?对于一般命题,它的四种命题之间的真假关系又是如何的呢? 作业 习题 1.7 第一题和第二题。

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1.4 课题:四种命题及其关系
【教学目标】 知识目标;让学生掌握否命题、逆否命题的概念,能求一般命题的逆命题、否命题、逆 否命题。 能力目标: 提高学生分析问题解决问题的能力, 让学生初步学会运用逻辑知识整理客观 素材,合理进行思维的方法,初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识。 【情感目标】 增强数学美学意识,培养唯物主义世界观。 【教学重点】 逆命题、否命题、逆否命题的概念及求法。 【教学难点】 不容易区分条件和结论的简单命题和较复杂的命题 (一个条件多个结论型的命题和多个 条件一个结论型的命题)的逆命题、否命题和逆否命题的求法。 【教学方法】 启发式教学,半开放教学。 【教学手段】 多媒体教学。 【教学过程】 一、复习命题和逆命题,引入四种命题 1、复习命题的概念。 2、复习逆命题的概念。并用“若 p 则 q”表示原命题结构,用“若 q 则 p”表示逆命 题结构。 3、练习一(在练习中强调要分清条件 和结论,把原命题写成“若 p 则 q”的形式) (1)命题“若 a>b,则 b<a”的逆命题为(若 b<a,则 a>b) (2)把命题“中国北京是 2008 年奥运会的举办城市”写成“若 p 则 q”的形式为(若 一个城市是中国北京,则它是 2008 年奥运会的举办城市。 )逆命题为(2008 年奥运会的举 办城市是中国北京。 ) 二、学习否命题 1、由“同位角相等,两直线平行”和“同位角不相等,两直线不平行” 引入否命题的 概念: 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 这样的两个命 题叫做互否命题。把其 中一个叫做原命题,另一个就叫做原命题的否命题。用“若 p 则 q” 表示原命题结构,用“若 ?p则?q ”表示否定命题结构。然后强调互否中的“互”字。 2、练习二(在练习中重复否命题概念,强调分清条件 和结构,并出现含不等式的命题 和含大前提的命题及不容易分清条件和结论的简单命题。 同时通过例子让学生思考否命题与 命题的否定的区别。 ) (1)命题“在二次函数 y=ax2+bx+c 中,若 b2—4ac≥0,则该二次函数的图象与 x 轴有 公共点”的否命题为(在二次函数 y=ax2+bx+c 中,若 b2—4ac<0,则该二次函数的图像与 x 轴没有公共点。 ) (指出“≥”的否定是“<” 。 ) (2) 命题 “对顶角相等” 写成 p 则 q 的形式为 (若两个角是对顶角, 则这两个角相等。 ) 它的否命题为(不是对顶角的两个角不相等。 ) (3) “平行线相交”的否命题是“平行线不相交”吗?(不是。 ) 三、学习逆否命题

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1、由“同位角相等,两直线平行”和“两直线不平行,同位角不相等”学习逆否命题 的概念: 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 这样的两个 命题叫做互为逆否命题。把其中一个叫做原命题,另一个就叫做原命题的逆否命题。用“若 p 则 q”表示原命题结构,用“若 ?q?p ”表示逆命题结构,然后强调互为逆否中的“互” 字。 2、练习三(在练习中重复逆否命题概念,强调分清条件和结论,并出现不容易分清条 件和结论的命题。 ) (1)命题“三角形的内角和等于 180°”写成若 p 则 q 的形式为(若一个图形是三角 形,则它的内角和等于 180°。 )它的逆否命题为(内角和不等于 180°的图形不是三角形。 ) (2) 命题 “正方形的四条边相等” 的逆否命题为 (四条边不相等的四边形不 是正方形) 。 (3)让学生举例,自己写一个原命题,然后写出其逆命题、否命题和逆否命题。 四、例题讲解 (例二是两个条件一个结论的类型。在例二中还让学生了解“且”的否定是“或” 。 ) 例一:把命题“负数的平方是正数”改写成“若 p 则 q”的形式,并写出它的逆命题、 否命题与逆否命题。 解:原命题:若一个数是负数,则它的平方是正数。 逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数。 否命题:若一个数不是负数,则它的平方不是正数。 逆否命题:若一个数的平方不是正数,则它不是负数。 例二:写出命题“若 a 和 b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的否命题和逆否命题。 分析: (1) “a 和 b 都是偶数”是条件, “a+b 是偶数”是结论。 (2) “a 和 b 都是偶数”的否定包含三种情况, “a 是偶数,b 不是偶数”或“a 不是偶数,b 是偶数” ,若“a 不是偶数,b 也不是偶数” 。所以综合起来它的否定即为“a 和 b 不都是偶数” 。 解:否命题为:若 a 和 b 不都是偶数,则 a+b 不是偶数。 逆否命题为:若 a+b 不是偶数,则 a 和 b 不都是偶数。 五、练习 1、填空: (1)命题“末位是 0 的整数,可以被 5 整除”的逆命题是(可以被 5 整除的数末位是 0) (2) 命题 “线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等” 的否命题是 (与 一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上) (3)命题“到圆心 的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是(圆的切线 到圆心的距离等于圆的半径) (4)命题“若 xy≠0,则 x≠0 且 y≠0”的逆命题为(x=0 或 y=0,则 xy=0) (5)把命题“弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对应的弧”写成“若 p 则 q”的 形式为(若一条直线是弦的垂直平分线,则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧) 2、把命题“等式的两边都乘以同一个数,所得的结果仍是等式”写成“若 p 则 q”的 形式,并写出它的逆否命题。 解;原命题为“在等式的两边分别乘以一个数,若这两个数是同一个数,则所得的结 果是等式” 或 “在一个式子两边都乘以同一个数, 若这个式子是等式, 则所得的结果是等式” 或“若一个式子是等式且两边都乘以同一个数,则所得的结果为等式”相应的逆否命题分别 为“若等式两边乘以一个数所得的结果不是等 式,则这两个数不相同”或“若在一个式子 两边都乘以同一个数,所得的结果是不等式,则这个式子是不等式”或“若一个式子两边分

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别乘以一个数,所得的结 果是不等式,则这个式子是不等式或两边乘的不是同一个数” 。 六、小结(概念及方法) 七、思考 1、 “负数的平方是正数”有几个条件?它的四种命题有其他的写法吗? 2、显然例一中“负数的平方是正数”这个命题是真命题,那么它的逆命题、否命题、 逆否命题都是真命题吗?对于一般命题,它的四种命题之间的真假关系又是如何的呢? 八、作业 习题 1.7 第一题和第二题。

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