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江苏省徐州市邳州二中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析


2014-2015 学年江苏省徐州市邳州二中高二(上)期末数学试卷 (文科)
一、填空题:本大题共 14 小题.每小题 5 分.共计 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置 上 1.命题“? x∈R,x ﹣x+3=0”的否定是 2.直线 x﹣y+3=0 的倾斜角为 3.抛物线 y =4x 的焦点坐标为
2 2

. . .

/>4.双曲线

的渐近线方程是



5.已知球的半径为 3,则该球的表面积为

. .

6.若一个正三棱锥的高为 5,底面边长为 6,则这个正三棱锥的体积为 7.函数 f(x)=x 在点(1,f(1) )处的切线方程为
2

. . .

8.直线 ax﹣2y+2=0 与直线 x+(a﹣3)y+1=0 平行,则实数 a 的值为 9.已知圆 x +y =m 与圆 x +y +6x﹣8y﹣11=0 相内切,则实数 m 的值为
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10.已知直线 x+3y+1=0 和圆 x +y ﹣2x﹣3=0 相交于 A,B 两点,则线段 AB 的垂直平分线的方 程是 . 11.已知两条直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 都过点 A(2,3) ,则过两点 P1(a1,b1) ,P2(a2, b2)的直线方程为 .

12.已知 F1 是椭圆 的最大值为 .

的左焦点,P 是椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则 PA+PF1

13.如图,已知 AB=2c(常数 c>0) ,以 AB 为直径的圆有一内接梯形 ABCD,且 AB∥CD,若椭 圆以 A, B 为焦点, 且过 C, D 两点, 则当梯形 ABCD 的周长最大时, 椭圆的离心率为 .

14.设函数 f(x)= ,g(x)=ax +bx,若 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且仅有两个 不同的公共点,则当 b∈(0,1)时,实数 a 的取值范围为 .

2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸制定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AD,AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.

16.已知圆心为 C 的圆经过三个点 O(0,0) 、A(1,3) 、B(4,0) (1)求圆 C 的方程; (2)求过点 P(3,6)且被圆 C 截得弦长为 4 的直线的方程. 17.已知 m>0,p: (x+2) (x﹣3)≤0,q:1﹣m≤x≤1+m. (I)若¬q 是¬p 的必要条件,求实数 m 的取值范围; (II)若 m=7, “p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题,求实数 x 的取值范围. 18.现有一张长 80 厘米、宽 60 厘米的长方形 ABCD 铁皮,准备用它做成一只无盖长方体铁皮 盒,要求材料利用率为 l00%,不考虑焊接处损失. 方案一:如图(1) ,从右侧两个角上剪下两个小正方形,焊接到左侧中闻,沿虚线折起,求 此时铁皮盒的体积; 方案二:如图(2) ,若从长方形 ABCD 的一个角上剪下一块正方形铁皮,作为铁皮盒的底面, 用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,求该铁皮盒体积的最大值,并说明如何剪拼?.

19.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

=1(a>b>0)的焦点为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,

左、右顶点分别为 A,B,离心率为 (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若 ,

,动点 P 到 F1,F2 的距离的平方和为 6.

,Q 为椭圆上位于 x 轴上方的动点,直线

DM? CN,BQ 分别交直线 m 于点 M,N. (i)当直线 AQ 的斜率为 时,求△AMN 的面积; (ii)求证:对任意的动点 Q,DM? CN 为定值. 20.已知函数,f(x)=x +bx +cx+d 在点(0,f(0) )处的切线方程为 2x﹣y﹣1=0. (1)求实数 c,d 的值; (2)若过点 P(﹣1,﹣3)可作出曲线 y=f(x)的三条不同的切线,求实数 b 的取值范围; (3)若对任意 x∈,均存在 t∈(1,2],使得 et﹣lnt﹣4≤f(x)﹣2x,试求实数 b 的取值 范围.
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2014-2015 学年江苏省徐州市邳州二中高二(上)期末数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题.每小题 5 分.共计 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置 上 1.命题“? x∈R,x ﹣x+3=0”的否定是 ? x∈R,x ﹣x+3≠0 . 考点: 特称命题;命题的否定. 专题: 规律型. 分析: 根据命题“? x∈R,x ﹣x+3=0”是特称命题,其否定为全称命题,即? x∈R,x ﹣x+3 ≠0,从而得到答案. 解答: 解:∵命题“? x∈R,x ﹣x+3=0”是特称命题 2 2 ∴否定命题为:? x∈R,x ﹣x+3≠0 故答案为:? x∈R,x ﹣x+3≠0. 点评: 这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词,或者对于“>”的否定用“<” 了.这里就有注意量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是” ,而不是“都不是” .特 称命题的否定是全称命题, “存在”对应“任意” . 2.直线 x﹣y+3=0 的倾斜角为 45° . 考点: 直线的倾斜角. 专题: 计算题. 分析: 求出直线的斜率,即可得到直线的倾斜角. 解答: 解:直线 x﹣y+3=0 的斜率为 1;所以直线的倾斜角为 45°. 故答案为 45°. 点评: 本题考查直线的有关概念,直线的斜率与直线的倾斜角的关系,考查计算能力. 3.抛物线 y =4x 的焦点坐标为 (1,0) . 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先确定焦点位置,即在 x 轴正半轴,再求出 P 的值,可得到焦点坐标. 解答: 解:∵抛物线 y =4x 是焦点在 x 轴正半轴的标准方程, p=2∴焦点坐标为: (1,0) 故答案为: (1,0) 点评: 本题主要考查抛物线的焦点坐标.属基础题.
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4.双曲线

的渐近线方程是 y=± x .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 把曲线的方程化为标准方程,求出 a 和 b 的值,再根据焦点在 x 轴上,求出渐近线方 程. 解答: 解:双曲线 ∴a=2,b=3,焦点在 x 轴上, 故渐近线方程为 y=± x=± x, 故答案为 y=± . ,

点评: 本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,本题的关键是求出 a、b 的值,要注意双曲线在 x 轴还是 y 轴上,是基础题. 5.已知球的半径为 3,则该球的表面积为 36π . 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 直接利用球的表面积公式,即可求得结论. 解答: 解:根据球的表面积公式可得 S=4π×3 =36π 故答案为:36π 点评: 本题考查球的表面积公式,解题的关键是记清球的表面积公式. 6.若一个正三棱锥的高为 5,底面边长为 6,则这个正三棱锥的体积为 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题. 分析: 先由 求出底面面积,再由棱锥的体积 = ,求出体积即可. , =15 .
2

解答: 解:由于一个正三棱锥的底面边长为 6,则 又由正三棱锥的高为 5,则这个正三棱锥的体积为 故答案为 . 点评: 本小题主要考查几何体的体积,属于基础题.

7.函数 f(x)=x 在点(1,f(1) )处的切线方程为 2x﹣y﹣1=0 . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求导函数,确定切线的斜率,确定切点坐标,利用点斜式,可得方程. 解答: 解:由题意,f′(x)=2x, ∴f′(1)=2,

2

∵f(1)=1 ∴函数 f(x)=x 在点(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣1=2(x﹣1) ,即 2x﹣y﹣1=0 故答案为:2x﹣y﹣1=0. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于基础题. 8.直线 ax﹣2y+2=0 与直线 x+(a﹣3)y+1=0 平行,则实数 a 的值为 1 . 考点: 专题: 分析: 值. 解答: ∴ 直线的一般式方程与直线的平行关系. 计算题. 利用两直线平行的条件,一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,求得实数 a 的 解:直线 ax﹣2y+2=0 与直线 x+(a﹣3)y+1=0 平行, ,解得 a=1.
2

故答案为 1. 点评: 本题考查两直线平行的条件,利用一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,求得 实数 a 的值. 9.已知圆 x +y =m 与圆 x +y +6x﹣8y﹣11=0 相内切,则实数 m 的值为 1 或 121 . 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: 根据两圆的圆心距等于两圆的半径之差,求得 m 的值. 解答: 解:圆 x +y +6x﹣8y﹣11=0 即 (x+3) +(y﹣4) =36,表示以(﹣3,4)为圆心, 半径等于 6 的圆. 再根据两个圆相内切,两圆的圆心距等于半径之差,可得 =|6
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﹣ |, 解得 m=1,或 m=121, 故答案为 1 或 121. 点评: 本题主要考查圆的标准方程的特征,两点间的距离公式,两圆的位置关系的判定方法, 属于中档题. 10.已知直线 x+3y+1=0 和圆 x +y ﹣2x﹣3=0 相交于 A,B 两点,则线段 AB 的垂直平分线的方 程是 3x﹣y﹣3=0 . 考点: 直线与圆相交的性质;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 根据直线与圆相交于 A,B 两点,得到线段 AB 的垂直平分线过圆心,且斜率与直线 AB 的斜率乘积为﹣1,将圆方程化为标准方程,找出圆心坐标,根据直线 AB 方程求出线段 AB 垂 直平分线斜率,即可确定出所求的直线方程. 解答: 解:将圆方程化为标准方程得: (x﹣1) +y =4, ∴圆心坐标为(1,0) ,
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∵直线 AB 方程 x+3y+1=0 的斜率为﹣ , ∴线段 AB 的垂直平分线方程的斜率为 3, 则线段 AB 的垂直平分线的方程是 y﹣0=3(x﹣1) , 即 3x﹣y﹣3=0. 故答案为:3x﹣y﹣3=0 点评: 此题考查了直线与圆相交的性质,以及直线的一般式方程与直线垂直关系,弄清题意 是解本题的关键. 11.已知两条直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 都过点 A(2,3) ,则过两点 P1(a1,b1) ,P2(a2, b2)的直线方程为 2x+3y+1=0 . 考点: 直线的两点式方程. 专题: 计算题. 分析: 把点 A(2,3)代入线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的方程,即两点 P1(a1,b1) ,P2(a2, b2)的坐标都适合方程 2x+3y+1=0,从而得到点(a1,b1)和(a2,b2)所确定的直线方程. 解答: 解:∵A(2,3)是直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的公共点, ∴2a1+3b1+1=0,且 2a2+3b2+1=0, 即两点 P1(a1,b1) ,P2(a2,b2)的坐标都适合方程 2x+3y+1=0, ∴两点(a1,b1)和(a2,b2)都在同一条直线 2x+3y+1=0 上, 故 点(a1,b1)和(a2,b2)所确定的直线方程是 2x+3y+1=0, 故答案为:2x+3y+1=0. 点评: 本题考查两直线交点的坐标和点在直线上的条件.

12.已知 F1 是椭圆 的最大值为 .

的左焦点,P 是椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则 PA+PF1

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 确定 A 在椭圆内部,利用最大 PA+PF1=2a+AF2,即可求得结论. 解答: 解:由题意,A(1,1)在椭圆内部,椭圆长轴 2a=10,右焦点坐标 F2(4,0) ,则 AF2= =

所以最大 PA+PF1=2a+AF2=10+ 故答案为: 点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆的定义,考查学生分析解决问题的能力,属于中 档题. 13.如图,已知 AB=2c(常数 c>0) ,以 AB 为直径的圆有一内接梯形 ABCD,且 AB∥CD,若椭 圆以 A, B 为焦点, 且过 C, D 两点, 则当梯形 ABCD 的周长最大时, 椭圆的离心率为 .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设∠BAC=θ,作 CE⊥AB 于点 E,则可表示出 BC,EB,CD,进而可求得梯形的周长的 表达式,根据二次函数的性质求得周长的最大值时θ的值,则 AC 和 BC 可求,进而根据椭圆 的定义求得椭圆的长轴,利用离心率公式,可得结论. 解答: 解:设∠BAC=θ,过 C 作 CE⊥AB,垂足为 E,则 BC=2csinθ,EB=BCcos(90°﹣θ)=2csin θ,∴CD=2c﹣4csin θ, 梯形的周长 l=AB+2BC+CD=2c+4csinθ+2c﹣4csin =﹣4c(sinθ﹣ )2+5c. 当 sinθ= ,即θ=30°时,l 有最大值 5c,这时,BC=c,AC= ∴e= = = . c,a= (AC+BC)= ,
2 2 2

故答案

点评: 本题主要考查了椭圆的应用,考查椭圆与圆的综合,考查椭圆的几何性质,属于中档 题.
2

14.设函数 f(x)= ,g(x)=ax +bx,若 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且仅有两个 不同的公共点,则当 b∈(0,1)时,实数 a 的取值范围为 .

考点: 专题: 分析: 结论. 解答:

根的存在性及根的个数判断. 函数的性质及应用. 画出函数的图象,利用函数的图象的对称性,结合对字母 a 进行分类讨论,不难推出 解:当 a>0 时,作出两个函数的图象,如图,
2

则当 b∈(0,1)时,函数 f(x)= ,g(x)=ax +bx,若 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图 象有且仅有两个不同的公共点,故考虑当 b=1 时,两个函数图象有且仅有两个不同的公共点, 如图.

由方程 =ax +x,得 ax =1﹣x ,两边求导,得 3ax =﹣2x,∴a=﹣ ∴﹣ ∴a=﹣ ×x =1﹣x ,解得 x= =﹣ ,
3 2

2

3

2

2





结合图象可知,当 a>0 时, 当 b∈(0,1)时,实数 a 的取值范围为 同理,当 a<0 时,实数 a 的取值范围为 当 b∈(0,1)时,实数 a 的取值范围为 ; ; ;

又当 a=0 时,函数 f(x)= ,g(x)=bx,的图象有且仅有两个不同的公共点. 故答案为: .

点评: 本题考查的是函数图象,直接利用图象判断,利用了构造函数的方法,利用函数与导 数知识求解.要求具有转化、分析解决问题,由一般到特殊的能力.题目立意较高,很好的 考查能力. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸制定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AD,AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析:(1) 连结 BD, 得 EF∥BD, 又 BD∥B1D1, 所以 EF∥B1D1, 由此能证明直线 EF∥平面 CB1D1. (2)由已知得 A1C1⊥B1D1,CC1⊥平面 A1B1C1D1,从而 CC1⊥B1D1,由此能证明 B1D1⊥平面 CAA1C1, 从而能证明平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1. 解答: (1)证明:连结 BD,在△ABD 中, E、F 分别为棱 AD、AB 的中点,故 EF∥BD, 又 BD∥B1D1,所以 EF∥B1D1,…(2 分) 又 B1D1? 平面 CB1D1,EF 不包含于平面 CB1D1, 所以直线 EF∥平面 CB1D1.…(6 分) (2)证明:在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 A1B1C1D1 是正方形, 则 A1C1⊥B1D1…(8 分) 又 CC1⊥平面 A1B1C1D1,B1D1? 平面 A1B1C1D1, 则 CC1⊥B1D1,…(10 分) 又 A1C1∩CC1=C1,A1C1? 平面 CAA1C1,CC1? 平面 CAA1C1, 所以 B1D1⊥平面 CAA1C1,又 B1D1? 平面 CB1D1, 所以平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1.…(12 分) 点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查平面与平面垂直的证明,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养. 16.已知圆心为 C 的圆经过三个点 O(0,0) 、A(1,3) 、B(4,0) (1)求圆 C 的方程; (2)求过点 P(3,6)且被圆 C 截得弦长为 4 的直线的方程. 考点: 圆的一般方程;直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)设出圆的一般式方程,利用圆上的三点,即可求圆 C 的方程; (2)通过过点 P(3,6)且被圆 C 截得弦长为 4 的直线的斜率不存在推出方程判断是否满足 题意;直线的斜率存在是利用圆心距与半径的关系,求出直线的斜率,即可解得直线的方程. 解答: 解: (1)设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0. 圆 C 经过三个点 O(0,0)A(1,3)B(4,0) , 所以 解得 D=﹣4,E=﹣2,F=0,
2 2

所以圆 C 的方程 x +y ﹣4x﹣2y=0. (2)①过点 P(3,6)且被圆 C 截得弦长为 4 的直线的斜率不存在,此时 x=3,满足题意. ②当过点 P(3,6)且被圆 C 截得弦长为 4 的直线的斜率存在时设为 k, 直线方程为 y﹣6=k(x﹣3) . 则 ,解得 k= ,所求直线方程为:12x﹣5y﹣6=0.

2

2

故所求直线方程为:x=3 或 12x﹣5y﹣6=0. 点评: 本题考查圆的一般式方程的求法,直线与圆的位置关系的应用,考查计算能力. 17.已知 m>0,p: (x+2) (x﹣3)≤0,q:1﹣m≤x≤1+m. (I)若¬q 是¬p 的必要条件,求实数 m 的取值范围; (II)若 m=7, “p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题,求实数 x 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的真假判断与应用. 专题: 计算题. 分析: (I)m>0,p: (x+2) (x﹣3)≤0,q:1﹣m≤x≤1+m,分别求出命题 p 和 q,根据¬ q 是¬p 的必要条件,可得 q? p,从而求出 m 的范围; (II)m=7,代入命题 q,求出 m 的范围, “p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题,可知 p 与 q 一真一假,分类讨论进行求解; 解答: 解: (I)m>0,p: (x+2) (x﹣3)≤0,q:1﹣m≤x≤1+m, ∴p:﹣2≤x≤3,q:1﹣m≤x≤1+m, ∵¬q 是¬p 的必要条件,q? p, ∴ 解得 m≤2,

当 m=2 时,q:﹣1≤x≤3,满足题意; 综上:0<m≤2; (II)若 m=7,可得 q:﹣6≤x≤8, ∵“p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题, ∴p 与 q 有一个为真,一个为假,∵p:﹣2≤x≤3, 若 p 真 q 假可得,x 为空集; 若 p 假 q 真可得,﹣6≤x<﹣2 或 3<x≤8; 点评: 此题主要考查命题真假的判断,以及充分必要条件的定义,解题过程中用到了分类讨 论的思想,是一道基础题; 18.现有一张长 80 厘米、宽 60 厘米的长方形 ABCD 铁皮,准备用它做成一只无盖长方体铁皮 盒,要求材料利用率为 l00%,不考虑焊接处损失. 方案一:如图(1) ,从右侧两个角上剪下两个小正方形,焊接到左侧中闻,沿虚线折起,求 此时铁皮盒的体积; 方案二:如图(2) ,若从长方形 ABCD 的一个角上剪下一块正方形铁皮,作为铁皮盒的底面, 用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,求该铁皮盒体积的最大值,并说明如何剪拼?.

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 方案一:求出小正方形的边长,利用体积公式可求体积; 方案二:设底面正方形的边长为 x(0<x<60) ,长方体的高为 y,利用面积确定 x,y 之间的 关系,进而可表示出体积,利用导数法,可求最值. 解答: 方案一:设小正方形的边长为 x,由题意得 4x=60,x=15, 所以铁皮盒的体积为 65×30×15=29250(cm ) . …(4 分) 方案二:设底面正方形的边长为 x(0<x<60) ,长方体的高为 y, 由题意得 x +4xy=4800,即
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所以铁皮盒体积

,…(10 分) ,令 V′(x)=0,解得 x=40 或 x=﹣40(舍) ,

当 x∈(0,40)时,V'(x)>0;当 x∈(40,60)时,V'(x)<0, 所以函数 V(x)在 x=40 时取得最大值 32000cm .将余下材料剪拼成四个长 40cm,宽 20cm 的 小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可. …(15 分) 答:方案一铁皮盒的体积为 29250cm ;方案二铁皮盒体积的最大值为 32000cm ,将余下材料 剪拼成四个长 40cm,宽 20cm 的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可. (16 分) 点评: 本题考查函数模型的选择与运用,考查几何体的体积,考查导数知识的运用,属于中 档题.
3 3 3

19.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

=1(a>b>0)的焦点为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,

左、右顶点分别为 A,B,离心率为 (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若 ,

,动点 P 到 F1,F2 的距离的平方和为 6.

,Q 为椭圆上位于 x 轴上方的动点,直线

DM? CN,BQ 分别交直线 m 于点 M,N. (i)当直线 AQ 的斜率为 时,求△AMN 的面积;

(ii)求证:对任意的动点 Q,DM? CN 为定值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)利用动点 P 到 F1,F2 的距离的平方和为 6,建立方程,化简可得 P 的轨迹方程; (2)确定椭圆的方程,求出 M、N 的坐标, ( i)当直线 AQ 的斜率为 时,直线方程与椭圆方 程联立,表示出三角形的面积,即可求△AMN 的面积; (ii)表示出 DM,CN,计算 DM? CN,可 得定值. 解答: (1)解:设 P(x,y) ,则 即(x+1) +y +(x﹣1) +y =6,整理得,x +y =2, 2 2 所以动点 P 的轨迹方程为 x +y =2.…(4 分)
2 2 2 2 2 2



(2)解:由题意知,

,解得



所以椭圆方程为 则 ,

. …(6 分) ,设 Q(x0,y0) ,y0>0,则 ,

直线 AQ 的方程为

,令

,得



直线 BQ 的方程为

,令

,得



( i) 当直线 AQ 的斜率为 时, 有

, 消去 x0 并整理得,



解得

或 y0=0(舍) ,…(10 分)

所以△AMN 的面积 = …(12 分) (ii) , = .



所以



所以对任意的动点 Q,DM? CN 为定值,该定值为 .

…(16 分)

点评: 本题考查轨迹方程,考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形 面积的计算,考查学生的计算能力,综合性强. 20.已知函数,f(x)=x +bx +cx+d 在点(0,f(0) )处的切线方程为 2x﹣y﹣1=0. (1)求实数 c,d 的值; (2)若过点 P(﹣1,﹣3)可作出曲线 y=f(x)的三条不同的切线,求实数 b 的取值范围; (3)若对任意 x∈,均存在 t∈(1,2],使得 et﹣lnt﹣4≤f(x)﹣2x,试求实数 b 的取值 范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)由点(0,f(0) )在切线上得 f(0)=﹣1,且 f′(0)=2,联立可解得 c,d; (2)设切点为 Q(x0,y0) ,易求切线方程,把点 P(﹣1,﹣3) ,代入并整理得 ,由题意,方程 实根,据此得到不等式组,解出可得 b 的范围; (3)不等式 et﹣lnt﹣4≤f(x)﹣2x,即 et﹣lnt≤x +bx +3,由题意可知,et﹣lnt 的最小 3 2 值应小于或等于 x +bx +3 对任意 x∈恒成立,构造函数 h(t)=et﹣lnt,用导数可求得 h(t) min,分离参数后再构造函数,转化为求函数最值即可; 2 解答: (1)f'(x)=3x +2bx+c,由题意得,切点为(0,﹣1) , 则 ,解得 .
3 2 3 2

有两个不同的非零

(2)设切点为 Q(x0,y0) ,则切线斜率为 所以切线方程为 , 又切线过点 P(﹣1,﹣3) ,代入并整理得

, ,即





由题意,方程

有两个不同的非零实根,

所以

,解得



故实数 b 的取值范围为(﹣∞,0)∪(0,1)∪(9,+∞) . (3)由(1)知,f(x)=x +bx +2x﹣1,则不等式 et﹣lnt﹣4≤f(x)﹣2x,即 et﹣lnt≤ 3 2 x +bx +3, 3 2 由题意可知,et﹣lnt 的最小值应小于或等于 x +bx +3 对任意 x∈恒成立, 令 h(t)=et﹣lnt(1<t≤2) ,则 ∴h(t)在(1,2]上递增,因此,h(t)>h(1)=e. ∴e≤x +bx +3 对任意 x∈恒成立,即 b≥
3 2 3 2

>0,

对任意 x∈恒成立,

令 g(x)=

(1≤x≤2) ,则 g′(x)=

<0,

∴g(x)在上单调递减,∴g(x)的最大值为 g(1)=

=e﹣4,

∴b≥e﹣4. 点评: 本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、函数恒成立问题,考查转化思想, 考查学生综合运用知识解决问题的能力.


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