tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关文档
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)课件:第11章 第4节 数学归纳法(理)


成才之路 · 数学
人教B版 · 高考总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

第十一章
算法框图、复数、推理与证明

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

第十一章
第四节 数学归纳法(理)

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

课 时 作 业

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

自主预习学案

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

在解答题中,以数列、不等式、函数为载体考查数学归纳
法的一般原理,一般作为一问呈现.

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

1.数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤 进行: (1)归纳奠基:验证当n取第一个值n0时结论成立; (2)归纳递推:假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论成立,推 k+1时结论也成立. 出n=________ 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有

自然数n(n≥n0)都成立,这种证明方法叫做数学归纳法.

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

1 2 ( . 0 1 4 · 形 的 对 角 线 为 A.1 C.3
[ 答案]

宁 夏 银 川 九 中 月 考

)在 应 用 数 学 归 纳 法 证 明 凸 n等于( )

n边

1 n(n-3)条 时 , 第 一 步 检 验 2 B.2 D.0
C

[ 解析] 于3,故选C.

因为凸n边形的n最 小 值 为

3, 所 以 第 一 步 检 验

n等

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

2.2 ( 0 1 4 ·

山 西 忻 州 实 验 中 学 阶 段 测 试

)对 于 不 等 式

n2+n

≤n+1(n∈N*), 某 同 学 的 证 明 过 程 如 下 : 1° 当n=1时, 12+1≤1+1, 不 等 式 成 立 2° 假设n=k(k∈N*)时 不 等 式 成 立 , 即 . k2+k <k+1,则n=

k+1时, ?k+1?2+?k+1? = k2+3k+2 < ?k2+3k+2?+k+2 = ?k+2?2=(k+1)+1. ∴当n=k+1时 , 不 等 式 成 立 .

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

上述证法(

)

A.过程全都正确 B.n=1验得不正确

C.归纳假设不正确
D.从n=k到n=k+1的推理不正确 [答案] [解析] D 上述证明过程中,在由n=k变化到n=k+1时,不

等式的证明使用的是放缩法而没有使用归纳假设.故选D.

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

3.2 ( 0 1 4 ·

江 西 赣 州 四 所 重 点 中 学 期 末 f4 ( > )2 ,f8 ( > )

1 1 )已知f(n)=1+ + 2 3 5 ,f1 ( 6 > )3 2 _ _ _ _ ,f3 ( 2 > ) ______.

1 +?+ (n∈N*), 经 计 算 得 n

7 ,?, 观 察 上 述 结 果 , 则 可 归 纳 出 一 般 结 论 为 2 n+2 n [ 答案] f(2 )≥ (n∈N*) 2 3 [ 解析] 由题意得f2 ( ) = , 可 化 为 2
2

1+2 f(2 )= ,同理得到 2
1

2+2 3 3+2 4 4+2 5 5+2 f(2 )> ,f(2 )> ,f(2 )> ,f(2 )> .依此类推,可 2 2 2 2 n+2 得f(2 )≥ (n∈N*). 2
n
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

4.2 ( 0 1 4 ·

陕 西 长 安 五 校 三 模

)观 察 下 列 等 式 :

1 2 7 + =1; 3 3 3

8 10 11 16 17 19 20 22 23 + + + =12; + + + + + =39;?.则当 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3n+1 3n+2 3m-2 3m-1 n<m且m,n∈N时, + +?+ + = 3 3 3 3 _ _ _ _ _ _ _ _ ( 最 后 结 果 用
[ 答案] m2-n2

m,n表示).

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

[解 析] 第 一 个 等 式 中

7 11 8 10 16 23 17 22 19 20 ∵ + = + , + = + = + ,在 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 n=0,m=1; 项 数 为 2, 和 为 1; 第 二 个 等 式 中 n

=2,m=4; 项 数 为

4=2×(4-2), 和 为 12=42-22; 第 三 个 等 6=2×(8-5), 和 为 39=82-52, 2(m-n), 所 以 3n+1 + 3

式 中 , m=8,n=5, 项 数 为 由 此 推 测 和 为
2 2

m -n .待 求 式 中 项 数 为

3n+2 3m-2 3m-1 3n+1 3m-1 +?+ + =(m-n)( + )=m2-n2. 3 3 3 3 3

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

典例探究学案

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

用数学归纳法证明恒等式

用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+3)?(n+n) =2n· 1· 3· 5· ?· (2n-1) (n∈N+).
[ 分析] 从n=k到n=k+1的过渡,左边增加了因式(2k+ 1)(2k+2)减少了因式k+1,右边2k变成2k+1增加了因式(2k+ 1). [ 证明] (1)当n=1时,左边=2=右边,等式成立.

(2)假设n=k(k∈N+)时,等式成立, 即(k+1)(k+2)?(k+k)=2k· 1· 3· 5· ?· (2k-1),
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

[证 明]

1 () 当n=1时 , 左 边 =

2= 右 边 , 等 式 成 立 .

2 () 假 设 n=k(k∈N+)时 , 等 式 成 立 , 即(k+1 ( ) k+2)?(k+k)=2k1 3 5 · · ?2 ( · k-1), k+2)=(k

则 当 n=k+1时 , (k+2 ( ) k+3)?(k+k)(2k+1 2 ( ) +1 ( ) k+2)?(k+k2 · 2 ) ( =2k1 3 5 · · k+1) k+1)=2k+11 3 5 · ·

?2 ( · k-1 2 · 2 ) (

??2 ( · k-1 · ) 2 [( k

+1)-1] 等 式 也 成 立 . 由1 ( ) 、2 () 可 知 , 等 式 对 任 何 n∈N+都 成 立 .

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

则当n=k+1时,(k+2 ( ) k+3)?(k+k)(2k+1 2 ( ) +1 ( ) k+2)?(k+k2 · 2 ) ( =2k1 3 5 · · k+1) k+1)=2k+11 3 5 · ·

k+2)=(k

?2 ( · k-1 2 · 2 ) (

??2 ( · k-1 · ) 2 [( k

+1)-1] 等 式 也 成 立 . 由1 ( ) 、2 ( ) 可 知 , 等 式 对 任 何 [ 方法总结] n∈N+都成立.

1.用 数 学 归 纳 法 证 明 命 题 时 , 两 个 步 骤 缺 一

不 可 , 第 一 步 是 递 推 的 基 础 , 第 二 步 是 递 推 的 依 据 , 要 严 格 按 要 求 一 步 步 证 明 . 2. 第 一 步 验 证 初 始 值 时 , 要 注 意 初 始 值 步 一 定 要 用 上 归 纳 假 设 .
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

n0是 多 少 , 第 二

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

3. 用 数 学 归 纳 法 证 明 等 式 时 , 要 注 意 分 析 等 式 两 边 的 构 成 规 律 , 等 式 两 边 各 有 多 少 项 , 项 的 多 少 与 n的 取 值 是 否 有 n

关 , 从 n=k到n=k+1的 过 渡 是 证 题 的 关 键 环 节 , 要 弄 清 从 当 =k到n=k+1时 , 等 式 的 两 边 会 增 加 多 少 项 , 增 加 怎 样 的 项 , 明 确 “归 纳 递 推 怎 么 用 要 考 虑 好 . 4. 要 注 意 恒 等 变 形 中 , 乘 法 公 式 、 因 式 分 解 、 配 方 、 添 项 、 拆 项 等 技 巧 的 运 用 . ”变 形 的 方 向 . 特 别 是 “n=k”时 的 归 纳 假 设

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

1 () 用 数 学 归 纳 法 证 明 下 面 的 等 式 1)
n-1

12-22+32-42+?+(-

· n =(-1)

2

n-1n?n+1?

2

. )在数列{an},{bn}中,a1=2,b1 bn,an+1,bn+1成 等 比 数 列 (n

2 ( 2 ( ) 0 1 4 · ∈N*).

北 京 东 城 区 调 研

=4,且an,bn,an+1成 等 差 数 列 ,

①求a2,a3,a4及b2,b3,b4, 由 此 归 纳 出 项 公 式 , 并 证 明 你 的 结 论 ;

{an},{bn}的通

1 1 1 1 5 ②证明: + + +?+ < . a1+b1 a2+b2 a3+b3 an2+bn2 12
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

[解 析]

1 () ①当n=1时 , 左 边 =
0

12=1,

1×?1+1? 右 边 = (-1) · =1,∴原 等 式 成 立 . 2 ②假 设 n=k(k∈N+,k≥1)时 , 等 式 成 立 , 即 有 1 -2 +3 -4 +?+(-1) 那 么 , 当 n=k+1时 , 则 有
2 2 2 2 k-1

· k =(-1)

2

k-1k?k+1?

2

.

12-22+32-42+?+(-1)k-1· k2+(-1)k· (k+1)2 =(-1)
k-1k?k+1?

2

+(-1)k· (k+1)2
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

k+1 k?k+1??k+2? =(-1) · [ -k+2(k+1 ] ) =(-1) , 2 2
k

∴n=k+1时 , 等 式 也 成 立 , 由①、②得 对 任 意
2 2 2 2

n∈N+有
n -1

1 -2 +3 -4 +?+(-1) 2 () ①由 条 件 得 由 此 可 得 :

· n =(-1)

2

n-1n?n+1?

2

.

2bn=an+an+1,a2 n+1=bnbn+1,

a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=2 5 . 猜 测 an=n(n+1),bn=(n+1)2.
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

用 数 学 归 纳 法 证 明 :

1° 当n=1时 , 由 上 可 得 结 论 成 立 .

2° 假设当n=k时 , 结 论 成 立 , 即 ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么当n=k+1时, ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1 ( ) k+2),bk+1= a2 k+1 =(k+2)2, bk 所以当n=k+1时 , 结 论 也 成 立 . 由1 ° 2 ° 可知an=n(n+1),bn=(n+1)2对 一 切 正 整 数 都 成 立.
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

1 1 5 ② = < . a1+b1 6 12 当n≥2时,由①知an+bn=(n+1 2 ( ) n+1 > )2 ( n+1)n.

1 1 1 1 + + +?+ a1+b1 a2+b2 a3+b3 an2+bn2 1 1 1 1 1 < + [ + +?+ 2 2 ] 6 2 2×3 3×4 n ?n +1? 1 11 1 1 1 1 1 = + ( - + - +?+ 2- 2 ) 6 22 3 3 4 n n +1 1 11 1 1 1 5 = + ( - 2 )< + = .综 上 , 原 不 等 式 成 立 6 2 2 n +1 6 4 12 .

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

用数学归纳法证明不等式

(2014· 安徽理)设实数c>0,整数p>1,n∈N*. (1)证明:当x>-1且x≠0时,(1+x)p>1+px; p-1 1 c 1 -p (2)数列{an}满足a1>c ,an+1= an+ a n ,证明: p p p 1 an>an+1>c . p

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

[解 析] 等 式 成 立 .

1 () ①当p=2时 , (1+x)2=1+2x+x2>1+2x, 原 不

②假 设 p=k(k≥2,k∈N*)时 , 不 等 式

(1+x)k>1+kx成 立 , +kx)(1+x)=1

当p=k+1时 , (1+x)k+1=(1+x)k(1+x> )1 ( +(1+k)x+kx2>1+(k+1)x, 所 以 p=k+1时 , 原 不 等 式 也 成 立 . 综 合 ①,②可 得 , 当 等 式 (1+x)p>1+px均 成 立 .

x>-1,x≠0时 , 对 一 切 整 数

p>1, 不

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

2 () 证 法 1: 先 用 数 学 归 纳 法 证 明 ①当n=1时 , 由 题 设

1 an>c , p

1 1 a1>c 知an>c 成 立 . p p
*

②假 设 n=k(k≥1,k∈N )时 , 不 等 式

1 ak>c 成 立 , p

p-1 c 1-p 由an+1= an+ an 易 知 an>0,n∈N*, p p ak+1 p-1 c -p 1 c 当n=k+1时 , = + ak =1+ ( p-1), ak p p p ak 1 1 1 1 由ak>c >0得 - 1<- < ( p-1 < )0 p p p ak ,
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

由1 ( ) 中 的 结 论 得 , ak+1 p 1 c 1 c c p ( ) =[1+ ( p-1 ] ) >1+p·( p-1)= p. ak p ak p ak ak 因 此 , ap 即 k+1>c, 1 ak+1>c , p 1 an>c 也 成 立 . p n, 不 等 式 1 an>c 均 成 立 , p

所 以 n=k+1时 , 不 等 式

综 合 ①,②可 得 , 对 一 切 正 整 数

an+1 an+1 1 c 再 由 =1+ ( p-1), 可 得 <1, 即 an+1<an. an p an an 综 上 所 述 , 1 an>an+1>c ,n∈N*. p
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

p-1 c 1-p 1 证 法 2: 设 f(x)= x+ x ,x≥c , 则 xp≥c, p p p p-1 c p-1 c 1 -p 并 且 f ′(x)= + (1-p)· x = (1- p> )0 ,x>c , p p p x p 1 1 由 此 可 得 f(x)在[c , + ∞)上 单 调 递 增 , 因 而 当 x>c 时 , p p 1 1 f(x)>f(c )=c . p p p-1 1 c 1-p p ①当n=1时 , 由 a1>c >0, 即 a1>c可 知 , a2= a+ a p p 1 p 1 1 c 1 1 =a1[1+ ( p -1 < ] ) a1, 并 且 a2=f(a1)>c , 从 而 a1>a2>c , 故 当 p a1 p p 1 n=1时 , 不 等 式 ak>ak+1>c 成 立 . p
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

②假 设 n=k(k≥1,k∈N )时 , 不 等 式

*

1 ak>ak+1>c 成 立 , 则 p

1 1 当n=k+1时 , f(ak)>f(ak+1)>f(c ), 即 有 ak+1>ak+2>c , 所 以 n=k p p +1时 , 原 不 等 式 也 成 立 . 综 合① ②可 得 , 对 一 切 正 整 数 立 .
[ 方法总结] 1.当 遇 到 证 明 与 正 整 数 n有 关 的 不 等 式 时 , 若 用 其 他 方 法 不 容 易 证 , 则 可 考 虑 应 用 数 学 归 纳 法 , 若 其 他 方 法 可 以 证 明 , 则 以 “证 明 简 便 ”为 标 准 选 择 方 法 .
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

n, 不 等 式

1 an>an+1>c 均 成 p

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

2.用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n
=k+1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综 合法、求差(求商)比较法、放缩法、基本不等式等方法证明, 有时还构造函数,利用函数的单调性完成部分证明,但无论用 什么方法,都要用归纳假设作为依据.

3.用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形
式:一是直接给出不等式,按要求进行证明;二是给出两个式 子,按要求比较它们的大小,对第二类形式往往要先对 n 取前 几个值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,最后猜出从 某个n值开始都成立的结论,再用数学归纳法证明.
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

已知数列{an}中,a1=a>2, 对 一 切 a2 n . 2?an-1? 求证:an>2且an+1<an.

n∈N*,an>0,an+1=

[ 证明]

a2 n 证法1:an+1= >0,∴an>1,∴an-2= 2?an-1? ak=2,则ak-1

a2 ?an-1-2?2 n-1 -2= ≥0,∴an≥2, 若 存 在 2?an-1-1? 2?an-1-1? =2, 由 此 可 推 出 an?2-an? an> 2 . ∵an+1-an= <0,∴an+1<an. 2?an-1?

ak-2=2,?,a1=2,此与a1=a>2矛 盾 , 故

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

证 法 2:1 ( ( )

用 数 学 归 纳 法 证 明

an> 2 ) , an>2成 立 ;

①当n=1时 , 因 a1=a>2, 故 命 题 ②假 设 n=k时 命 题 成 立 , 即

ak>2,

2 ? a - 2 ? a2 k k 那 么 , ak+1-2= -2= >0, 所 以 ak+1>2, 2?ak-1? 2?ak-1?

即n=k+1时 命 题 也 成 立 成 立 . an+1<an的 证 明 同 上 .

.

综 上 所 述 , 命 题

an>2对 一 切 正 整 数

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

[ 点评]

与 不 等 式 结 合 命 题 是 高 考 主 要 命 题 方 式 , 既 考 查

不 等 式 的 应 用 , 又 考 查 逻 辑 推 理 能 力 , 题 型 主 要 有 : (一)直 接 给 出 不 等 式 要 求 用 数 学 归 纳 法 证 明 . ①证 明 : 当 1 1 1 n∈N 时,1+ + +?+ > n l ( 2 3 n
*

n+1).

[ 证明]

1 ( ) 当n=1时,由于n l 2 < n l e

=1, 故 不 等 式 成 立 .

2 ( ) 假设当n=k(k∈N*)时 不 等 式 成 立 . 1 1 1 则1+ + +?+ > n l 1 ( 2 3 k +k).

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

1 1 1 1 1 则 当 n=k+1时 , 1+ + +?+ + > +n l ( k+ 2 3 k k+1 k+1 1). 要 证 不 等 式 成 立 , 只 需 证 明 立 . 要 证 明 此 不 等 式 成 立 只 需 证 明 1 > n l ( k+1 k+2 )=n l 1 ( k+1 1 + ). k+1 +x)-x(x> 0 ) . n l ( k+2 < ) 1 +n l ( k+1)成 k+1

下 面 构 造 函 数

f(x)=n l 1 (

-x 1 ∵f ′(x)= -1= <0, 1+x 1+x
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

∴f(x)=n l 1 (

+x)-x在(0, + ∞)上 是 减 函 数 , +x)<x. 1 1 + )< . k+1 1+k +k)成 立 , k+2)成 立 . 1 1 1 1+ + +?+ > n l ( 2 3 n n+1)

∴f(x)<f0 () ,即n l 1 ( 1 令x= 得n l 1 ( k+1

1 即 不 等 式 n l ( k+2 < ) +n l 1 ( k+1

1 1 1 1 所 以 1+ + +?+ + > n l ( 2 3 k k+1 由1 ( ) 、2 () 可 知 对 n∈N , 不 等 式 成 立 .
*

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

(二)归 纳 猜 想 出 不 等 式 , 再 证 明 . ②由 下 列 不 等 式 : 1 1 1 1> ,1+ + > 1 , 2 2 3 1 1 1 3 + + +?+ > ,1 2 3 7 2

1 1 1 + + +?+ >2,?, 你 能 得 到 一 个 怎 样 的 一 般 不 等 式 ? 并 2 3 15 加 以 证 明 .
[解 析] 即 一 般 不 等 式 为 : 根 据 给 出 的 几 个 不 等 式 可 以 猜 想 第 n个 不 等 式 , 1 1 1 n 1+ + +?+ n > (n∈N+). 2 3 2 -1 2

用 数 学 归 纳 法 证 明 如 下 : 1 1 () 当n=1时 , 1> , 猜 想 成 立 ; 2
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

2 () 假 设 当 n=k时 , 猜 想 成 立 , 即 则 当 n=k+1时 ,

1 1 1 k 1+ + +?+ k > , 2 3 2 -1 2

1 1 1 1 1 1 k 1 1+ + +?+ k + k+ k +?+ k+1 > + k+ 2 3 2 2 -1 2 +1 2 -1 2 2 k+1 1 1 k 2k +?+ k+1 > + = , 即 当 n=k+1时 , 猜 想 也 2 2k+1 2 -1 2 2k+1 确 , 由 1 ( 2 ) ) 可 知 对 任 意 的 n∈N+, 不 等 式 都 成 立 .

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

③2 ( 0 1 3 ·

九 江 模 拟

)设 数 列 {an}的 前 n项 和 为 Sn, 并 且 满 足

* 2Sn=a2 + n , a > 0 ( n ∈ N ). n n

1 () 猜 想 {an}的 通 项 公 式 , 并 用 数 学 归 纳 法 加 以 证 明 . 2 () 设x>0,y>0, 且 x+y=1, 证 明 : ≤ 2?n+2?. anx+1 + any+1

[ 解析]

1 ( ) 分别令n=1 2 3 ,



?2a1=a2 1+1, ? 2 得?2?a1+a2?=a2+2, ?2?a +a +a ?=a2+3. ? 1 2 3 3
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

∵an>0,∴a1=1,a2=2,a3=3. 猜 想 : an=n. 由2Sn=a2 n+n.① 可 知 , 当 n≥2时 , 2Sn-1=a2 n-1+(n-1).②

2 ①-②,得2an=a2 - a n n-1+1, 2 即a2 = 2 a + a n n n-1-1. 2 (ⅰ)当n=2时 , a2 2=2a2+1 -1,

∵a2>0,∴a2=2.

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

(ⅱ)假 设 当 n=k(k≥2)时 , ak=k, 那 么 当
2 2 a2 k+1=2ak+1+ak -1=2ak+1+k -1

n=k+1时 ,

?[ ak+1-(k+1 [ ] ) ak+1+(k-1 ] ) =0, ∵ak+1>0,k≥2,∴ak+1+(k-1 > )0 ∴ak+1=k+1. 即 当 n=k+1时 也 成 立 . ∴an=n(n≥2). 显 然 n=1时 , 也 成 立 , 故 对 于 一 切 n∈N*, 均 有 an=n. ,

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

2 ( ) 要证 nx+1+ ny+1≤ 2?n+2?, 只要证nx+1+2 ?nx+1??ny+1?+ny+1≤2(n+2). 即n(x+y)+2+2 n2xy+n?x+y?+1≤2(n+2), 将x+y=1代入,得2 n2xy+n+1≤n+2, 即只要证4(n2xy+n+1)≤(n+2)2, 即4xy≤1. x+y 1 ∵x>0,y>0,且x+y=1,∴ xy≤ = , 2 2 1 即xy≤ ,故4xy≤1成 立 , 所 以 原 不 等 式 成 立 . 4
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

(三)探 索 大 小 后 证 明 ④已 知 正 项 数 列
+1

{an}中 , 对 于 一 切 的

n∈N*均 有 a2 n ≤an-an

成 立 . 1 () 证 明 : 数 列 {an}中 的 任 意 一 项 都 小 于 1;

1 2 () 探 究 an与 的 大 小 , 并 证 明 你 的 结 论 . n
[解 析]
2 1 ( ) 由a2 ≤ a - a 得 a ≤ a - a + + n n n 1 n 1 n n.

∵在 数 列 {an}中an>0,∴an+1>0, ∴an-a2 n>0,∴0<an<1, 故 数 列 {an}中 的 任 何 一 项 都 小 于 1.
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

1 2 ( ) 解法1:由1 ( ) 知0<an<1= , 1 1?2 1 1 1 ? 2 那么a2≤a1-a1=-?a1- ? + ≤ < ,
? ? ?

2?

4 4 2

由 此 猜 想 :

1 an< . n n≥2,n∈N时 猜 想 正 确 .

下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明 : 当 ①当n=2时 , 显 然 成 立 ;

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

1 1 ②假 设 当 n=k(k≥2,k∈N)时 , 有 ak< ≤ 成 立 . k 2 那 么 1? 2 1 1 1 ? ?1 1? 2 1 2 ak+1≤ak-a k = - ?ak- ? + <- ? - ? + = - 2 =
? ? ? ? ?

2?

4

?k

2?

4

k

k

k-1 k-1 1 < = , k2 k2-1 k+1 ∴当n=k+1时 , 猜 想 也 正 确 . 综 上 所 述 , 对 于 一 切 1 n∈N , 都 有 an< . n
*

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

解 法 2: 由 a2 n≤an-an+1, 得0<ak+1≤ak-a2 k =ak(1-ak), 1 1 1 ∵0<ak<1,∴ ≥ = + , ak+1 ak?1-ak? ak 1-ak 1 1 ∴ - ≥ > 1 . a ak+1 k 1-ak 令k=1 2 3 , ,?,n-1得 : 1 1

1 1 1 1 1 1 - >1, - >1,?, - >1, a2 a1 a3 a2 an an-1 1 1 1 ∴ > +n-1>n,∴an< . an a1 n
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

用数学归纳法证明几何命题

平面上有n个圆,其中任何两圆都相交,任何三 圆不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成的区域数为f(n) =n2-n+2.
[ 分析] 关键是n=k到n=k+1的过渡,要想搞清f(k+1)比

f(k)多出平面区域的块数,就要先弄清第k+1个圆被原来的k个 圆分成了多少段,每一段把它所在的原平面区域一分为二,为 此先求出第k+1个圆与原来的k个圆的交点个数即可.
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

[证明]

(1)当n=1时,一个圆把平面分成两个部分,

又f(1)=12-1+2=2,所以n=1时,命题成立. (2)假设n=k时命题成立,即平面内满足条件的k个圆把平 面分成f(k)=k2-k+2个部分. 则n=k+1时,第k+1个圆与前k个圆中的每一个各有两个

交点,又无三圆相交于同一点,故共得2k个交点,这2k个交点
把第k+1个圆分成2k条圆弧,每条圆弧把原来所在的区域一分 为二,所以平面的区域增加2k个,即f(k+1)=f(k)+2k=k2-k

+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,
所以当n=k+1时命题也成立. 由(1)(2)可知,对一切正整数n,命题都成立.
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

[方法总结]

用数学归纳法证明图形类问题时,要注意从n

=k到n=k+1,究竟图形中发生了哪些变化,这些变化如何归

结为与n=k时的图形有关联.

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

(2014·安徽六校教育研究会联考)如图,第n个图形是由正n

+ 2 边 形 “ 扩 展 ” 而 来 的 (n = 1,2,3 , ?) , 则 第 n - 2(n≥3 ,
n∈N*)个图形共有________个顶点.

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

[答案] n(n+1)

[ 解析]

当n=1时,顶点共有3×4=12(个),

当n=2时,顶点共有4×5=20(个), 当n=3时,顶点共有5×6=30(个), 当n=4时,顶点共有6×7=42(个), 故第n-2个图形共有顶点(n-2+2)(n-2+3)=n(n+1)个.

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

答题模板系列 归纳、猜想、证明

(2013· 铜陵模拟)将正整数作如下分组:(1), (2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15), (16,17,18,19,20,21),?,分别计算各组包含的正整数的和如 下,试猜测S1+S3+S5+?+S2n-1的结果,并用数学归纳法证 明.

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

S1=1, S2=2+3=5, S3=4+5+6=15, S4=7+8+9+10=34, S5=11+12+13+14+15=65, S6=16+17+18+19+20+21=111, ?

[ 分析]

对 于 这 种 猜 想 探 究 证 明 性 的 命 题 , 先 计 算 若 干

项 , 通 过 观 察 发 现 规 律 , 加 以 归 纳 , 然 后 用 数 学 归 纳 法 证 明 .
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

[解 析]

由 题 意 知 , 当

n=1时 , S1=1=14;

当n=2时 , S1+S3=16=24; 当n=3时 , S1+S3+S5=81=34; 当n=4时 , S1+S3+S5+S7=256=44. 猜 想 : S1+S3+S5+?+S2n-1=n4. 下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明 : 1 () 当n=1时 , S1=1=14, 等 式 成 立 . (2)假 设 当 n=k(k∈N*)时 等 式 成 立 , 即
-1

S1+S3+S5+?+S2k

=k4,
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

因 为 Sn有n个 自 然 数 相 加 , 所 以 加 , 其 中 第 一 个 自 然 数 为 所 以 , 当

S2k+1有2k+1个 自 然 数 相

(1+2+3+?+2k)+1=2k2+k+1,

n=k+1时,S1+S3+S5+?+S2k-1+S2k+1=k4+2 ( [ k2

+k+1)+(2k2+k+2)+…+(2k2+k+2k+1 ] ) =k4+(2k+ 1 2 ( ) k2+2k+1)=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4, 这 就 是 说 , 当 n=k+1时 , 等 式 也 成 立 . 于 任 意 的 n∈N*,S1+S3+S5+?+

根 据1 ( ) 和2 ( ) , 可 知 对 S2n-1=n4都 成 立 .

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

[规范答题模板]

利用数学归纳法可以探索与正整数n有关

的探索性问题、存在性问题及与正整数n有关的其他命题,其 基本模式是“归纳—猜想—证明”. 第一步,准确计算出前若干具体项,这是归纳、猜想的基 础.

第二步,通过观察、分析、比较、联想,猜想出一般结
论. 第三步,对一般结论用数学归纳法进行证明. 其关键环节是归纳,猜想出结论.

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

2 (0 1 4 ·

天 津 河 西 区 一 模

)已 知 数 列

{an}的 前 n项 和 为 Sn, 且 满

足4(n+1 ( ) Sn+1)=(n+2)2an(n∈N*). 1 () 求a1,a2的 值 ; 2 () 求an; n+1 3 () 设bn= , 数 列 {bn}的 前 n项 和 为 Tn, 求 证 : an 3 Tn< . 4

[ 解析] 得a1=8,

1 () 当n=1时,有4×(1+1 ( ) a1+1)=(1+2)2a1,解

当n=2时,有4×(2+1 ( ) a1+a2+1)=(2+2)2a2,解得a2= 27,
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

?n+2?2an 2 () 解 法 1: 当 n≥2时 , 有 4(Sn+1)= ,① n+1 ?n+1?2an-1 4(Sn-1+1)= ,② n ?n+2?2an ?n+1?2an-1 ①-②得:4an= - , n n+1
3 an ?n+1? 即 = , n3 an-1

a2 33 a3 43 an ?n+1? 所 以 = 3, = 3,?, = , 3 a1 2 a2 3 n an-1 累 乘 得 : an=(n+1)3(n≥2), 又 当 n=1时 , 有 a1=8, 所 以 an=(n+1)3.
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

3

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

解 法 2: 根 据 a1=8,a2=27, 猜 想 : 用 数 学 归 纳 法 证 明 :

an=(n+1)3.

1 () 当n=1时 , 有 a1=8=(1+1)3, 猜 想 成 立 ; 2 () 假 设 当 n=k时 , 猜 想 也 成 立 , 即 ak=(k+1)3,

3 () 那 么 当 n=k+1时 , 有 4(k+1+1 ( ) Sk+1+1)=(k+1+ 2)2ak+1, ?k+1+2?2ak+1 即4(Sk+1+1)= ,① k+1+1

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

?k+2?2ak 4(Sk+1)= ,② k+1 ?k+3?2ak+1 ?k+2?2ak ①-②得:4ak+1= - k+2 k+1 ?k+3?2ak+1 ?k+2?2?k+1?3 = - , k+2 k+1 整 理 得 : ak+1=(k+2)3=(k+1+1)3,

所 以 当 n=k+1时 , 猜 想 也 成 立 . 因 此 , an=(n+1)3.

第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

n+1 1 1 1 1 3 () 证 明 : 因 为 bn= = = - , 2< an n ?n+1? n?n+1? n+1 1 1 1 所 以 Tn=b1+b2+?+bn= 2+ 2+?+ 2 3 ?n+1?2 1 1 1 1 < 2+ + +?+ 2 2×3 3×4 n?n+1? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 = +( - )+( - )+?+( - )= + - < . 4 2 3 3 4 n n+1 4 2 n+1 4 3 所 以 Tn< . 4 [ 点评] 在 用 数 学 归 纳 法 证 明 不 等 式 时 , 常 根 据 题 目 的 需
要 进 行 恰 当 的 放 缩 , 要 注 意 既 不 能 放 缩 的 不 到 位 , 也 不 能 放 缩 过了头.
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

名 师 点 睛 四 个 防 范 1 () 第①步 , 验 证 目 要 求 , 有 时 可 为 n=n0时 结 论 成 立 的 n0不 一 定 为 1, 根 据 题

2、3等 . n=k+1时 命 题 也 成 立 的 过 程 中 , 一 定 要 ... n=

2 () 第②步 , 证 明

用 到 归 纳 假 设 , 否 则 就 不 是 数 学 归 纳 法 . ...... 3 () 归 纳 假 设 中 要 保 证 n从 第 一 个 数 n0开 始 , 即 假 设 k>n0就 错 了 . 数 .
第十一章 算法框图、复数、推理与证明

k(k≥n0)时 结 论 成 立 , 括 号 内 限 制 条 件 改 为 4 () 要 注 意 n=k到n=k+1时 增 加 的 项

走向高考 · 高考总复习 · 人教B版 · 数学

课时作业
(点此链接)

第十一章 算法框图、复数、推理与证明


推荐相关:

【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第1...

【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第11章 第3节 推理与证明...此时 a =22=4,第三个式子是 n=3 的情况,此时 a=33=27,归纳可知 a=nn...


【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第4...

【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第4章 第4节 两角和与差的三角函数_高三数学_数学_高中教育_教育专区。【2016届走向高考】高三数学一轮(...


【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第8...

【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第8章 第4节 椭圆_数学_...2 2 a 2 x2 y2 (理)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离...


【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第1...

【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第11章 第3节 推理与证明...使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但大前提错误 D.使用...


【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固:第...

【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固:第12章 第5节 数学归纳法(理)_数学_高中教育_教育专区。第十二章 第五节 一、选择题 1 1 1 1.若 f...


【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第3...

【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第3章 第1节 导数的概念及运算_高三数学_数学_高中教育_教育专区。【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版...


【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第1...

【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第10章 第4节 事件与概率...6 3 (理)(2014· 浙江台州中学统练)甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想...


【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第9...

【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第9章 第7节 用向量方法证明平行与垂直(理)_数学_高中教育_教育专区。第九章 第七节 一、解答题 1.(2014...


【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第1...

【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第11章 第1节 算法与框图_数学_高中教育_教育专区。第十一章 第一节 一、选择题 1.(文)(2015· 山西忻...


【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第3...

【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第3章 第3节 导数的综合应用与实际应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。【2016届走向高考】高三数学一轮(...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com