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新时代学校高二数学教案——微积分基本定理1


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省重点中学新时代学校教学之导学案

2012.3.27

性质 2 性质 3

? ?
b a

b

a
b

kf ( x)dx

? k ? f ( x)dx
a

b

a

[ f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a a

b

b

课型: 课 题 4.2 微积分基本定理 新授课

主备教师: 第 1 课时 徐欢荣

性质 4

? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
a c

c

b

(其中a ? c ? b)

二. 引入新课:计算 ?0 xdx 通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹 学习目标 式求简单的定积分 重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了 解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定 积分。 难点:能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方 向上求出,满足 F ?( x) ? f ( x) 的函数 F ( x) 教学设计 公

1

?

1

0

x 2 dx

?

2

1

1 dx x

教学重难 点

上面用定积分定义及几何意义计算定积分,比较复杂不是求定积分的一般方法。 我们必须寻求计算定积分的比较一般的方法。 问题: 设一物体沿直线作变速运动,在时刻 t 时物体所在位置为 S(t), 速度为 v(t) ( v(t ) ? o ) ,则物体在时间间隔[a,b]内经过的路程可用速度函数表示为 ?a v(t )dt 。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数 S(t)在[a,b]上的增量 S(b)-S(a)来 表达, 即 s= ?a v(t )dt = ? s ' (t )dt = S(b)-S(a) 而 S ?(t ) ? v(t ) 。
b
b a

b

一. 复习:1. 定积分定义:

?

b

a

f ( x)dx ? lim ? f (?i(b-a) / n )
n ?0 i ?1

n

其中 ? --积分号, b -积分上限, a -积分下限, f ( x) -被积函数, x - 积分变量, [a, b] -积分区间 2.定积分的几何意义: 一般情况下, 定积分 ?a f ( x)dx 的几何意义是介于 x 轴、 函数 f ( x) 的图形以及直线 x ? a , x ? b 之间各部分面积的代数和,在 x 轴上 方的面积取正号,在 x 轴下方的面积去负号. 曲边图形面积: s ? ?a f ( x)dx ; 变速运动路程: s ? ?a v(t )dt ; 变力做功: w ? ?a f (r )dr ; 3.定积分的性质: 性质 1
b b
b

推广: 微积分基本定理 : 如果函数 F ( x) 是 [a, b] 上的连续函数 f ( x) 的任意一个原 函数,则 ?a f ( x)dx ? F (b) ? F (a) 为了方便起见,还常用 F ( x) |b 表示 F (b) ? F (a) ,即 a
b

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) |b ? F (b) ? F (a) a

b

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定 积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之 间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系, 同时也提供计算定积 分的一种有效方法, 为后面的学习奠定了基础。 因此它在教材中处于极其重要的地位, 起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是 微积分学中最重要最辉煌的成果。 例题 1:计算 ?0 x 2 dx
1
1

? 1dx ? b ? a
a

b

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被积函数 f(x)

c

xn

sinx

cosx

ax

ex

1 x

练习:计算下列定积分: (1) ?0 1dx ?
1

一个原函数 F(x)

cx

? xdx ?
0

1

1 -cosx x n ?1 n ?1

sinx

a ln a

x

ex

ln x

练习.计算下列定积分: (1) ?0 (2t ? 1)dt (2) ?0 x 3 dx ?
1
2

?

2

?1

x 3 dx ?

(2) ??1 (3x 2 ? 2 x ? 1)dx

2

(3)

?

2

1

1 dx = x

(3)

? (e
1 2?

2

x

? 1)dx

试一试,我 能!行

(4) ?0 sin xdx
?

(5) ?02 (2 cos x ? sin x ? 1)dx 回顾:基本初等函数的导数公式 课堂小结: 本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿1 函数 f(x) c
xn

Sinx

cosx

ax

ex

loga x

lnx

莱布尼兹公式.成立,进而推广到了一般的函数,得出了微积分基本定理,得到了一种求定积分的 简便方法,运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数,这就要求大家前面的求导数的知识比较 熟练,希望,不明白的同学,回头来多复习! 2 微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时它也提供了计算定积分 的一种有效方法.微积分基本定理是微积分学中最重要的定理,它使微积分学蓬勃发展起来,成为 一门影响深远的学科,可以毫不夸张地说,微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果

导函数 f′(x) 0

n x n ?1

cosx

-sinx

a x ln a

ex

1 x ln a

1 x

新知:基本初等函数的原函数公式

2


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