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2015-2016学年高中数学 第2章 6平面向量数量积的坐标表示课件 北师大版必修4


第二章
平面向量

第二章
§6 平面向量数量积的坐标表示

1

课前自主预习

3

易错疑难辨析

2

课堂典例讲练

4

课 时 作 业

课前

自主预习

数字化是当前社会的最大特色,任何一件事物都被数字化 了,当然这里的数字化强调的是数码,向量的数量积的几何运 算为我们展示的是一幅美丽的画卷,它解决了几何中与度量相 关的角度、长度(距离)等问题,向量的坐标运算又是如何展示 这些问题的呢?

1.平面向量数量积的坐标运算 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则 (1)a· b=x ____________ ; 1x2+y1y2 2 2 x 1+y1 (2)|a|=________;

x1x2+y1y2=0 ; (3)若a⊥b,则____________ x1x2+y1y2 (4)cosθ=________. 2 2 2 x2 1+y1· x2+y2 2.直线的方向向量
给定斜率为k的直线l,则向量m=(1,k)与直线l共线,我 们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.

1 .已知平面向量 a = (3,1) , b = (x ,- 3) ,且a⊥b ,则 x 等
于( ) A.3 C.-1 [答案] B [解析] 1.故选B. ∵ a⊥b ,∴ a·b= 0 ,即3x +1×( -3) = 0.解得x = B.1 D.-3

2.已知向量a=(1,-1),b=(2,x).若a· b=1,则x= ( ) A.-1 1 C.2
[答案] D [ 解析 ] 由 a·b = 1 ,得 1×2 - 1×x = 1 ,解得 x = 1 ,故选

1 B.-2 D.1

D.

3.已知a=(3,-1),b=(1,-2),则向a与b的夹角为 ( ) π A.6 π B.4

π π C.3 D.2 [答案] B [解析] 设a,b的夹角为θ,
3×1+?-1?×?-2? 2 则cosθ= 2 2 2 2= 2 , 3 +?-1? × 1 +?-2? π ∵0° ≤θ≤180° ,∴θ=4.

4.已知向量a与b的夹角为60° ,且a=(-2,-6),|b|= 10,则a· b=________.

[答案] 10
[解析] ∵a=(-2,-6),∴|a|= 4+36=2 10, ∴a· b=2 10× 10×cos60° =10.

5 .已知 a = (2,3) , b = ( - 1,4) , c = (5,6) ,那么 (a·b)·c =
________,a·(b·c)=________. [答案] (50,60) (38,57) [解析] ∵a·b=(2,3)·(-1,4)=-2+12=10, ∴(a·b)·c=10(5,6)=(50,60).

∵b·c=(-1,4)·(5,6)=-5+24=19,
∴a·(b·c)=(2,3)·19=(38,57).

课堂典例讲练

平面向量数量积的坐标运算 已知向量a与b同向,b=(1,2),a·b=10,求: (1)向量a的坐标;

(2)若c=(2,-1),求(a·c)·b.
[思路分析] 根据a与b共线设出a的坐标,再利用数量坐标 运算公式构建方程求得a的坐标,进而求(a·c)·b.

[规范解答] (1)∵a与b同向,且b=(1,2),
∴a=λb=(λ,2λ)(λ>0). 又∵a·b=10, ∴λ+4λ=10,∴λ=2,∴a=(2,4). (2)∵a·c=2×2+(-1)×4=0,

∴(a·c)·b=0·b=0.
[规律总结] 向量问题的处理有两种思路,一种是纯向量 式,另一种是坐标式,两者互相补充,通过向量的坐标运算可 实现向量问题的代数化,在解题中应注意与方程、函数等知识 联系.

(1) 已知向量 a = (1 , k) , b = (2,2) ,且 a + b 与 a 共线,那么
a·b的值为( A.1 C.3 A.23 C.63 [答案] (1)D (2)D ) B.2 D.4 ) B.57 D.83

(2)a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|2-4a·b等于(

[解析] (1)∵a+b与a共线, ∴a+b=λa,即(1+2,k+2)=λ(1,k).
? ?3=λ, 由? ? ?k+2=kλ, ? ?λ=3, 解得? ? ?k=1.

故a=(1,1),则a· b=1×2+1×2=4. (2)|a|=5,a· b=-20+18=-2, ∴3|a|2-4a· b=3×25-4×(-2)=83.

利用数量积的坐标表示求模与夹角 如图所示,在平面直角坐标系中,已知点 A(16,12),B(-5,15).求:
→ → (1)|OA|,|AB|; (2)∠OAB.

[思路分析]

(1)①设a=(x,y),则|a|=

x2+y2 ,即向量

的模等于它的坐标平方和的算术平方根. → ②若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1), → → 2 2 所以| AB |= ?x2-x1? +?y2-y1? .所以| AB |的实质是A,B两 点间的距离,即线段AB的长度,这是向量模的几何意义. (2)求角的问题,可转化为利用向量的夹角运算公式求 解.

[规范解答]

→ (1)由OA=(16,12),

→ AB=(-5-16,15-12)=(-21,3)得 → |OA|= 162+122=20, → |AB|= ?-21?2+32=15 2.

→ → (2)设AO与AB所成角为θ, → → AO· AB 则cos∠OAB=cosθ= . → → |AO||AB| → → → → 其中AO· AB =-OA· AB=-(16,12)· (-21,3)=-[16×(-21) +12×3]=300. 300 2 故cos∠OAB= =2, 20×15 2 所以∠OAB=45° .

[规律总结] 求向量a与b的夹角θ的步骤: ①计算a·b,|a|,|b|; ②利用夹角公式计算cosθ;

③根据范围[0,π]确定夹角θ的大小.

已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5 ,若(a+b)· c= 5 2,求a与c的夹角. [解析] 依题意a+b=(-1,-2),|a|= 5,
5 5 设c=(x,y),而(a+b)· c=2,∴x+2y=-2. 设a与c的夹角为θ,则 5 x+2y -2 a· c 1 cosθ=|a||c|= = 5 =-2, 5× 5 ∴a与c的夹角为120° .

向量平行与垂直的坐标形式的应用
→ → 在△ABC中,设 AB =(2,3), AC =(1,k),且△ ABC是直角三角形,求k的值.

[思路分析] △ABC是直角三角形,故可以用a⊥b?a· b= 0,但题中未明确哪个角是直角,故要分类讨论.

[规范解答]

→ → 若∠A=90° ,则AB⊥AC,

2 于是2×1+3×k=0,得k=-3; → → → → → 若∠B=90° ,则AB⊥BC.又BC=AC-AB=(-1,k-3), 11 故2×(-1)+3(k-3)=0,得k= 3 ; → → 若∠C=90° ,则 AC ⊥ BC ,故1×(-1)+k(k-3)=0,得k 3± 13 = 2 . 2 11 3± 13 故所求k的值为-3或 3 或 2 .

[规律总结]

充分利用公式:a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=

0,利用向量数量积的坐标表示,使两向量垂直的条件更加代 数化,因而其判定方法也更加简捷,在以后解题中要注意应

用.

设向量a=(3,-2),b=(1,2),若a+λb与a垂直,则实数λ
=________. [答案] 13 [解析] ∵a=(3,-2),b=(1,2), ∴a+λb=(3,-2)+λ(1,2)=(3+λ,-2+2λ). ∵a+λb与a垂直, ∴(3+λ)×3+(-2+2λ)×(-2)=0. ∴λ=13.

直线的方向向量及应用

已知两条直线l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a为 π 实数,当这两条直线的夹角为4时,试求实数a的值.
[思路分析] 给出直线,由直线的方向向量与直线平行,

两条直线的夹角问题即转化为两向量夹角问题.

[规范解答]

由题意,设直线l1的方向向量为m=(1,1),直

线l2的方向向量为n=(1,a). 1+a 设两直线的夹角为θ,则cosθ= 2, 2· 1+a π 由于两直线的夹角为4, 1+a 2 故| 2|= 2 ,解得a=0. 2· 1+a

[规律总结]

通过直线的方向向量研究直线的夹角,但直

线的夹角与其方向向量的夹角并不一定是相同的.这是由于向 π 量的夹角范围是[0,π],而直线的夹角范围是[0, 2 ].在本题 1+a 2 的求解中,不要将| 2 |= 2 中的绝对值符号漏掉,否 2· 1+a 则容易引起结果错误.

已知直线 l1:7x +y - 1= 0和直线 l2 :3x +4y- 6= 0,求直

线l1和l2的夹角.
[解析] 任取直线l1和l2的方向向量
? 3? m=(1,-7)和n=?1,-4? ? ?

设向量m与n的夹角为θ, ∵m· n=|m|· |n|cosθ,
? 3? 1×1+?-7?×?-4? ? ? = ? 3? 12+?-7?2· 12+?-4?2 ? ?

从而cosθ=

2 2.

∴θ=45° ,即直线l1和l2的夹角为45° .

易错疑难辨析

已知向量a=(1,-2),b=(1,λ),若a与b的夹 角是锐角,求λ的取值范围.

a· b [错解] 因为a,b的夹角是锐角,故cosθ>0,即 |a|· |b| >0,

1 即a· b>0,又a=(1,-2),b=(1,λ),则1-2λ>0,λ< 2 ,所以λ 1 的取值范围是λ<2. [辨析] 当a· b>0,即cosθ>0时,0° ≤θ<90° .事实上当λ=-
2时,a=(1,-2),b=(1,-2),它们间的夹角是0° ,不是锐 角,故λ≠-2.

[正解] 因为a,b的夹角是锐角,所以0<cosθ<1,又a= (1,-2),b=(1,λ),所以a· b>0且a≠m· b(m>0),则1-2λ>0且 1 1 (1,-2)≠m(1,λ),即λ< 2 且λ≠-2,所以λ 的取值范围是λ< 2 且λ≠-2.
[规律总结] 两向量的夹角θ的范围是0° ≤θ≤180° ,而此 时-1≤cosθ≤1.当θ为锐角(0° <θ<90° ),此时0<cosθ<1;当θ为 钝角(90° <θ<180° ),此时-1<cosθ<0,若理解不清,往往导致 错误.


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