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高三数学一轮(北师大版)基础巩固:第13章 选修4-5 第2节 不等式的证明


第十三章 选修 4-5 第二节 一、选择题 1.若实数 x,y 适合不等式 xy>1,x+y≥-2,则( A.x>0,y>0 C.x>0,y<0 [答案] A [解析] 1 x,y 异号时,显然与 xy>1 矛盾,所以可排除 C、D.假设 x<0,y<0,则 x< . y B.x<0,y<0 D.x<0,y>0 ) 1 ∴x+y<y+ ≤-2 与 x+y≥-2 矛盾,故假设不成立. y 又 xy≠0,∴x>0,y>0. 2.已知 x,y∈R,M=x2+y2+1,N=x+y+xy,则 M 与 N 的大小关系是( A.M≥N C.M=N [答案] A [解析] M-N=x2+y2+1-(x+y+xy) B.M≤N D.不能确定 ) 1 = [(x2+y2-2xy)+(x2-2x+1)+(y2-2y+1)] 2 1 = [(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2]≥0.故 M≥N. 2 1 16x 3.(2014· 南昌第一次模拟)若 x>1,则函数 y=x+ + 2 的最小值为( x x +1 A.16 C .4 [答案] B [解析] 1 16x 1 16 y=x+ + 2 =x+ + ≥2 16=8,当且仅当 x=2+ 3时等号成立. x x +1 x 1 x+ x B.8 D.非上述情况 ) 二、填空题 1 1 4.若 < <0,则下列四个结论: a b b a a2 ①|a|>|b|;②a+b<ab;③ + >2;④ <2a-B. a b b 其中正确的是________. [答案] ②③④ [解析] 取特殊值 a=-1,b=-2, 代入验证得②③④正确. s?m+n? 2s 5.若 T1= ,T2= ,则当 s,m,n∈R+时,T1 与 T2 的大小为________. 2mn m+n [答案] T1≤T2 s?m+n? 4nm-?m+n?2 -s?m-n?2 2s [解析] 因为 - =s· = ≤0. 2mn m+n 2mn?m+n? 2mn?m+n? 所以 T1≤T2. 1 6.设 0<x<1,则 a= 2x,b=1+x,c= 中最大的一个是________. 1-x [答案] c [解析] 由 a2=2x,b2=1+x2+2x>a2,a>0,b>0, 得 b>A. 1-?1-x2? 1 x2 又 c-b= -(1+x)= = >0, 1-x 1-x 1-x 得 c>b,知 c 最大. 三、解答题 1 1 7.已知实数 x,y 满足:|x+y|< ,|2x-y|< , 3 6 求证:|y|< 5 . 18 [解析] 因为 3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)| ≤2|x+y|+|2x-y|, 1 1 由题设知|x+y|< ,|2x-y|< , 3 6 2 1 5 5 从而 3|y|< + = ,所以|y|< . 3 6 6 18 1 1 8.(2014· 新课标Ⅰ)若 a>0,b>0,且 + = ab a b (1)求 a3+b3 的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由. [解析] 1 1 2 (1)由 ab= + ≥ ,得 ab≥2,且当 a=b= 2时等号成立. a b ab 故 a3+b3≥2 a3b3≥4 2,且当 a=b= 2时等号成立. 所以 a3+b3 的最小值为 4 2. (2)由(1)知,2a+3b≥2 6 ab≥4 3. 由于 4 3>6,从而不存在 a,b,使得 2a+3b=6. 一、选择题 1.已知 a>0,且 M=a3+(a+1)3+(a+


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