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新课标高中数学(理科)基础知识


新课标高中数学(理科) 新课标高中数学(理科)基础知识 高中数学
一.集合与简易逻辑 1.注意区分集合中元素的形式.如: {x | y = lg x} —函数的定义域; { y | y = lg x} —函 数的值域;
{( x, y) | y = lg x} —函数图象上的点集.

2.集合的性质: ①任何一个集合 A 是它本身的子集,记为 A ? A . ②空集是任何集合的子集,记为 ? ? A . ③空集是任何非空集合的真子集;注意:条件为 A ? B ,在讨论的时候不要遗忘 了 A = ? 的情况 如: A = {x | ax 2 ? 2 x ? 1 = 0} ,如果 A I R + = ? ,求 a 的取值.(答: a ≤ 0 )
( I ; ④ CU ( A I B ) = CU A U CU B , CU ( A U B ) = CU A I CU B ; A I B) C = A I(B I C) (A U B) C = A U B U C) U ( .

⑤ A I B = A ? A U B = B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A I CU B = ? ? CU A U B = R . ⑥ A U B 元素的个数: card ( A U B ) = cardA + cardB ? card ( A I B ) . ⑦含 n 个元素的集合的子集个数为 2n ;真子集(非空子集)个数为 2n ? 1 ;非空 真子集个数为 2n ? 2 . 补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 3.补集思想 已知函数 f ( x) = 4 x 2 ? 2( p ? 2) x ? 2 p 2 ? p + 1 在区间 [?1,1] 上至少存在一个 如: 实数 c ,使
f (c) > 0 ,求实数 p 的取值范围.(答: (?3, ) )
2 3

逆命题: q ? p ; 否命题: ?p ? ?q ; 逆否命题: ?q ? ?p ; 4.原命题: p ? q ; 互为逆否的两 个命题是等价的.如: sin α ≠ sin β ”是“ α ≠ β ”的 “ 条件.(答:充分非 必要条件) 5.若 p ? q 且 q ≠> p ,则 p 是 q 的充分非必要条件(或 q 是 p 的必要非充分条件). 否定与它的否命题 否命题的区别: 命题 p ? q 的否定 p ? ?q ; 否定是 6.注意命题 p ? q 的否定 否定 否命题 否定 否 命题是 命题 ?p ? ?q . ; 命题“ p 或 q ”的否定是“ ?p 且 ?q ”“ p 且 q ”的否定是“ ?p 或 ?q ”.
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“若 a 和 b 都是偶数,则 a + b 是偶数”的否命题是“若 a 和 b 不都是偶数, 如: 则 a + b 是奇数” 否定是“若 a 和 b 都是偶数,则 a + b 是奇数”. 7.常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x ,成立 否定 不是 不都是 不大于 不小于 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个
p或q p且q

否定 一个也没有 至少有两个 至 多 有 n ?1 个 至 少 有 n +1 个
?p 且 ?q ?p 或 ?q

存在某 x ,不成 立 对 任 何 x , 不 成 存在某 x ,成立 立 二.函数

1.映射 f : A → B 是:⑴ “一对一或多对一”的对应;⑵集合 A 中的元素必有象 1. 且 A 中不 同元素在 B 中可以有相同的象;集合 B 中的元素不一定有原象(即象集 ? B ). 2.函数 f : A → B 是特殊的映射.特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集!据此 2. 可知函数图像与 x 轴 的垂线至多有一个公共点,但与 y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个. 3.函数的三要素:定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优 先的原则. 4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母 ≠ 0 ;偶次根式被开方数非负;对数真 4. 数 > 0 ,底数 > 0 且 ≠ 1 ;零指数幂的底数 ≠ 0 );实际问题有意义;若 f ( x) 定义域为 [a, b] ,复合 函数 f [ g ( x)] 定义 域由 a ≤ g ( x) ≤ b 解出; f [ g ( x)] 定义域为 [a, b] ,则 f ( x) 定义域相当于 x ∈ [a, b] 时 若
g ( x) 的值域.

5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类);②逆求法(反函数法); 5. ③换元法(特别注意新元的范围).④三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数, 运用三角函数有界性来求值域;⑤不等式法⑥单调性法;⑦数形结合:根据函数 的几何意义,利用数形结合的方法来求值域; ⑧判别式法(慎用) :⑨导数法(一 般适用于高次多项式函数).
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6.求函数解析式的常用方法:⑴待定系数法(已知所求函数的类型); ⑵代换(配 凑)法;⑶方程的思想----对已知等式进行赋值,从而得到关于 f ( x) 及另外一个 函数的方程组。 7.函数的奇偶性和单调性 ⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法 有定义法、图像法等; ⑵若 f ( x) 是偶函数,那么 f ( x) = f (? x) = f (| x |) ;定义域含零的奇函数必过原点 ( f (0) = 0 ); ⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f ( x) ± f (? x) = 0 或
f (? x) f ( x)

= ±1( f ( x) ≠ 0)

(4)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性; 偶函数在对称的单调区间内 有相反的单调性; (5)确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题) 等. (6)复合函数单调性由 “同增异减” 判定. (提醒: 求单调区间时注意定义域) 如:函数 y = log (? x 2 + 2 x) 的单调递增区间是 _____________ .(答: (1, 2) )
1 2

8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换:左右平移---------“左加右减” (注意 8. 是针对 x 而言) ; 上下平移---“上加下减” (注意是针对 f ( x) 而言).⑵翻折变换:f ( x) →| f ( x) | ;
f ( x) → f (| x |) .

⑶对称变换: ①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍 在图像上. ②证明图像 C1 与 C2 的对称性,即证 C1 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍 在 C2 上,反之亦然. ③函数 y = f ( x) 与 y = f (? x) 的图像关于直线 x = 0 ( y 轴)对称; 函数 y = f ( x) 与 函数 y = f (? x) 的图像关于直线 y = 0 ( x 轴)对称; ④若函数 y = f ( x) 对 x ∈ R 时, f (a + x) = f (a ? x) 或 f ( x) = f (2a ? x) 恒成立,则
y = f ( x) 图像关于直线 x = a 对称;

⑤若 y = f ( x) 对 x ∈ R 时, f (a + x) = f (b ? x) 恒成立,则 y = f ( x) 图像关于直线

新课标高中理科数学基础总结第 3 页(共 25 页)

x=

a+b 2

对称;
b?a 2

⑥函数 y = f (a + x) , y = f (b ? x) 的图像关于直线 x = 定);

对称(由 a + x = b ? x 确

⑦函数 y = f ( x ? a ) 与 y = f (b ? x) 的图像关于直线 x = 9.函数的周期性:

a+b 2

对称;

⑴若 y = f ( x) 对x ∈ R 时 f ( x + a ) = f ( x ? a ) 恒成立,则 f ( x) 的周期为2 | a | ; ⑵若 y = f ( x) 是偶函数,其图像又关于直线 x = a 对称,则 f ( x) 的周期为 2 | a | ; ⑶若 y = f ( x) 奇函数,其图像又关于直线 x = a 对称,则 f ( x) 的周期为 4 | a | ; ⑷若 y = f ( x) 关于点 (a,0) , (b,0) 对称,则 f ( x) 的周期为 2 | a ? b | ; ⑸ y = f ( x) 的图象关于直线 x = a , x = b(a ≠ b) 对称,则函数 y = f ( x) 的周期为
2|a ?b|;

⑹ y = f ( x) 对 x ∈ R 时, f ( x + a ) = ? f ( x) 或 f ( x + a ) = ?
2|a|;

1 f ( x)

,则 y = f ( x) 的周期为

10. 10.对数:⑴ log a b = log an bn (a > 0, a ≠ 1, b > 0, n ∈ R + ) ; ⑵对数恒等式 log a a = 1, log a 1 = 0 , a log ⑶ log a ( M ? N ) = log a M + log a N ;log a
log a n M = log a M ;
n 1 M N
a

N

= N ( a > 0, a ≠ 1, N > 0) ;

= log a M ? log a N ;log a M n = n log a M ;

⑷对数换底公式 log a N =

log b N log b a

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) ;

推论: log a b ? log b c ? log c a = 1 ? log a a2 ? log a a3 ? L ? log a an = log a an .
1 2 n?1 1

(以上 M > 0, N > 0, a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, c > 0, c ≠ 1, a1 , a2 ,L an > 0 且 a1 , a2 ,L an 均不等 于1) 11. 11.方程 k = f ( x) 有解 ? k ∈ D ( D 为 f ( x) 的值域);
a ≥ f ( x) 恒成立 ? a ≥ [ f ( x)]最大值 ,

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a ≤ f ( x) 恒成立 ? a ≤ [ f ( x)]最小值 .

12. 12.恒成立问题的处理方法:⑴分离参数法(最值法); ⑵转化为一元二次方程根 的分布问题; 13. 13.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值 问题用“两看法” : 一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系; 14.二次函数解析式的三种形式: ①一般式: f ( x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) ; ②顶点式: 14.
f ( x) = a ( x ? h) 2 + k (a ≠ 0) ; ③零点式: f ( x) = a ( x ? x1 )( x ? x2 )(a ≠ 0) .

15. 15.一元二次方程实根分布:先画图再研究 ? > 0 、轴与区间关系、区间端点函数 值符号; 16. 复合函数:⑴复合函数定义域求法:若 f ( x) 的定义域为 [a, b] ,其复合函数
f [ g ( x)] 的定义域可由不等式 a ≤ g ( x) ≤ b 解出; f [ g ( x)] 的定义域为 [a, b] ,求 f ( x) 若

的定义域, 相当于 x ∈ [a, b] 时,求 g ( x) 的值域; ⑵复合函数的单调性由 “同增异减” 判定. 17. 17. 函 数 y = ax + (a > 0, b > 0) : 增 区 间 为 (?∞, ?
x b
b a

],[

b a

, +∞ ) , 减 区 间 为

[ ?,

b a

,0),(0,

b a

].
ax + 1 x+2

如:已知函数 f ( x) =
_____ (答: ( , +∞) ).
2 1

在区间 (?2, +∞) 上为增函数,则实数 a 的取值范围是

三.数列 1.由 1. Sn 求 an , an = ?
? S1 ( n = 1) ? 注意验证 a1 是否包含在后面 an 的公式中, * ? S n ? S n ?1 (n ≥ 2, n ∈ N ) ?
5 3

若 不 符 合 要 单 独 列 出 . 如 : 数 列 {an } 满 足 a1 = 4, S n + S n +1 = an +1 , 求 an ( 答 :
an =

{

4(n = 1) ). 3 ? 4n ?1 (n ≥ 2)

2.等差数列 {an } ? an ? an ?1 = d ( d 为常数) ? 2an = an +1 + an ?1 (n ≥ 2, n ∈ N *) 2.
? an = an + b(a = d , b = a1 ? d ) ? S n = An 2 + Bn( A = , B = a1 ? ) ;
2 2 d d

3.等差数列的性质: ① an = am + (n ? m)d , d = 3.

am ? a n m?n



② m + n = l + k ? am + an = al + ak (反之不一定成立);特 别 地 ,当 m + n = 2 p 时 ,
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有 am + an = 2a p ; ③若 {an } 、 {bn } 是等差数列,则 {kan + tbn } ( k 、 t 是非零常数)是等差数列; ④等差数列的 “间隔相等的连续等长片断和序列” Sm , S 2 m ? S m , S3m ? S 2 m ,L 仍 即 是等差数列; ⑤等差数列{an } ,当项数为 2n 时, S偶 ? S奇 = nd , S 奇 =
S偶 a n ;项数为 2n ? 1 时, a n +1

S偶 ? S奇 = a中 = an (n ∈ N *)
An Bn

,

S2 n ?1 = (2n ? 1)an

,



S奇 n = S 偶 n ?1



= f ( n) ?

an bn

= f (2n ? 1) .

⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前 n 项和的最大(或最小)问 题,转化为解不等式
? an ≥ 0 ?a ≤ 0 (或 ? n ).也可用 Sn = An 2 + Bn 的二次函数关系来分析. ? ?an +1 ≤ 0 ?an +1 ≥ 0

⑦若 an = m, am = n(m ≠ n) ,则 am + n = 0 ;若 Sn = m, S m = n(m ≠ n) ,则 Sm + n = ?(m + n) ; 若 Sm = S n (m ≠ n) ,则 S m+ n =0;S 3m =3(S 2m -S m ); Sm + n = S m + Sn + mnd . 4.等比数列 {an } ? 5.等比数列的性质 5. ① a n = a m q n ? m , q = n ? m an ;
am
an +1 an
2 = q(q ≠ 0) ? an = an ?1an +1 (n ≥ 2, n ∈ N *) ? an = a1q n ?1 .

②若 {an } 、 {bn } 是等比数列,则 {kan } 、 {anbn } 等也是等比数列; ③ S n = ? a (1 ? q n ) ? 1
? 1? q ? ? na 1 (q = 1) ?na 1 (q = 1) ? ; =? a a a ?a q n = 1 n (q ≠ 1) ?? 1 q + 1 ( q ≠ 1) 1? q 1? q ? 1? q

④ m + n = l + k ? am an = al ak (反之不一定成 立); Sm + n = S m + q m S n = Sn + q n S m . ⑤等比数列中 Sm , S 2 m ? S m , S3m ? S 2 m ,L (注:各项均不为 0) 注 仍是等比数列. 如果数列 6.①如果数列 {an } 是等差数列,则数列 { Aa } ( Aa 总有意义)是等比数列;
n
n

{an } 是等比数列,

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则数列 {log a | an |}(a > 0, a ≠ 1) 是等差数列; ②若 {an } 既是等差数列又是等比数列,则 {an } 是非零常数数列; ③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差 数列,且新数列的公差 是原两个等差数列公差的最小公倍数; 如果一个等差数列和一个等比数列有 公共项,那么由他们的 公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项; ④ 三 个 数 成 等 差 的 设 法 : a ? d , a, a + d ; 四 个 数 成 等 差 的 设 法 :
a ? 3d , a ? d , a + d , a + 3d ;

三个数成等比的设法: , a, aq ;四个数成等比的错误设法:
q

a

a q
3

, , aq, aq 3 (为
q

a

什么?) 7.数列的通项的求法: ⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式. ⑵已知 Sn (即 a1 + a2 + L + an = f (n) )求 an 用作差法: an = ?
? S1 ,( n = 1) . ? S n ? S n ?1 ,(n ≥ 2)

⑶已知 a1 ? a2 ? L ? an = f (n) 求 an 用作商法: an = ? ⑷若 an +1 ? an = f (n) 求 an 用迭加法. ⑸已知
an +1
an

? f (1),(n = 1) ? f (n) . ,(n ≥ 2) ? f ( n ? 1) ?

= f (n) ,求 an 用迭乘法.

⑹已知数列递推式求 an ,用构造法(构造等差、等比数列): ①形如 an = kan ?1 + b , an = kan ?1 + b n , an = kan ?1 + a ? n + b ( k , b 为常数)的递推数列 形如 都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后,再求 an . ②形如 an = 形如
an ?1 kan ?1 + b

的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.

8.数列求和的方法: ①公式法:等差数列,等比数列求和公式; ②分组求和法; ③倒序相加; ④乘公比错位相减; ⑤裂项相消法.
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公式: 1 + 2 + 3 + L + n = n(n + 1) ; 12 + 22 + 32 + L + n 2 = n(n + 1)(2n + 1) ;
2 6

1

1

13 + 23 + 33 + L + n3 = [

n ( n + 1) 2
1 n

]2 ; 1 + 3 + 5 + L + n = n 2 ;
1 n +1
1

常见裂项公式
1 n ( n ? 1)( n + 1)

1 n ( n + 1)
1

=
?

?



1 n(n + k )
n

= ( ?
k n
1 n!

1 1

1 n+k
1

);

= [

1

2 n ( n + 1)

( n + 1)( n + 2)

];
2

( n + 1)!

=
1 n

?

( n + 1)!
2

常见放缩公式: 2(

n + 1 ? n) =

n +1 + n

<

<

n + n ?1

= 2( n ? n ? 1) .

、 9.“分期付款”“森林木材”型应用问题 ⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中, 务必 “卡手指” ,细心计算 “年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统 常选用“ 常选用 统一法” 一到“最后”解决. 一到“最后”解决. ⑵利率问题:①单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:若每期 存 入 本 金 p 元 , 每 期 利 率 为 r , 则 n 期 后 本 利 和 为 :
Sn = p (1 + r ) + p (1 + 2r ) + L p(1 + nr ) = p (n +
n ( n + 1) 2

r ) (等差数列问题) ;②复利问题:

按揭贷款的分期等额还款(复利)模型:若贷款(向银行借款) p 元,采用分期等额 还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分 n 期还 清.如果每期利率为 r (按复利) 那么每期等额还款 x 元应满足: ,
p(1 + r ) n = x(1 + r ) n ?1 + x(1 + r ) n ? 2 + L + x(1 + r ) + x (等比数列问题).

四.三角函数 1. α 终 边 与 θ 终 边 相 同 ? α = θ + 2kπ (k ∈ Z ) ; α 终 边 与 θ 终 边 共 线
? α = θ + kπ ( k ∈ Z ) ;

2.弧长公式: l =| θ | r ;扇形面积公式: S扇形 = 1 lr = 1 | θ | r 2 ; 1 弧度( 1rad )≈ 57.3° . 2.
2 2

3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀: 一全二正弦,三切四余弦”. “一全二正弦 三切四余弦” 一全二正弦, 3. 4.三角函数同角关系中(八块图):注意“正、余弦三兄妹 sin x ± cos x 、sin x ? cos x ” 4. 的关系.如 (sin x ± cos x)2 = 1 ± 2sin x cos x 等. 5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变,符号看象限”概括;(注意:公式中始终视 5. ... α 为锐角) . ... . 6.角的变换:已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角 6. 与其和差角等变换. 如: = (α + β ) ? β ;2α = (α + β ) + (α ? β ) ;2α = ( β + α ) ? ( β ? α ) ;α + β = 2 ? α + β ; α
2

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α +β
2

β α 2 2 “ = (α ? ) ? ( ? β ) 等; 1 ”的变换: 1 = sin x + cos x = 2sin 30° = tan 45° ;
2 2

7.重要结论: a sin x + b cos x = 7.
2

a +b
2

2

sin( x + ? ) 其中 tan ? = ) ;
a

b

重要公式 sin2 α = 1 ? cos2α ; cos 2 α =

1 + cos 2α 2


kπ +
π
2

8. 正 弦 型 曲 线 y = A sin(ω x + ? ) 的 对 称 轴 x =
(
kπ ? ?

??

ω

(k ∈ Z ) ; 对 称 中 心

ω

,0)(k ∈ Z ) ;
kπ ? ?

余 弦 型 曲 线 y = A cos(ω x + ? ) 的 对 称 轴 x =
kπ +
π
2

ω

(k ∈ Z ) ; 对 称 中 心

??

(

ω

,0)( k ∈ Z ) ;

9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正、余弦定理,处理三角形内的三 角函数问题勿忘三内角和等于 180° ,一般用正、余弦定理实施边角互化; 正弦定理:
a

sin A

=

b

sin B

=

c

sin C

= 2R ;
b +c ?a
2 2 2

余弦定理: a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A,cos A = 10. ?ABC 中,易得: A + B + C = π ,

2bc

=

(b + c ) ? a
2

2

2bc

?1 ;

① sin A = sin( B + C ) , cos A = ? cos( B + C ) , tan A = ? tan( B + C ) . ② sin = cos
2
A B+C

2

, cos = sin
2

A

B+C

,

2

③ a > b ? A > B ? sin A > sin B ④ 锐 角 ?ABC 中 , A + B >
π
2

, sin A > cos B, cos A < cos B , a 2 + b 2 > c 2 , 类 比得 钝 角

?ABC 结论. ⑤ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C .

11.角的范围:异面直线所成角 (0, ] ;直线与平面所成角 [0, ] ;二面角和两向量
2 2

π

π

的夹角 [0, π ] ;直线的倾斜角 [0, π ) ; l1 与 l2 的夹角 (0, ] .注意术语:坡度、仰角、
2

π

俯角、方位角等. 五.平面向量 1.设 1. a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) . (1) a / / b ? x1 y2 ? x2 y1 = 0 ;(2) a ⊥ b ? a ? b = 0 ? x1 x2 + y1 y2 = 0 . u r ur 2.平面向量基本定理:如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该 2.
r r r r r r r r

新课标高中理科数学基础总结第 9 页(共 25 页)

平面内的任一向 r r u r ur 量 a ,有且只有一对实数 λ1 、 λ2 ,使 a = λ1 e1 + λ2 e2 . 3.设 3. a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b =| a || b | cos θ = x1 x2 + y1 y2 ;其几何意义是 a ? b 等于
r r r r r a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积; a 在 b 的方向上的投影
r r r a ? b x1 x2 + y1 y2 | a | cosθ = r = . 2 2 |b| x2 + y2
r r r r r r

r r

uu r uur u uuu r uuu r AB 4.三点 A 、 B 、 C 共线 ? AB 与 AC 共线;与 AB 共线的单位向量 ± uu . r 4.
| AB |

5. 平 面 向 量 数 量 积 性 质 : 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) , 则
r r a ?b cosθ = r r = | a || b |
r r
x1 x2 + y1 y2
2 2 x12 + y12 x2 + y2

r

r

; 注意: ? a, b? 为锐角 ? a ? b > 0 , a, b 不同向; a, b? 为 ? 注意:
r r r r r

r r

r r

r r

r r

直角 ? a ? b = 0 ; ? a, b? 为钝角 ? a ? b < 0 , a, b 不反向. 6. a ? b 同向或有 0 ?| a + b |=| a | + | b |≥ | a | ? | b | =| a ? b | ; a ? b 反向或有 0
r r r r r r r r r r r r r r r r ?| a ? b |=| a | + | b |≥ | a | ? | b | =| a + b | ; a ? b 不共线 ? | a | ? | b | <| a ± b |<| a | + | b | . r r r r r r r r r r r r r

r r

7.平面向量数量积的坐标表示:⑴若 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x2 + y1 y2 ; 7.
uuu r | AB |= ( x1 ? x2 ) 2 + ( y1 ? y2 ) 2 ; uuu r uuu r

r

r

r r

⑵若 a = ( x, y ) ,则 a = a ? a = x 2 + y 2 .
uu r
| AB |

r

r2

r r

uu r
| AC |

uu r
| AB |

uu r
| AC |

AB AC AB AC 8.三角形中向量性质:① AB + AC 过 BC 边的中点: ( uu + uur ) ⊥ ( uu ? uur ) ; r r

② PG = ( PA + PB + PC ) ? GA + GB + GC = 0 ? G 为 ?ABC 的重心;
3

uuu r

1

uur

uur

uuu r

uur

uuu r

uuu r

r

③ PA ? PB = PB ? PC = PA ? PC ? P 为 ?ABC 的垂心;
uu r uu r uuu uur uur uur uuu uuu r r r r AB AC ④ | BC | PA+ | CA | PB + | AB | PC = 0 ? P 为 ?ABC 的内心; λ ( uu + uu )(λ ≠ 0) 所在 r r
| AB | | AC |

uur uur

uur uuu r

uur uuu r

直线过 ?ABC 内心. 六.不等式 1.掌握课本上的几个不等式性质,注意使用条件,另外需要特别注意: 1. ①若 ab > 0 , b > a ,则 > .即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号
a b 1 1

方向要改变.
新课标高中理科数学基础总结第 10 页(共 25 页)

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未 定,要注意分类讨论. 2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式) 2. 的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式. 3.掌握重要不等式, 3. (1)均值不等式:若 a, b > 0 ,则
a +b 2
2 2

≥ a + b ≥ ab ≥
2

2 1+1 a b

(当且仅当 a = b 时

取等号)使用条件: 一正二定三相等 ” 常用的方法为:拆、凑、平方等; 使用条件: 使用条件 “ (2) a, b, c ∈ R , a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca (当且仅当 a = b = c 时,取等号); (3)公式注意变形如:
a +b
2 2

2

≥(

a+b 2

)2 , ab ≤ (

a+b 2

)2 ;

(4)若 a > b > 0, m > 0 ,则 <
a

b

b+m a+m

(真分数的性质); 真分数的性质)

4.含绝对值不等式: a, b 同号或有 0 ?| a + b |=| a | + | b |≥ | a | ? | b | =| a ? b | ; a, b 异号 4. 或有 0 ?| a ? b |=| a | + | b |≥ | a | ? | b | =| a + b | . 5.证明不等式常用方法: ⑴比较法:作差比较: A ? B ≤ 0 ? A ≤ B .注意:若两个正数作差比较有困 难,可以通过它们的平方差来比较大小; ⑵综合法:由因导果; ⑶分析法:执果索因.基本步骤:要证… 需证…,只需证…; ⑷反证法:正难则反; ⑸放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.放缩法的方法有:① 添加或舍去一些项,如:
a + 1 >| a | ; n ( n + 1)
2

> n .②将分子或分母放大(或缩小)

③利用基本不等式,如:
k +1 ? k

n ( n + 1)

<

n + ( n + 1) 2

. ④ 利 用 常 用 结 论 : 10

=

1 k +1 + k
1 k

<
=
1

1 2 k
1


<
1 k
2

20
1 k
2

?
1

1 k +1

( k + 1) k

<

1 ( k ? 1) k

=

1 k ?1

?

1 k

(







)



30

<

1 k ?1
2

= (

1

2 k ?1

?

k +1

) (程度小);

⑹换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简, 常用的换元有三角换元 代 数 换 元 . 如 : 知 x 2 + y 2 = a 2 , 可 设 x = a cosθ , y = a sin θ ; 知 x 2 + y 2 ≤ 1 , 可 设
x = r cosθ , y = r sin θ ( 0 ≤ r ≤ 1 )

⑺最值法,如: a > f ( x)最大值 ,则 a > f ( x) 恒成立. a < f ( x)最小值 ,则 a < f ( x) 恒成立.
新课标高中理科数学基础总结第 11 页(共 25 页)

七.直线和圆的方程 1.直线的倾斜角 α 的范围是 [0, π) ; 1. 2.直线的倾斜角与斜率的变化关系 k = tan α (α ≠ ) (如右图): 2.
2
k

π

O

° π α

3.直线方程五种形式 3.直线方程五种形式: 直线方程五种形式 ⑴点斜式 点斜式:已知直线过点 ( x0 , y0 ) 斜率为 k ,则直线 点斜式 方程为 y ? y0 = k ( x ? x0 ) ,它不包括垂直于 x 轴的直线. ⑵斜截式 斜截式:已知直线在 y 轴上的截距为 b 斜截式 和斜率 k ,则直线方程为 y = kx + b ,它不包括垂直于 x 轴的直线. ⑶两点式 已知直线经过 P ( x1 , y1 ) 、P2 ( x2 , y2 ) 两点,则直线方程为 两点式: 两点式 1 它不包括垂直于坐标轴的直线. ⑷截距式 截距式:已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a, b ,则直线方程为 + = 1 ,它不 截距式
a b x y

y ? y1 y2 ? y1

=

x ? x1 x2 ? x1

,

包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线. ⑸一般式 一般式:任何直线均可写成 Ax + By + C = 0 ( A, B 不同时为 0)的形式. 一般式 提醒:⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直 提醒 线,还有截距式呢?) ⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0 .直线两截距相等 ? 直线的 斜率为 ?1 或直线过原点;直线两截距互为相反数 ? 直线的斜率为 1 或直线过原 点;直线两截距绝对值相等 ? 直线的斜率为 ±1 或直线过原点. ⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. 4.直线 的位置关系: 4.直线 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 与直线 l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 的位置关系 ⑴平行 ? A1 B2 ? A2 B1 = 0 (斜率)且 B1C2 ? B2 C1 ≠ 0 (在 y 轴上截距); ⑵相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ≠ 0 ; (3)重合 ? A1 B2 ? A2 B1 = 0 且 B1C2 ? B2 C1 = 0 . 5.直线系方程: 5. ①过两直线 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 .交点的直线系方程可设 为 A1 x + B1 y + C1 + λ ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 ; ②与直线 l : Ax + By + C = 0 平行的直线系方程可设为 Ax + By + m = 0(m ≠ c) ; ③与直线 l : Ax + By + C = 0 垂直的直线系方程可设为 Bx ? Ay + n = 0 . 6.点 P ( x0 , y0 ) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离公式 d =
Ax0 + By0 + C A2 + B 2



两条平行线 Ax + By + C1 = 0 与 Ax + By + C2 = 0 的距离是 d =

C1 ? C2 A2 + B 2

.

7. 设 三 角 形 ?ABC 三 顶 点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , 则 重 心
新课标高中理科数学基础总结第 12 页(共 25 页)

G(

x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 , ); 3 3

8.有关对称的一些结论:点 (a, b) 关于 x 轴、 y 轴、原点、直线 y = x 的对称点分别 是 (a, ?b) , (?a, b) , (?a, ?b) , (b, a ) . 9.⑴圆的标准方程: ( x ? a )2 + ( y ? b) 2 = r 2 . ⑵圆的一般方程: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0( D 2 + E 2 ? 4 F > 0) . 特别提醒: 特别提醒 只有当 D 2 + E 2 ? 4 F > 0 时,方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 才表示圆心为
(? , ? )
2 2 D E

, 半 径 为

1 2

D + E ? 4F
2 2

的 圆 ( 二 元 二 次 方 程

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆 ? A = C ≠ 0 ,且 B = 0, D 2 + E 2 ? 4 AF > 0 ).

⑶圆的参数方程: ?

? x = a + r cos θ ( θ 为参数),其中圆心为 (a, b) ,半径为 r .圆的参 ? y = b + r sin θ

数 方 程 主 要 应 用 是 三 角 换 元 : x 2 + y 2 = r 2 → x = r cosθ , y = r sin θ ;
x 2 + y 2 = t 2 → x = r cosθ , y = r sin θ (0 ≤ r ≤ t ) .

⑷以 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 为直径的圆的方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) + ( y ? y1 )( y ? y2 ) = 0 ; 10.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点 P ( x0 , y0 ) 及 圆的方程 ( x ? a )2 + ( y ? b) 2 = r 2 .① ( x0 ? a )2 + ( y0 ? b) 2 > r 2 ? 点 P 在圆外; ② ( x0 ? a )2 + ( y0 ? b) 2 < r 2 ? 点 P 在圆内;③ ( x0 ? a )2 + ( y0 ? b) 2 = r 2 ? 点 P 在圆 上. 11.圆上一点的切线方程:点 P ( x0 , y0 ) 在圆 x 2 + y 2 = r 2 上,则过点 P 的切线方程为:
x0 x + y0 y = r 2 ; 过 圆 ( x ? a )2 + ( y ? b) 2 = r 2 上 一 点 P ( x0 , y0 ) 切 线 方 程 为 ( x0 ? a)( x ? a ) + ( y0 ? b)( y ? b) = r 2 .

12. 过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是 与 x 轴垂直的直线. 13. 直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理, 构造直角三角形解决弦长问题.① d > r ? 相离 ② d = r ? 相切 ③ d < r ? 相交 14.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两 圆的圆心距为 d ,两圆的半径分别为 r , R : d > R + r ? 两圆相离; d = R + r ? 两圆 相外切; | R ? r |< d < R + r ? 两圆相交;d =| R ? r |? 两圆相内切; d <| R ? r |? 两 圆内含; d = 0 ? 两圆同心. 15.过圆 C1 : x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 = 0 , C2 : x 2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 = 0 交点的圆(相
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交弦)系方程为 ( x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 ) + λ ( x 2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 ) = 0 . λ = ?1 时为 两圆相交弦所在直线方程. 平面几何性质的作用(如半径、 16.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用 平面几何性质的作用 半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等). 17.求解线性规划问题的步骤是:(1)根据实际问题的约束条件列出不等式;(2) 作出可行域,写出目标函数(判断几何意义);(3)确定目标函数的最优位置,从而 获得最优解. 八.圆锥曲线 1.圆锥曲线的定义: 定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F1 , F2 的距离的和等 于常数 , 且此常数 一定要大于 , 当常数等于 时, 轨迹是线段 F1F2,

当常数小于 等于常数

时,无轨迹;双曲线中,与两定点 F ,F 的距离的差的绝对值 ,且此常数 = 一定要小于 ,定义中的“绝对值”与 < ﹥ ,

不可忽视.若

,则轨迹是以 F ,F 为端点的两条射线,若

则轨迹不存在.若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支. (1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F1 , F2 Attention: ttention: 的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而 方程中的两个参数 ,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定

形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中, 最大, ,在双曲线中, 最大, .

2. 椭圆(以



)为例):

①范围: 轴

;②焦点:两个焦点 ,一个对称中心(0,0),四个顶点

;③对称性:两条对称 ,其中长轴长为

2 ,短轴长为 2 ;④离心率: 越大,椭圆越扁. 3.双曲线(以 3. (

,椭圆

, 越小,椭圆越圆;

)为例):①范围:





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②焦点:两个焦点 (0,0),两个顶点

;③对称性:两条对称轴

,一个对称中心

,其中实轴长为 2 ,虚轴长为 2 ,特别地,当实轴 ; ④离心率:

和虚轴的长相等时, 称为等轴双曲线, 其方程可设为

,双曲线

,等轴双曲线

, 越小,开口越小, 越大,开

口越大;⑥两条渐近线: 4.抛物线(以 4.

. 为例):①范围: ;②焦点:一个焦点

, 其中

的几何意义是: 焦点到准线的距离; ③对称性: 一条对称轴



没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线 ,抛物线 .

; ⑤离心率:

5.点

和椭圆



)的关系:

(1)点

在椭圆外



(2)点

在椭圆上

=1;

(3)点

在椭圆内

.

6.直线与圆锥曲线的位置关系: 相交: 相交 直线与椭圆相交; 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有 线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故 线与双曲线相交的充分不必要条件; ,当直 是直

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直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有 线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故 是直线与抛物线相交的充分不必要条件. 7. 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 的 弦 长 公 式
AB = 1 + k 2 | x1 ? x2 |

,当直 也仅

AB = ( x1 ? x2 ) 2 + ( y1 ? y2 ) 2 或
1 | y1 ? y2 | k2

= (1 + k 2 )[( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] = 1 +

(







? y = kxc + b A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,由方程 ? 消去 y 得到 ax 2 + bx + c = 0 , ? > 0 , k 为斜率). F ( x, y ) = 0 ?

这里体现了解几中“设而不求”的思想; 8. 中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为 Ax 2 + By 2 = 1 (对于椭 圆 A > 0, B > 0 ); 9. 抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点弦(过焦点的弦)为 AB , A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) , 则有如下结论: ⑴ | AB |= x1 + x2 + p ;⑵ x1 x2 =
p
2

4

, y1 y2 = ? p 2 ; ⑶ uu + uu = r r
| AF | | BF |
2 y0 , y0 ) ,以简化计算. 2p

1

1

2 p

.

10.对于 y 2 = 2 px( p ≠ 0) 抛物线上的点的坐标可设为 (

点差法” 11.圆锥曲线中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 圆锥曲线中点弦问题: “韦达定理” 在椭圆
b2 x x2 y2 + 2 = 1 中,以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线斜率 k = ? 2 0 ;在双曲线 a2 b a y0

b2 x x2 y 2 ? 2 = 1 中 , 以 P ( x0 , y0 ) 为 中 点 的 弦 所 在 直 线 斜 率 k = 2 0 ; 在 抛 物 线 a2 b a y0 y 2 = 2 px( p > 0) 中,以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k =
p y0

.

13.求轨迹方程的常用方法: 求轨迹方程的常用方法: 方程的常用方法 ⑴直接法:直接通过建立 x 、 y 之间的关系,构成 F ( x, y ) = 0 ,是求轨迹的最基 本的方法. ⑵待定系数法:可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数, 代回所列的方程即可. ⑶代入法(相关点法或转移法). ⑷定义法: 如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定
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义直接写出方程. ⑸交轨法(参数法): 当动点 P ( x, y ) 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关 动点可用时,可考虑将 x 、 y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参 数得普通方程. 解析几何与向量综合的有关结论: 13.解析几何与向量综合的有关结论: r r (1) 给出直线的方向向量 u = (1, k ) 或 u = ( m, n ) ; uur uuu r uur uuu r (2)给出 OA + OB 与 AB 相交,等于已知 OA + OB 过 AB 的中点; uuur uuu r r (3)给出 PM + PN = 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点;

uuu uuu r r uur uuu r (4)给出 AP + AQ = λ ( BP + BQ) ,等于已知 P , Q 与 AB 的中点三点共线;
uuu uuu r r uuu r uuu r (5)给出以下情形之一:① AB / / AC ;②存在实数 λ ,使 AB = λ AC ;③若存

uuu r uur uur u 在实数 α , β ,且 α + β = 1 ,使 OC = α OA + β OB ,等于已知 A , B , C 三点共
线.

uur uur u uuu OA + λ OB r uur u ( 6 ) 给 出 OP = , 等 于 已 知 P 是 AB 的 定 比 分 点 , λ 为 定 比 , 即 1+ λ
uuu r uur AP = λ PB ; uuu uuu r r ( 7 ) 给 出 MA ? MB = 0 , 等 于 已 知 MA ⊥ MB , 即 ∠AMB 是 直 角 , 给 出 uuu uuu r r uuu uuu r r MA ? MB = m < 0 , 等于已知 ∠AMB 是钝角, 给出 MA ? MB = m > 0 ,等于已知 ∠AMB

是锐角;
uuu r uuu r uuu r MA MB (8)给出 λ ( uuu + uuu ) = MP ,等于已知 MP 是 ∠AMB 的平分线; r r | MA | | MB |

uur uuu uur uuu u r u r (9)在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB + AD)( AB ? AD) = 0 ,等于已知 ABCD 是
菱形;

uur uuu uur uuu u r u r (10)在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB + AD |=| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是
矩形;

uur 2 uur 2 uuu 2 u r (11)在 ?ABC 中,给出 OA = OB = OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角
形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点) ; uur uuu uuu r r r (12) 在 ?ABC 中,给出 OA + OB + OC = 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角
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形的重心是三角形三条中线的交点) ; uur uuu uuu uuu uuu uur r r r r (13)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的垂 心(三角形的垂心是三角形三条高的交点) ; uuu r uuu r uuu uur r uuu r AB AC ( 14 ) 在 ?ABC 中 , 给 出 OP = OA + λ ( uuu + uuu ) λ ∈ R + 等 于 已 知 AP 通 过 r r | AB | | AC |
?ABC 的内心;

uur uuu r uuu r r (15)在 ?ABC 中,给出 a ? OA + b ? OB + c ? OC = 0 等于已知 O 是 ?ABC 的内心(三 角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点) ; uuu 1 uuu uuu r r r (16) 在 ?ABC 中,给出 AD = ( AB + AC ) ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的 2 中线. 直线、平面、 九.直线、平面、简单几何体 1. 异面直线所成角的求法:⑴平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊 点,作另一条的平行线. ⑵补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、 长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系; 过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的 2. 直线与平面所成角: 关键. 3. 二面角的求法:⑴定义法;⑵三垂线法;⑶垂面法;⑷射影法:利用面积射 影公式 S射 = S斜 cosθ 其中 θ 为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角; ⑴两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般 4. 空间距离的求法: 先利用垂直作出公垂线,然后再进行计算.⑵求点到直线的距离,一般用三垂线定 理作出垂线再求解. ⑶求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已 知面的垂面是关键; 二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方 程求解. 用向量方法求空间角: 5. 用向量方法求空间角: (1). 向量的数量积和坐标运算 r r a, b 是两个非零向量,它们的夹角为 θ ,则数 | a | ? | b | ? cos θ 叫做 a 与 b 的数量 积 (或内积) 记作 a ? b , a ? b =| a | ? | b | ? cosθ . 其几何意义是 a 的长度与 b 在 , 即
a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是:

若 a = ( x1 , y1 , z1 ), b = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则
r r ① a gb = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ;

② | a |= x1 + y1 + z1 , | b |= x 2 + y 2 + z 2 ;
2 2 2 2 2 2

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r r r r ③ a gb = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 =0 ? a ⊥ b ④ cos < a, b >= x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2 x1 + y1 + z1 ? x 2 + y 2 + z 2
2 2 2 2 2 2

(2)异面直线 (2)异面直线 m, n 所成的角

r r r r 分别在直线 m, n 上取定向量 a, b 则异面直线 m, n 所成的角 θ 等于向量 a, b 所成的
r r | a gb | 角或其补角,则 cos θ = r r . | a |?| b |

(3)直线 (3)直线 l 与平面 α 所成的角 在 l 上取定 AB ,求平面 α 的法向量 n (如图 2 所示) ,再求 cos θ =
uuu r r | AB ? n | r 则 sin β = cos θ = uuu r 为所求的角的正弦值. | AB | ? | n | | AB ? n | | AB | ? | n |



(4)二面角 (4)二面角 方法一:构造二面角 α ? l ? β 的两个半平面 α 、 的法向量 n1 、 2 (都取向上 β n
的方向,,则 )

n 若二面角 α ? l ? β 是“钝角型”的,那么其大小等于两法向量 n1 、 2 的夹角的补
角,即 cos θ = ?

n1 ? n2 | n1 | ? | n 2 |

.

n 若二面角 α ? l ? β 是“锐角型”的,那么其大小等于两法向量 n1 、 2 的夹角,即
cos θ = n1 ? n2 | n1 | ? | n 2 | .

方法二:在二面角的棱 l 上确定两个点 A、B ,过 A、B 分别在平面 α 、 内求出 β
与 l 垂直的向量 n1 、 2 ,则二面角 α ? l ? β 的大小等于向量 n1 、 2 的夹角,即 n n

cos θ =

n1 ? n2

| n1 | ? | n 2 |

.
4 3

6. 球的体积公式 V = π R3 ,表面积公式 S = 4π R 2 ;掌握球面上两点 A 、 B 间的距 离求法:
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⑴计算线段 AB 的长;⑵计算球心角 ∠AOB 的弧度数;⑶用弧长公式计算劣弧
AB 的长.

十.排列组合和概率 1.排列数公式: Anm = n(n ? 1)L (n ? m + 1) = 1. 排列 Ann = n ! . 2.组合数公式: Cnm = 2.
m An n ? (n ? 1) ??? (n ? m ? 1) 0 n = (m ≤ n) , Cn = Cn = 1 . m! m ? (m ? 1) ? (m ? 2) ??? 3 ? 2 ? 1

n! m !( n ? m )!

(m ≤ n, m, n ∈ N *) ,当 m = n 时为全

3.组合数性质: Cnm = Cnn ? m ; Cnr + Cnr ?1 = Cnr+1 . 3. 4.排列组合主要解题方法: 优先法 4.排列组合主要解题方法:①优先法:特殊元素优先或特殊位置优先;②捆绑法 排列组合主要解题方法 捆绑法 (相邻问题); 插空法(不相邻问题) 间接扣除法;(对有限制条件的问题,先从总体考 ;④间接扣除法 间接扣除法; ③插空法 虑,再把不符合条件的所有情况去掉)⑤多排问题单排法;⑥相同元素分组可采 多排问题单排法; 相同元素分组可采 多排问题单排法 用隔板法(适用与指标分配,每部分至少有一个) ;⑦先选后排,先分再排 先选后排, 用隔板法 先选后排 先分再排(注意 等分分组问题);⑧涂色问题 涂色问题(先分步考虑至某一步时再分类). 涂色问题
+ +1 5.常用性质:n ? n! = (n + 1)!? n! ; nAnn = Ann+11 ? Ann ;Crr + Crr+1 + ??? + Cnr = Cnr+1 (1 ≤ r ≤ n) ; 即

6.二项式定理: ⑴掌握二项展开式的通项: Tr +1 = Cnr a n ? r b r (r = 0,1, 2,..., n) ; ⑵注意第 r+1 项二项式系数与第 r+1 项系数的区别. 7.二项式系数具有下列性质: ⑴与首末两端等距离的二项式系数相等; ⑵若 n 为偶数,中间一项(第 + 1 项)的二项式系数最大;若 n 为奇数,中间两项
2 n

(第

n ?1 2

+1和

n +1 2

+ 1 项)的二项式系数最大.

1 1 3 ⑶ Cn0 + Cn + Cn2 + ??? + Cnn = 2n ; Cn0 + Cn2 + ??? = Cn + Cn + ??? = 2n ?1 .

8.二项式定理应用: 近似计算、 整除问题、 结合放缩法证明与指数有关的不等式、 8. 用赋值法求展开式的某些项的系数的和如 f ( x) = (ax + b) n 展开式的各项系数和为
f (1) ,奇数项系数和为
1 2

[ f (1) ? f (?1)] ,偶数项的系数和为 [ f (1) + f (?1)] .
2

1

9.等可能事件的概率公式: ⑴ P( A) =
n m

; ⑵互斥事件有一个发生的概率公式为: P( A + B) = P( A) + P( B) ;

⑶相互独立事件同时发生的概率公式为 P( AB) = P( A) P( B) ; ⑷独立重复试验概率公式 Pn (k ) = Cnk p k (1 ? p )n ? k ; 那么事件 A 与 B 、A 与 B 及事件 A 与 B 也都是互斥事件; ⑸如果事件 A 与 B 互斥,
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⑹ 如 果事 件 A 、 B 相 互 独立 , 那么 事件 A 、 B 至 少有 一 个不 发生的概率是
1 ? P( AB ) = 1 ? P ( A) P ( B ) ;

(7)如果事件 A 与 B 相互独立,那么事件 A 与 B 至少有 一个发生的概率是
1 ? P ( A ? B ) = 1 ? P( A) P ( B ) .

十一. 十一.概率与统计 1.理解随机变量,离散型随机变量的定义,能够写出离散型随机变量的分布列,由 概率的性质可知,任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质:⑴
Pi ≥ 0, i = 1, 2,L ;⑵ P + P2 + L = 1 . 1

2. 二 项 分 布 记 作 ξ ~ B (n, p) (n, p 为 参 数 ), P(ξ = k ) = Cnk p k q n ? k , 记
k C n p k q n ? k = b ( k ; n, p ) .

3.记住以下重要公式和结论: 3. ⑴期望值 Eξ = x1 p1 + x2 p2 + L + xn pn + L . ⑵方差 Dξ = ( x1 ? Eξ ) 2 p1 + ( x2 ? Eξ ) 2 p2 + ??? + ( xn ? Eξ ) 2 pn + ??? . ⑶标准差 δξ =


; E (aξ + b) = aEξ + b; D(aξ + b) = a 2 Dξ .

⑷若 ξ ~ B (n, p ) (二项分布),则 Eξ = np , Dξ = npq (q = 1 ? p ) . ⑸若 ξ ~ g (k , p ) (几何分布),则 Eξ = , Dξ =
p 1 q p
2

.

4.掌握抽样的三种方法:⑴简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法); 4. ⑵系统抽样,也叫等距抽样; ⑶分层抽样(按比例抽样),常用于某个总体由差异明 显的几部分组成的情形.它们的共同点 共同点都是等概率抽样.对于简单随机抽样的概 共同点 念中, 每次抽取时的各个个体被抽到的概率相等” “ .如从含有 N 个个体的总体中, 采用随机抽样法,抽取 n 个个体,则每个个体第一次被抽到的概率为 抽到的概率为
n N 1 N 1 N

,第二次被

,…,故每个个体被抽到的概率为

n N

,即每个个体入样的概率为

.

5.总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,一 5. 般地,样本容量越大, 这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图; ⑴ 学会用样本平均数 x = ( x1 + x2 + ??? + xn ) =
n 1 1 n i =1 ∑ xi
n

去估计总体平均数; 本 方
n


1 n






1
n



S 2 = [( x1 ? x ) 2 + ( x2 ? x )2 + ??? + ( xn ? x ) 2 ] = ∑ ( xi ? x ) 2 = ∑ ( xi2 ? nx 2 ) 去估计总体方
n i =1 n i =1

1

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差 σ 2 及总体标准差;
? 1 6.正态总体的概率密度函数: f ( x) = e 2σ 2 , x ∈ R ,式中 ? ,σ 是参数,分别 6. 2πσ ( x ? ? )2

表示总体的平均数与标准差; 7.正态曲线的性质:⑴曲线在 x = ? 时处于最高点,由这一点向左、向右两边延伸 7. 时,曲线逐渐降低;⑵曲线的对称轴位置由确定;曲线的形状由确定, σ 越大,曲 线越矮胖;反过来曲线越高瘦. ⑶曲线在 x 轴上方,并且关于直线 x= ? 对称; ⑴提出统计假设, 确定随机变量服从正态分布 N ( ? ,σ 2 ) ; 8.假设检验的基本思想: ⑵确定一次试验中的取值 a 是否落入范围 ( ? ? 3σ , ? + 3σ ) ;⑶作出推断:如果
a ∈ ( ? ? 3σ , ? + 3σ ) ,接受统计假设;如果 a ? ( ? ? 3σ , ? + 3σ ) ,由于这是小概率事件,

就拒绝假设. 十三. 十三.导数 1.导数的定义: f ( x) 在点 x0 处的导数记作 y′
x = x0

= f ′( x0 ) = lim

f ( x0 + ?x ) ? f ( x0 ) ?x

?x → 0

.

2.可导与连续的关系:如果函数 y = f ( x) 在点 x0 处可导,那么函数 y = f ( x) 在点 x0 处连续,但是 y = f ( x) 在点 x0 处连续却不一定可导. 3.函数 f ( x) 在点 x0 处有导数,则 f ( x) 的曲线在该点处必有切线,且导数值是该切 线的斜率.但函数 f ( x) 的曲线在点 x0 处有切线,则 f ( x) 在该点处不一定可导.如
f ( x) = x 在 x = 0 有切线,但不可导.

4.函数 y = f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义 几何意义是指:曲线 y = f ( x) 在点 P ( x0 , f ( x0 )) 处 4. 几何意义 切线的斜率,即曲线 y = f ( x) 在点 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率是 f ′( x0 ) ,切线方程 为 y ? f ( x0 ) = f ′( x0 )( x ? x0 ) . 5. 常见函数的导数公式: C ′ = 0 ( C 为常数); ( x n )′ = nx n ?1 (n ∈ Q ) . (sin x)′ = cos x ;
(cos x)′ = ? sin x ; (a x )′ = a x ln a ; (e x )′ = e x ; (log a x)′ = 1 log a e . (ln x)′ =
x

1 x u′v ? uv′ v
2

6.导数的四则运算法则: (u ± v)′ = u ′ ± v′ ; (uv)′ = u ′v + uv′ ; ( )′ =
v

u

.

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′ ′ 7.复合函数的导数: y′ = yu ? u x . x

8.导数的应用: (1)利用导 数判断 函 数的单调 性:设 函数 y = f ( x) 在某个区 间内可 导, 如果
f ′( x) > 0 ,那么 f ( x) 为增函数;如果 f ′( x) < 0 ,那么 f ( x) 为减函数;如果在某个区

间内恒有 f ′( x) = 0 ,那么 f ( x) 为常数; (2)求可导函数极值的步骤:①求导数 f ′(x) ;②求方程 f ′( x) = 0 的根;③检验
f ′(x) 在方程 f ′( x) = 0 根的左右的符号, 如果左正右负,那么函数 y = f ( x) 在这个

根处取得最大值;如果左负右正,那么函数 y = f ( x) 在这个根处取得最小值; (3)求可导函数最大值与最小值的步骤:①求 y = f ( x) 在 (a, b) 内的极值;②将
y = f ( x) 在各极值点的极值与 f (a) 、 f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的

一个为最小值. 十四. 十四.复数 1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模的概念和复数的几何表示. 1. 2.熟练掌握与灵活运用以下结论:⑴ a + bi = c + di ? a = c 且 c = d (a, b, c, d ∈ R ) ;⑵ 2. 复 数 是 实 数 的 条 件 : ① z = a + bi ∈ R ? b = 0(a, b ∈ R ) ; ② z ∈ R ? z = z ; ③
z ∈ R ? z2 ≥ 0 .

3.复数是纯虚数的条件: ① z = a + bi 是纯虚数 ? a = 0 且 b ≠ 0(a, b ∈ R ) ; ② z 是纯 3. 虚数 ? z + z = 0( z ≠ 0) ;③ z 是纯虚数 ? z 2 < 0 . 4.⑴复数的代数形式: z = a + bi ;⑵复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行: 设 z1 = a + bi , z2 = c + di (a, b, c, d ∈ R) , 则 z1 + z2 = (a + c) + (b + d )i , z1 z2 = (a + bi)(c + di ) = (ac ? bd ) + (ad + bc)i ,
z1 ac + bd bc ? ad = + i ( z2 ≠ 0) . z2 c 2 + d 2 c 2 + d 2

5.几个重要的结论: ⑴ | z1 + z2 |2 + | z1 ? z2 |2 = 2(| z1 |2 + | z2 |2 ) ;⑵ z ? z =| z |2 =| z |2 ; ⑶若 z 为虚数,则 | z |2 ≠ z 2 . 6.运算律仍然成立:(1) ⑴ z m ? z n = z m + n ; ⑵ ( z m ) n = z mn ;
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⑶ ( z1 ? z2 ) m = z1m z2 m (m, n ∈ N ) . 7.注意以下结论:⑴ (1 ± i )2 = ±2i ;⑵
1+ i 1? i

=i,

1? i 1+ i

= ?i ;
1 z

⑶ i n + i n +1 + i n + 2 + i n +3 = 0( n ∈ N ) ;⑷ | z |= 1 ? z z = 1 ? z = .

十五. 十五.注意答题技巧训练 1.技术矫正 技术矫正: 1.技术矫正:考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学们 注意: ⑴按序答题,先易后难.一定要选择熟题先做、有把握的题目先做. ⑵不能纠缠在某一题、某一细节上,该跳过去就先跳过去,千万不能感觉自己 被卡住,这样会心慌, 影响下面做题的情绪. ⑶避免“回头想”现象,一定要争取一步到位,不要先做一下,等回过头来再想 再检查,高考时间较紧张,也许待会儿根本顾不上再来思考. ⑷做某一选择题时如果没有十足的把握,初步答案或猜估的答案必须先在卷
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子上做好标记,有时间再推敲,不要空答案,否则要是时间来不及瞎写答案只能增 加错误的概率. 2.规范化提醒 规范化提醒: 2.规范化提醒:这是取得高分的基本保证.规范化包括:解题过程有必要的文字 说明或叙述,注意解完后再看一下题目,看你的解答是否符合题意,谨防因解题不 全或失误,答题或书写不规范而失分.总之,要吃透题“情”,合理分配时间,做到 一准、二快、三规范.特别是要注意解题结果的规范化. ⑴解与解集:方程的结果一般用解表示(除非强调求解集);不等式、三角方 程的结果一般用解集(集合或区间)表示.三角方程的通解中必须加 k ∈ Z .在写区 间或集合时,要正确地书写圆括号、方括号或大括号,区间的两端点之间、集合的 元素之间用逗号隔开. ⑵带单位的计算题或应用题,最后结果必须带单位,解题结束后一定要写上符 合题意的“答”. ⑶分类讨论题,一般要写综合性结论. ⑷任何结果要最简.如 =
4 2 1 2
,

1
2

=

2

等.

2

⑸排列组合题,无特别声明,要求出数值. ⑹函数问题一般要注明定义域(特别是反函数). ⑺参数方程化普通方程,要考虑消参数过程中最后的限制范围. ⑻轨迹问题:①轨迹与轨迹方程的区别:轨迹方程一般用普通方程表示,轨迹 则需要说明图形形状. ②有限制条件的必须注明轨迹中图形的范围或轨迹方程中 x 或 y 的范围. ⑼分数线要划横线,不用斜线. 考前寄语: 3.考前寄语:①先易后难,先熟后生;②一慢一快:审题要慢,做题要快;③不能 小题难做,小题大做, 而要小题小做,小题巧做;④我易人易我不大意,我难人难 我不畏难; ⑤考试不怕题不会,就怕会题做不对; ⑥基础题拿满分,中档题拿足分, 难题力争多得分,似曾相识题力争不失分;⑦对数学解题有困难的考生的建议: 立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.

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