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安徽省安庆一中、安师大附中2015届高三第四次模考数学(文)试题


安庆一中、安师大附中 2014—2015 学年度高三 联考数学(文)试卷
命题: 储著斌 考试时间:120 分钟 审题:徐媛媛 试卷总分:150 分

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 2 ? 4i 1、已知复数 1 ? i ? ( i 为虚数单位) ,则 z 等于( ) z
A. ?1 ? 3i B. ?1 ? 2i C. 1 ? 3i D. 1 ? 2i

2、用反证法证明命题: “已知 a,b∈N,若 ab 不能被 7 整除,则 a 与 b 都不能被 7 整除”时, 假设的内容应为( ) A.a,b 都能被 7 整除 B.a,b 不都能被 7 整除 C.a,b 至少有一个能被 7 整除 D.a,b 至多有一个能被 7 整除 3、 执行如图所示的程序框图, 若输出值 x ? (16, 25) , 则输入 x 开始 值可以是( ) A. 0 B.2 C.4 D.6 4、 “ m ? 1 ”是“ ?x? (0, ??) ,使得 m ? x ? A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 5、已知 ? ? ? 0, 则( )

1 ? 1 ”的( x

输入 x


n ?1
n ? n ?1
x ? 2x ? 1

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 ? ?? sin ? cos ? ,b ? ? ,c ? ? , ? ,a ? log ? sin ? ? 4?

n≤ 3




A. c ? a ? b B. b ? a ? c C. a ? c ? b D. b ? c ? a 6 、在△ ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c. 若

输出 x
结束

1 a sin B cos C ? c sin B cos A ? b ,且 a ? b ,则∠B=( 2



? 6 2? C. 3
A.

B.

? 3 5 D. ? 6
1
主视图

1

1 1
左视图

7、一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中, 不可能是 该锥体的俯视图的是 ( ) ....
1 1 1 1 1

1

1

1

1

A

B

C

D

-1-

8、若 cos(

?
3

??) ?

2 ? , ? ? (?? ,0) ,则 sin( ? 2? ) ? ( 3 3



A.

2 5 9

B.

4 5 9

C. ?

2 5 9

D. ?

4 5 9

?x ? 2 y ? 6 ? 0 ? 9、已知实数 x 、 y 满足条件: ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? 1 ? y ? 1 的取值范围是( ?2 x ? y ? 0 ?
A. [1, 3) 10 、 已 知 函 数 B. [0, 4) C. [1, 4) D. [0,3)



x ?1 f ( x )? 4 ? x2 ? , 1 函 数 g ( x) ? a s i n ? ( x) ? 2a ? 2(a ? 0)

6

,若存在

x1 , x 2 ? ?0,1?,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是(
A. ? 0, 2?



? ?

1? ?

B. ? , ? ?2 3?

?1 4?

C. ? , ? 3 3

?2 4? ? ?

D.

?1 ? ,1 ? ?2 ? ?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共计 25 分。
11、设等比数列 ?an ? 中,前 n 项和为 S n ,已知 S3 ? 8,S 6 ? 7 ,则 a 7 ? a8 ? a9 ? ________; 12、已知幂函数 f ( x) ? x m 数 f ( x) 的解析式是
2

?1

(m ? Z ) 的图象与 x 轴, y 轴都无交点,且关于原点对称,则函
; ? 等于________;

13、已知△ABC 中,AB=1,AC=2,O 为△ABC 的外心,则 14、已知以 y ? ? 3x 为渐近线的双曲线 D:

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点分别为 a2 b2

F1,F2,若 P 为双曲线 D 右支上任意一点,则 15、在下列给出的命题中,

| PF1 | ? | PF2 | 的取值范围是________; | PF1 | ? | PF2 |

①函数 y ? 2 x ? 2 x ? 1 的图象关于点 (0,1) 成中心对称;
3

②对 ?x, y ? R 若 x ? y ? 0 ,则 x ? 1 或 y ? ?1 ; ③若实数 x, y 满足 x ? y ? 1则
2 2

y 3 的最大值为 ; x?2 3

④若 ?ABC 为钝角三角形,则 sin A ? cos B ; ⑤把函数 y ? 3sin(

?
6

? x) 的图像向右平移

? 个单位长度得到函数 y ? ?3sin x 的图像; 6

其中正确结论的序号是__________.

-2-

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.
16、 (本小题 12 分)
?? 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 ? ,且当 x∈ ? ?0, ?
? 2?

时,f(x)=sin(2x+ (1)求 x∈ ? ?

? ). 3

? ? ? , 0 时,f(x)的解析式; ? 2 ? ?

(2)求函数 f(x)的单增区间。

17、 (本小题 12 分) 在甲、乙两个盒子中分别装有编号为 1,2,3,4 的四个形状相同的小球,现从甲、乙两个盒 子中各取出 2 个小球 ,每个小球被取出的可能性相等. (1)求从甲盒中取出的两个球上的编号不都是奇数的概率; (2)求从甲盒取出的小球上编号之和与从乙盒中取出的小球上编号之和相等的概率。

18、 (本小题 12 分) 如图,平面 PAC ? 平面 ABC, AC ? BC, PAC 为等边三角形, PE CB, M , N 分别是线段 AE ,AP 上 P E

N C A

AM AN ? ? ? (0 ? ? ? 1) . 的动点,且满足: AE AP (1)求证: MN ∥平面 ABC ; 1 (2)当 ? ? 时,求证:面 CMN ? 面 APE 2

M B

-3-

19、 (本小题 12 分)
* 设数列 {an } 满足 an ? 3an ?1 ? 2 n ? 2, n ? N ,且 a1 ? 2, bn ? log3 (an ? 1) .

?

?

(1)证明:数列 {an ? 1} 为等比数列; (2)求数列 ?anbn ? 的前 n 项和 S n .

20、 (本小题 13 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点是 (? 3,0) 、 ( 3,0) ,且椭圆经过点 ( 2, ) 。 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P(0, 4) , M 、 N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的任意两个不同的点,连接 PN 交椭圆 C 于另一点 E,证明:直线 ME 与 y 轴相交于定点。

21、 (本小题 14 分)

1 2 ax ? x . (a ? R) . 2 (1)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (e, f (e)) 处的切线方程( e ? 2.718... ) ; (2)求函数 f ( x) 的单调区间.
2 已知函数 f ( x) ? (ax ? x) ln x ?

-4-

安庆一中、安师大附中 2014—2015 学年度高三第一学期 期末联考数学(文)参考答案
答案: 选择题:ACBA 填空题:11、 解答题: 16、解:(1)当x ? ? ? DACB CB 12、 f ( x) ? x ?1 13、

1 8

3 2

14、 (0, ]

1 2

15、①②③

? ? ? ? ?? ,0? 时,-x ? ?0, ? ? 2 ? ? 2?

? f ( x) ? f (? x) ? sin(?2 x ? ) ? ? sin(2 x ? ) ??????????6 分 3 3
(2)当 x ? ?0,

?

?

? ? ? 4? ? ? ? ? ?? ] 由 2 x ? ? [ , ] 解得 x ? [0, ] 时, 2 x ? ? [ , ? 12 3 3 3 , 3 3 2 ? 2?

所以 f ( x) 在 [0, 当 x ? ??

?
12

] 上单调递增

??????????8 分

? ? ? ? ? , 0 ? 时, f ( x) 在 [ ? , ? ] 上单调递增??????????10 分 2 12 ? 2 ?

有函数的周期性知所以 f ( x) 单调递增区间是 [k? ,

?
12

? k? ] 、 [ ?

?
2

? k? , ?

?
12

? k? ](k ? Z )

??????????12 分 17、解:由题意可知,从甲、乙两个盒子中各取 1 个小球的基本事件总数为 16. (1)记“从甲盒中取出的两个球上的编号不都是奇数”为事件 A ,由题意可知,从甲盒中取 2 个小球的基本事件总数为 6,则事件 A 的基本事件有:

5 ???????6 分(2) 6 记“从甲盒取出的小球上编号之和与从乙盒中取出的小球上编号之和相等”为事件 B ,由题
(1,,2) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4)共 5 个.? P ? A ? ? 意可知,从甲、乙两个盒子中各取 2 个小球的基本事件总数为 36,?????8 分 则事件 B 包含: (12,12) , (13,13) , (14,14) , (14,23) , (23,14) , (23,23) , (24,24) (34,34)共 8 个基本事件 .? P ( B ) ?

8 2 ? 36 9

????????12 分

, AP 18 、( 1 ) 证 明 : 由 M , N 分 别 是 线 段 A E 上的动点,且在

APE 中 ,

AM ? AE

AN ? ? ( 0? ? ? 1 ) MN PE , ,得 AP
BC .

又依题意 PE BC ,所以 MN

-5-

因为 MN ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , 所以 MN //平面 ABC .

??????????6 分

(2)解:由已知平面 PAC ? 平面 ABC, AC ? BC , 所以 BC ? 面PAC,

? BC ? CN , 即 BC ? PE,
在等边三角形 PAC 中,

??????????9 分

? = ,? CN ? PA, ?CN ? 面APE, 所以面 CMN ? 面 APE
??????????12 分

1 2

19、(1)

an ? 3an ?1 ? 2 ? n ? 2, n ? N * ? ,? an +1 ? ( 3 an?1 ? 1 )

又 a1 ? 2, ? an +1 ? 0 所以数列 {an ? 1} 为等比数列; ????????5 分

(2)由(1)知 an ? 3n ?1, bn ? log3 (an ? 1) ? n ,

?anbn ? n(3n ?1) ? n ? 3n ? n
An ? 1? 3 ? 2 ? 32 ?
设 3 An ? 1? 32 ? 2 ? 33 ?

????????6 分

? n ? 3n ? n ? 3n?1 1 3 ? 3n ? n ? 3n?1 ? ( ? n)3n ?1 ? 2 2
????????10 分

??2 An ? 3 ? 32 ?
n 1 3 ? An ? ( ? )3n ?1 ? 2 4 4

? Sn ? An ?
20、

n(n ? 1) n 1 n2 n 3 ? ( ? )3n ?1 ? ? ? 2 2 4 2 2 4
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

????????12 分

解: (1)椭圆 C 的方程为

?

a 2 ? b2 ? 3 ,

2a ? ( 2 ? 3) 2 ?

1 1 11 11 ? ( 2 ? 3) 2 ? ? ?2 6 ? ?2 6 ?4 2 2 2 2

所以所求椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

????????6 分

(2)设 N ( x1 , y1 ) 、 E ( x2 , y2 ) 、 M (? x1 , y1 ) ,直线 PN 的方程为 y ? kx ? 4 ,则

? x2 2 ? ? y ?1 由? 4 ? y ? kx ? b ?

得: (1 ? 4k 2 ) x2 ? 32kx ? 60 ? 0

-6-

?

x1 ? x2 ?

?32k 60 , x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
y2 ? y1 ( x ? x1 ) x2 ? x1

????????8 分

? 直线lME : y ? y2 ?

? 当x ? 0时,y ? = ?

( y2 ? y1 ) x1 x y ? x2 y1 ? y1 ? 1 2 x1 ? x2 x1 ? x2
????????12 分

x ( ( 2kx1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) 2 kx1 ? 4) ? x 1 kx2 ? 4) ? x1 ? x2 x1 ? x2 120 1 ?4? ?32 4

所以直线 ME 与 y 轴相交于定点 (0, )

1 4

????????1 3 分

21、 解: (I)当 a ? 0 时, f ( x) ? x ? x ln x , f '( x) ? ? ln x , 所以 f (e) ? 0 , f '(e) ? ?1 , 所以曲线 y ? f ( x ) 在 (e, f (e)) 处的切线方程为 y ? ? x ? e .?????????5 分 (II)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??)

1 f '( x) ? (ax 2 ? x) ? (2ax ? 1) ln x ? ax ? 1 ? (2ax ? 1) ln x ,??????????6 分 x
①当 a ? 0 时, 2ax ? 1 ? 0 ,在 (0,1) 上 f '( x) ? 0 ,在 (1, ??) 上 f '( x) ? 0 所以 f ( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上递减; ???????????????8 分 1 1 1 ②当 0 ? a ? 时,在 (0,1) 和 ( , ??) 上 f '( x) ? 0 ,在 (1, ) 上 f '( x) ? 0 2a 2 2a 1 1 所 以 f ( x) 在 (0,1) 和 ( , ??) 上单调递增,在 (1, ) 上递减;?????????10 分 2a 2a 1 ③当 a ? 时,在 (0, ??) 上 f '( x) ? 0 且仅有 f '(1) ? 0 , 2 所以 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增; ?????????????????12 分 1 1 1 ④当 a ? 时,在 (0, ) 和 (1, ??) 上 f '( x) ? 0 ,在 ( ,1) 上 f '( x) ? 0 2 2a 2a 1 1 所以 f ( x) 在 (0, ) 和 (1, ??) 上单调递增,在 ( ,1) 上递减???????????14 分 2a 2a

-7-


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