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【成才之路】2015届高三数学(文理通用)二轮专题限时检测6 不等式、推理与证明、算法框图与复数]


专题限时检测六
时间:60 分钟 满分:100 分

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分;在每小题给出四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1 1 1 1.已知 a1、a2∈(1,+∞),设 P= + ,Q= +1,则 P 与 Q 的大小关系为( a1 a2 a1a2 A.P>Q C.P=Q [答案] B [解析]

∵a1>1,a2>1, a1+a2-1-a1a2 1 1 1 ∴P-Q=( + )-( +1)= a1 a2 a1a2 a1a2 = -?a1-1??a2-1? <0,∴P<Q,故选 B. a1a2 ) B.P<Q D.不确定 )

2+mi 2.(文)复数 z= (m∈k)是纯虚数,则 m 等于( 1+i A.-2 C.1 [答案] A 2+mi ?2+mi??1-i? [解析] 由于 z= = 2 1+i = ?2+m?+?m-2?i , 2 B.-1 D.2

2+m 根据纯虚数的概念可得 =0,解得 m=-2. 2 (理)(2014· 新乡、许昌、平顶山调研)复数 z1、z2 满足 z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+ 3sinθ)i(m、λ、θ∈R),并且 z1=z2,则 λ 的取值范围是( A.[-1,1] 9 C.[- ,7] 16 [答案] C [解析] ∵z1=z2,∴m+(4-m2)i=2cosθ+(λ+3sinθ)i,
? ?m=2cosθ, 3 9 3 ∴? ∴λ=4sin2θ-3sinθ=4(sinθ- )2- ,当 sinθ= 时,λ 取最小值 2 8 16 8 ?4-m =λ+3sinθ. ?

)

9 B.[- ,1] 16 9 D. [ ,1] 16

9 - ,当 sinθ=-1 时,λ 取最大值 7,故选 C. 16 y≤x ? ? 3.(文)(2013· 保定市一模)已知 x、y 满足不等式组?x+y≥2 ? ?x≤2 最小值的比值为( 1 A. 2 3 C. 2 [答案] D [解析] 作出可行域如图,作直线 l0:2x+y=0,平移 l0 当经过点 A 时,zmin=3,当经 过点 C 时,zmax=6,∴所求比值为 2. ) 4 B. 3 D.2

,则 z=2x+y 的最大值与

x+1≥0, ? ? (理)(2013· 西城区月考)设实数 x、 y 满足条件?x-y+1≥0, ? ?x+y-2≤0, A.-4 C.4 [答案] C 1 B.- 2 D.7

则 y-4x 的最大值是(

)

[解析] 作出可行域如图,令 y-4x=z,则当直线 y=4x+z 经过点 A(-1,0)时,zmax= 4.

4.(文)(2013· 西城区月考)执行如图所示的程序框图.若输出 y=- 3,则输入角 θ=

(

)

π A. 6 π C. 3 [答案] D [解析] 由输出 y=- 3得,

π B.- 6 π D.- 3

π π π ? ? ?|θ|<4, ?4≤|θ|<2, π ? 或? ∴θ=- . 3 ? ? ?sinθ=- 3, ?tanθ=- 3. (理)(2013· 大兴区模拟)执行如图所示的程序框图,若 n=4,则输出 s 的值是( )

A.-42 C.11 [答案] C

B.-21 D.43

[解析] 程序运行过程依次为: n=4→S=1,i=1,i≤n 成立→S=1+(-2)1=-1,i=1+1=2,i≤n 仍成立→S=-1 +(-2)2=3,i=2+1=3,i≤n 仍成立→S=3+(-2)3=-5,i=3+1=4,i≤n 仍成立→S =-5+(-2)4=11,i=4+1=5,i≤n 不成立→输出 S 的值 11 后结束. ?a-i??b+i? 5.已知 a、b 分别为直线 y=x+1 的斜率与纵截距,复数 z= 在复平面上对 i 应的点到原点的距离为( A.1 C.4 [答案] B ?1-i??1+i? 1+i-i+1 2 [解析] 由已知得,a=1,b=1,z= = = =-2i,故复数 z 在复 i i i 平面上对应的点的坐标为(0,-2),所求距离为 2,选 B. a2+b2 6.(文)(2013· 吉林一中二模)“ ≤-2”是“a>0 且 b<0”的( ab A.必要不充分条件 C.充分不必要条件 [答案] A a2+b2 a2+b2 [解析] 若 a>0 且 b<0, 则 a2+b2≥2|ab|=-2ab, ≤-2; 若 ≤-2, 则 ab<0, ab ab a>0 且 b<0 不一定成立,故选 A. (理)已知点 An(n,an)(n∈N*)都在函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1)的图象上,则 a2+a10 与 2a6 的大小关系为( A.a2+a10>2a6 B.a2+a10<2a6 C.a2+a10=2a6 D.a2+a10 与 2a6 的大小与 a 有关 [答案] D [解析] 由条件知 an=logan, ∴a2+a10=loga2+loga10=loga20, 2a6=2loga6=loga36, 若 a>1,y=logax 为增函数,则 loga20<loga36,∴a2+a10<2a6,若 0<a<1,同理得 a2+ a10>2a6,故选 D. 7.(文)(2013· 和平区模拟)在如图所示的计算 1+3+5+?+2013 的程序框图中,判断 框内应填入( ) ) B.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ) ) B.2 D. 2

A.i≤1007 C.i<2013 [答案] D

B.i≤2011 D.i≤2013

[解析] 由框图知,S=1+3+5+?+2013,i 初值为 1,步长为 2,S 中加上的最后一 项为 2013,故判断框中的条件应为 i≤2013. (理)(2014· 郑州市质检)阅读下边的程序框图,则输出的 S 为( )

A.6 C.14 [答案] D [解析]

B.10 D.30

执行一次,S=1,i=2;执行二次,S=1+4=5,i=3;执行三次,S=5+32

=14,i=4;执行四次,S=14+42=30,i=5,此时满足条件 i>4,故输出的 S 为 30. 8.(文)(2013· 耀华中学月考)设 A1、A2、A3、A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点, 1 1 → → → → 若A1A3=λA1A2(λ∈R),A1A4=μA1A2(μ∈R)且 + =2,则称 A3、A4 调和分割 A1A2.已知点 λ μ C(c,0)、D(d,0)(c、d∈R)调和分割点 A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是( A.C 可能是线段 AB 的中点 B.D 可能是线段 AB 的中点 C.C、D 可能同时在线段 AB 上 D.C、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 [答案] D → → → → [解析] 由A1A3=λA1A2(λ∈R),A1A4=μA1A2(μ∈R)知:四点 A1、A2、A3、A4 在同一条 )

1 1 直线上,因为 C、D 调和分割点 A、B,所以 A、B、C、D 四点在同一直线上,且 + =2, c d 故选 D. → → (理)△ABC 满足AB· AC=2 3,∠BAC=30° ,设 M 是△ABC 内的一点(不在边界上),定 义 f(M)=(x,y,z),其中 x、y、z 分别表示△MBC、△MCA、△MAB 的面积,若 f(M)=(x, 1 1 4 y, ),则 + 的最小值为( 2 x y A.9 C.18 [答案] C → → [解析] ∵AB· AC=2 3,∠BAC=30° , → → ∴|AB|· |AC|=4, 1 1→ → ∴S△ABC= AB· ACsin30° = |AB|· |AC|· sin30° =1, 2 2 1 1 1 ∵f(M)=(x,y, ),∴x+y+ =S△MBC+S△MCA+S△MAB=S△ABC=1,∴x+y= , 2 2 2 1 4 1 4 4x y ∴ + =( + )· 2(x+y)=2(5+ + )≥2(5+2 x y x y y x 1 1 即 x= ,y= 时成立. 6 3 二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 6 分,共 12 分,将答案填写在题中横线上.) 9.若不等式-1<ax2+bx+c<1 的解集为(-1,3),则实数 a 的取值范围是________. 1 1 [答案] (- , ) 2 2 1 1 [解析] 当 a=0 时,存在 b= ,c=- ,使得相应的不等式-1<ax2+bx+c<1 的解集 2 2 是(-1,3),因此 a=0 适合题意; 当 a>0 时,依题意得,-1 与 3 是方程 ax2+bx+c=1 的两根,且 ax2+bx+c>-1 恒成 立,于是有 4x y 4x y ·)=18,等号在 = , y x y x ) B.8 D.16

? =-1+3, ?-b a ?c-1=-1×3, a ? ?b -4a?c+1?<0.
a>0,
2

1 解得 0<a< ; 2

当 a<0 时,依题意得,-1 与 3 是方程 ax2+bx+c=-1 的两根,且 ax2+bx+c<1 恒成 立,于是有

? =-1+3, ?-b a ?c+1=-1×3, a ? ?b -4a?c-1?<0.
a<0,
2

1 解得- <a<0. 2

1 1 综上所述,满足题意的实数 a 的取值范围是(- , ). 2 2 10.(文)已知命题:在平面直角坐标系 xOy 中,△ABC 的顶点 A(-p,0)和 C(p,0),顶点 sinA+sinC 1 x2 y2 B 在椭圆 2+ 2=1(m>n>0,p= m2-n2)上,椭圆的离心率是 e,则 = .试将该命 m n sinB e 题类比到双曲线中,给出一个真命题________. [答案] 在平面直角坐标系 xOy 中,△ABC 的顶点 A(-p,0)和 C(p,0),顶点 B 在双曲线 |sinA-sinC| 1 x2 y2 - =1(m>n>0,p= m2+n2)上,双曲线的离心率是 e,则 = . m 2 n2 sinB e [解析] 由已知命题,根据类比推理可得出答案. (理)(2013· 福建理,15)当 x∈R,|x|<1 时,有如下表达式: 1+x+x2+?+xn+?= 1 , 1-x

1 1 1 1 1 1 两边同时积分得:∫ 01dx+∫ 0xdx+∫ 0x2dx+?+∫ 0xndx+?=∫ 0 dx, 2 2 2 2 2 1-x 从而得到如下等式: 1 1 1 1 1 1 1 + 1× + ×( )2+ ×( )3+?+ ×( )n 1+?=ln2, 2 2 2 3 2 n+1 2 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算: 1 1 1 12 1 2 13 1 n 1 n+1 0 Cn × + Cn ×( ) + Cn×( ) +?+ C ×( ) =________. 2 2 2 3 2 n+1 n 2 [答案] 1 3 n+1 [( ) -1] n+ 1 2

1 2 1 2 3 1 n n+1 0 [解析] 令 f(x)=Cn x+ C1 x + Cnx +?+ Cx , 2 n 3 n+1 n
1 2 2 n n n 则 f′(x)=C0 n+Cnx+Cnx +?+Cnx =(1+x) , 0 1 n n n 由 C0 nx +Cnx+?+Cnx =(1+x) 两边积分得,

1 1 1 1 ∫ 0C0 x0dx+∫ 0C1 xdx+?+∫ 0Cn xndx=∫ 0(1+x)ndx, 2 n 2 n 2 n 2 1 1 1 12 1 2 13 1 n 1 n+1 1 1 3 n+1 + 1 即 C0 C( ) = (1+x)n 1| 0= [( ) -1]. n + Cn×( ) + Cn×( ) +?+ 2 2 2 3 2 2 n+1 2 n+1 n 2 n+1 三、解答题(本大题共 3 小题,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11.(本小题满分 13 分)设[x]表示取 x 的整数部分,如[5]=5,[2.7]=2,下面程序框图

运行后输出结果为 S、T,设 z1=S-Ti,z2=1+i,z=z1· z2,求 z 在复平面内对应点所在的象 限,并求|z|.

[解析] 由题意知,程序框图运行后跳出循环时,S 为等差数列{an},an=2n+1 的前 5 35 项的和,T 为等比数列{bn},bn=2n 的前 5 项的和,∴S=35,T=62,故输出的 S=[ ]=7, 5 62 T=[ ]=12, 5 ∴z1=7-12i,z2=1+i, ∴z=z1z2=(7-12i)(1+i)=19-5i, ∴z 在复平面内对应点(19,-5)在第四象限,|z|= 192+?-5?2= 386. 12.(本小题满分 13 分)(文)(2013· 霍邱二中模拟)解关于 x 的不等式:loga(x2-x-2)>1+ 2 loga(x- )(a>0,a≠1). a [解析] 原不等式等价于 loga(x2-x-2)>loga(ax-2)① x -x-2>0, ? ? 当 a>1 时,①式可化为?ax-2>0, ? ?x2-x-2>ax-2.
2

? ? ?x> , ?ax-2>0, 即? 2 亦即? a ?x -x-2>ax-2, ? ?
∴x>a+1.

2

?x<0或x>a+1.

x -x-2>0, ? ? ②当 0<a<1 时,①式可化为?ax-2>0, ? ?x2-x-2<ax-2.
?x2-x-2>0, ?x<-1或x>2, ? ? 即? 2 亦即? ?x -x-2<ax-2, ?0<x<a+1. ? ?

2

此不等式组的解集为?. 综上所述,当 a>1 时,原不等式的解集为{x|x>a+1};当 0<a<1 时,原不等式的解集为 ?. 1 1 1 (理)(1)设 x≥1,y≥1,证明 x+y+ ≤ + +xy. xy x y (2)1≤a≤b≤c,证明 logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac. 1 1 1 [证明] (1)由于 x≥1,y≥1,所以 x+y+ ≤ + +xy?xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2. xy x y 将上式中的右式减左式,得 (y+x+(xy)2)-(xy(x+y)+1) =((xy)2-1)-(xy(x+y)-(x+y)) =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) =(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)(y-1). 由于 x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,从而所要证明的不等式成立. (2)设 logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得 1 1 1 logca= ,logba= ,logcb= ,logac=xy.于是, xy x y 1 1 1 所要证明的不等式即为 x+y+ ≤ + +xy, xy x y 其中 x=logab≥1,y=logbc≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立. 13.(本小题满分 14 分)观察下表: 1, 2,3 4,5,6,7 8,9,10,11,12,13,14,15, ?? 问:(1)此表第 n 行的最后一个数是多少? (2)此表第 n 行的各个数之和是多少? (3)2012 是第几行的第几个数?

(4)是否存在 n∈N*, 使得第 n 行起的连续 10 行的所有数之和为 227-213-120?若存在, 求出 n 的值;若不存在,请说明理由. [解析] (1)∵第 n+1 行的第 1 个数是 2n, ∴第 n 行的最后一个数是 2n-1. (2)2n 1+(2n 1+1)+(2n 1+2)+?+(2n-1)
- - -

?2n 1+2n-1?· 2n 1 - - = =3· 22n 3-2n 2. 2
- -

(3)∵210=1024,211=2048,1024<2012<2048, ∴2012 在第 11 行,该行第 1 个数是 210=1024,由 2012-1024+1=989,知 2012 是第 11 行的第 989 个数. (4)设第 n 行的所有数之和为 an,第 n 行起连续 10 行的所有数之和为 Sn. 则 an=3· 22n 3-2n 2,an+1=3· 22n 1-2n 1,
- - - -

an+2=3· 22n 1-2n,?,an+9=3· 22n


+15

-2n 7,


∴ Sn = 3(2


2n - 3

+2

2n - 1

+?+2

2n + 15

) - (2

n-2

+2

n-1

+?+2

n+7

22n 3?410-1? ) = 3· - 4-1


2n 2?210-1? 2n+17 - + - =2 -22n 3-2n 8+2n 2,n=5 时,S5=227-128-213+8=227-213-120. 2-1 ∴存在 n=5 使得第 5 行起的连续 10 行的所有数之和为 227-213-120.

一、选择题 - 1.(文)(2013· 福建理,1)已知复数 z 的共轭复数 z =1+2i(i 为虚数单位),则 z 在复平面 内对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 [答案] D - [解析] ∵ z =1+2i,∴z=1-2i,对应点为(1,-2)在第二象限. 点评:复数 z=a+bi(a,b∈R)一一对应复平面内的点 z(a,b). 2i (理)已知复数 z= ,则复数 z 的共轭复数为( i-1 A.1+i C.1-i [答案] A 2i 2i?-i-1? - [解析] 由已知得 z= = =1-i,故其共轭复数 z =1+i. 2 i-1 ) ) B.第二象限 D.第四象限

B.-1+i D.-1-i

9 2.(2013· 浙江理,5)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则( 5

)

A.a=4 C.a=6 [答案] A [解析] 由框图的变化规律可知 k S 故 a 应取 4. 1 3 2 2 5 3

B.a=5 D.a=7

3 7 4

4 9 5

3.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为( A.1 C.1 或 2 [答案] B [解析] ∵(a2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数,
?a2-3a+2=0 ? ∴? ,∴a=2.故选 B. ? ?a≠1

)

B.2 D.-1

x≥1, ? ? 4.(2013· 泗县双语中学模拟)不等式组?x+y-4≤0, ? ?kx-y≤0 域,则 k 的值为( A.-2 C.0 [答案] D ) B.-1 D.1

表示面积为 1 的直角三角形区

[解析] 由于不等式组表示面积为 1 的直角三角形区域, ∴直线 y=kx 与直线 x=1 垂直

或与直线 x+y-4=0 垂直,再由围成面积为 1 的直角三角形区域知 k=1.

? ?x-y-1≤0, 5.(2014· 山东理,9)已知 x、y 满足约束条件? ? ?2x-y-3≥0,

当目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值 2 5时,a2+b2 的最小值 为( ) A.5 C. 5 [答案] B [解析] 本题考查线性规划与点到直线的距离. 如图所示 B.4 D.2

? ? ?x-y-1=0, ?x=2, 由? 解得? ? ? ?2x-y-3=0. ?y=1.

∴A 点坐标为(2,1), z=ax+by 在 A 点处取得最小值 2 5,即 2a+b=2 5. a2+b2 可看作两点(0,0)(a,b)的距离的平方,原点到直线 2a+b=2 5的距离的平方是 2 52 ( ) =4. 5 6.(文)(2014· 安徽理,3)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )

A.34 C.78 [答案] B

B.55 D.89

[解析] 程序运行过程依次为:x=1,y=1,z=1+1=2,z≤50 成立→x=1,y=2,z =1+2=3,z≤50 成立→x=2,y=3,z=2+3=5,z≤50 成立,?依次进行下去得到 z 的 值依次为 2,3,5,8,13,21,34,55,当 z=34 时,循环最后一次得到 z=55,此时不满足 z≤50, 输出 z=55 后结束. (理)(2014· 新课标Ⅱ文,8)执行下面的程序框图,如果输入的 x、t 均为 2,则输出的 S =( )

A.4 C.6 [答案] D [解析]

B.5 D.7

1 程序运行过程依次为:x=2,t=2,M=1,S=3,k=1→M= ×2=2,S=2 1

2 +3=5,k=2→M= ×2=2,S=2+5=7,k=3,∵3>2,不满足 k≤t,输出 S=7 后结束. 2 7.(文)(2013· 内江市模拟)已知程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是( )

A.4 C.16 [答案] D

B.8 D.64

[解析] 初值 S=1,n=0;第一次运行后,S=1×20=1,n=0+1=1;第二次运行后, S=1×21=2,n=1+1=2;第三次运行后,S=2×22=8,n=2+1=3;第四次运行后,S =8×23=64,n=3+1=4,此时 n>3 成立,输出 S 值为 64. (理)(2013· 江西八校联考)一个算法的程序框图如下,则其输出结果是( )

A.0 C. 2 +1 2

B.

2 2

D. 2+1

[答案] B [ 解析 ] π 2π 3π 2014π π 2π 依程序框图可知, S= sin + sin + sin +?+sin = 251×(sin + sin 4 4 4 4 4 4

8π π 2π 6π 2 2 2 2 +?+sin )+(sin +sin +?+sin )=251×0+( +1+ +0- -1)= ,故选 B. 4 4 4 4 2 2 2 2 x≥1 ? ? 8.(文)(2013· 求知中学月考)已知 x、y∈R,且满足?x-2y+3≥0 ? ?y≥x 最小值等于( 9 A.- 2 C.0 [答案] A [解析] 作出可行域如图,x2+y2-6x=(x-3)2+y2-9 表示平面区域 ABC 内的点到点 ) B.-4 D.-1

,则 x2+y2-6x 的

P(3,0)距离的平方减去 9,

3 2 由于|PA|= 5,P 到直线 y=x 的距离 d= , 2 9 ∴x2+y2-6x≥- ,故选 A. 2
? ?a (理)定义 max{a,b}=? ?b ?

?a≥b? ?a<b? )

,已知实数 x、y 满足|x|≤1,|y|≤1,设 z=max{x+

y,2x-y},则 z 的取值范围是( 3 A.[- ,2] 2 3 C.[ ,3] 2 [答案] D

3 B.[ ,2] 2 3 D.[- ,3] 2

[解析] 由 x+y≥2x-y 得 x≤2y,
?x+y ?x≤2y? ? ∴z=? , ?2x-y ?x>2y? ?

|x|≤1 ? ? 不等式组?|y|≤1 ? ?x≤2y

|x|≤1 ? ? 及?|y|≤1 ? ?x≥2y

表示的平面区域分别为正

方形 BCEF, 被直线 AD: x=2y 分开所成的两部分, 作直线 l1: 1 x+y=0 和直线 l2:2x-y=0,平移 l1 可知在平面区域 ADEF 内 z=x+y 在 A(-1,- )处取 2 3 最小值,在 E(1,1)处取最大值,∴- ≤z≤2;平移 l2 可知在平面区域 ABCD 内的点 A(-1, 2 1 - )处 z=2x-y 取最小值,在点 C(1,-1)处 z=2x-y 取最大值, 2 3 3 ∴- ≤z≤3,综上知,z 的取值范围是- ≤z≤3,故选 D. 2 2 [点评] 作为选择题可在正方形 BCEF 内取点检验,例如取点 C(1,-1),则 x+y=0,2x

-y=3,∴z=3,排除 A、B;取 B(-1,-1),则 x+y=-2,2x-y=-1, ∴z=-1,排除 C,故选 D. 二、填空题 x-2≤0, ? ? 9.(文)(2013· 北京东城区模拟)不等式组?y≤0, ? ?x+y≥0 的面积为________,z=x+y 的最大值为________. [答案] 2 2 1 [解析] 作出区域 D 如图,其面积 S= ×2×2=2,当直线 z=x+y 过点 A(2,0)时,zmax 2 =2.

表示的平面区域为 D,则区域 D

(理)如果直线 ax-by+5=0(a>0,b>0)和函数 f(x)=mx 1+1(m>0,m≠1)的图象恒过同


1 85 ab 一个定点,且该定点始终落在圆(x-a+1)2+(y+b+ )2= 的内部或圆上,那么 的取 2 4 2a+b 值范围是________. 3 5 [答案] [ , ] 7 9 [解析] 根据指数函数的性质,可知函数 f(x)=mx 1+1(m>0,m≠1)恒过定点(-1,2),


将点(-1,2)代入 ax-by+5=0,可以得到 a+2b=5.对 ab 1 5 = = 1 2 2a+b 1 2 + ?a+2b?· ? + ? a b a b = 5 . b a 5+2? + ? a b

ab 作如下变形: 2a+b

由于(-1,2)始终落在所给圆的内部或圆上, 5 85 所以 a2+(b+ )2≤ . 2 4

a+2b=5, ? ? ? ? ?a=1, ?a=3, 由? 2 解得? 或? 这说明点(a,b)在以 A(1,2)和 B(3,1) 5 2 85 ?b=2 ?b=1, ? ? ? ?a +?b+2? = 4 , b 1 b a 10 为端点的线段上运动,所以 的取值范围是[ ,2],从而 + 的取值范围是[2, ],进一步 a 3 a b 3 ab 3 5 可以推得 的取值范围是[ , ]. 7 9 2a+b [点评] 对于指数函数恒过定点的问题,就是让幂指数为零,则函数值必然为 1.同时对 于点在圆内和圆上的文字语言,只有准确翻译为符号语言,才能得到 a,b 的关系式,进一 b b a 步求解后面的问题.另外,我们得到 a,b 表达式后,能否利用 ,来表示 + 的范围,即为 a a b 所求的结果,这个是难点,体现了数学中的转化思想的运用. 10.(文)(2013· 武汉市模拟)设 M1(0,0)、M2(1,0),以 M1 为圆心,|M1M2|为半径作圆交 x 轴于点 M3(不同于 M2),记作⊙M1;以 M2 为圆心,|M2M3|为半径作圆交 x 轴于点 M4(不同于 M3),记作⊙M2;?;以 Mn 为圆心,|MnMn+1|为半径作圆交 x 轴于点 Mn+2(不同于 Mn+1),记 作⊙Mn;?当 n∈N*时,过原点作倾斜角为 30° 的直线与⊙Mn 交于 An,Bn. 考察下列论断: 当 n=1 时,|A1B1|=2; 当 n=2 时,|A2B2|= 15; 当 n=3 时,|A3B3|= 35×42+23-1 ; 3

35×43-24-1 当 n=4 时,|A4B4|= ; 3 ?? 由以上论断推测一个一般的结论: 对于 n∈N*,|AnBn|=________. [答案] 35×4n 1+?-1?n 1×2n-1 3
- -

[解析] 当 n=4 时, 圆心为 M4(3,0), 又点 M5(-5,0), 所以半径为|M4M5|=8.故圆心 M4(3,0) 到直线 y= | 3-0| 3 3 x 的距离为 d= = , 3 1 2 1+ 3 3 82-? ?2=2 2 247 4

故|A4B4|=2

35×43-24-1 = 247= . 3 因为|A1B1|= 35×41 1+?-1?1 1×21-1 , 3
- -

|A2B2|= |A3B3|= |A4B4|=

35×42 1+?-1?2 1×22-1 , 3
- -

35×43 1+?-1?3 1×23-1 , 3
- -

35×44 1+?-1?4 1×24-1 , 3
- -

由归纳推理得 |AnBn|= 35×4n 1+?-1?n 1×2n-1 . 3
- -

(理)(2013· 合肥市质检)先阅读第(1)题的解法,再解决第(2)题: (1)已知 a=(3,4),b=(x,y),a· b=1,求 x2+y2 的最小值. 1 1 解:|a· b|≤|a|· |b|?1≤5 x2+y2?x2+y2≥ ,故 x2+y2 的最小值为 . 25 25 (2)已知实数 x、y、z 满足:2x+3y+z=1,则 x2+y2+z2 的最小值为________. [答案] 1 14

[解析] 设 a=(2,3,1),b=(x,y,z),则 a· b=1, 因为|a· b|≤|a||b|, 所以 1≤ x2+y2+z2· 4+9+1, 1 所以 x2+y2+z2≥ . 14 三、解答题 11.(文)如图所示,在复平面内有三点 P1、P2、P3 对应的复数分别为 1+a、1+2a、1 +3a,且 OA=1,|a|=2,O 为原点,若 S△P1OP2+S△P2OP3=2,求对应的复数 a.

→ → → [解析] 由向量加法的运算法则知,OA+APi=OPi,i=1,2,3. ∵P1、P2、P3 对应的复数分别为 1+a、1+2a、1+3a, → → → ∴AP1、AP2、AP3对应的复数为 a、2a、3a, → 1→ 1→ ∴AP1= AP2= AP3,即 A、P1、P2、P3 共线, 2 3 → 设AP3与 x 轴正方向夹角为 θ.

1→ → 1 ∵|a|=2,∴S△AOP3= |OA|· |AP3|sinθ= ×1×|3a|· sinθ=3sinθ. 2 2 1→ → 1 ∴S△AOP1= |OA|· |AP1|sinθ= ×1×|a|· sinθ=sinθ. 2 2 显然 S△P1OP2+S△P2OP3=S△OAP3-S△OAP1=2sinθ. π 从而 2sinθ=2,sinθ=1,∵θ∈(0,π),∴θ= , 2 因此 a=2i. (理)对于任意的复数 z=x+yi(x、y∈R),定义运算 P(z)=x2[cos(yπ)+isin(yπ)]. (1)集合 A={ω|ω=P(z),|z|≤1,x、y 均为整数},试用列举法写出集合 A; (2)若 z=2+yi(y∈R),P(z)为纯虚数,求|z|的最小值; (3)直线 l:y=x-9 上是否存在整点(x,y)(坐标 x、y 均为整数的点),使复数 z=x+yi 经运算 P 后,P(z)对应的点也在直线 l 上?若存在,求出所有的点;若不存在,请说明理由.
? ?z=x+yi, [解析] (1)? ?x2+y2≤1, ?|z|≤1 ? ? 1, ?x=± 由于 x、y∈Z,得? ?y=0, ? ? ?x=0, ? ?y=± 1, ? ? ?x=0, ? ?y=0. ?

∴P(± 1)=1,P(± i)=0,P(0)=0,∴A={0,1}. (2)若 z=2+yi(y∈R),则 P(z)=4[cos(yπ)+isin(yπ)].
?cosyπ=0, ? 若 P(z)为纯虚数,则? ? ?sinyπ≠0,

1 ∴y=k+ ,k∈Z, 2 ∴|z|= 22+y2= 1 ?k+ ?2+4,k∈Z, 2 17 . 2

当 k=0 或-1 时,|z|min=

(3)P(z)对应点坐标为(x2cos(yπ),x2sin(yπ)), y=x-9, ? ?2 2 由题意得?x sin?yπ?=x cos?yπ?-9, ? ?x、y∈Z, ∴x2sin(xπ-9π)=x2cos(xπ-9π)-9, ∴x2sinxπ=x2cosxπ+9. ∵x∈Z, ∴①当 x=2k,k∈Z 时,得 x2+9=0 不成立; ②当 x=2k+1,k∈Z 时,得 x2-9=0,

∴x=± 3 成立.
? ? ?x=3, ?x=-3, 此时? 或? ?y=-6 ? ? ?y=-12,

即 z=3-6i 或 z=-3-12i. 12.(文)看下面一段发现数学公式的过程,指出各自运用了哪种推理方式. 公式:S2(n)=12+22+32+?+n2(n∈N*). (1)首先列表计算观察: n S2(n) 1 1 2 5 3 14 4 30 5 55 6 91 7 140 8 204 ? ?

此处思维过程运用了什么推理? (2)从上表中的数据没有明显的发现, 于是联想到正整数之和的公式 S1(n)=1+2+3+? 1 +n= n(n+1),二者能否有关系呢?此处思维过程运用了什么推理? 2 (3)再列表计算、比对: n S1(n) S2(n) 1 1 1 2 3 5 3 6 14 4 10 30 5 15 55 6 21 91 7 28 140 8 36 204 ? ? ?

此处思维过程运用了什么推理? (4)从上表中数据没有看出明显的规律,再进一步列表计算: n S1(n) S2(n) S2?n? S1?n? 1 1 1 3 3 2 3 5 5 3 3 6 14 7 3 4 10 30 9 3 5 15 55 11 3 6 21 91 13 3 7 28 140 15 3 8 36 204 17 3 ? ? ? ?

此处思维过程运用了什么推理? S2?n? 2n+1 1 (5)从上表发现了规律: = ,于是猜想:S2(n)= n(n+1)(2n+1). 3 6 S1?n? 此处思维过程运用了什么推理? [解析] (1)通过直接计算得到对应的数字,用的是演绎推理. (2)通过比较,用的是类比推理. (3)通过直接计算得到对应的数字,用的也是演绎推理. (4)通过直接计算得到对应的数字,用的还是演绎推理. (5)通过分析规律,加以总结,用的是归纳推理. (理)先阅读下列框图,再解答有关问题: (1)当输入的 n 分别为 1,2,3 时,a 各是多少?

(2)当输入已知量 n 时,①输出 a 的结果是什么?试证明之; ②输出 S 的结果是什么?写出求 S 的过程.

1 1 [解析] (1)当 n=1 时,a= ;当 n=2 时,a= ; 3 15 1 当 n=3 时,a= . 35 (2)(方法一)当输入 n 时,①中输出结果为 an,②中输出结果为 Sn,则 2n-3 1 an 2n-3 a1= ,an= a - (n≥2),所以 = (n≥2) 3 2n+1 n 1 an-1 2n+1 2n-3 2n-5 2n-7 1 1 an an-1 a2 1 1 1 所以 an= · ·· a= · · ? ·= · = . an-1 an-2 a1 1 2n+1 2n-1 2n-3 5 3 2n+1 2n-1 4n2-1 1 1 1 1 1 1 1 (方法二)由 a1= = ,a = = ,a = = ,猜想 an= 2 . 3 4×12-1 2 15 4×22-1 3 35 4×32-1 4n -1 证明:(1)当 n=1 时,结论成立, (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时结论成立,即 ak= 则当 n=k+1 时, 2?k+1?-3 2k-1 1 ak+1= a= · 2?k+1?+1 k 2k+3 4k2-1 = 1 1 = . ?2k+3??2k+1? 4?k+1?2-1 1 , 4k2-1

所以当 n=k+1 时,结论成立, 1 故对 n∈N*,都有 an= 2 成立. 4n -1

1 1 因为 an= 2 = 4n -1 ?2n+1??2n-1? 1 1 1 = ( - ), 2 2n-1 2n+1 1 1 11 1 1 1 1 所以 Sn=a1+a2+?+an= (1- )+ ( - )+?+ ( - ) 2 3 23 5 2 2n-1 2n+1 1 1 n = (1- )= . 2 2n+1 2n+1 13.(文)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象(如图)与 x 轴有两个不同的公共点, 若 f(c)=0,且 0<x<c 时,f(x)>0.

1 (1)试比较 与 c 的大小; a (2)证明:-2<b<-1. [解析] (1)由已知,f(x)的图象与 x 轴有两个不同的公共点,所以 f(x)=0 有两个不同的 实数根 x1、x2. c 1 1 1 因为 f(c)=0,且 x1· x2= ,所以 f(x)=0 的两个根就是 c 和 .如果 <c,因为 a>0,故 >0, a a a a 1 1 1 1 即 0< <c,而当 0<x<c 时,f(x)>0,所以有 f( )>0.这与 是 f(x)=0 的根矛盾,所以 >c. a a a a (2)证明:因为 f(c)=0,所以 ac2+bc+c=0.又 c>0,故 ac+b+1=0. 因为 a>0,c>0,所以 ac>0.于是 b+1<0.故 b<-1. b 1 1 b 1 又 f(x)的图象的对称轴为 x=- ,且 f(x)=0 的两根为 c 和 ,且 c< ,所以- < ?b> 2a a a 2a a -2. 故-2<b<-1. (理)在数列{an}中,a1=1,an+1=1- (1)求证:数列{bn}是等差数列; 1 1 1 1 (2)求证: + + +?+ n <bn-1(n∈N*,n≥2). 2 3 4 2 -1 [解析] (1)证明:bn+1-bn= = 1 1 - 1 2an-1 2?1- ?-1 4an 1 - 2an+1-1 2an-1 1 1 2 ,b = ,其中 n∈N*. 4an n 2an-1



1 1 - =1, 1 2an-1 2- -1 2an

∴数列{bn}为等差数列. 1 (2)因为 b1= =1, 2a1-1 所以 bn=1+(n-1)=n,bn-1=n-1(n≥2), 1 1 1 1 原不等式即为证明 + + +?+ n <n-1(n∈N*,n≥2), 2 3 4 2 -1 1 1 1 1 即 1+ + + +?+ n <n(n∈N*,n≥2)成立. 2 3 4 2 -1 用数学归纳法证明如下: 1 1 当 n=2 时,1+ + <2 成立, 2 3 所以 n=2 时,原不等式成立; 1 1 1 假设当 n=k 时,1+ + +?+ k <k 成立; 2 3 2 -1 当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + +?+ k + k+ k +?+ k+1 2 3 4 2 -1 2 2 +1 2 -1 1 1 1 <k+ k+ k +?+ k 2 2 +1 2 +2k-1 1 1 1 2k <k+ k+ k+?+ k=k+ k=k+1, 2 2 2 2 所以当 n=k+1 时,不等式成立, 1 1 1 1 所以 n∈N*,n≥2,总有 + + +?+ n <bn-1 成立. 2 3 4 2 -1


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