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第3讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(2)、三角函数模型的简单应用(必修4)


2013 高一第二学期数学课程 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象(2)、三角函数模型的简单应用

一、知识温故:
1.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示

x

0-φ ω 0 0

π -φ 2 ω π 2

π-

φ ω π 0

3π -φ 2 ω 3π 2 -A

2π-φ ω 2π 0

ωx+φ

y=Asin(ωx+φ)

A

2.函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤

2π 3.当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈[0,+∞))表示一个振动时,A 叫做振幅,T= 叫做周期,f ω 1 = 叫做频率,ωx+φ 叫做相位,φ 叫做初相.

T

4.图象的对称性 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形,具体如下: π (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线 x=xk(其中 ωxk+φ=kπ+ ,k∈Z)成轴对称图形. 2 (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xk,0)(其中 ωxk+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形.

一种方法 在由图象求三角函数解析式时,若最大值为 M,最小值为 m,则 A= =T 求出,φ 由特殊点确定. 一个区别 由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin (ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换), |φ| 平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是 (ω>0)个单位.原因在于相位 ω 变换和周期变换都是针对 x 而言,即 x 本身加减多少值,而不是依赖于 ωx 加减多少值.

M-m
2

,k=

M+m
2

2π ,ω 由周期 T 确定,即由 ω

两个注意

1

2013 高一第二学期数学课程 作正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象时应注意: (1)首先要确定函数的定义域; (2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根据周期性作出整个函 数的图象. 二、经典范例: 考点 1:作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 ①“五点法”――设 X ? ? x ? ? ,令 X =0,

?
2

,? ,

3? , 2? 求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标, 2

描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法。 π π 3 例 1、设函数 f(x)=cos(ωx+φ)?ω>0,-2<φ<0?的最小正周期为 π,且 f?4?= . ? ? ? ? 2 (1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象. [审题视点] (1)由已知条件可求 ω,φ; (2)采用“五点法”作图,应注意定义域[0,π].

(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点, 而后列 表、描点、连线即可. (2)变换法作图象的关键看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩 φ? 后平移,对于后者可利用 ωx+φ=ω? ?x+ω?来确定平移单位.

?1 π? 巩固练习、已知函数 f(x)=3sin? x- ?,x∈R. ?2 4?
(1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sin x 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象?

考点 2:求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式 例 2、(2011· 江苏)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则 f(0) 的值是________. [审题视点] 由最高、最低点确定 A,由周期确定 ω,然后由图象过的特殊点确定 φ.
2

2013 高一第二学期数学课程

解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定 A,h 的值,函数的周期确定 ω 的值, 再根据函数图象上的一个特殊点确定 φ 值. π 巩固练习、 已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|< ,ω>0)的图象的一部分如图所示. 2 (1)求 f(x)的表达式; (2)试写出 f(x)的对称轴方程.

考点 3:物理量ω 、T 之间的联系 A ? 0, ? ? 0 ) 例 3、 函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 为常数, 在闭区间 [?? , 0] 上的图象如图所示,则 ? = .

巩固练习、已知函数 y=sin( ? x+ ? ) ( ? >0, - ? ? ? < ? )的图像如图所示,则 ? =________________

考点 4:正确理解图像的平移 例 4、把函数 y=cos(3x+ A 向右平移
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? 4

? )的图象适当变动就可以得到 y=sin(-3x)的图象,这种变动可以是( 4 ? ? ? B 向左平移 C 向右平移 D 向左平移 12 12 4
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)

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巩固练习、将函数 y=f(x)的图象沿 x 轴向右平移

? ,再保持图象上的纵坐标不变,而横坐标变为原来的 2 倍, 3

得到的曲线与 y=sinx 的图象相同,则 y=f(x)是( )

? ) 3 2? C y=sin(2x+ ) 3
A y=sin(2x+
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? ) 3 2? D y=sin(2x- ) 3
B y=sin(2x-
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考点 5:巧求初相角
3

2013 高一第二学期数学课程 例 5、求初相角是高中数学学习中的一个难点,怎样求初相角?初相角有几个?下面通过错解剖析,介绍四种方 法 如图,它是函数 y=Asin(ω x+ ? )(A>0,ω >0),| ? |<π 的图象,
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由图中条件,写出该函数解析式 错解:由图知:A=5 由

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? 2 2? ? ? ,5)在此函数的图象上,但在 y=5sin( x- )中,令 x= ,则 y=5sin( 3 3 4 4 6 2? ? 2 2? - )=5sin(- )=-5,由此可知:y=5sin( x- )不合题意 3 3 3 2
分析:由题意可知,点(
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T 5? 3? 2? 2 ? ?? ? 得 T=3π ,∴ω = = 2 2 2 T 3 2 ∴y=5sin( x+ ? ) 3 2 将(π ,0)代入该式得:5sin( π + ? )=0 3 2? 2? 由 sin( + ? )=0,得 + ? =kπ 3 3 2? ? =kπ - (k∈Z) 3 2? ? ∵| ? |<π ,∴ ? =- 或? = 3 3 2 2? 2 ? ∴y=5sin( x- )或 y=5sin( x+ ) 3 3 3 3

那么,问题出在哪里呢?我们知道,已知三角函数值求角,在一个周期内一般总有两个解,只有在限定的 范围内才能得出惟一解
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考点 6:怎样求解三角函数的最值问题 【问题研究】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点.在求解中,一定要注意其定义域,否则容易产生错 误. (2)主要题型:①求已知三角函数的值域(或最值);②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数;③三角函 数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题.
4

2013 高一第二学期数学课程 【 解 决 方 案 】 ① 形 如 y = asin x + bcos x + c 的 三 角 函 数 , 可 通 过 引 入 辅 助 角

? φ?cos φ= ?

a a +b
2 2

2

,sin φ=

? 2 2 sin(x+φ)+c 的形式后,再求值域(或最值); ?,将原式化为 y= a +b · a +b ?
2 2 2

b

②形如 y=asin x+bsin x+c 的三角函数,可先设 t=sin x,将原式化为二次函数 y=at +bt+c 的形式, 进而在 t∈[-1,1]上求值域(或最值);③形如 y=asin xcos x+b(sin x± cos x)+c 的三角函数,可先设 t 1 2 =sin x± cos x,将原式化为二次函数 y=± a(t -1)+bt+c 的形式,进而在闭区间 t∈[- 2, 2]上求最 2 值. π 例 6、(2011· 北京)已知函数 f(x)=4cos xsin ?x+6?-1. ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值.

?

?

π π 2π 首先化为形如 y=Asin(ωx+φ)的形式,由 T= 求得:由 x∈?-6,4?,求得 ωx+φ 的范围,从 ω ? ? 而求得最值.

解决这类问题常常借助三角函数的有界性或转化为我们所熟悉的函数,如二次函数等来解决. π 5 3 2 巩固练习、是否存在实数 a,使得函数 y=sin x+acos x+ a- 在闭区间?0,2?上的最大值是 1?若存在, ? ? 8 2 求出对应的 a 值?若不存在,试说明理由.

三、过关测试 1、已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

2

2 ,则 f (0) = 3

(A) ?

2 3

(B)

2 3

(C)-

1 2

(D)

1 2

w. w.w. k.s.5.u .c.o.m

2、已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交 点的距离等于 ? ,则 f ( x) 的单调递增区间是

5

2013 高一第二学期数学课程

5? ], k ? Z 12 12 ? ? (C) [k? ? , k? ? ], k ? Z 3 6

(A) [k? ?

?

, k? ?

(B) [k? ?

5? 11? , k? ? ], k ? Z 12 12 ? 2? (D) [k? ? , k? ? ], k ? Z 6 3

? 3、将函数 y ? sin x 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? <2 ? ) 的单位后,得到函数 y ? sin( x ? ) 的图象, 6
则 ? 等于(D) A.

? 6

B.

5? 6

C.

7? 6

D.

11? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6

4、(2009 山东卷理)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 的函数解析式是( A. y ? cos 2 x ). B. y ? 2cos2 x

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象 4

C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)

D. y ? 2sin 2 x

5、 (2009 天津卷文)已知函数 f ( x) ? sin( wx ?

?
4

)( x ? R, w ? 0) 的最小正周期为 ? , y ? f ( x) 的

图像向左平移 | ? | 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的一个值是( A



? 2

B

3? 8

C

? 4

D

? 8
)的周期为 ? ,且图象上一个

6、已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 最低点为 M (
2? , ?2) . 3

?
2

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
12

] ,求 f ( x) 的最值.

附 例题练习答案: 2π 例 1:解 (1)周期 T= =π,∴ω=2, ω π π π 3 ∵f?4?=cos?2×4+φ?=cos?2+φ?=-sin φ= , ? ? ? ? ? ? 2 π π ∵- <φ<0,∴φ=- . 2 3

6

2013 高一第二学期数学课程 π (2)由(1)知 f(x)=cos?2x-3?,列表如下:

?

?

图象如下图: 5 π 3 π 1 2

π 2x- 3

- 0 1 2

π 3

0 π 6 1

π 2 5 π 12 0

π 2 π 3 -1

3 π 2 11 π 12 0

x f(x)

【巩固练习】解 (1)列表取值:

x
1 π x- 2 4

π 2 0 0

3 π 2 π 2 3

5 π 2 π 0

7 π 2 3 π 2 -3

9 π 2 2π 0

f(x)

描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图,如右图. π (2)先把 y=sin x 的图象向右平移 个单位,然后把所有的点的横坐标扩大为原来 4 的 2 倍,再把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍,得到 f(x)的图象.

T 7π π π 2π π 例 2:解析 由图可知:A= 2, = - = ,所以 T=2kπ+π,∴φ=2kπ+ ,令 k=0,ω= =2,又函数 4 12 3 4 3 T
π π π π π 图象经过点?3,0?, 所以 2× +φ=π, 则 φ= , 故函数的解析式为 f(x)= 2sin?2x+3?, ? ? ? ? 所以 f(0)= 2sin3 3 3 = 6 6 .答案 2 2

【巩固练习】解 (1)观察图象可知:A=2 且点(0,1)在图象上,∴1=2sin(ω· 0+φ), 1 11 π π 即 sin φ= .∵|φ|< ,∴φ= .又∵ π 是函数的一个零点,且是图象递增穿过 x 轴形成的零点, 2 2 6 12 ∴ π 11π π ω+ =2π,∴ω=2.∴f(x)=2sin?2x+6?. ? ? 12 6

π (2)设 2x+ =B,则函数 y=2sin B 的对称轴方程为 6

B= +kπ,k∈Z,即 2x+ = +kπ(k∈Z),
π kπ π kπ π 解上式得 x= + (k∈Z),∴f(x)=2sin?2x+6?的对称轴方程为 x= + (k∈Z). ? ? 2 6 2 6 例 3: 【解析】 考查三角函数的周期知识。

π 2

π π 6 2

3 2 T ? ? , T ? ? ,所以 ? ? 3 2 3

7

2013 高一第二学期数学课程

T?
巩固练习:解析:由图可知,

5? 4 ?4 ? ,?? ? , 把 ? 2? ,1? 代入y=sin ? x ? ? ? 有: 2 5 ?5 ?

9? ?8 ? 1=sin ? ? ? ? ? ,?? ? 10 ?5 ?

例 4:分析:三角函数图象变换问题的常规题型是:已知函数和变换方法,求变换后的函数或图象,此题是 已知变换前后的函数,求变换方式的逆向型题目,解题的思路是将异名函数化为同名函数,且须 x 的系数相 同
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? ? ? )=sin( -3x)=sin[-3(x- )] 12 4 4 ? ? ∴由 y=sin[-3(x- )]向左平移 才能得到 y=sin(-3x)的图象 (选择 D) 12 12
解:∵y=cos(3x+
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【巩固练习】分析:这是三角图象变换问题的又一类逆向型题,解题的思路是逆推法

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解:y=f(x)可由 y=sinx,纵坐标不变,横坐标压缩为原来的 1/2,得 y=sin2x;再沿 x 轴向左平移 sin2(x+

? 2? ),即 f(x)=sin(2x+ ) 答案:C 3 3
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? 得 y= 3

例 5: 正解一:(单调性法) ∵点(π ,0)在递减的那段曲线上

2? ? 2? + ? ∈[ +2kπ , +2kπ ](k∈Z) 3 3 2 2? 2? 由 sin( + ? )=0 得 + ? =2kπ +π 3 3


? (k∈Z) 3 ? ∵| ? |<π ,∴ ? = 3
∴ ? =2kπ + 正解二:(最值点法) 将最高点坐标(

? 2 ? ,5)代入 y=5sin( x+ ? )得 5sin( + ? )=5 3 4 6 ? ? ? ? ∴ + ? =2kπ + ∴ ? =2kπ + (k∈Z)取 ? = 6 2 3 3
正解三:(起始点法) 函数 y=Asin(ω x+ ? )的图象一般由“五点法”作出,而起始点的横坐标 x 正是由ω x+ ? =0 解得的,故 只要找出起始点横坐标 x0,就可以迅速求得角 ? 由图象求得 x0=王新敞
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x 2 ? ? ,∴ ? =-ω x0=(- )= 2 3 2 3

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正解四:(平移法) 由图象知, 将 y=5sin( 即 y=5sin(

2 ? x+ ) 3 3

2 ? 2 ? x)的图象沿 x 轴向左平移 个单位, 就得到本题图象, 故所求函数为 y=5sin (x+ ), 3 3 2 2
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π 例 6:[解答示范] (1)因为 f(x)=4cos xsin?x+6?-1

?

?

8

2013 高一第二学期数学课程 =4cos x? 1 ? 3 ? sin x+ cos x?-1 2 ?2 ?
2

= 3sin 2x+2cos x-1= 3 sin 2x+cos 2x π =2sin?2x+6?,所以 f(x)的最小正周期为 π.(6 分)

?

?

π π π π 2π (2)因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ . 6 4 6 6 3 π π π 于是,当 2x+ = ,即 x= 时, 6 2 6

f(x)取得最大值 2;
π π π 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 6 1 ?2 a 5 1 ? 【巩固练习】[尝试解答] y=-?cos x- a? + + a- , 2 ? 4 8 2 ? π 当 0≤x≤ 时,0≤cos x≤1,令 t=cos x,则 0≤t≤1, 2
2 ? 1 ?2 a 5 1 ∴y=-?t- a? + + a- ,0≤t≤1. ? 2 ? 4 8 2 2

当 0≤ ≤1,即 0≤a≤2 时,则当 t= ,即 cos x= 时. 2 2 2

a

a

a

a2 5 1 3 ymax= + a- =1,解得 a= 或 a=-4(舍去).
4 8 2 2 当 <0,即 a<0 时,则当 t=0,即 cos x=0 时, 2

a

ymax= a- =1,解得 a= (舍去).
当 >1,即 a>2 时,则当 t=1,即 cos x=1 时, 2

5 8

1 2

12 5

a

ymax=a+ a- =1,解得 a= (舍去).
3 综上知,存在 a= 符合题意. 2

5 8

3 2

20 13

过关测试答案: 2π 2π 2π π 7π 1、 【解析】由图象可得最小正周期为 ,于是 f(0)=f( ),注意到 与 关于 对称 3 3 3 2 12

2 2π π 所以 f( )=-f( )= 【答案】B 3 2 3

9

2013 高一第二学期数学课程 2、 【解析】 f ( x) ? 2sin(? x ? 由 2 k? ?

?
6

) ,由题设 f ( x) 的周期为 T ? ? ,∴ ? ? 2 , ? 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?

?
2

6

得, k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? z ,故选 C

3、 【解析】解析由函数 y ? sin x 向左平移 ? 的单位得到 y ? sin( x ? ? ) 的图象,由条件知函数 y ? sin( x ? ? ) 可化为函数 y ? sin( x ?

?
6

) ,易知比较各答案,只有 y ? sin( x ?

4 、【 解 析 】 将 函 数 y ? sin 2 x 的 图 象 向 左 平 移

y ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 的 图 象 , 再 向 上 平 移 1 个 单 位 , 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 为 2

?

? ? 个 单 位 , 得 到 函 数 y ? sin 2( x ? ) 即 4 4

11? ? ) ? sin( x ? ) ,所以选 D 项。 6 6

y ? 1 ? cos 2x ? 2cos2 x ,故选 B.
5、 【解析】由已知,周期为 ? ?

sin[ 2( x ? ? ) ?

?
4

2? , w ? 2 ,则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数, w

] ? ? cos 2 x ,故选 D

6、 【解析】 (1)由最低点为 M (

2? 2? 2? , ?2)得A ? 2 由 T ? ? 得? ? ? ?2 3 T ? 2? 4? 4? , ?2) 在图像上得 2sin( ? ? ) ? ?2 即 sin( ? ? ) ? ?1 由点 M ( 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? ? ? 2 k? ? 故 ? ? 2 k? ? (k ? Z ) ,又 ? ? (0, ) ,所以 ? ? 所以 3 2 6 2 6
所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? (Ⅱ)因为 x ? [0,

?

?
12

6

)

], 2 x ?

?

当2x+

?
6

?

?
3

, 即x ?

?
12

? [ , ] ,所以当 2x+ ? 时,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1; 6 6 3 6 6

? ?

?

?

时,f ( x)取得最大值 3 ;

10


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