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考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性


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考点 5 函数的单调性与最值、 函数的奇偶性与周期性
一、选择题 1. ( 2012 ·广东高考文科·T 4)下列函数为偶函数的是 ( (A) y ? sin x (B) y ?

x3 (C) y ? e x (D) y ? ln x 2 ? 1 )

【解题指南】本题考查函数的奇偶性,要逐一进行判断 .先看函数的定义域 是否关于原点对称,再看 f(-x)=f(x)是否成立 . 【解析】选 D. 选项 A B C D f(-x)=f(x) ,因而它是偶函数
1, x为有理数, 2.( 2012·福建高考理科·T 7 )设函数 D( x) ? ? 则下列结论错误的 ? ?0, x为无理数,

具体分析 y=sinx 是正弦函数,它是奇函数
y ? x3 是奇函数

结论 不正确 不正确 不正确 正确

指数函数 y ? e x 是非奇非偶函数 函数 y ? ln x 2 ? 1 显然满足定义域关于原点对称, 且

是(

) (B) D( x) 是偶函数 (D) D( x) 不是单调函数

(A) D( x) 的值域为 {0, 1} (C) D( x) 不是周期函数

【解题指南】本题考查函数的基本性质,要求学生能利用定义法求解问题.

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【解析】选 C. 选项 A 具体分析 函数值只有两个 :0 和 1 若 x 是无理数,则 ?x 也是无理数 ,则 D(-x)=D( x);若 x B 是有理数,则 ?x 也是有理数,则 D(? x) ? D( x) ,所以 D( x) 是偶函数 对于任意有理数 T ,f ( x ? T ) ? f ( x) (若 x 是无理数, 则 x ?T C 也是无理数;若 x 是有理数,则 x ? T 也是有理数) 取任意两个数值 x1 , x2, D( x1)与 D ( x 2)的大小不确 D 定,故不存在单调性 正确 不正确 正确 结论 正确

3. ( 2012 · 福 建 高 考 理 科 · T 10 ) 函 数 f ( x) 在 [a, b] 上 有 定 义 , 若 对 任 意
x1 , x2 ?[a, b] , 有 f(

x1 ? x2 1 则称 f ( x) 在 [a, b] 上具有性质 P . 设 f ( x) ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] , 2 2

在 [1, 3] 上具有性质 P,现给出如下命题: ① f ( x) 在 [1, 3] 上的图象是连续不断的; ② f ( x 2 ) 在 [1, 3] 上具有性质 P ; ③若 f ( x) 在 x ? 2 处取得最大值 1,则 f ( x ) ? 1, x ?[1, 3] ; ④对任意 x1 , x2 , x3 , x4 ? [1, 3] ,有 f ( 其中真命题的序号是( (A)①② 【解析】选 D. 命题 ① 由关系式 f ( 具体分析
x1 ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 无法推出函数是否连续 2 2
x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 1 ) ? [ f (x1 )? f ( x 2 )? f x (3 ) ?f x ( 4 )] 4 4

) (C) ②④ (D) ③④

(B)①③

结论 不正确

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特殊函数法, f ( x) ? ? x 在 ?1, 3? 上具有性质 P ,而 f ( x 2 ) ? ? x 2 显 ② 然不具备性质 P 在 ?1, 3? 中 任 取 一 个 数 x (1 ? x ? 3) , 则 4 ? x 同 样 在 ?1, 3? 内 ,
f (2) ? 1 ? f ( x)max . 又 因 为 f (

不正确


f ( x) ? f (4 ? x) ? 2 . 又 因 为 f ( x) ? 1, f (4 ? x) ? 1

x?4? x 1 ) ? [ f ( x) ? f (4 ? x)] , 即 2 2
f ( x) ? 1, f (4 ? x) ? 1 , 所 以

正确



x1 ? x2 x3 ? x4 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 2 2 ) ? 1 [ f ( x1 ? x2 ) ? f ( x3 ? x4 )] f( )? f( 4 2 2 2 2 1 1 1 ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? [ f ( x3 ) ? f ( x4 )] ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 )] 4 4 4

正确

4. ( 2012 ·陕西高考文科·T 2)与( 2012·陕西高考理科·T 2) 下列函数中 ,既是奇函数又是增函数的为 ( (A)
y ? x ?1

) (D) y ? x | x |

(B)

y ? ? x3

(C)

y?

1 x

【解题指南】根据奇函数和增函数的定义进行判断 ; 或直接根据已知函数的 性质和图象判断 . 【解析】选 D.选项 A 为一次函数 , 不是奇函数 ,是增函数 ;选项 B 是奇函数 , 不是增函数 ;选项 C 是反比例函数 ,为奇函数 ,不是增函数 ;选项 D,去绝对值 号 ,变为分段函数 , 符合题意 . 5.( 2012 ·山东高考理科·T 8)定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x ).
2 当 ?3 ? x ? ?1时, f ( x) ? ? ( x ? 2) ;当 ?1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x .则 f( 1) + f ( 2) +

f( 3) +… +f( 2 012 ) =( ( A) 335 ( B) 338

) ( C) 1 678 ( D) 2 012

【解题指南】 本题考查函数的周期性, 可利用周期为 6 来计算连续 6 项的和, 在通过计算 2 012 是 6 的多少倍及余数即可求得 .

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【解析】选 B. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x ),
2 当 ?3 ? x ? ?1时, f ( x) ? ? ( x ? 2) ,当 ?1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x .

f( 1) + f( 2) +f( 3) +… +f( 2 012 ) = 335 ? f ?1? ? f ?2? ? 338 . 6. ( 2012 ·辽宁高考理科·T 11 )设函数 f(x) ( x ? R) 满足 f( ?x )=f(x) , f(x)=f(2 ? x),且当 x ?[0,1]时, f(x)=x 3.又函数 g(x)=|xcos (? x) |,则函数
1 3 [? , ] h(x)=g(x)-f(x) 在 2 2 上的零点个数为(

) (D)8

(A)5

(B)6

(C)7

【解题指南】 利用条件, 可以判断函数 f(x) ( x ? R) 是偶函数, 且是周期函数,
1 3 [? , ] 据此作出 f(x)在 2 2 上的图象,据特殊值等作函数 g(x)=|xcos (? x) |的示

意图 .找二者的交点个数 . 【解析】选 B.由 f( ?x )=f(x) 知, f(x) ( x ? R) 是偶函数;由 f(x)=f(2 ? x), 则
f ( x ? 2) ? f (2 ? ( x ? 2)) ? f (? x) ? f ( x) ,故

f(x) ( x ? R) 是周期函数,T=2 是其周期;由

f(x)=f(2 ? x), 还可知, 其图象关于直线 x=1 对称 .据 x ?[0,1] 时, f(x)=x 3. 作 其草图 .据特殊值等作函数 g(x)=|xcos (? x) |的示意图,可以发现有 6 个交

点. 7.( 2012·湖南高考文科·T 9)设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为

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2π 的偶函数, f' (x)是 f(x) 的导函数, 当 x∈ [0,π ] 时, 0< f(x) < 1; 当 x∈( 0,π ) 且
? x≠ 2

( x ? ) f ?( x) ? 0 2 时 , ,则函数 y=f(x)-sinx 在 [-2π ,

?

2π ] 上的零点个数为( (A)2 (B)4

) (C)5 (D)8

【解题指南】有偶函数得出值域,由导数得出单调区间及相应的单调性,根 据曲线的交点个数判断零点的个数 .
? ? ( x ? ) f ?( x) ? 0 2 【解析】选 B. x ∈( 0, π ) 且 x≠ 2 时 , ,知
? ?? ?? ? x ? ?0, ? 时,f ?( x) ? 0, f ( x)为减函数; x ? ? ,? ? 时,f ?( x) ? 0, f ( x)为增函数 ? 2? ?2 ?



x ? ? 0, ? ?

时, 0< f(x)< 1,函数 f(x)是定义在 R 上的最小正周期为 2π 的

偶函数,则在同一坐标系中作出 y ? sin x 和 y ? f ( x) 大致图象如下,由图知函 数 y=f(x)-sinx 在 [-2π , 2π ] 上的零点个数为 4.
y

1

y ? f ( x)

?2?

o
?1

2?
y ? sin x

x

故选 B. 二、填空题 8.( 2012·江苏高考·T 10)设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区
?1,1 间 ? ? 上,

1 3 , ?ax ? 1, ? 1? x ? 0 f( )? f( ) ? a , b ? R 2 ,则 a ? 3b 的值为 f ( x) ? ? bx ? 2 其中 ,若 2 , 0 ? x ? 1 , ? ? x ?1

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.
1 3 f( )? f( ) 2 求解 . 【解题指南】从函数的周期性上分析出 f (?1) ? f (1) ,再利用 2

b 1 3 1 ?2 f ( ) ? f ( ) ? f (? ) 1 3 2 2 2 2 【解析】由题意 ,所以 ? ? a ? 1, ? a ? b ? ?1①. 3 2 2 2

又 f (?1) ? f (1), ?b ? ?2a ②,解①②得 a ? 2, b ? ?4, ? a ? 3b ? ?10. 【答案】 ?10 9. ( 2012 ·新课标全国高考文科·T 16 )设函数 f ? x ? 为 M,最小值为 m ,则 M+m= .

? x ? 1? ?

2

+ sinx

x ?1
2

的最大值

f x 【解题指南】 将函数 ? ? 分离常数, 把去掉常数后剩余部分看作一个新函数,

研究新函数的性质,推知 M+m 的值 .
f ? x?

【解析】 设
g ? x? ?

? x ? 1? ?

2

+ sin x

x ?1
2

? 1?

2 x ? sin x x2 ? 1 ,

2 x ? sin x , x 2 ? 1 则 g ? ? x ? ? ? g ? x ? ,又∵ g ( x )定义域为 R ,∴ g ? x ? 是奇函数,

g x ?g x ?0 由奇函数图象的对称性知 ? ?max ? ?min ,
? g ? x ? ? 1? ? max ? ? ? g ? x ? ? 1? ? min ? 2 ? g ? x ?max ? g ? x ?min ? 2 . ?M ? m ? ?

【答案】 2 10. ( 2012 ·安徽高考文科·T 13 )若函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的单调递 增区间是
[3,??) ,则 a =________

.

【解题指南】作出函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的图象,大致如图,根据图象可得函数的
a [? , ??) 单调递增区间为 2 .

【解析】作出函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的图象,根据图象可得函数的单调递增区间为

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a a [? , ??) ? ? 3, a ? ?6 2 ,即 2 .

【答案】 ?6 11.( 2012 ·浙江高考文科·T 16 )设函数 f( x)是定义在 R 上的周期为 2
3 f( ) 的偶函数,当 x∈ [0, 1]时, f( x ) =x+ 1,则 2 =____________.

【解题指南】利用函数的性质化到已知的区间上面 . 【解析】 f ( )=f (? )? f ( )= . 【答案】
3 2 3 2 1 2 1 2 3 2

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