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计数原理单元测试题


第一章 计数原理单元测试题
时间:120 分钟,满分 150 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 5 位同学报名参加两个课外活动小组, 每 位同学限报其中的一个小组, 则不同的报名 方法共有( ) A.10 种 B.20 种 C.25 种 D.32 种 2.甲、乙、丙 3 位同学选修课程,从 4 门 课程中,甲选修 2 门,乙、丙各选修 3 门, 则不同的选修方案共有 A.36 种 B.48 种 C.96 种 D.192 种 3. 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位 老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻但 不排在两端,不同的排法共有( ) A.1440 种 B.960 种 C.720 种 D.480 种 4. 某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母 后接 4 个数字组成, 其中 4 个数字互不相同 的牌照号码共有( ) A. C26

7.用 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的全 部五位数中,若按从小到大的顺序排列,则 数字 12340 应是第( )个数. A.6 B.9 C.10 D.8

8.AB 和 CD 为平面内两条相交直线, AB 上有 m 个点,CD 上有 n 个点,且两直线上各有一 个与交点重合, 则以这 m+n-1 个点为顶点的 三角形的个数是( )
1 2 1 2 A. Cm Cn ? Cn Cm 1 2 1 2 B. Cm Cn ? Cn ?1Cm

1 2 1 2 1 2 1 2 C. Cm ?1Cn ? Cn Cm D. Cm?1Cn ? Cn?1Cm?1

9.设

?

2?x

?

10

? a0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? ? ? a10 x10

,则

? ?
1

?a0 ? a2 ? ? ? ? ? a10 ?2 ? ?a1 ? a2 ? ? ? ? ? a9 ?2
的值为( A.0 ) B.-1 C.1

2

4 A10 个

2 4 B . A26 个 A10

C. C

? ? 10
1 2 26

4



D. A 10 个

2 26

4

D. 10. 2006 年世界杯参赛球队共 32 支,现分成 8 个小组进行单循环赛,决出 16 强(各组的 前 2 名小组出线),这 16 个队按照确定的程 序进行淘汰赛,决出 8 强,再决出 4 强,直到 决出冠、亚军和第三名、第四名,则比赛进 行的总场数为( ) A.64 B.72 C.60 D.56 11.用二项式定理计算 9.98 , 精确到 1 的近 似值为( )
5

5. 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、 星期六、星期日参加公益活动,每人一天, 要求星期五有 2 人参加,星期六、星期日各 有 1 人参加,则不同的选派方法共有 (A)40 种 (B) 60 种(C) 100 种 (D) 120 种 6. 由数字 0,1,2,3,4,5 可以组成无重 复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有 ( ) A.72 D.52 B.60 C.48

A.99000 D.99005

B.99002

C.99004

17.如图,电路中共有 7 个电阻与一个电 灯 A, 若灯 A 不亮, 分析因电阻断路的 可能性共有多少种情况。

12. 从不同号码的五双靴中任取 4 只, 其中 恰好有一双的取法种数为 ( ) A.120 B.240 C.360 D.72 二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

R R R R

R R R
A ○

13. 今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球, 同色球不加以区分,将这 9 个球排成一列



种不同的方法(用数字作答).

18. 从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个 奇数,试问: ①能组成多少个没有重复数字的七位 数? ②上述七位数中三个偶数排在一起的 有几个? ③在①中的七位数中,偶数排在一起、 奇数也排在一起的有几个? ④在①中任意两偶然都不相邻的七位 数有几个?

14. 用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复 数字的五位数,则其中数字 1,2 相邻的偶 数有 个(用数字作答). 19.把 1、2、3、4、5 这五个数字组成无重 复数字的五位数, 并把它们按由小到大的顺 序排列成一个数列. (1) 43251 是这个数列的第几项? (2) 这个数列的第 96 项是多少? (3) 求这个数列的各项和.

15. 若(2x3+

1 x

)n 的展开式中含有常数项,

则最小的正整数 n 等于

.

16. 从班委会 5 名成员中选出 3 名, 分别担 任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其 中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的 选法共有_____种。 (用数字作答) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。)

20.(本小题满分 12 分)求证: 能被 25 整除。

? 3 3 ? ? a? 21.(本小题满分 14 分) 已知 ? ? ? ? a ?

n

的展开式的各项系数之和等于
? 3 1 ? ? ? ?4 b ? ? 展开式中的常数项,求 5b ? ? ? 3 3 ? ? ? a? ? ? 展开式中含 ? a ?
n 5

的项的二

项式系数.

22. (本小题满分 14 分)若某一等差数列
11?2 n 2 n ?2 的首项为 C5 ?P n 11?3n ,公差为

? 5 23 2 ? x ? 展开式中的常数项,其中 m ? ? ? 2x 5 ?
是 77
77

m

? 15 除以 19 的余数,则此数列前多

少项的和最大?并求出这个最大值.

单元测试卷参考答案 排列、组合、二项式定理
一、选择题:(每题 5 分,共 60 分) 1、 D 解析: 5 位同学报名参加两个课外活动小组,

每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法 共有 25=32 种,选 D

2、C

解析.甲、乙、丙 3 位同学选修课程,从 4

定在另一条直线上,且不能是交点. 9 、
10

C





:



门课程中,甲选修 2 门,乙、丙各选修 3 门,则不 同的选修方案共有 C4
2 3 3 ? C4 ? C4 ? 96 种,选 C

? 2 ? x?


? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? ? ? a10 x10 可得:

x ?1
10



,

? 2 ?1?


? a0 ? a11 ? a212 ? ? ? ? ? a10110

3、解析:5 名志愿者先排成一排,有

5 种方法, A5

? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a10

x ? ?1
10



,

2 位老人作一组插入其中, 且两位老人有左右顺序, 共有 2 ? 4 ? A5 =960 种不同的排法,选 B
5

? 2 ?1?

? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a10

? a0 ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a10

? ?a0 ? a2 ? ? ? ? ? a10 ?2 ? ?a1 ? a2 ? ? ? ? ? a9 ?2

4、A

解析:某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字

?a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a10 ?
?

? ?a0 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a10 ?
10 10

母后接 4 个数字组成, 其中 4 个数字互不相同的牌 照号码共有

? 2 ?1? ? 2 ?1? ? ?? 2 ?1?? 2 ?1??

10

?1 .

?C ?

1 2 26

4 A10 个,选 A

10 、A

2 解析: 先进行单循环赛 , 有 8C 4 ? 48 场 ,

在进行第一轮淘汰赛,16 个队打 8 场,在决出 4 强, 5、B 解析:从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、 星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星 期五有 2 人参加,星期六、星期日各有 1 人参加, 则不同的选派方法共有 C
2 5

打 4 场,再分别举行 2 场决出胜负,两胜者打 1 场决 出冠、亚军 , 两负者打 1 场决出三、四名 , 共举 行:48+8+4+2+1+1=64 场. 11、C 解析: 9.98
5

? ?10 ? 0.02 ?

5

A ? 60 种,选 B
2 3

1 ? 105 ? C5 ?104 ? 0.02 ? C52 ?103 ? ? 0.02 ?

2

3 ? C5 ?102 ? ?0.02?3 ? ? ? ?

6、B

解析:只考虑奇偶相间,则有 2 A3 A3 种不同
2 3

3

3

? 105 ? 103 ? 4 ? 0.06 ? ? ? ? ? 99004.
12、 A 解析:先取出一双有 C5 种取法,再从剩下
1

的排法,其中 0 在首位的有 A2 A3 种不符合题意,所
3 3 以共有 2 A3 A3

的 4 双鞋中取出 2 双,而后从每双中各取一只,有

?

2 3 A2 A3

? 60 种.

2 1 1 2 1 1 1 C4 C2 C2 种不同的取法 , 共有 C5 C4 C2C2 ? 120

7、C

解析: 比 12340 小的分三类:第一类是千
3

种不同的取法. 二、 填空题(每小题 4 分,共 16 分)

位比 2 小为 0,有 A3 ? 6 个; 第二类是千位为 2 , 百位比 3 小为 0,有
2 A2

? 2 个; 第三类是十位比 4

由题意可知,因同色球 不加以区分,实际上是一个组合问题,共有
13、1260 解析:
4 2 3 C9 ? C5 ? C3 ? 1260

小为 0,有 1 个.共有 6+2+1=9 个,所以 12340 是第 10 个数. 8、D 解析:在一条线上取 2 个点时,另一个点一

14、24

解析:可以分情况讨论:① 若末位数字

17.解:每个电阻都有断路与通路两种状态,图中 从上到下的三条支线路,分别记为支线 a、b、c, 支线 a,b 中至少有一个电阻断路情况都有 2 ―1=3 种;………………………4 分 支线 c 中至少有一个电阻断路的情况有 2 ― 1=7 种,…………………………………6 分 每条支线至少有一个电阻断路,灯 A 就不亮, 因 此 灯 A 不 亮 的 情 况 共 有 3 × 3 × 7=63 种 情 况.………………………………………10 分 18. 解: ①分步完成: 第一步在 4 个偶数中取 3 个,
3 可有 C 4 种情况;
2 2

为 0,则 1,2,为一组,且可以交换位置,3,4, 各为 1 个数字, 共可以组成 2 ? A3
3

? 12 个五位数;

② 若末位数字为 2,则 1 与它相邻,其余 3 个数 字排列,且 0 不是首位数字, 则有 2 ? A2
2

? 4 个五

位数;③ 若末位数字为 4,则 1,2,为一组,且 可以交换位置,3,0,各为 1 个数字,且 0 不是首 位数字,则有 2 ? (2 ? A2 ) =8 个五位数,所以全部
2

第二步在 5 个奇数中
4 取 4 个,可有 C 5 种情况;

第三步 3 个偶数,4
7 个奇数进行排列,可有 A7 种情况,

合理的五位数共有 24 个

所以符合题意的七位 15、7 解析:若(2x3+

1 x

)n 的展开式中含有常数

3 4 7 数有 C 4 C5 A7 ? 100800个.………3 分

②上述七位数中,三个偶数排在一起的有

项,Tr ?1

n?r ? Cn (2 x3 )n ?r ? (

1 r ) 为常数项,即 x

3 4 5 3 个. C 4 C5 A5 A3 ? 14400……6 分

③上述七位数中,3 个偶数排在一起,4 个奇数也排在一起的有
3 4 5 3 2 2 C4 C5 C5 A3 A4 A2 ? 5760

7r 3n ? 2
n 等于 7.

=0,当 n=7,r=6 时成立,最小的正整数

个.……………………………………………9 分 ④上述七位数中,偶数都不相邻,可先 把 4 个奇数排好,再将 3 个偶数分 别插入 5 个空档,共有

16、36 种

解析.从班委会 5 名成员中选出 3

名, 分别担任班级学习委员、 文娱委员与体育委员, 其中甲、乙二人不能担任文娱委员,先从其余 3 人 中选出 1 人担任文娱委员, 再从 4 人中选 2 人担任 学习委员和体育委员,不同的选法共有

4 3 3 A5 C 4 A5 ? 28800

个.………………………………… 12 分 19.解:⑴先考虑大于 43251 的数,分为以下三类 第一类:以 5 打头的有: A4 =24 第二类:以 45 打头的有: A3 =6 第三类:以 435 打头的有: A2
2 3 4

C ? A ? 3? 4 ? 3 ? 36 种
1 3 2 4

三、解答题(共六个小题,满分 74 分)

=2………………………………2 分

故 不 大 于

43251

的 五 位 数 有 :

5 4 3 2 A5 ? A4 ? A3 ? A2 ? 88 (个)

?

?

r 3 Tr ?1 ? C5 4 b

? ?
r

5? r ?

1 ? ?? ? ? ? 5b ? ?
10?5r 6

r



43251





88

项.…………………………………………………… ……………4 分 ⑵数列共有 A=120 项, 96 项以后还有 120-96=24 项, 即比 96 项所表示的五位数大的五位数有 24 个, 所以小于以 5 打头的五位数中最大的一个就是该 数列的第 96 项.即为 45321.…8 分 ⑶因为 1,2,3,4,5 各在万位上时都有 A 个五位 数 , 所 以 万 位 上 数 字 的 和 为 : ( 1+2+3+4+5 ) · A · 10000 ………………………… …………………………………10 分 同理它们在千位、 十位、 个位上也都有 A 个五位数, 所以这个数列各项和为: (1+2+3+4+5) ·A· (1+10+100+1000+10000) =15×24×11111=3999960………………………… …………………………………12 分 20.证明:因

? 1 ? r ? ? 4 5?r C5 ?? ?b ?? ? 5 ? ?

, ?r ? 0,1,2,3,4,5? . …

……………………………6 分

若它为常数项,则

10 ? 5r ? 0,? r ? 2 ,代入上式 6

? T3 ? 2 7 .

即常数项是 2 ,从而可得 ?
7

? 3 3 ? ? a? ? ? 中 ? a ?

n

n=7,…………………10 分

同理 ?

? 3 3 ? 含 ? a? ? ? 由二项展开式的通项公式知, ? a ?

7

2 n?2 ? 3n ? 5n ? 4 ? 4 ? 6 n ? 5n ? 4

的项是第 4 项,

? 4 ? ?5 ? 1? ? 5n ? 4 ………………3 分
n

其二项式系数是
1 n?1 2 n ?2 n ?2 2 n?1 ? 4. 5n ? Cn 5 ? Cn 5 ? ? ? ? ? Cn 5 ? Cn 5 ? 1 …… ? 5n ?分 4 14

?

?

35.……………………………………………………

……………………8 分

1 n?1 2 n ?2 n ?2 2 ? 4. 5n ? Cn 5 ? Cn 5 ? ? ? ? ? Cn 5 ? 25n

?

?

22. 由已知得: ?

? 11 ? 2n ? 5n ,又 ?2n ? 2 ? 11 ? 3n

n ? N ,? n ? 2 ,………………………………2 分

……………………………………10 分

显然 5 ? Cn 5

?

n

1 n?1

2 n ?2 n ?2 2 ? Cn 5 ? ? ? ? ? Cn 5 能被

?

11?2n 2 n ?2 7 2 3 2 ? C5 ?P n 11?3n ? C10 ? P 5 ? C10 ? P 5

?

25 整除,25n 能被 25 整除, 所以 2 分
n?2

10 ? 9 ? 8 ? 5 ? 4 ? 100 3? 2

? 3n ? 5n ? 4 能被 25 整

所以首项

除.…………………………………………………12

a1 ? 100 .……………………………………………
………………………4 分

? 1 ? ? 的展开式的通项为 21. 设 ? 43 b ? ? ? 5b ? ?

5

7777 ? 15 ? ?76 ? 1?77 ? 15
1 1 ? 7677 ? C77 ? 7676 ? ? ? ? ? C77 ? 76 ? 1 ? 15

? 76M ? 14, ?M ? N ?? ,所以 7777 ? 15 除以 19 的
余数是 5,即 m ? 5 ………6 分

从而等差数列的通项公式是:

a n ? 104 ? 4n ,……………………………………
10 分

? 5 23 2 ? ? x ? 的展开式的通项 ? ? 2x 5 ?
r? 5 ? Tr ?1 ? C5 ? ? ? 2x ? 5? r

m

设其前 k 项之和最大,则 ? 得 k=25 或 k=26,

? 104 ? 4n ? 0 ,解 ?104 ? 4?k ? 1? ? 0

? 23 2 ? x ? ?? ? 5 ?

r

故此数列的前 25 项之和与前 26 项之和相等且最 大 ,

S 25 ? S 26 ?
? ?? 1?
5? 2 r 5 r ?5 r r?5? C5 ? ? x3 ,

100 ? 104 ? 4 ? 25 ? 25 ? 1 2

. …

?2?

?r ? 0,1,2,3,4,5? ,

……………………………………14 分

若它为常数项,则

5 r ? 5 ? 0,? r ? 3 ,代入上式 3

? T4 ? ?4 ? d .


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